第1讲 课题2 数的开方、二次根式及实数的大小比较（含实数的运算）(课件PPT)-【学海风暴·PK中考】2025江西中考数学备考讲练本

第1讲 课题2 数的开方、二次根式及实数的大小比较（含实数的运算） 授课人：XXXX 第一单元 数与式 数学·江西中考 1 考点聚焦 强化训练 目录 1、若x2=a ( a 0),则x 叫做a的 ，记作± ，其中正数a 的 平方根叫做a的算术平方根，记作 ，正数有 个平方根，它们互为 ，0的平方根是 ，负数______平方根。 2、若x3=a ,则x叫做a的 ，记作 ，正数有一个 的立方根，0的立方根是 ，负数 立方根。 考点一　平方根、算术平方根、立方根 ≥ 平方根 正的 两 相反数 0 没有 立方根 正 0 有一个负的 考点聚焦 平方根等于本身的数有 个，算术平方根等于本身的数有 ，立方根等于本身的数有 。 1 0,1 0，±1 温馨提示 考点二　二次根式的相关定义 二次根式的有关概念 (1)式子 (a≥0) 叫做二次根式.注意:被开方数a只能是 . (2)最简二次根式：被开方数 ，被开方数不含能 的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式. (3)同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数 的二次根式，叫做同类二次根式. 非负数 开得尽方 不含分母 相同 考点聚焦 ①二次根式 必须注意a___0这一条件，其结果也是一个非负数即： ___0 ②二次根式 （a≥0）中，a可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式 ≥ ≥ 温馨提示 考点三 　二次根式的性质及运算 ①()2= （a≥0） ②=|a|= a ③ = （a≥0 ,b≥0） ④ = (a≥0, b≥0) 考点聚焦 二次根式的性质注意其逆用：如比较2 和3 的大小，可逆用（ ）2=a(a≥0)将根号外的整数移到根号内再比较被开方数的大小. 温馨提示 被开方数相同 乘方 乘除 加减     考点聚焦 1、二次根式除法运算过程一般情况下是用“将分母中的根号化去”这一方法进行：如： = = . 2、二次根式混合运算过程要特别注意两个乘法公式的运用. 3、二次根式运算的结果一定要化成 . 最简二次根式 温馨提示 考点三　实数大小的比较 1、比较两个有理数的大小，除可以用数轴按照 的 原则进行比较以外，还有 比较法、 比较法、_______比较法等，两个负数 大的反而小。 作差法：若A-B>0，则A>B；若A-B=0，则A=B；若A-B<0，则A<B. 平方比较法：当两数大小不能直接看出时，可采用比较两数平方的方法进行判断，如和，其平方分别是18和12，就可以判定> . 作商比较法：若，则A>B；若，则A=B；若，则A<B. 2、如果几个非负数的和为零，则这几个非负数都为 。 右边的数总比左边的大 作差 平方 绝对值 0 作商 考点聚焦 考点四　实数的运算 1、基本运算：初中阶段我们学习的基本运算有 、 、 、 、 和 共六种，运算顺序是先算 ，再算 ，最后算 ，有括号时要先算 ，同一级运算，按照 的顺序依次进行。 加 减 乘 除 乘方 开方 乘方开方 乘除 加减 括号里面的 从左到右 考点聚焦 考点四　实数的运算 2、运算法则： 加法：同号两数相加，取 的符号，并把 相加，异号两数相加，取 的符号，并用较大的 减去较小数的 ，任何数同零相加仍得 。 减法，减去一个数等于 。 乘法：两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把 相乘。 除法：除以一个数等于乘以这个数的 。 乘方：(-a) 2n +1 = (-a) 2n = . 相同 绝对值 绝对值较大的加数 绝对值 绝对值 这个数 加上这个数的相反数 正 负 绝对值 倒数 -a2n+1 a2n 考点聚焦 考点四　实数的运算 3、运算定律：加法交换律：a+b= . 加法结合律：(a+b)+c= . 乘法交换律：ab= . 乘法结合律：（ab）c= . 分配律：（a+b）c= . b+a a+(b+c) ba abc ac+bc 4、零指数、负整数指数幂。 = （a≠0） a-p= （a≠0） 1 考点聚焦 1、实数的混合运算在中考考查时经常与0指数、负指数、绝对值、锐角三角函数等放在一起，计算时要注意运算顺序和运算性质。 2、注意底数为分数的负指数运算的结果，如：（）-1= . 3 < 3、比较实数的大小方法有很多，根据题目所给的实数的类型或形式可以灵活应用。如：比较 的大小，可以先确定 的取值范围，然后得出结论： . 温馨提示 考点一：二次根式有意义的条件 D 解：由题意得x+2≥0， 解得x≥﹣2． 故选：D． 例1 （苏州中考）若 在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 强化训练 【归纳拓展】 本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件的应用，注意：分式中B≠0，二次根式中a≥0． 归纳拓展 考点二：二次根式的性质 解：由数轴可得： 0＜a＜2， 则 =a+ =a+（2﹣a） =2． 故答案为：2． 2 例2 （广州中考）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a+ ＝ . 强化训练 【归纳拓展】 本题考查了二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性． 归纳拓展 考点三：二次根式的混合运算 解：原式=6 ﹣10× =6 ﹣2 =4 ， 故答案为：4 ． 4 例3 （哈尔滨中考）计算6 的结果是 . 强化训练 【归纳拓展】 二次根式的运算细则 (1)二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序相同，即先乘除，后加减，有括号的先算括号里面的.实数的各种运算定律也同样适用于二次根式的混合运算.二次根式相乘时，被开方数简单直接地让被开方数相乘，再化简，积即为最简公分母，较大的也可先化简，再相乘；二次根式相除时，可先将被开方数相除，再开根号；二次根式加减时，需先将各项化成最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并. (2)二次根式加减运算的实质是合并被开方数相同的二次根式，运算时将系数相加、减，根式保持不变；二次根式的乘除运算，是将系数相乘除，再将根式里面的数相乘除即可，同时注意运算后的结果要化为最简二次根式. 归纳拓展 考点四：与二次根式有关的求值问题 解：∵S= ] ， ∴△ABC的三边长分别为1，2， ，则△ABC的面积为： S= ] =1， 故答案为：1． 1 例4 （枣庄中考）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a,b,c，则该三角形的面积为S＝ .现已知△ABC的三边长分别为1,2， ，则 △ABC的面积为 . 强化训练 解：36＜37＜49， ∴ ＜ ＜ ，即6＜ ＜7， ∵37与36最接近， ∴与 最接近的是6． 故选：B． 考点五：实数大小的比较 B 例5 （淄博中考）与 最接近的整数是（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 强化训练 【归纳拓展】 此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 归纳拓展 解：原式=2× ﹣1+ ﹣1+2 =1+ ． 考点六：实数的混合运算 例6 （怀化中考）计算：2sin30°-（π- ）0+∣ ∣+（ ）-1. 强化训练 【归纳拓展】 本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行加减运算．也考查了配方法解一元二次方程以及阅读理解能力． 归纳拓展 例7 （石家庄高邑县一模）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，OB=3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点M、点N同时出发） （1）数轴上点B对应的数是　　． （2）经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等？ 解：（1）∵OB=3OA=30， ∴B对应的数是30． 故答案为：30． （2）设经过x秒，点M、点N分别到原点O的距离相等， 此时点M对应的数为3x﹣10，点N对应的数为2x． 30 考点七：实数综合应用 强化训练 【归纳拓展】 本题考查了数轴上的点的变化特点，结合行程问题进行思考，将点的变化与实际问题相结合，加深了学生对数学的理解. 归纳拓展 $$