第2讲 课题1 一次函数的图象与性质(课件PPT)-【学海风暴·PK中考】2025江西中考数学备考集训本

第三单元 函数及其图象 课题1　一次函数的图象与性质 数学·江西中考 授课人：XXXX 第2讲　函数的图象与性质 YUHENG 中考考点讲解 目录 重点难点突破 集训本 温馨提示：点击相应文字即可跳转到相应页面 江西真题体验 中考热身训练 3 中考考点讲解 三大函数的图象与性质 函数解析式的确定 函数图象的平移、对称 函数的图象与性质 用待定系数法求函数解析式 k的几何意义 平移 对称 轴对称 关于某点对称 4 三大函数的图象与性质 函数 一次函数 反比例函数 二次函数 解析式 y＝kx＋b(k≠0) y＝(k≠0) y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 图象 直线 双曲线,与坐标轴没有交点 抛物线 自变量的 取值范围 全体实数 x≠0的一切实数 全体实数 点击返回目录页 5 三大函数的图象与性质 图象的 位置 k＞0 k＜0 k＞0 k＜0 a＞0 a＜0 b＞0 b＜0 b＞0 b＜0                 过第 一、二、 三象限 过第 一、三、 四象限 过第 一、二、 四象限 过第 二、三、 四象限 图象在第一、三象限内 图象在第二、四象限内 对称轴:直线 x＝－; 顶点坐标: 关于直线y＝x,y＝－x成轴对称;关于坐标原点成中心对称 点击返回目录页 6 三大函数的图象与性质 性质 y随x的增大 而增大 y随x的增大 而减小 在每个象限 内,y随x的增大而减小 在每个象限 内,y随x的增大而增大 当x＜－时,y随x的增大而减小;当x＞－时,y随x的增大而增大 当x＜－时,y随x的增大而增大;当x＞ －时,y随x的增大而减小 抛物线有最低点,当x＝－时, y最小值＝ 抛物线有最高点,当x＝－时,y最大值＝ 点击返回目录页 7 对于两个一次函数y1＝k1x＋b1和y2＝k2x＋b2:(1)若两个一次函数图象平行,则k1＝k2且b1≠b2;(2)若两个一次函数图象垂直,则k1·k2＝－1 三大函数的图象与性质 与坐 标轴 交点 坐标 与x轴交点坐标为, 与y轴交点坐标为(0,b) 与坐标轴无交点,但图象无限接近坐标轴 1.与x轴交点通过判别式判断:(1)当b2－4ac＞0时,与x轴有两个交点;(2)当b2－4ac＝0时,与x轴有唯一的交点(顶点);(3)当b2－4ac＜0时,与x轴没有交点. 2.与y轴交点坐标为(0,c) 知识拓展 点击返回目录页 8 用待定系数法求函数解析式   一次函数 反比例函数 二次函数 设 设y＝kx＋b (k≠0) 设y＝ (k≠0) 一般式:设y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 交点式:设y＝a(x－x1)(x－x2)〔a≠0,已知(x1,0),(x2,0)〕 顶点式:设y＝a(x－h)2＋k〔a≠0,已知顶点(h,k)〕 找 两点 一点 三点 一个点(不与解析式中的点重合) 注:解析式中含有几个未知数,则需要找几个点 代 将点的坐标代入函数解析式中 解 解方程(组),求系数值 还原 将所求得的系数值代入函数解析式中 点击返回目录页 9 k的几何意义:如图,在反比例函数y＝(k为常数,k≠0)的图象上任取一点P(a,b),过这一点分别作x轴、y轴的垂线PM,PN,两条垂线与坐标轴围成的矩形PMON的面积S＝|ab|＝|k|. 点击返回目录页 平 移 平移方式(m＞0,n＞0) 一次函数y＝kx＋b(k≠0) 二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 向左平移m个单位 y1＝k(x＋m)＋b y1＝a(x－h＋m)2＋k 向右平移m个单位 y2＝k(x－m)＋b y2＝a(x－h－m)2＋k 向上平移n个单位 y3＝kx＋b＋n y3＝a(x－h)2＋k＋n 向下平移n个单位 y4＝kx＋b－n y4＝a(x－h)2＋k－n 口诀 左加右减,上加下减,实质上是函数图象上点的整体平移 平移后,一次函数解析式中k不变,二次函数解析式中a不变 知识拓展 点击返回目录页 轴 对 称 变换方式 一次函数y＝kx＋b(k≠0) 二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 关于x轴 对称 y1＝－kx－b   y1＝－a(x－h)2－k   