压轴题考点必刷练（二）（44个考点压轴练 共88题 范围：第10-12章）-2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期末高频常考题型分类培优训练

2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期末高频常考压轴题考点分类训练【2024新教材】 压轴题考点必刷练（二） （44个考点压轴练 共88题 范围：第10-12章） 同学你好，该份讲义结合最新版本课本内容设定制作，贴合书本内容。题目精选近两年全国各地常考易错真题，压轴题等重点难点题目！题目新颖，考点分类，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，按照考点划分，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 考点讲练01：与三角形中位线有关的求解问题 2 考点讲练02：与三角形中位线有关的证明 4 考点讲练03：三角形中位线的实际应用 6 考点讲练04：求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 7 考点讲练05：求使分式值为整数时未知数的整数值 8 考点讲练06：求使分式值为整数时未知数的整数值 9 考点讲练07：利用分式的基本性质判断分式值的变化 10 考点讲练08：将分式的分子分母的最高次项化为正数 10 考点讲练09：将分式的分子分母各项系数化为整数 11 考点讲练10：已知分式恒等式，确定分子或分母 12 考点讲练11：分式加减混合运算 13 考点讲练12：含乘方的分式乘除混合运算 14 考点讲练13：分式的加减乘除混合运算 15 考点讲练14：分式化简求值 16 考点讲练15：分式最值 17 考点讲练16：分式方程无解问题 18 考点讲练17：分式方程的行程问题 18 考点讲练18：分式方程的工程问题 18 考点讲练19：分式方程的经济问题 19 考点讲练20：分式方程的和差倍分问题 21 考点讲练21：分式方程的其他问题 23 考点讲练22：求反比例函数值 24 考点讲练23：由反比例函数值求自变量 24 考点讲练24：已知比例系数求特殊图形的面积 25 考点讲练25：求反比例函数解析式 27 考点讲练26：反比例函数与几何综合 28 考点讲练27：根据图形面积求比例系数（解析式) 29 考点讲练28：一次函数与反比例函数图象綜合判断 31 考点讲练29：一次函数与反比例函数的交点问题 33 考点讲练30：一次函数与反比例函数的实际应用 35 考点讲练31：一次函数与反比例函数的其他综合应用 37 考点讲练32：实际问题与反比例函数 39 考点讲练33：实际问题与反比例函数 41 考点讲练34：利用二次根式的性质化简 42 考点讲练35：复合二次根式的化简 43 考点讲练36：二次根式的乘除混合运算 44 考点讲练37：化为最简二次根式 45 考点讲练38：已知最简二次根式求参数 46 考点讲练39：二次根式的加减运算 46 考点讲练40：二次根式的混合运算 47 考点讲练41：已知字母的值，化简求值 48 考点讲练42：已知条件式，化简求值 49 考点讲练43：比较二次根式的大小 50 考点讲练44：二次根式的应用 52 考点讲练01：与三角形中位线有关的求解问题 1．（24-25八年级下·北京·期中）在中，，延长线段到点D，使得，过点B作，且，连接． (1)如图1，当时，直接写出的长为：_______； (2)如图2，取的中点F，连接， ①按要求补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，分别在轴的正半轴，轴的正半轴上，四边形为矩形，已知点坐标为，的长为． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，点为轴负半轴上一点，，连接，点从点出发，以每秒个单位长度沿线段向终点运动，连接，设点的运动时间为秒，的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，为上一点，连接，，连接，过点作轴交于点，为中点，连接，，为上一点，连接，，当的面积为时，求的面积． 考点讲练02：与三角形中位线有关的证明 3．（2025·山东烟台·一模）在中，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接．取的中点为点，连接． 【问题探究】 （1）如图，已知是等腰直角三角形，，，，延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ； 【类比迁移】 （2）如图，已知是等腰三角形，，，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论； 【变式拓广】 （3）如图，已知在中，，，，．延长至，使，连接．在点的运动过程中，求线段长度的最小值． 4．（24-25八年级下·重庆·期中）在中，，点为上一点，连接． (1)如图1，过作于点，交延长线于点．若，，，求的长度． (2)如图2，以为斜边向外作，，点为中点，连接．若，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，点为中点，延长至点，连接，，，，若，，请直接写出面积的最大值． 考点讲练03：三角形中位线的实际应用 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，，，． (1)求线段的长； (2)如图2，连接，把线段绕点逆时针旋转90°到，连接，取线段的中点，连接，请判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点是线段上一点，把线段绕点逆时针旋转45°得到，连接，请直接写出线段的最小值． 6．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在四边形中，，．      (1)求证：四边形是平行四边形 (2)点在上，点在上，连接、，若，，求证： (3)在（2）的条件下，连接，过点作分别交、于、两点，过点作交的延长线于点，若，，求的面积 考点讲练04：求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 7．（23-24七年级下·全国·单元测试）阅读材料：解分式不等式 ． 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：① 或 ② 解①，得无解，解②，得 ． 所以原不等式的解集是 ． 请仿照上述方法解下列分式不等式： (1) (2) 8．（23-24七年级下·河南周口·期末）阅读下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：；等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为： （a）若，，则，若，，则； （b）若，，则，若，，则． 请解答下列问题： (1)①若，则或________； ②若，则________或________； (2) 根据上述规律，求解分式不等式的解集． 考点讲练05：求使分式值为整数时未知数的整数值 9．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 10．（2025八年级下·全国·专题练习）使分式的值为整数的整数x的值有多少个？ 请先阅读解题过程，回答有关问题． 因为， 又因为分式的值及x的值均为整数，所以2能整除，当时，因为，所以分母为零，分式无意义． 所以可取的值为，，1，2，相应的x的值为，0，2，3，那么，满足条件的x值共有4个． (1)本题的解题思路是 　 　； (2)运用这种解题思路，求出使分式的值为整数的整数x的值． 