第2讲 整式及因式分解（含代数式）(课件PPT)-【学海风暴·PK中考】2025江西中考数学备考讲练本

第2讲 整式及因式分解（含代数式） 授课人：XXXX 第一单元 数与式 数学·江西中考 1 考点聚焦 强化训练 目录 考点一　代数式及求值 1. 代数式：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子. 单独的 或者 也是代数式. 带有“＜(≤)”“＞(≥)”“=”“≠”等符号的不是代数式。 注意：①代数式中不能含有等于号(=)、不等号(≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯)、约等号(≈)；②可以有绝对值，如|x|，|-2.25|等. 2.代数式求值 （1）直接代入法：把已知字母的值直接带入运算； （2）整体代入法：利用提公因式法、乘法公式对所求代数式进行恒等变形来达到简化运算的目的，再代值运算。 一个数 一个字母 考点聚焦 考点二　整式的相关概念 1、整式的分类： 单项式中的 叫做单项式的系数，所有字母的 叫做单项式的次数。 组成多项式的每一个单项式叫做多项式的 ，多项式的每一项都要带着前面的符号。 数字因数 指数之和 项 考点聚焦 考点二　整式的相关概念 2、同类项： （1）定义：所含 相同，并且相同字母的 也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项。 （2）合并同类项法则：把同类项的 相加，所得的和作为合并后的 ， 不变。 字母 指数 系数 系数 字母及字母的指数 考点聚焦 1、单独的一个数字或字母都是 式。 2、判断同类项要抓住两个相同：一是 相同，二是 相同，与系数的大小和字母的顺序无关。 3、在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去括号时括号内每一项都要 。 4、在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要 。 单项 所含字母 相同字母的指数 变号 合并同类项 温馨提示 考点三　整式的运算 1、整式的加减：(1)去括号法则：a+(b+c)=a+ ,a-(b+c)=a- . (2)添括号法则：a+b+c= a+( )，a-b-c= a-( ) (3)整式加减的步骤是先 ，再 。 b+c b-c b+c b+c 去括号 合并同类项 考点聚焦 考点三 　整式的运算 2、整式的乘法： (1)单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母的幂分别 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的 作为积的一个因式。 (2)单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积 ，即m(a+b+c)= 。 (3)多项式乘以多项式：先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积 ，即（m+n）(a+b)= 。 (4)乘法公式：①平方差公式：（a＋b）（a-b）＝ ， ②完全平方公式：（a±b）2 = 。 相乘 指数 相加 ma+mb+mc 相加 ma+mb+na+nb a2-b2 a2±2ab+b2 考点聚焦 考点三　整式的运算 3、整式的除法： (1)单项式除以单项式，把 、 分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 (2)多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项 这个单项式，再把所得的商 。即（am+bm）÷m= 。 系数 同底数幂 分别除以 相加 a+b 考点聚焦 考点三　整式的运算 4、幂的运算性质： （1）同底数幂的乘法： 不变 相加，即：a m a n＝ （a＞0，m、n为整数） （2）幂的乘方： 不变 相乘，即：(a m) n ＝ （a＞0，m、n为整数） （3）积的乘方：等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂 。 即：(ab) n ＝ （a＞0，b＞0，n为整数）。 （4）同底数幂的除法: 不变 相减，即：a m÷a n＝ （a＞0，m、n为整数）。 底数 指数 a m+n 底数 指数 a mn 相乘 an bn 底数 指数 a m-n 考点聚焦 2、运用幂的性质进行运算一是要注意不要出现符号错误，(-a)n = （n为奇数），(-a)n = （n为偶数），二是应知道所有的性质都可以逆用，如:已知3m=4,2n=3,则9m8n= 。 1、两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。 -an an 432 温馨提示 考点四　因式分解 （1）把一个 式化为几个最简整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。 （2）因式分解与整式乘法是 运算。 多项 积 逆 1、因式分解的定义 考点聚焦 （1）提公因式法： 公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。 