13.1 三角形的概念（分层作业）数学人教版2024八年级上册

13.1 三角形的概念 1．给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．0 2．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 3．图中有　 　 个三角形，用符号表示这些三角形　 　 ． 4．如图，图中共有 　 　 个三角形，其中以AB为一边的三角形有 　 　 ，以∠C为一个内角的三角形有 　 　 ． 第3题图 第4题图 5．观察图中的三角形，把它们的标号填入相应横线上． 锐角三角形 　 　 ． 直角三角形 　 　 ． 钝角三角形 　 　 ． 6．如图所示，（1）图中有几个三角形？（2）说出△CDE的边和角．（3）AD是哪些三角形的边？∠C是哪些三角形的角？ 7．三角形中，最大的内角不能小于（　　） A．60° B．30° C．90° D．45° 8．设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． D． 9．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（　　） A．都是锐角三角形 B．都是直角三角形 C．都是钝角三角形 D．是一个锐角三角形和一个钝角三角形 10．现有若干个三角形，在它们所有的内角中，有5个直角、3个钝角、28个锐角，那么在这些三角形中，共有 　 　 个锐角三角形． 11．如图，图①中有1个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的3个顶点得到图②，图②中共有4个三角形．若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与该小三角形的3个顶点得到图③．在虚线框中画出图③，图③中共有 　 　 个三角形．（写出所有可能的值） 12．过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形； （1）其中以AB为一边可以画出 　 　 个三角形； （2）其中以C为顶点可以画出 　 　 个三角形． 13．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，试判断△ABC的形状． 14．如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形… （1）完成下表： 连接个数 出现三角形个数 （2）若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？ （3）若一直连接到An，则图中共有　 　 个三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.1 三角形的概念 1．给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．0 【分析】根据三角形的分类、三角形的三边关系进行判断． 【解答】解：（1）等边三角形是一特殊的等腰三角形，正确； （2）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误； （3）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确． 综上所述，正确的结论2个． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形．注意：等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形． 2．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形按角分类的方法一一判断即可． 【解答】解：观察图象可知：选项B，D的三角形是钝角三角形，选项C中的三角形是锐角三角形， 选项A中的三角形无法判定三角形的类型， 故选：A． 【点评】本题考查三角形的分类，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．图中有　5　 个三角形，用符号表示这些三角形　△ABE，△ADE，△CDE，△ABD，△ACD　 ． 【分析】由三角形的概念，结合图形可知，图中以E为一个顶点的三角形有△ABE、△ADE、△CDE，不以E为顶点的三角形有△ABD、△ACD，所以共有5个三角形． 【解答】解：图中有5个三角形，用符号表示这些三角形△ABE，△ADE，△CDE，△ABD，△ACD． 【点评】三条线段首尾顺次相接组成的图形是三角形． 4．如图，图中共有 　5　 个三角形，其中以AB为一边的三角形有 　△ABE、△ABD、△ABC　 ，以∠C为一个内角的三角形有 　△ABC、△EBC　 ． 【分析】根据三角形的定义分别解答即可． 【解答】解：（1）图中有：△ABE、△ADE、△BCE、△ABD、△ABC共5个； 以AB为一边的三角形有：△ABE、△ABD、△ABC， 以∠C为一内角的三角形是：△ABC、△EBC． 故答案为：5，△ABE、△ABD、△ABC，△ABC、△EBC． 【点评】本题考查了三角形，主要利用了三角形的定义，三角形的角的对边，边的对角，熟记概念并准确识图是解题的关键． 5．观察图中的三角形，把它们的标号填入相应横线上． 锐角三角形 　③⑤　 ．直角三角形 　①④⑥　 ．钝角三角形 　②⑦　 ． 【分析】分别根据三角形的分类得出答案即可． 【解答】解：锐角三角形③⑤，直角三角形①④⑥，钝角三角形②⑦． 故答案为：③⑤；①④⑥；②⑦． 【点评】此题主要考查了三角形的分类，正确判断出三角形形状是解题关键． 6．如图所示， （1）图中有几个三角形？ （2）说出△CDE的边和角． （3）AD是哪些三角形的边？∠C是哪些三角形的角？ 【分析】根据三角形的定义，三角形的边和角的定义解答即可． 【解答】解：（1）图中有：△ABD，△ADC，△ADE，△EDC，△ACB，共5个； （2）△CDE的边：CD，CE，DE， 角：∠C，∠CDE，∠DEC； （3）AD是△ADB，△ADE，△ADC的边； ∠C是△ABC，△ADC，△DEC的角． 【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的相关定义． 7．三角形中，最大的内角不能小于（　　） A．60° B．30° C．90° D．45° 【分析】根据三角形内角和定理即可解答． 