考点讲练06：求使分式值为整数时未知数的整数值 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）我们知道，分式和分数有很多相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，我们把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)请写出分式的基本性质______________________； (2)下列分式中，属于真分式的是___________； A．    B．    C．    D． (3)将假分式化成整式和真分式的和的形式． 12．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)应用：已知方程组有正整数解，求整数的值． 考点讲练07：利用分式的基本性质判断分式值的变化 13．（18-19七年级下·浙江杭州·期中）完成下列各题． （1）不改变分式的值，把下列分子和分母的最高次的系数都化为正数________． （2）不改变分式的值，把下列分子和分母的中各项系数都化为整数________． （3）若分式的值是整数，求整数的值． （4）已知，求的值． 14．（17-18八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ①= ；   ②= ； ③= ；④= ． 考点讲练08：将分式的分子分母的最高次项化为正数 15．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 16．（2025七年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 考点讲练09：将分式的分子分母各项系数化为整数 17．（24-25八年级下·吉林长春·期中）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为______； (2)若可以分式分解为（其中是常数），则______，______； (3)当时，判断与的大小关系，并写出你的证明过程． 18．（23-24八年级上·全国·单元测试）课堂上，李老师出了这样一道题： 已知 求整式 A，B． 本题是这样思考的：已知是等式，首先对等式的右边进行通分，可得 已知两个分式相等，分母相等，则分子也相等，即：，利用多项式相等则对应的系数相等可求得A，B． 请你根据上面的思路解决下列问题： 已知 ，求 A，B 的值． 考点讲练10：已知分式恒等式，确定分子或分母 19．（24-25八年级下·江苏南京·期中）阅读下列材料 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，． (1)下列式子中，属于真分式的是 （填序号）； ；；； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数 ． 20．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）阅读下列材料： 若，试求、的值．（其中、为常数） 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． (1)已知（其中、为常数）求、的值； (2)若对任意自然数都成立，则______，______． (3)计算：______． 考点讲练11：分式加减混合运算 21．（24-25八年级下·全国·课后作业）先阅读，再回答问题： 阅读：“要比较代数式A、B的大小，可以作差，比较差的取值．当时，有；当时，有；当时，有．”例如，当时，比较与的大小，可以观察．因为当时，，所以当时，． 当时，比较与的大小． 22．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【类比学习】 在数学的奇妙世界里，分式与分数有着紧密的联系，就像我们从分数的基本性质类比出分式的基本性质一样，分数的大小比较的方法也能给分式的大小比较带来启发．我们知道在分数中，当分子和分母都大于0时，有： 1．当分子相同时，分母越小，分数的值越大．如； 2．当分母相同时，分子越大，分数的值越大．如； 3．当分子、分母都不相同时，一般来说，分子越大且分母越小，分数的值越大． 例如：从3、5、7中选两个数组成分数，是最大的，它的分子是所选数字中的最大数，分母是所选数字中的最小数． 【问题呈现】 小明和小强一起做分式的游戏，他们各自有三张牌，如下图所示．小明的牌分别是、、，小强的牌分别是、、．他们各自选两张牌组成分式，并且约定是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜． (1)小明组成的分式中值最大的分式是______， 小强组成的分式中值最大的分式是______． (2)小强思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”，小强说的有道理吗？请你通过计算加以证明． 考点讲练12：含乘方的分式乘除混合运算 23．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 24．（24-25八年级下·四川巴中·阶段练习）计算 (1)计算：； (2)化简：（结果中不含负整数指数幂）； (3)计算：． 考点讲练13：分式的加减乘除混合运算 25．（24-25八年级下·广东佛山·期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：，即 ，． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，，， 根据材料回答问题： (1)已知，则______． (2)已知，求的值． (3)解关于，的方程组． 26．（2025·广东深圳·二模）下面是小甜化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 化简 解：原式① ② ③ (1)化简过程中，从第______（填序号）步开始出现错误．错误的原因是______． (2)请写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值． 考点讲练14：分式化简求值 27．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）已知分式． (1)请对分式进行化简； (2)如图，若m从中取一个合适的整数，则该分式的值对应的点落在数轴上的第_____段上．（填写序号即可） 28．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）化简代数式：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 考点讲练15：分式最值 29．（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 30．（24-25八年级下·广东广州·开学考试）阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） (2)将分式化成带分式； (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 考点讲练16：分式方程无解问题 31．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）已知关于x的分式方程，若该方程无解，求m的值． 32．（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）已知关于的分式方程，若该方程有增根，则的值为（        ）． A． B．1 C． D． 考点讲练17：分式方程的行程问题 33．（2025·内蒙古·二模）某校组织九年级学生开展红色研学活动，参观大青山抗日战争纪念馆．已知该学校离纪念馆千米，位于乌兰察布市卓资县的红石崖旅游风景区内．