技巧专题三 与角平分线有关的辅助线的作法(课件PPT)-【学海风暴·PK中考】2025江西中考数学备考集训本

第四单元 三角形 数学·江西中考 授课人：XXXX 技巧专题三　 与角平分线有关的辅助线的作法 YUHENG 如下图,若OP是∠AOB的平分线,PE⊥OA,可过点P作PF⊥OB,则可用结论有(1)PF＝PE;(2)△OPF≌△OPE;(3)OF＝OE. 点在平分线,可作垂两边 1.如图,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,延长CD至点E,使DE＝CD,连接BE.若AC＝2BC,△BDE的面积为2,则△ABC的面积是__________.  12 2.如右图,在四边形ABDC中,AD平分∠BAC, ∠ABD＋∠ACD＝180°,∠ABD＜90°. 求证:CD＝BD. 证明:如图,过点D分别作DE⊥AB于点E, DF⊥AC,交AC的延长线于点F. ∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE＝DF,∠DEB＝∠DFC＝90°. ∵∠B＋∠ACD＝180°, ∠ACD＋∠DCF＝180°, ∴∠B＝∠DCF. 在△BDE和△CDF中, ∴△BDE≌△CDF(AAS), ∴CD＝BD. 3.如右图,BD是△ABC的外角∠ABE的平分 线,且AD＝CD,DF⊥CE于点F.若AB＝8,BC ＝6,求BF的长. 解:如图,过点D作DG⊥AB于点G. ∵BD平分∠ABE,DF⊥CE,DG⊥AB, ∴∠DBF＝∠DBG,DF＝DG. 在△DBF和△DBG中, ∴△DBF≌△DBG(AAS),∴BF＝BG. 在Rt△DFC和Rt△DGA中, ∴Rt△DFC≌Rt△DGA(HL), ∴CF＝AG,∴BC＋BF＝AB－BG, 即6＋BF＝8－BF,解得BF＝1. 4.如右图,在四边形ABCD中,∠ABC＝∠ADC ＝90°,BD平分∠ABC.若AB＋BC＝8,求四边 形ABCD的面积. 解:如图,过点D作DE⊥BA,交BA的延长线于 点E,过点D作DF⊥BC于点F, 则∠E＝∠DFB＝∠DFC＝90°. ∵∠ABC＝90°, ∴四边形EBFD是矩形, ∴∠EDF＝90°. ∵BD平分∠ABC, ∴DE＝DF, ∴矩形EBFD是正方形. ∵∠ADC＝90°, ∴∠EDA＋∠ADF＝∠FDC＋∠ADF, ∴∠EDA＝∠FDC, ∴△EDA≌△FDC(ASA), ∴S△EDA＝S△FDC,EA＝FC. ∵AB＋BC＝8,∴BE＋BF＝8. ∵四边形EBFD是正方形, ∴BE＝BF＝4, ∴S四边形ABCD＝S正方形EBFD＝4×4＝16. 如右图,若OP为∠AOB的平分线,可分别 在OB,OA上取OF,OE,使OF＝OE,则可 用结论有(1)△OPF≌△OPE;(2)PF＝PE; (3)∠OEP＝∠OFP;(4)∠OPE＝∠OPF. 角边相等,可造全等 5.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,∠C＝2∠CDB.若AB＝ 12,CD＝3,则△ABC的周长为(　　) A.21 B.24 C.27 D.30 C 6.如右图,在△ABC中,∠C＝2∠B,∠1＝∠2.求 证:AB＝AC＋CD. 证明:如图,延长AC至点E,使AE＝AB,连接DE. ∵∠1＝∠2,AD＝AD, ∴△ABD≌△AED(SAS), ∴∠B＝∠E. ∵∠ACB＝2∠B, ∴∠ACB＝∠E＋∠CDE＝2∠E, ∴∠CDE＝∠E,∴CD＝CE, ∴AB＝AE＝AC＋CE＝AC＋CD. 7.如右图,AD是△ABC的外角∠CAE的平分线, P是AD上异于点A的任意一点,试比较PB＋PC 与AB＋AC的大小,并说明理由. 解:PB＋PC＞AB＋AC. 理由:如图,在AE上取一点F,使AF＝AC. ∵AD平分∠CAE,∴∠CAP＝∠FAP. 