第2讲 课题2 菱形的性质与判定(课件PPT)-【学海风暴·PK中考】2025江西中考数学备考集训本

第五单元 四边形 课题2　菱形的性质与判定 数学·江西中考 授课人：XXXX 第2讲　矩形、菱形、正方形 YUHENG 目录 重点难点突破 集训本 温馨提示：点击相应文字即可跳转到相应页面 江西真题体验 中考热身训练 3 1.(2019江西)如图,由10根完全相同的小棒拼 接而成,请你再添2根与前面完全相同的小棒, 拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有(　　) A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 江西真题体验 菱形的性质与判定(10年7考) D 4 2.(2023江西)【课本再现】 思考 我们知道,菱形的对角线互相垂直.反过来,对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗? 可以发现并证明菱形的一个判定定理: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 点击返回目录页 5 【定理证明】 (1)为了证明该定理,小明同学画出了图形 (如图①),并写出了“已知”和“求证”, 请你完成证明过程. 已知:在▱ABCD中,对角线BD⊥AC,垂足 为O. 求证:▱ABCD是菱形; 点击返回目录页 解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA＝OC. 又∵BD⊥AC,垂足为O,∴BA＝BC, ∴▱ABCD是菱形. 点击返回目录页 【知识应用】 (2)如图②,在▱ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,AD＝5,AC＝8,BD＝6. ①求证:▱ABCD是菱形; 点击返回目录页 解: (2)①证明:∵四边形ABCD为平行四边形,AC＝8,BD＝6,∴OA＝AC＝4,OD＝BD＝3. ∵AD＝5,42＋32＝52, ∴OA2＋OD2＝AD2, ∴∠AOD＝90°,即BD⊥AC, ∴▱ABCD是菱形. 点击返回目录页 ②延长BC至点E,连接OE交CD于点F.若∠E＝∠ACD,求 的值. 解:②. 点击返回目录页 如图,已知▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,且∠1＝∠2. 重点难点突破 菱形的性质与判定 11 (1)求证:四边形ABCD是菱形; 【我的解答】 解:(1)证明:∵在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠2＝∠ACB. ∵∠1＝∠2,∴∠1＝∠ACB,∴AB＝BC. 又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴四边形ABCD是菱形. 点击返回目录页 12 (2)如图②,E为AD上一点,连接BE交AC于F,且AE＝AF.若AE＝3,AB＝5,求四边形ABCD的面积; 点击返回目录页 【我的解答】 解: (2)∵AD∥BC,AE＝AF＝3, ∴∠AEF＝∠AFE＝∠CFB＝∠CBF,∴CF＝BC. ∵四边形ABCD是菱形,∴CF＝BC＝AB＝5,OC＝AC,BD⊥AC,∴AC＝AF＋CF＝8,∴OC＝AC＝4, ∴在Rt△OBC中,OB＝＝3. 故四边形ABCD的面积为2×AC·OB＝24. 点击返回目录页 (3)如图③,过点A作AG⊥BC,交CB的延长线于点G.若OB＝3,OC＝4,求BG的长; 点击返回目录页 【我的解答】 解: (3)∵在菱形ABCD中,BD⊥AC,OB＝3,OC＝4, ∴在Rt△OBC中,BC＝＝5. ∵AG⊥BC,∴∠AGC＝∠BOC＝90°. 又∵∠BCO＝∠ACG,∴△OBC∽△GAC, ∴,即,解得GC＝6.4, ∴BG＝GC－BC＝1.4. 点击返回目录页 (4)如图④,H为线段AC上一动点,过点H作AD,CD的垂线,分别交AD,CD于点M,N.在点H的运动过程中,HM＋HN的值是否发生变化?请说明理由; 点击返回目录页 【我的解答】 解: (4)HM＋HN的值不发生变化.理由如下: 如图,连接DH. ∵HM⊥AD,HN⊥CD, ∴S△ACD＝S△ADH＋S△CDH＝AD·HM ＋CD·HN. 点击返回目录页 ∵四边形ABCD为菱形,∴AD＝CD, ∴S△ACD＝CD·HM＋CD·HN＝CD·(HM＋HN). ∵S△ACD和CD的值为定值,∴HM＋HN的值也为定值. 故HM＋HN的值不发生变化. 点击返回目录页 (5)如图⑤,P为CB上一点,Q为AC上一动 点,连接PQ,BQ.若AD＝2OD＝4,CP＝1, 求PQ＋BQ的最小值. 解: (5)PQ＋BQ的最小值为. 【我的解答】 点击返回目录页 1.如右图,在四边形ABCD中,∠ABC ＝∠ADC,BD,DB分别平分∠ABC, ∠ADC,AC与BD相交于点O.求证: 四边形ABCD是菱形. 以下是某同学的证明过程: 证明:∵∠ABC＝∠ADC,BD,DB分别平分∠ABC与∠ADC, ∴∠ADB＝∠CBD＝∠ABD＝∠CDB,① ∴AD∥BC,AB∥DC, 中考热身训练 21 ∴四边形ABCD是平行四边形,② ∴OA＝OC. 又∵∠ABD＝∠CBD,OB＝OB, ∴△ABO≌△CBO,③ ∴AB＝CB, ∴四边形ABCD是菱形.④ (1)上面的证明过程从第_________(填序号)步开始出现了错误, 错误的理由是____________________________________;  ③ 根据“SSA”不能证明两个三角形全等 点击返回目录页 22 (2)请你写出正确的证明过程. 证明:(2)∵∠ABC＝∠ADC,BD,DB分别平分∠ABC与∠ADC,∴∠ADB＝∠CBD＝∠ABD＝∠CDB, ∴AD∥BC,AB∥DC,AB＝AD,∴四边形ABCD是平行四边形.∵AB＝AD,∴四边形ABCD是菱形. 点击返回目录页 2.如右图,已知△ABC中,D是BC边上 一点,过点D分别作DE∥AC交AB于 点E,作DF∥AB交AC于点F,连接AD. (1)有下列条件:①D是BC边的中点;②AD是△ABC的角平分线; ③点E与点F关于直线AD对称. 从中选择一个能证明四边形AEDF是菱形的条件,并写出证明 过程; 点击返回目录页 解:(1)示例:选择条件②. 证明:∵AD是△ABC的角平分线, ∴∠EAD＝∠FAD. ∵DE∥AC,DF∥AB, ∴四边形AEDF是平行四边形,∠EAD＝∠FDA, ∴∠FDA＝∠FAD, ∴AF＝DF, ∴平行四边形AEDF是菱形. 点击返回目录页 (2)若四边形AEDF是菱形,且AE＝4,CF＝2,求BE的长. 解: (2)∵四边形AEDF是菱形,AE＝4, ∴AE＝AF＝DE＝4, ∴AC＝AF＋CF＝6. ∵DE∥AC,∴△BDE∽△BCA, ∴,即, ∴BE＝8. 点击返回目录页 集训本 27 本课结束 THANK YOU ! 28 $$