师生乘大巴车前往，某老师因临时有事，推迟了分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为千米/时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25八年级下·重庆万州·期中）2025年春节，是申遗成功以后的首个春节，春晚开场歌舞《如意舞步》在重庆万州望江大台阶取景，向全国乃至全世界展现了万州的魅力和风采． 万州望江大台阶以江为琴、以楼为幕、以桥为弦、以光为歌，共设有331步梯台，是有名的网红打卡地． 某星期六早晨，身为万州高级中学初2023级1班的小刚同学计划要完成240步梯台的登梯任务，他如果将速度提高，则可以提前1分钟完成锻炼，设他原计划每分钟登梯x步，则可以列出下列方程为（   ） A． B． C． D． 考点讲练18：分式方程的工程问题 35．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程． (1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？ (2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？ (3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程． 36．（19-20八年级下·福建泉州·期末）疫情发生后，口罩成了人们生活的必需品．某药店销售A，B两种口罩，今年3月份的进价如下表： （1）已知B种口罩每包售价比A种口罩贵20元，用64元购买到A种口罩的数量和144元购买到B种口罩的数量相同，求A种口罩和B种口罩每包售价． （2）为满足不同顾客的需求，该药店准备4月份新增购进进价为每包10元的C种口罩，A种和B种口罩仍按需购进，进价与3月份相同，A种口罩的数量是B种口罩的5倍，共花费12000元，则该店至少可以购进三种口罩共多少包？ 考点讲练19：分式方程的经济问题 37．（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． (1)已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ (2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 38．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）冰城某店欲购进和两种品牌的雪地胎，已知种的进价比种进价每条少元，经计算，用万元购进的种雪地胎的数量与万元购进的种雪地胎的数量相同，请解答下列问题： (1)这两种雪地胎每个进价多少元？ (2)若该店欲购进两种品牌雪地胎共个，投入的总资金不超过元，且种品牌雪地胎不超过个（假设每辆车一次换个雪地胎），则该店有哪几种进货方案？ (3)在()条件下，若和两种雪地胎的售价分别是每个元和元，该店从这个雪地胎中拿出个两种雪地胎奖励优秀员工，其余雪地胎全部售出后仍获利元，请直接写出这个雪地胎中种雪地胎的个数． 考点讲练20：分式方程的和差倍分问题 39．（24-25八年级上·浙江台州·期末）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 40．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．    (1)①“丰收1号”单位面积产量为 ，“丰收2号”单位面积产量为 （以上结果均用含的式子表示）； ②通过计算可知， （填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高； (2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多，求的值； (3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为平方米（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少55平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当且为整数时，符合条件的值为 （直接写出结果）． 考点讲练21：分式方程的其他问题 41．（24-25八年级上·福建厦门·期末）某校开展“探索生活中的数学奥秘”的社会综合实践活动，某小组选择“汽车中的数学”作为探究方向．他们去汽车维修部考察，发现师傅会将汽车的前后轮进行对调，师傅告诉他们，大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度略高于后轮．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，师傅建议行驶一定里程后，前后轮对调，可以使一组轮胎综合使用里程更长．于是他们提出“行驶多少里程后，前后轮胎对调，可以使得一组轮胎同时报废？”的研究课题． (1)若A型号轮胎安装在后轮位置可行驶的里程是安装在前轮位置的，设该型号的轮胎安装在前轮行驶万千米后报废， ①用含有的式子分别表示该型号轮胎安装在前轮和后轮上每万千米的损耗量； ②若一个全新的该型号轮胎安装在前轮行驶3万千米后，与后轮对调，又行驶了4万千米后报废，求的值； (2) 若型号轮胎安装在前轮行驶万千米后报废，安装在后轮行驶万千米后报废，其中，小组成员猜想在行驶万千米后将前后轮对调，可以使得一组轮胎同时报废，你认为他的说法正确吗？若正确，请证明他的猜想；若不正确，请说明理由，并求出一组该型号新轮胎应行驶多少里程后，前后轮对调可使得前后轮同时报废．（参考公式： 42．（22-23八年级下·重庆九龙坡·阶段练习）习近平总书记一直十分重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调，“绿水青山就是金山银山”，为践行习总书记重要思想，开创生态文明新时代．安全村是生态文明建设示范村，已知安全村原有绿化植物紫薇、马兰、叶子花的数量之比，为加强生态文明建设，安全村决定增加紫薇、马兰、叶子花的种植量，经村委会测算，增加种植马兰的数量是增加种植这三种绿化植物之和的，此时，现有马兰的数量与现有的三种绿化植物总量之比为，而紫薇与叶子花的总量之比为，则安全村增加种植紫薇的数量与现有的这三种绿化植物总量之比是： ． 考点讲练22：求反比例函数值 43．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知反比例函数，将代入函数表达式中，所得函数值记为；再将代入函数表达式中，所得函数值记为；然后将代入函数表达式中，所得函数值记为，如此继续下去． (1)完成下表： (2)根据上表的规律，猜想的值为______． 44．（24-25九年级上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则 ． 考点讲练23：由反比例函数值求自变量 45． （24-25九年级上·福建福州·阶段练习）平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 46．（20-21八年级下·江苏苏州·期中）平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：，称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点 根据定义，解答下列问题： (1)点的“可控变点”为点________． (2)点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，…，以此类推，若点的坐标为，则点的坐标为________． (3)若点是函数图象上点的“可控变点”，求点的坐标． 考点讲练24：已知比例系数求特殊图形的面积 47．（24-25八年级下·全国·课后作业）反比例函数中两个变量的乘积不变，由此带来反比例函数的一些特性．