在△CAP和△FAP中, ∴△CAP≌△FAP(SAS), ∴PC＝PF,∴PB＋PC＝PB＋PF. ∵PB,PF,BF是△BPF的三边,且BF＝AB＋AF, ∴PB＋PF＞AB＋AF,即PB＋PC＞AB＋AC. 8.如右图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分 线BD,CE分别交AC,AB于点D,E,BD,CE交于 点O.若∠A＝60°,求证:BC＝BE＋CD. 证明:如图,在BC上取一点F,使BF＝BE,连接OF. ∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB, ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC,∠ACE＝ ∠BCE＝∠ACB. ∵∠A＝60°, ∴∠CBD＋∠BCE＝∠ABC＋∠ACB＝(∠ABC＋∠ACB)＝×(180°－∠A)＝60°, ∴∠BOC＝180°－(∠CBD＋∠BCE)＝120°,∠BOE＝∠COD＝∠CBD＋∠BCE＝60°. 在△BOE和△BOF中, ∴△BOE≌△BOF(SAS), ∴∠BOE＝∠BOF＝60°, ∴∠COF＝∠BOC－∠BOF＝60°, ∴∠COF＝∠COD. 在△COF和△COD中, ∴△COF≌△COD(ASA), ∴CD＝CF, ∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD. 如右图,若OP是∠AOB的平分线,可过点P 作PE∥OB,PF∥OA,分别交OA,OB于点E, F,则可用结论有(1)△OEP是等腰三角形; (2)△OFP是等腰三角形. 平分加平行,可得等腰形 9.如右图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是边CD 上一点,且AE平分∠BAD,BE平分∠ABC.求证: E是线段CD的中点. 证明:如图,延长AD,BE交于点F. ∵AD∥BC,BE平分∠ABC, ∴∠AFB＝∠FBC＝∠ABF, ∴AB＝AF. ∵AE平分∠BAD, ∴BE＝EF. ∵∠DEF＝∠CEB, ∴△DEF≌△CEB(ASA), ∴DE＝CE, ∴E是线段CD的中点. 10.如右图,已知:在四边形ABCD中,AB∥ CD,CB⊥AB于点B,CE⊥AD交AD的延长 线于点E,且CE＝CB.求证:AD＝CD. 证明:∵CB⊥AB,CE⊥AE,CE＝CB, ∴AC平分∠EAB,∴∠DAC＝∠CAB. ∵AB∥CD,∴∠DCA＝∠CAB, ∴∠DAC＝∠DCA,∴AD＝CD. 如图,若OP是∠AOB的平分线,EP⊥OP,可延长EP交OB于点F,则可用结论有(1)△EOF是等腰三角形;(2)PE＝PF. 平分加垂线,补得等腰现 11.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,BE⊥AD于点E,则 ∠ABE,∠DBE,∠C之间的数量关系是____________________.  ∠ABE＝∠DBE＋∠C 12.如右图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC ＝90°,AB＝AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD交 BD的延长线于点E.求证:BD＝2CE. 证明:如图,延长BA,CE,交于点F. ∵∠BAC＝90°, ∴∠CAF＝90°, ∠ABD＋∠ADB＝90°. ∵CE⊥BD, ∴∠CEB＝90°, ∴∠EDC＋∠DCE＝90°. ∵∠ADB＝∠EDC, ∴∠ABD＝∠DCE. 在△ABD和△ACF中, ∴△ABD≌△ACF(ASA), ∴BD＝CF. ∵BE平分∠ABC,且BE⊥CE, ∴EF＝CE, ∴CF＝2CE, 即BD＝2CE. 本课结束 THANK YOU ! 27 $$