13.3.1 三角形的内角(第2课时)（教学设计）数学人教版2024八年级上册

13.3.1 三角形的内角(第二课时)教学设计 一、内容和内容解析 1. 内容 本课时主要研究直角三角形的性质与判定.性质方面，明确直角三角形的两个锐角互余，这是基于三角形内角和定理，在直角三角形这一特殊情境下的重要结论；判定方面，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形这一判定定理. 2. 内容分析 从知识体系来看，直角三角形的性质与判定是三角形内角和定理的延续与深化，是对三角形分类中直角三角形的进一步研究.它不仅为后续学习全等三角形、相似三角形等知识奠定基础，也是解决实际问题中涉及角度计算与判断的重要工具 .直角三角形的性质“两个锐角互余”体现了直角三角形内角之间的特殊数量关系，是直角三角形的重要特征之一；而判定定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”则是从角的数量关系角度，逆向判断一个三角形是否为直角三角形，实现了性质与判定的互逆转化. 基于以上分析，确定本节课的教学重点：理解并掌握直角三角形的两个锐角互余的性质，能运用该性质进行简单的角度计算和推理. 二、目标和目标解析 1. 目标 （1）理解并掌握直角三角形的两个锐角互余的性质，能运用该性质进行简单的角度计算和推理. （2）掌握有两个角互余的三角形是直角三角形的判定方法. （3）在探究性质与判定的过程中，体会数学知识的互逆性，增强逻辑推理能力和数学思维能力. 2. 目标解析 （1）学生需通过对三角形内角和定理的运用，结合直角三角形直角为90°的条件，推导出两个锐角互余的结论，并能在具体的直角三角形问题中，已知一个锐角的度数，准确求出另一个锐角的度数，或在涉及多个直角三角形的图形中，利用该性质进行角度之间的关系推导. （2）学生要理解从“直角三角形的性质”到“直角三角形的判定”的逆向思维过程，能够在给定三角形的两个角互余的条件下，迅速判定该三角形为直角三角形，并能清晰阐述判定的依据. （3）学生通过经历性质与判定的探究活动，感受数学知识之间的内在联系，体会从特殊到一般、从正向到逆向的数学思维方式，提升逻辑推理的严密性和条理性. 三、教学问题诊断分析 1. 性质理解与应用问题 学生在理解直角三角形两个锐角互余的性质时，可能存在仅记忆结论，而对其推导过程理解不深刻的问题.在应用性质时，若问题情境较为复杂，如涉及多个直角三角形组合、角度关系隐含在图形中等情况，学生可能难以准确提取有用信息，灵活运用性质进行角度计算和推理. 2. 复杂条件的转化困难 学生在面对多个条件混合的复杂问题时，可能无法理清条件之间的逻辑关系，导致解题思路混乱. 基于以上分析，确定本节课的教学难点是：运用直角三角形的性质和判定解决较复杂的几何问题. 五、教学过程设计 （一）复习引入 1. 三角形内角和定理的内容是什么？ 三角形的内角和等于180°. 2.你是怎么证明三角形内角和定理的？ 已知：∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角， 求证：∠1+∠2+∠3=180°. 证明： 过点A作BC的平行线l. ∵l∥BC， ∴∠4=∠2，∠5=∠3.(两直线平行，内错角相等) ∵∠1+∠4+∠5=180°， ∴∠1+∠2+∠3=180°. （二）合作探究 利用三角形的内角和定理，可以得到一些特殊三角形的内角的关系. 探究 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A和∠B之间有什么关系呢？ 答 由三角形的内角和定理，得： ∠A+∠B+∠C=180°， 即∠A+∠B+90°=180°， 所以∠A+∠B=90°. 也就是说，直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 思考 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由. 已知：△ABC中，∠A+∠B=90°. 求证：△ABC是直角三角形. 证明：由三角形的内角和定理，得： ∠A+∠B+∠C=180°，即90°+∠C=180°， 所以∠C=90°，即△ABC是直角三角形. 也就是说，有两个角互余的三角形是直角三角形. （三）典例分析 例3 如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E.比较∠CAE与∠DBE的大小. 解：在Rt△ACE中， ∠CAE=90°-∠AEC.(直角三角形的两个锐角互余.) 在Rt△BDE中， ∠DBE=90°-∠BED. ∵∠AEC=∠BED, ∴∠CAE=∠DBE. （四）巩固练习 1.在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.∠ACD与∠B有什么关系？为什么？ 解：∠ACD=∠B. 在Rt△ADC中， ∠ACD=90°-∠A.(直角三角形的两个锐角互余. ) 在Rt△ABC中， ∠B=90°-∠A. ∴∠ACD=∠B. 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在边AB，AC上，且∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ 解：△ADE是直角三角形.理由如下： 在Rt△ABC中， ∠A+∠2=90°.(直角三角形的两个锐角互余..) ∵∠1=∠2， ∴ ∠A+∠1=90°. ∴△ADE是直角三角形.(有两个角互余的三角形是直角三角形.) 3．一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，AD⊥AC，则∠BFD的度数为（　C　） A．45° B．60° C．75° D．80° 4．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，则结论：①∠1＝∠2；②∠2＝∠A；③DE∥BC；④∠B+∠DCE＝90°中，正确的结论为 　①②③　 （填序号）． 5．在下列条件中： ①∠A+∠B＝∠C； ②∠A：∠B：∠C＝1：2：3； ③∠A＝90°﹣∠B； ④∠A＝∠B＝2∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　C　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F． （1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数； （2）试说明：∠AEF＝∠AFE． （1）解：∵AD⊥BC， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAD＝36°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABC＝18°， ∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°； （2）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°， ∴∠AEF＝∠BFD， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠AEF＝∠AFE． （五）归纳总结 （六）感受中考 1．（2023•遂宁）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是 　直角　 三角形． 解：设这个三角形最小的内角是x°，则另外两内角的度数分别为2x°，3x°， 根据题意得：x+2x+3x＝180， 解得：x＝30， ∴3x°＝3×30°＝90°， ∴这个三角形是直角三角形． 2．（2022•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为（　A　） A．34° B．44° C．124° D．134° 3．（2023•衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（　B　） A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO 4．（杭州）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（　D　） A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45° C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90° （七）小结梳理 （八）布置作业 （1）基础性作业：习题13.3第4，10题. （2）探究性作业：搜索资料，寻找更多直角三角形的性质和证明方法. 六、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$