如图①，是反比例函数的图像上的一个动点，轴，垂足为轴，垂足为，则，所以，，即矩形的面积不变．当时上述结论也成立．我们可称这一性质为“反比例函数的′面积不变性′”，连接，此时，的面积为，也是定值．试利用“反比例函数的′面积不变性′”解决下列问题：    如图②，③，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为． (1)如图②，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为、相交于点．试比较下列图形面积的大小：______，______（选填“”“”或“”）． (2)如图③，的延长线与反比例函数的图像的另一个交点为轴，垂足为，连接，则四边形的面积为______． 48．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图是反比例函数的图像，在图像上任取一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则四边形是一个矩形，这个矩形的面积为．根据下列要求画图，并写出理由． (1)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的平行四边形（不可为矩形）； (2)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的三角形． 考点讲练25：求反比例函数解析式 49．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）已知，一次函数的图象交反比例函数图象于点A，B，交x轴于点C，点B为． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； (3)如图2，一次函数交y轴于点F，将一次函数绕C顺时针旋转交反比例函数图象于点D，E，求点E的坐标． 50．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，． (1)求与的解析式； (2)当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围； (3)求的面积； (4)设直线与的交点横坐标分别为，，与直线的交点横坐标为，若，直接写出b的取值范围． 考点讲练26：反比例函数与几何综合 51．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②四边形的面积不会发生变化；③与始终相等；④当点A是的中点时，点B一定是的中点．其中一定正确的是 ． 52．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点C在y轴上，B在x轴上，把矩形沿对角线所在的直线翻折，点A恰好落在反比例函数的图象上点D处，与y轴交于点E，延长交x轴于点F，点D刚好是的中点．已知B的坐标为． (1)求的度数； (2)求反比例函数的函数表达式； (3)若Q是反比例函数图像上的一点，P点在x轴上，若以P，Q，B，E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点的坐标________________________． 考点讲练27：根据图形面积求比例系数（解析式) 53．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，已知，分别是反比例函数与，且轴，点的坐标为，分别过点，作轴于点，轴于点．若四边形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 54．（24-25九年级上·广东佛山·期末）【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，的一边与轴正方向重合，点在射线上；过点作轴于点，的面积是，函数的图象经过点；以点为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点；分别过点，点作轴和轴的平行线，两线相交于点，连接；过点作轴的平行线交线段于点． 【构建联系】 （1）填空： ． 【深入探究】 （2）求证：点在直线上． （3）请写出与的数量关系，并说明理由． （4）尺规作图：求作射线，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） 考点讲练28：一次函数与反比例函数图象綜合判断 55．（23-24八年级下·山西临汾·期中）如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，且一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．      (1)求一次函数的表达式以及点的坐标． (2)利用图象，直接写出关于的不等式的解集． (3)如图2，将直线绕点逆时针方向旋转，求旋转后所得直线的函数表达式． 56．（22-23八年级下·江苏南京·期末）对于两个不同的函数，通过加法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的“和函数”．例如：对于函数和，则函数，的“和函数”．    (1)已知函数和，这两个函数的“和函数”记为． ①写出的表达式，并求出当x取何值时，的值为； ②函数，的图象如图①所示，则的大致图象是______． A．       B．   B． C．  D．   (2)已知函数和，这两个函数的“和函数”记为． ①下列关于“和函数”的性质，正确的有______；（填写所有正确的选项） A．的图象与x轴没有公共点 B．的图象关于原点对称 C．在每一个象限内，随x的值增大而减小 D．当时，随着x的值增大，的图像越来越接近的图象 ②探究函数与一次函数（为常数，且图象的公共点的个数及对应的k的取值范围，直接写出结论． 考点讲练29：一次函数与反比例函数的交点问题 57．（2025·四川成都·二模）如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C． (1)求双曲线的解析式； (2)如图2，连接OC． ①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标； ②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 58．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）几何图形是数学研究的主要对象之一，图形的形状、大小和位置是几何中研究的主要内容，平面几何中，平移、翻折、旋转是常见的图形变换．鹿鸣学堂数学兴趣小组的同学们在学习了反比例函数的相关内容后，进一步探究反比例函数的图像的平移、旋转、翻折的相关问题，过程如下： (1)如图1，将反比例函数的图像向左平移3个单位，求平移后的图像与y轴的交点坐标； (2)如图2，将反比例函数（）的图像绕点O顺时针旋转60°，点P为旋转后图像上的一点，过点P作直线的垂线，垂足是H，若，求的值； (3)如图3所示，反比例函数（）的图像沿直线翻折得到新图像．若直线与两条曲线交于E、F，直线与两条曲线交于G、H，同学们发现E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，当这个矩形的面积是4时，直接写出b的值． 考点讲练30：一次函数与反比例函数的实际应用 59．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点_______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则_______； 【深入探究】 （2）若“美好点” 在双曲线（，且为常数）上，则_______； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象： 列表：下表是x与y的几组对应值，请将下表填写完整． 