第4讲 函数的综合(课件PPT)-【学海风暴·PK中考】2025江西中考数学备考集训本

第三单元 函数及其图象 数学·江西中考 授课人：XXXX 第4讲　函数的综合 YUHENG 目录 集训本 温馨提示：点击相应文字即可跳转到相应页面 江西真题体验 3 1.(2023江西)综合与实践 【问题提出】 某兴趣小组开展综合实践活动:在Rt△ABC中,∠C＝90°,D为AC上一点,CD＝,动点P以每秒1个单位的速度从点C出发,在三角形边上沿C→B→A匀速运动,到达点A时停止,以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为t s,正方形DPEF的面积为S,探究S与t的关系. 江西真题体验 函数与几何图形综合(10年2考) 4 【初步感知】 (1)如图①,当点P由点C运动到点B时. ①若t＝1,则S＝________;  ②S关于t的函数解析式为___________.  3 S＝t2＋2 点击返回目录页 5 (2)当点P由点B运动到点A时,经探究发现S是关于t的二次函数,并绘制成如图②所示的图象.请根据图象信息,求S关于t的函数解析式及线段AB的长; 解:(2)由题图②可知,当点P运动到点B时,S＝6. 将S＝6代入S＝t2＋2,得6＝t2＋2,解得t1＝2,t2＝－2(不合题意,舍去). ∵题图②中函数图象的顶点坐标为(4,2), 点击返回目录页 ∴当点P由点B运动到点A时,可设S关于t的函数解析式为S＝a(t－4)2＋2. 将(2,6)代入,得6＝a(2－4)2＋2,解得a＝1. 故S关于t的函数解析式为S＝(t－4)2＋2. 由题图②可知,当点P运动到点A时,S＝18. 令18＝(t－4)2＋2,解得t3＝8,t4＝0(不合题意,舍去),∴AB＝(8－2)×1＝6. 点击返回目录页 【延伸探究】 (3)若存在3个时刻t1,t2,t3(t1＜t2＜t3)对应的正方形DPEF的面积均相等. ①t1＋t2＝________;  4 点击返回目录页 ②当t3＝4t1时,求正方形DPEF的面积. 解: (3)②如图,根据二次函数图象的对称性可 知,t2＋t3＝8. 由(3)①可知,t1＋t2＝4, ∴t3－t1＝4. 又∵t3＝4t1,∴4t1－t1＝4,解得t1＝. 故此时正方形DPEF的面积S＝. 点击返回目录页 2.(2021江西)二次函数y＝x2－2mx的图象交x轴于原点O及点A. 【感知特例】 (1)当m＝1时,如图①,抛物线L:y＝x2－2x上的点B,O,C,A,D关于点A中心对称的点分别为B',O',C',A',D',如下表: 函数与新定义综合(10年3考) … B(－1,3) O(0,0) C(1,－1) A(____,____)  D(3,3) … … B'(5,－3) O'(4,0) C'(3,1) A'(2,0) D'(1,－3) … ①补全表格; 2 0 点击返回目录页 ②在图①中描出表中对称后的点,再用平滑的曲线依次连接各点,得到的图象记为L'. 解:(1)②所画图象如图所示. 点击返回目录页 11 【形成概念】 我们发现形如(1)中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称,则称L'是L的“孔像抛物线”.例如,当m＝－2时,图②中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”. 点击返回目录页 【探究问题】 (2)①当m＝－1时,若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小,则x的取值范围为________________;  ②在同一平面直角坐标系中,当m取不同的值时,通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y＝x2－2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点,这条抛物线的解析式可能是________(填“y＝ax2＋bx＋c”或“y＝ax2＋bx”或“y＝ax2＋c”或“y＝ax2”,其中abc≠0);  －3≤x≤－1 y＝ax2 点击返回目录页 ③若二次函数y＝x2－2mx的图象及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点,求m的值. 