【解答】解：假设三角形的最大内角小于60°，那么三角形的内角和就小于180°，与三角形内角和为180°相悖． 因此三角形中最大的内角不能小于60°． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的内角和，熟记三角形的内角和定理是解题的关键． 8．设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据它们的概念：有一个角是直角的三角形是直角三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角是直角且有两条边相等的三角形是等腰直角三角形． 根据概念就可找到它们之间的关系． 【解答】解：根据各类三角形的概念可知，A可以表示它们彼此之间的包含关系． 故选：A． 【点评】考查了三角形中各类三角形的概念，根据定义就能够找到它们彼此之间的包含关系． 9．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（　　） A．都是锐角三角形 B．都是直角三角形 C．都是钝角三角形 D．是一个锐角三角形和一个钝角三角形 【分析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形． 【解答】解：如图1，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形． 如图2，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形． 如图3，锐角三角形沿虚线剪开即可得到一个锐角三角形和一个钝角三角形． 因为剪开的边上的两个角是邻补角，不可能都是锐角，故这两个三角形不可能都是锐角三角形． 综上所述，将一个三角形剪成两三角形，这两个三角形不可能都是锐角三角形． 故选：A． 图1 图2 图3 【点评】本题主要考查了三角形的分类，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 10．现有若干个三角形，在它们所有的内角中，有5个直角、3个钝角、28个锐角，那么在这些三角形中，共有 　4　 个锐角三角形． 【分析】根据三角形的定义，先求出三角形的个数，再根据三角形的分类，即可得出锐角三角形的个数． 【解答】解：∵每个三角形有3个内角， ∴共有（5+3+28）÷3＝36÷3＝12个三角形， ∵三角形中最多只有一个直角或钝角， ∴12个三角形有5个直角三角形，3个钝角三角形， ∴共有12﹣5﹣3＝4个锐角三角形， 故答案为：4． 【点评】本题考查了三角形内角和，掌握三角形的分类是解题的关键． 11．如图，图①中有1个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的3个顶点得到图②，图②中共有4个三角形．若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与该小三角形的3个顶点得到图③．在虚线框中画出图③，图③中共有 　7或9　 个三角形．（写出所有可能的值） 【分析】根据题意画出图形即可求解． 【解答】解：如图所示，共有两种情况： ①两点不在同一直线上，分别连接三个顶点，共有7个三角形； ②两点在同一直线上，分别连接三个顶点，共有9个三角形． 故答案为：7或9． 【点评】本题考查了三角形作图，理解题意是解题的关键． 12．过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形； （1）其中以AB为一边可以画出 　3　 个三角形； （2）其中以C为顶点可以画出 　6　 个三角形． 【分析】（1）根据三角形定义，再选择一个点，然后顺次连接即可画出图形； （2）根据三角形的定义，再A、B、D、E中任意选择两个点，然后顺次连接即可画出图形． 【解答】解：（1）如图，以AB为一边的三角形有△ABC、△ABD、△ABE共3个； （2）如图，以点C为顶点的三角形有△ABC、△BEC、△BCD、△ACE、△ACD、△CDE共6个． 故答案为：（1）3，（2）6． 【点评】本题考查了三角形的定义，以及网格结构的知识，根据网格结构作出图形是解题的关键． 13．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，试判断△ABC的形状． 【分析】（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0中，（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（c﹣a）2≥0，据此可得a＝b或b＝c或a＝c，进而得出答案． 【解答】解：∵（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（c﹣a）2≥0， ∴a﹣b＝0且b﹣c＝0且c﹣a＝0， ∴a＝b，b＝c，a＝c， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形． 【点评】此题考查了平方的非负性、等边三角形的定义． 14．如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形… （1）完成下表： 连接个数 出现三角形个数 （2）若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？ （3）若一直连接到An，则图中共有　（n+1）（n+2）．　 个三角形． 【分析】（1）根据图形，可以分析：数三角形的个数，其实就是数AC上线段的个数．所以当上面有3个分点时，有6+4＝10；4个分点时，有10+5＝15；5个分点时，有15+6＝21；6个分点时，有21+7＝28；7个分点时，有28+8＝36； （2）若出现45个三角形，根据上述规律，则有8个分点； （3）若有n个分点，则有1+2+3+…+n+1（n+1）（n+2）． 【解答】解：（1） 连接个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 3 6 10 15 21 28 （2）8个点； （3）1+2+3+…+（n+1） （n+1）（n+2）． 故答案为（n+1）（n+2）． 【点评】此题注意数三角形的个数实际上就是数线段的条数．能够正确计算1+2+…+n+（n+1）（n+1）（n+2）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$