描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图像； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是_______；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图象经过点； ④对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． ⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数的图象怎样平移得到？ 60．（2023·广东深圳·一模）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离． 例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离． 【应用】 （1）如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E．若，，则与之间的距离是 ； （2）如图3，已知直线与双曲线交于与B两点，点A与点B之间的距离是 ，点O与双曲线之间的距离是 ； 【拓展】 （3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南−西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？ 考点讲练31：一次函数与反比例函数的其他综合应用 61．（2025·四川成都·二模）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 62．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图象，两个函数图象交于两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： (1)设点P的横坐标为x，的长度为y，则y与x之间的函数关系式为　　　（）； (2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象： ①列表：表中　　　； ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，的最大值为　　　． (3)①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长； ②如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值． 考点讲练32：实际问题与反比例函数 63．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）教室里的饮水机接通电源，就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时x成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为时，接通电源后，水温和时间x的关系如图． (1)直线的函数关系式为______． (2)①如图，t的值为______； ②饮水机第一次关机前，当水温达到以上时，则x的取值范围为______． (3) 为了在上午第三节下课时（）能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的吗？说明理由． 64．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______． 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 考点讲练33：实际问题与反比例函数 65．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在正方形中，E，F分别为，边上的点，与交于点M，N为上一点，连接，若．则下列结论：①；②；③；④若，点N为的中点，，则．其中一定正确的结论是 ．（请将正确的结论的序号填在横线上） 66．（24-25八年级上·江苏南京·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值是 ； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ； (3)【感悟探索】 ①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是 ． 考点讲练34：利用二次根式的性质化简 67．（24-25八年级下·福建福州·期中）已知，一次函数与轴交点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点是轴上一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，当的面积是时，求点的坐标； (3)已知是的角平分线，在线段上找一点，使得，求点的坐标． 68．（20-21八年级上·福建三明·期中）先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以， 问题： （1）填空：__________，____________﹔ （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________． （3）化简：（请写出化简过程） 考点讲练35：复合二次根式的化简 69．（24-25八年级下·北京海淀·期中）小君想到了一种证明等式成立的方法． 证明过程如下： 设，，则，． 等号左边，等号右边； ∵，， ∴， ∴等号右边， ∴等号左边等号右边， ∴等式成立． (1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下： (2)请直接写出方程的解为________． 70．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）问题提出：如图（1），E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系． 问题探究： （1）先将问题特殊化，如图（2），当时，求证：： （2）再探究一般情形，如（1），试探究与的数量关系． 问题拓展：现将图（1）特殊化，如图（3），连接，若，菱形的面积为，则当点E从点B运动到点C时，线段扫过的面积为_____ 考点讲练36：二次根式的乘除混合运算 71．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）下列整数x能使为最简二次根式，则x可以是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 72．（24-25八年级下·西藏日喀则·期中）下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 考点讲练37：化为最简二次根式 73．（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在矩形中，，的平分线交于点，连接，若，求的长． 74．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）【问题情境】矩形的折叠 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以折纸活动是一种有效的学习方式．活动课上，同学们选取相同矩形纸片进行操作，其中． 