提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。 （2）运用公式法： 将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。 ①平方差公式：a2-b2= , ②完全平方公式：a2±2ab+b2= 。 考点四　因式分解 m(a+b+c) (a±b)2 (a+b)(a-b) 2、因式分解常用方法 考点聚焦 （1）提：如果多项式各项有公因式，首先要先 . （2）用：如果多项式没有公因式，即可以尝试运用 法来分解。 （3）查：分解因式必须进行到每一个因式都分解完全为止。 考点四　因式分解 3、因式分解的一般步骤 提公因式 公式 考点聚焦 1、判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式 2、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。 3、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。 4、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。 积 多项式 最大公约数 最小次幂 1 变号 温馨提示 考点一：代数式的相关概念 解：∵2xa+1y与x2yb﹣1是同类项， ∴a+1=2，b﹣1=1， 解得a=1，b=2． ∴ = ． 故选：A． 例1（包头中考）如果2xa+1y与x2yb-1是同类项，那么 的值是（　　） A. B. C.1 D．3 A 强化训练 【归纳拓展】 本题考查了同类项的定义，要注意定义中的两个“相同”： （1）所含字母相同； （2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点． 归纳拓展 考点二：整式的运算 解：∵a2+2a=1， ∴3（a2+2a）+2=3×1+2=5， 故答案为5． 例2 （岳阳中考）已知a2+2a=1，则3（a2+2a）+2的值为　 　． 5 强化训练 【归纳拓展】 本题考查了整式的化简求值，解题的关键是去括号、合并同类项，并且注意公式的使用． 归纳拓展 考点三：幂的运算 例3 （湘西中考）下列运算中，正确的是（　　） A．a2•a3=a5 B．2a﹣a=2 C．（a+b）2=a2+b2 D．2a+3b=5ab 解：A、a2•a3=a5，正确； B、2a﹣a=a，错误； C、（a+b）2=a2+2ab+b2，错误； D、2a+3b=2a+3b，错误； 故选：A． A 强化训练 考点四：完全平方公式与平方差公式 例4 (安顺中考）若x2+2（m﹣3）x+16是关于x的完全平方式，则m=　 　． 解：∵x2+2（m﹣3）x+16是关于x的完全平方式， ∴2（m﹣3）=±8， 解得：m=﹣1或7， ﹣1或7 强化训练 【归纳拓展】 在做完全平方公式相关题目时要牢记：首平方，尾平方，积的两倍在中央，同号加，异号减，结果有三项. 归纳拓展 考点五：因式分解的概念 例5 （安徽中考）下列分解因式正确的是（　　） A．﹣x2+4x=﹣x（x+4） B．x2+xy+x=x（x+y） C．x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）2 D．x2﹣4x+4=（x+2）（x﹣2） 解：A、﹣x2+4x=﹣x（x﹣4），故此选项错误； B、x2+xy+x=x（x+y+1），故此选项错误； C、x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）2，故此选项正确； D、x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故此选项错误； 故选：C． C 强化训练 考点六：因式分解 例6 （株洲中考）因式分解：a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）=　　 ． （a﹣b）（a﹣2）（a+2） 解：a2（a﹣b）﹣4（a﹣b） =（a﹣b）（a2﹣4） =（a﹣b）（a﹣2）（a+2）， 故答案为：（a﹣b）（a﹣2）（a+2）． 强化训练 【归纳拓展】 找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 归纳拓展 考点七：因式分解的应用 例7 （杭州临安区模拟）阅读下列题目的解题过程： 已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状． 解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A） ∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B） ∴c2=a2+b2 （C） ∴△ABC是直角三角形 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：　　； （2）错误的原因为：　　 ； （3）本题正确的结论为：　 ． C 没有考虑a=b的情况 △ABC是等腰三角形或直角三角形 强化训练 $$