第2讲 课题2 一次化：解一元二次方程(课件PPT)-【学海风暴·PK中考】2025江西中考数学备考讲练本

第2讲 课题2 一次化：解一元二次方程 授课人：XXXX 第二单元 方程（组）与不等式（组） 数学·江西中考 1 考点聚焦 强化训练 目录 考点一　一元二次方程的概念及其解法 1. 一元二次方程 (1)定义：只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程，叫做一元二次方程. (2)一元二次方程的一般形式： ，它的特征是：等式左边为一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做 ，a叫做 ；bx叫做 ，b叫做 ；c叫做 . 一个 2 整式 ax2+bx+c=0(a≠0) 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项 考点聚焦 2. 一元二次方程的解法 (1)直接开平方法 利用平方根的定义直接 求一元二次方程的解的方法，叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如 的一元二次方程.根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根， 当b≥0时，x+a=±b，x= -a±b，当b<0时，方程没有实数根. (2)配方法 配方法的理论根据是完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2，把公式中的a看作未知数x，并用x代替，则有x2±2bx+b2=(x±b)2. 开平方 (x+a)2=b 考点聚焦 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上一次项系数的一半的平方，最后配成完全平方公式. (3)公式法 公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为： 公式法的步骤：把一元二次方程的各系数分别代入求根公式，然后计算得出结果即可，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c. 考点聚焦 (4)因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的思想，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而求出方程的解的方法，它是解一元二次方程最常用的方法. 考点聚焦 公式法和因式分解法的运用技巧 (1)在解一元二次方程时，最常用到的方法是公式法和因式分解法.公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法). 在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解. (2)在运用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数. 温馨提示 考点二　一元二次方程的根的判别式 1. 根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用“Δ”来表示，即 . I. 当Δ>0时，一元二次方程有 的实数根； II. 当Δ=0时，一元二次方程有 的实数根； III. 当Δ<0时，一元二次方程 实数根. 2. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式： Δ=b2-4ac 2个不相等 2个相等 没有 考点聚焦 考点三　一元二次方程的根与系数的关系 关于x的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1x2，则x1+x2 = ，x1x2 = . 考点聚焦 考点一：一元二次方程的有关概念（意义、一般形式、根的概念等） 例1 （扬州中考）若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为　 　． 2018 解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1=0， ∴2m2﹣3m=1 ∴原式=3（2m2﹣3m）+2015=2018 故答案为：2018 强化训练 【归纳拓展】 本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为．也考查了一元二次方程的解的定义． 归纳拓展 考点二：一元二次方程的解法 解：方程变形得：x（x﹣1）=0， 可得x=0或x﹣1=0， 解得：x1=0，x2=1． 故答案为：x1=0，x2=1． 例2 （淮安中考）一元二次方程x2﹣x=0的根是　 　． x1=0，x2=1 强化训练 【归纳拓展】 方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． (1)解一元二次方程的基本思路是降次，解法包括直接开平方法、配方法、求根公式法和因式分解法四种； (2)求根公式法和因式分解法是最常用的两种方法，重点在于掌握求根公式和因式分解的方法. 归纳拓展 例3 （湘潭中考）已知关于x的一元二次方程x²-4x+c＝0有两个相等的实数根，则c ＝（ ） A.4 B.2 C.1 D.-4 考点三：根的判别式的运用 解：方程x²-4x+c＝0有两个相等的实数根， ∴△＝（-4）²-4×1×c＝16-4c＝0 解得c＝4. 故选A. A 强化训练 【归纳拓展】 一元二次方程根的情况与判别式△的关系为： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 归纳拓展 例4 （德州中考）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+2=0的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）=8，则m的值为 ． 考点四：一元二次方程的根与系数的关系 1 强化训练 解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+2=0的个两实根， ∴x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+2. ∵（x1+1）（x2+1）=8， ∴x1x2+x1+x2+1=8， ∴m2+2+2（m+1）+1=8， 解得m=1或m=-3， ∵Δ=4（m+1）2-4（m2+2）=8m-4≥0， 解得m≥ ，∴m=1. $$