【初步操作】 （1）小刚将图①中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，然后把纸片展平得到图②，证明四边形是正方形； 【操作探究】 （2）小红将矩形纸片先沿着与平行的虚线折叠（如图③），使点A、D分别落在上的G、H处，E，F分别在边上，将矩形纸片沿着折叠，点G、H分别落在点与点处，恰好点B在边上，与相交于点O，且，又已知，求线段的长； 【深入研究】 （3）如图④，小明将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得折痕，沿着折痕剪开．E、F分别在边上，，将矩形纸片沿着折叠，点M、D分别落到点与点处．点E从点N单向运动到点M的过程中，若边与边交于点P． 填空：的最大值为________；点P运动的路径长为________． 考点讲练38：已知最简二次根式求参数 75．（22-23八年级下·安徽·阶段练习）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 76．（19-20八年级下·山东济南·阶段练习）如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值． 考点讲练39：二次根式的加减运算 77．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1) 化简：． (2)化简：． (3)计算：． 78．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 考点讲练40：二次根式的混合运算 79．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)． 80．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解下列材料，并解决相应的问题． ［材料一］两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是 （写出一个即可），的有理化因式是 （写出一个即可）； ［材料二］如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简计算：． ［材料三］与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．比如：． （3） 试利用分子有理化比较和的大小．并说明理由． 考点讲练41：已知字母的值，化简求值 81．（2025八年级下·河南·专题练习）（1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． 82．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的就应用了黄金分割数．设，，请解决下面的问题． (1)分别求出，的值． (2)分别求出，的值． 考点讲练42：已知条件式，化简求值 83．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）在数学课外学习活动中，小浩和他的同学遇到一个问题：已知，求的值，经过思考和讨论他是这样解答的； ，，， ，． 请你根据小浩的解题过程，解决如下问题： (1)______，______； (2)求的值； (3)若，求的值． 84．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）阅读理解：已知，将其分母有理化，小明同学是这样解答的： ． 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)化简：； (2)计算：； (3)若，求的值． 考点讲练43：比较二次根式的大小 85．（24-25八年级下·吉林长春·期中）阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)写出的一个有理化因式：________，将分母有理化得________． (2)计算：； (3)比较大小：________（用“＞”、“=”或“＜”填空）． 86．（24-25八年级下·全国·课后作业）比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 显然，所以． 仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题： (1)猜想：与的大小关系； (2)尝试计算：． 考点讲练44：二次根式的应用 87．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）阅读材料: 若两个正数，，则有下面不等式，当时取等号，我们把叫作正数，的算术平均数，把叫作正数，的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．不等式可以变形为不等式，当且仅当时取到等号．(，均为正数) 例：已知x>0，求的最小值． 解：由得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为．根据上面材料回答下列问题： (1)______；______；(用“”“”“”填空) (2)当，则的最小值为，此时_____； (3)当，则的最小值为______； (4)用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？ 88．（24-25八年级下·吉林松原·期中）高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高空抛出的物体下落所需时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间________；（结果保留根号） (2)从高空抛出的物体，经过落地，求所抛物体下落的高度是多少？ (3)资料显示：伤害无防护人体只需要的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位：），，h为高度（单位：）．根据以上信息判断，一个质量为的玩具经过落在地面上，该玩具在坠落地面时所带能量是否会伤害到楼下无防护的行人？请说明理由． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期末高频常考压轴题考点分类训练【2024新教材】 压轴题考点必刷练（二） （44个考点压轴练 共88题 范围：第10-12章） 同学你好，该份讲义结合最新版本课本内容设定制作，贴合书本内容。题目精选近两年全国各地常考易错真题，压轴题等重点难点题目！题目新颖，考点分类，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，按照考点划分，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 考点讲练01：与三角形中位线有关的求解问题 2 考点讲练02：与三角形中位线有关的证明 9 考点讲练03：三角形中位线的实际应用 17 考点讲练04：求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 24 考点讲练05：求使分式值为整数时未知数的整数值 26 考点讲练06：求使分式值为整数时未知数的整数值 28 考点讲练07：利用分式的基本性质判断分式值的变化 31 考点讲练08：将分式的分子分母的最高次项化为正数 32 考点讲练09：将分式的分子分母各项系数化为整数 33 考点讲练10：已知分式恒等式，确定分子或分母 36 考点讲练11：分式加减混合运算 39 考点讲练12：含乘方的分式乘除混合运算 41 考点讲练13：分式的加减乘除混合运算 43 考点讲练14：分式化简求值 46 考点讲练15：分式最值 47 考点讲练16：分式方程无解问题 49 考点讲练17：分式方程的行程问题 50 考点讲练18：分式方程的工程问题 