关于y轴 对称 y2＝－kx＋b y2＝a(x＋h)2 ＋k 关于y＝m 对称 y3＝－kx＋2m－b y3＝－a(x－h)2＋2m－k 二次函数图象关于平行于x轴的直线对称,a变为相反数,关于平行于y轴的直线对称,a不变 知识拓展 点击返回目录页 关于某点对称 变换方式 一次函数y＝kx＋b(k≠0) 二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 关于原点对称 y1＝kx－b   y1＝－a(x＋h)2－k   关于点(m, n)对称 y2＝kx－b－ 2mk＋2n y2＝－a(x＋h－2m)2－k＋2n 一次函数图象关于原点对称相当于沿y轴平移,关于任意一点对称,k不变;二次函数图象关于任意一点对称后的a变为相反数 知识拓展 点击返回目录页 1.(2014江西)直线y＝x＋1与y＝－2x＋a的交点在第一象限,则a 的取值可以是(　　) A.－1 B.0 C.1 D.2 江西真题体验 一次函数的图象和性质(10年1考) D 14 2.(2020江西)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y＝x2－2x－3与y轴交于点A,与x轴正半轴交于点B,连接AB.将Rt△OAB向右上方平移,得到Rt△O'A'B',且点O',A'落在抛物线的对称轴 上,点B'落在抛物线上,则直线A'B'的表达式为(　　) A.y＝x B.y＝x＋1 C.y＝x＋ D.y＝x＋2 确定一次函数的解析式(10年7考) B 点击返回目录页 3.(2019江西)如下图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为,,连接AB,以AB为边向上作等边三角形ABC. 点击返回目录页 (1)求点C的坐标; 解：(1)如图,过点B作BH⊥x轴于点H. ∵点A的坐标为, ∴由勾股定理,得AB＝＝2. ∵BH＝1,∴sin∠BAH＝,∴∠BAH＝30°. ∵△ABC为等边三角形,∴AB＝AC＝2,∠CAB＝60°, ∴∠CAB＋∠BAH＝∠CAH＝90°, ∴点C的坐标为. 点击返回目录页 (2)求线段BC所在直线的解析式. 解：(2)由(1)知,点C的坐标为.设线段BC所在直线的解析式为y＝kx＋b. 将点B,C的坐标分别代入, 得 故线段BC所在直线的解析式为y＝－. 点击返回目录页 已知函数y＝(3m－2)x＋m＋1,请回答下列问题： (1)若该函数是正比例函数,则m＝_____________;  (2)若该函数的图象经过点(－2,－5). ①m的值为_____________;  ②当点(x1,7),(x2,9)在该函数的图象上时,x1_____________x2(填 “＞”“＜”或“＝”).  重点难点突破 一次函数的图象与性质 －1 2 ＜ 19 (3)中考新方向·北师八上第88页题5变式 若该函数的函数值y随 着自变量x的增大而减小,则m的取值范围为____________;  (4)若m＜－2,则该函数的图象大致是________(填序号);  m＜ ④ 点击返回目录页 20 (5)若该函数的图象平行于直线y＝4x－4,则m的值为_________;  (6)若该函数的图象向上平移3个单位长度后经过点(1,－10),则m的值为_____________;  (7)若该函数的图象与x轴的交点A的横坐标为－2,则该函数的图象与y轴的交点B的坐标为_____________,△AOB的面积为________;  (8)该函数的图象经过的定点坐标为_____________.  2 －3 (0,2) 2 点击返回目录页 【解题点拨】结合正比例函数的概念、一次函数的图象与性质、同一平面直角坐标系中的两条直线的位置关系和一次函数图象平移的规律等相关知识进行解答即可. 点击返回目录页 已知直线l1：y＝－x＋3分别与x轴、y轴交于 点A,B,直线l2过点A,与y轴的交点为C,且与直 线l1垂直. (1)如图①,求直线l2的解析式; 【解题点拨】(1)由y＝－x＋3可得出OA,OB的长,再由∠BAC＝90°,得∠OAB＝∠OCA,再根据∠OAB和∠OCA的三角函数值得出OC的长,从而得出点C的坐标,据此即可求出l2的解析式. 一次函数的综合 点击返回目录页 【我的解答】 解：(1)将x＝0代入y＝－x＋3,得y＝3, ∴B(0,3),∴OB＝3. 