解: (2)③y＝x2－2mx＝(x－m)2－m2,顶点坐标为(m,－m2),其“孔像抛物线”为y＝－(x－3m)2＋m2,顶点坐标为(3m,m2),该抛物线与其“孔像抛物线”的公共点为(2m,0), ∴二次函数y＝x2－2mx的图象及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点时,有以下三种情况: 点击返回目录页 ①直线y＝m经过(m,－m2), ∴m＝－m2, 解得m1＝－1,m2＝0(不合题意,舍去); ②直线y＝m经过(3m,m2), ∴m＝m2, 解得m1＝1,m2＝0(不合题意,舍去); ③直线y＝m经过(2m,0), ∴m＝0(不合题意,舍去). 综上所述,m的值为±1. 点击返回目录页 3.(2020江西)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表: 函数与动点综合(10年1考) x … －2 －1 0 1 2 … y … m 0 －3 n －3 … (1)根据以上信息可知,抛物线开口向________,对称轴为______ _________;  上 直线 x＝1 点击返回目录页 (2)求抛物线的表达式及m,n的值; 解:(2)把(－1,0),(0,－3),(2,－3)代入y＝ax2＋bx＋c, 得 ∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－3. 当x＝－2时,m＝4＋4－3＝5; 当x＝1时,n＝1－2－3＝－4. 点击返回目录页 (3)请在图中画出所求的抛物线.设P为抛物线上的动点,OP的中点为P',描出相应的点P',再把相应的点P'用平滑的曲线连接起来,猜想该曲线是哪种曲线; 点击返回目录页 解: (3)如图①. 该曲线是抛物线. 点击返回目录页 (4)设直线y＝m(m＞－2)与抛物线及(3)中的点P'所在曲线都有两个交点,交点从左到右依次为A1,A2,A3,A4.请根据图象直接写出线段A1A2,A3A4之间的数量关系. 解: (4)如图②. A3A4－A1A2＝1. 点击返回目录页 4.(2019江西)数学活动课上,张老师引导同学们进行如下探究: 如图①,将长为12 cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面的直尺FO的边沿上,一端A固定在桌面上,图②是示意图. 函数与新函数综合(10年1考) 点击返回目录页 活动一 如图③,将铅笔AB绕端点A顺时针旋转,AB与OF交于点D,当旋转至水平位置时,铅笔AB的中点C与点O重合. (1)设CD＝x cm,点B到OF的距离GB＝y cm. ①用含x的代数式表示:AD的长是________cm, BD的长是________cm;  ②y与x之间的函数关系式是__________,自变 量x的取值范围是____________.  (6＋x) (6－x) y＝ 0≤x≤6 点击返回目录页 活动二 (2)①列表:根据(1)中所求函数关系式计算并补全表格; x/cm 6 5 4 3.5 3 2.5 2 1 0.5 0 y/cm 0 0.55 1.2 1.58 2.47 3 4.29 5.08 2 6 点击返回目录页 ②描点:根据表中数值,在图④中继续描出①中剩余的两个点(x,y); ③连线:在图④中,请用平滑的曲线画 出该函数的图象. 解:(2)②如图所示. ③如图所示. 点击返回目录页 24 (3)请你结合函数的图象,写出该函数的两条性质. 解: (3)示例:性质可从图象位置、增减性、最值三个角度入手. ①从位置角度:当0≤x≤6时,该函数图象在第一象限; 当0≤x≤6时,图象与坐标轴有两个交点; ②从增减性角度:当0≤x≤6时,y随x增大而减小; ③从最值角度:当x＝6时,y取到最小值0(写出任意两条即可). 点击返回目录页 5.(2016江西)设抛物线的解析式为y＝ax2,过点B1(1,0)作x轴的垂线,交抛物线于点A1(1,2);过点B2作x轴的垂线,交抛物线于点A2;……;过点Bn(n为正整数)作x轴的垂线,交抛物线于点An,连接AnBn＋1,得Rt△AnBnBn＋1. 函数与图形规律综合(10年3考) 点击返回目录页 (1)求a的值; (2)直接写出线段AnBn,BnBn＋1的长(用含n的式子表示); 解:(1)∵点A1(1,2)在抛物线y＝ax2上, ∴a＝2. (2)AnBn＝. 