51 考点讲练19：分式方程的经济问题 54 考点讲练20：分式方程的和差倍分问题 57 考点讲练21：分式方程的其他问题 61 考点讲练22：求反比例函数值 65 考点讲练23：由反比例函数值求自变量 66 考点讲练24：已知比例系数求特殊图形的面积 69 考点讲练25：求反比例函数解析式 72 考点讲练26：反比例函数与几何综合 77 考点讲练27：根据图形面积求比例系数（解析式) 82 考点讲练28：一次函数与反比例函数图象綜合判断 86 考点讲练29：一次函数与反比例函数的交点问题 91 考点讲练30：一次函数与反比例函数的实际应用 96 考点讲练31：一次函数与反比例函数的其他综合应用 104 考点讲练32：实际问题与反比例函数 110 考点讲练33：实际问题与反比例函数 115 考点讲练34：利用二次根式的性质化简 121 考点讲练35：复合二次根式的化简 126 考点讲练36：二次根式的乘除混合运算 130 考点讲练37：化为最简二次根式 131 考点讲练38：已知最简二次根式求参数 136 考点讲练39：二次根式的加减运算 137 考点讲练40：二次根式的混合运算 139 考点讲练41：已知字母的值，化简求值 141 考点讲练42：已知条件式，化简求值 142 考点讲练43：比较二次根式的大小 145 考点讲练44：二次根式的应用 147 考点讲练01：与三角形中位线有关的求解问题 1．（24-25八年级下·北京·期中）在中，，延长线段到点D，使得，过点B作，且，连接． (1)如图1，当时，直接写出的长为：_______； (2)如图2，取的中点F，连接， ①按要求补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①见解析；②，证明见解析 【思路引导】（1）过点作交延长线于点，证明，可得，，再由勾股定理可得； （2）①按要求补全图形即可；②过点作交延长线于点，截取．连接．证明， ，再证明即可． 【完整解答】（1）解：如图，过点作交延长线于点， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）①补全图形如下图； ②． 证明：过点作交延长线于点，截取．连接． ，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 点为中点，．即为中点。 为中位线， ， ． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质及勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质及勾股定理． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，分别在轴的正半轴，轴的正半轴上，四边形为矩形，已知点坐标为，的长为． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，点为轴负半轴上一点，，连接，点从点出发，以每秒个单位长度沿线段向终点运动，连接，设点的运动时间为秒，的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，为上一点，连接，，连接，过点作轴交于点，为中点，连接，，为上一点，连接，，当的面积为时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据点坐标得出，利用勾股定理求出，即可得答案； （2）过点作轴于，轴于，根据得出和都是等腰直角三角形，根据点速度得出，利用勾股定理得出，，利用三角形面积公式即可得答案； （3）过点作，交延长线于，延长交轴于，连接，并延长交轴于，先利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，，利用证明，利用全等三角形的性质，结合角的和差关系得出，根据得出，，可得四边形是平行四边形，，，利用证明，得出，根据三角形中位线的性质得出，，根据的面积为列方程可求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，把代入即可求出，利用三角形面积公式即可得答案． 【完整解答】（1）解：∵四边形为矩形，已知点坐标为， ∴，，， ∵的长为， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作轴于，轴于，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴和都是等腰直角三角形，， ∵点从点出发，以每秒个单位长度沿线段向终点运动，点的运动时间为秒， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴． （3）解：如图，过点作，交延长线于，延长交轴于，连接，并延长交轴于， ∴四边形是矩形， 设直线的解析式为， ∵， ∴，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∵， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵为中点，， ∴，， ∴，，，， ∵的面积为， ∴， 解得：，（舍去）， ∴，，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查一次函数与几何综合、待定系数法求一次函数解析式、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 考点讲练02：与三角形中位线有关的证明 3．（2025·山东烟台·一模）在中，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接．取的中点为点，连接． 【问题探究】 （1）如图，已知是等腰直角三角形，，，，延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ； 【类比迁移】 （2）如图，已知是等腰三角形，，，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论； 【变式拓广】 （3）如图，已知在中，，，，．延长至，使，连接．在点的运动过程中，求线段长度的最小值． 【答案】（1），； （2），证明见解析； （3）线段长度的最小值为． 【思路引导】（1）结合旋转性质推得，，即可利用“边角边”证明，根据全等三角形性质可得，再由中位线定理可得； （2）延长至点，使得 ，连接，利用“边角边”证明，结合全等三角形性质和中位线定理即可证得； （3）取的中点，连接，作于，利用“边角边”证明，根据全等三角形性质可得，即点在与成的定直线上运动，当点在处时，最小，结合含的直角三角形特征即可得． 【完整解答】解：（1）依题得：，，， ，， ， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， ，， 是的中位线， ， 故答案为：，； （2）如下图，，证明如下： 延长至点，使得 ，连接， ， ， ，， ， 由旋转得，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 是的中位线， ， ； （3）如下图，取的中点，连接，作于， 依题得：， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 点在与成的定直线上运动， 当点在处时，最小， ， ， 又， ， 的最小值为． 【考点评析】本题考查的知识点是旋转性质、全等三角形的判定与性质、中位线定理、含的直角三角形特征，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 4．（24-25八年级下·重庆·期中）在中，，点为上一点，连接． (1)如图1，过作于点，交延长线于点．若，，，求的长度． (2)如图2，以为斜边向外作，，点为中点，连接．