将y＝0代入y＝－x＋3,得x＝4, ∴A(4,0),∴OA＝4. ∵l1⊥l2,∴∠BAC＝90°,∴∠OAB＋∠OAC＝90°. ∵∠OAC＋∠OCA＝90°,∴∠OAB＝∠OCA, 点击返回目录页 ∴tan∠OCA＝tan∠OAB,即, ∴. 设直线l2的解析式为y＝kx＋b. 将 ∴直线l2的解析式为y＝. 点击返回目录页 25 (2)如图②,D为直线l2上一点,连接BD.当 BD平分∠ABC时,求直线BD的解析式(链 接2016年江西中考第15题); 【解题点拨】(2)由角平分线的性质构造全 等三角形,从而得出点D的纵坐标,然后代 入l2的解析式求出点D的坐标,据此即可求 出直线BD的解析式. 点击返回目录页 【我的解答】 解：(2)如图①,过点D作DM⊥BC,垂足为M. ∵OA＝4,OB＝3, ∴AB＝＝5. ∵BD平分∠ABC,∴DM＝DA. 在Rt△BDM和Rt△BDA中, ∴Rt△BDM≌Rt△BDA(HL), ∴BM＝BA＝5,∴OM＝2,∴M(0,－2). 点击返回目录页 27 将y＝－2代入y＝＝－2, 解得x＝. 设直线BD的解析式为y＝mx＋n. 将(0,3), 解得 ∴直线BD的解析式为y＝－2x＋3. 点击返回目录页 (3)直线l2上是否存在一点E,使△BCE是等腰三角形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由. 【解题点拨】(3)分三种情况讨论：①当BC＝CE时,过点E作EP⊥y轴,交y轴于点P.根据△ACB≌△PCE得出PE的长,从而求出点E的坐标;②当BE＝CE时,过点E作EQ⊥y轴,交y轴于点Q,根据等腰三角形的“三线合一”性质得到点E的纵坐标,再代入l2的解析式,即可求出点E的坐标;③当BC＝BE时,过点E作EM⊥x轴,交x轴于点M,根据△AOC≌△AME,求出AM,EM的长,从而求出点E的坐标. 点击返回目录页 【我的解答】 解：(3)存在. 分三种情况讨论： ①当BC＝CE时,过点E作EP⊥y轴,交y轴于 点P,如图②. 在△ACB和△PCE中, 点击返回目录页 ∴△ACB≌△PCE(AAS),∴PE＝AB＝5, ∴点E的横坐标为5或－5. 将x＝5代入y＝; 将x＝－5代入y＝,得y＝－12, ∴E或E(－5,－12). 点击返回目录页 ②当BE＝CE时,过点E作EQ⊥y轴,交y轴于点Q,如图③. ∵BE＝CE,EQ⊥BC,∴BQ＝CQ. ∵B(0,3),C, ∴点Q的纵坐标为, ∴Q. 将y＝－, 解得x＝. 点击返回目录页 ③当BC＝BE时,过点E作EM⊥x轴,交x轴于点M,如图④. ∵BC＝BE,BA⊥CE, ∴AC＝AE. 在△AOC和△AME中, ∴△AOC≌△AME(AAS), ∴EM＝CO＝. 综上所述,在直线l2上存在一点E,使△BCE是等腰三角形,点E的坐标为. 点击返回目录页 1. 直线y＝2x－1与y＝x＋a的交点在第三象限,则a的 取值可以是(　　) A.－2 B.－1 C. D.1 中考热身训练 A 34 2.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角 形ABO的点O是坐标原点,点A的坐标是(－8, 0),直角顶点B在第二象限,等腰直角三角形 BCD的点C在y轴上移动.我们发现直角顶点D 随之在一条直线上移动,这条直线的解析式 是(　　) A.y＝－2x＋2 B.y＝－x＋4 C.y＝－3x－4 D.y＝－x＋4 D 点击返回目录页 35 3.如下图,四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA＝5,OC＝4.在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点O落在BC边上的点E处.求： 点击返回目录页 (1)D,E两点的坐标; 解：(1)根据折叠的性质,得AE＝AO＝5,OD＝DE. 由矩形的性质,得AB＝OC＝4,BC＝AO＝5,∠B＝∠C＝90°.在Rt△ABE中,BE＝＝3, ∴CE＝BC－BE＝2,∴E(2,4). 在Rt△DCE中,DC2＋CE2＝DE2. 又∵DE＝OD,CD＝4－OD,∴(4－OD)2＋22＝OD2, 解得OD＝. 点击返回目录页 (2)过D,E两点的直线函数表达式. 解：(2)设D,E两点所在的直线函数表达式为y＝kx＋b, 则 ∴过D,E两点的直线函数表达式为y＝. 点击返回目录页 本课结束 THANK YOU ! 39 $$