点击返回目录页 (3)在系列Rt△AnBnBn＋1中,探究下列问题: ①当n为何值时,Rt△AnBnBn＋1是等腰直角三角形? 解: (3)①由Rt△AnBnBn＋1是等腰直角三角形,得AnBn＝BnBn＋1,则, ∴2n－3＝n,解得n＝3, ∴当n＝3时,Rt△AnBnBn＋1是等腰直角三角形. 点击返回目录页 ②设1≤k＜m≤n(k,m均为正整数),问:是否存在Rt△AkBkBk＋1与Rt△AmBmBm＋1相似?若存在,求出其相似比;若不存在,请说明理由. 解:②存在.依题意,得∠AkBkBk＋1＝∠AmBmBm＋1＝90°. 分以下两种情况讨论: 当Rt△AkBkBk＋1∽Rt△AmBmBm＋1时, , ∴k＝m(不合题意,舍去); 点击返回目录页 当Rt△AkBkBk＋1∽Rt△Bm＋1BmAm时, , ∴, ∴k＋m＝6. ∵1≤k＜m≤n(k,m均为正整数), ∴ 点击返回目录页 当k＝1,m＝5时,Rt△A1B1B2∽Rt△B6B5A5, 相似比为＝64; 当k＝2,m＝4时,Rt△A2B2B3∽Rt△B5B4A4, 相似比为＝8. 故存在Rt△AkBkBk＋1与Rt△AmBmBm＋1相似,其相似比为64∶1或8∶1. 点击返回目录页 6.(2017江西)已知抛物线C1:y＝ax2－4ax－5(a＞0). (1)当a＝1时,求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴; 函数与图形变换综合(10年2考) 解:(1)当a＝1时,抛物线C1:y＝x2－4x－5. 令y＝0,则x2－4x－5＝0, 解得x1＝－1,x2＝5, ∴抛物线C1与x轴的交点坐标为(－1,0),(5,0), 对称轴为直线x＝2. 点击返回目录页 (2)①试说明无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点,并求出这两个定点的坐标; 解: (2)①由抛物线C1:y＝ax2－4ax－5(a＞0)可得, 对称轴为直线x＝＝2. 令x＝0,则y＝－5, ∴抛物线C1过定点(0,－5). 由抛物线的对称性可知,(0,－5)关于直线x＝2的对称点为(4,－5), ∴无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点(0,－5)和(4,－5). 点击返回目录页 ②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折,得到抛物线C2,直接写出C2的表达式. 解:②y＝－ax2＋4ax－5〔或y＝－a(x－2)2＋4a－5〕. 点击返回目录页 (3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,求a的值. 解: (3)当x＝2时,y＝－ax2＋4ax－5＝4a－5, ∴抛物线C2的顶点坐标为(2,4a－5). 当顶点到x轴的距离为2时,|4a－5|＝2, 解得a1＝. 点击返回目录页 7.(2024江西)如下图,一小球从斜坡O点以一定的方向弹出,球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2＋bx(a＜0)的图象刻画,斜坡可以用一次函数y＝x的刻画,小球飞行的水平距离x(单位:m)与小球飞行的高度y(单位:m)的变化规律如下表: 抛物线型问题探究(10年2考) x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … (1)①m＝________,n＝________;  3 6 点击返回目录页 ②小球的落点是A,求点A的坐标. 解:(1)②由题意可得,抛物线的顶点坐标为(4,8). 设y＝a(x－4)2＋8,将(2,6)代入,得a(2－4)2＋8＝6,解得a＝, ∴y＝(x－4)2＋8, 即y＝x2＋4x. 点击返回目录页 联立解析式,得 解得 ∴点A的坐标是. 点击返回目录页 (2)小球飞行高度y与飞行时间t(单位:s)满足关系:y＝－5t2＋vt. ①小球飞行的最大高度为________m;  ②求v的值. 解: (2)②y＝－5t2＋vt＝－5, 则＝8, 解得v＝4(负值已舍去). 8 点击返回目录页 本课结束 THANK YOU ! 40 $$