若，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，点为中点，延长至点，连接，，，，若，，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【思路引导】（1）过点作于点，先证明，得出，再利用在中，，求出，，再利用在中，，得，即可求解； （2）取中点，连接，，取中点，连接，，在和中，利用，分别为，的中点，得，，，再利用中位线性质得出，，，，则，，通过平行证明，得出，证明，得，再利用在中，，得出，即可证明； （3）延长至点，使得，连接，，，过点作于点，交于点，证明四边形、和为矩形，设，，，，则，，，，得出，可得，则点的轨迹是以圆心，为半径的圆，由，得（为点到的距离），由圆上一点到定直线的最大距离可知，当时，最大，此时点为，最大为，即可求解． 【完整解答】（1）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，取中点，连接，，取中点，连接，， 在和中， ∵，分别为，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵在中，，，分别为，，的中点， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，延长至点，使得，连接，，，过点作于点，交于点， 又∵为中点， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形和为矩形， ∴，，， 设，，，， 则，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴点的轨迹是以圆心，为半径的圆， ∵， ∴（为点到的距离）， 由圆上一点到定直线的最大距离可知，当时，最大，此时点为，最大为，如图， ∴最大． 考点讲练03：三角形中位线的实际应用 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，，，． (1)求线段的长； (2)如图2，连接，把线段绕点逆时针旋转90°到，连接，取线段的中点，连接，请判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点是线段上一点，把线段绕点逆时针旋转45°得到，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【思路引导】（1）由，可得，根据，可得，，又是等腰直角三角形，即得； （2）连接，证明，得，从而，根据G为的中点，有，证明，得，故； （3）在上取一点H，使，连接，证明，可得，当最小时，最小，此时，故的最小值为． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴线段的长为； （2），理由如下： 连接，如图： ∵把线段绕点E逆时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）在上取一点H，使，连接，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵把线段绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小，此时，如图： ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为． 【考点评析】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形中位线等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 6．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在四边形中，，．      (1)求证：四边形是平行四边形 (2)点在上，点在上，连接、，若，，求证： (3)在（2）的条件下，连接，过点作分别交、于、两点，过点作交的延长线于点，若，，求的面积 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）求证，从而判定平行四边形； （2）如图，作，交于点Ｋ，可求证，，，从而，于是； （3）解：如图，延长，交于点J，连接，可证，进一步求证，于是；过点A作，垂足为M，过点K作,是等腰直角三角形，四边形是平行四边形；由（2）知，得，；过点A作，交于L，连接，可证，于是，；进一步求证，于是．中,运用勾股定理求得，于是．过点F 作，垂足为O，可求得.求证，得．所以． 【完整解答】（1）证明：∵ ∴． ∵， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形； （2）证明：如图，作，交于点Ｋ， ∵， ∴． ∴．   ∴． ∵ ∴ ∴． ∵ ∴ ∴ ∴．    （3）解：如图，延长，交于点J，连接 ∵ ∴. ∵, ∴． ∴．   ∴． ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． ∴． 过点A作，垂足为M，过点K作，是等腰直角三角形，四边形是平行四边形； 由（2）知， ∴ ∴．   ∴． 过点A作，交于L，连接， ∵ ∴． ∵， ∴． ∴，．   ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． 设，则， ∴，解得，即 ∴． 过点F 作，垂足为O， ∵ ∴. ∴. ∵ ∴ ∴ ∴． ∴． ∴．        【考点评析】本题考查等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，中位线定理，通过全等三角形判定寻求线段相等是解题的关键． 考点讲练04：求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 7．（23-24七年级下·全国·单元测试）阅读材料：解分式不等式 ． 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：① 或 ② 解①，得无解，解②，得 ． 所以原不等式的解集是 ． 请仿照上述方法解下列分式不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题主要考查了解不等式组，根据分式值的情况求参数范围： （1）仿照题意得到不等式组或 ，分别解之即可； （2）仿照题意得到不等式组或 ，分别解之即可． 【完整解答】（1）解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，∴原不等式可转化为：或 解不等组①得 解不等式组②得无解． ∴原不等式的解集是 （2）解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，∴原不等式可转化为：或 解不等式组①得，解不等式组②，得． ∴原不等式的解集是或． 8．（23-24七年级下·河南周口·期末）阅读下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：；等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为： （a）若，，则，若，，则； （b）若，，则，若，，则． 请解答下列问题： (1)①若，则或________； ②若，则________或________； (2)根据上述规律，求解分式不等式的解集． 【答案】(1)①；②， (2) 【思路引导】本题考查利用有理数除法法则解分式不等式． （1）根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”即可求解； （2）易得与异号，可得两个不等式组，求解即可． 【完整解答】（1）解：①若，则a、b同号， 则或； ②若，则a、b异号， 则或； 故答案为：；，； （2）（2）原不等式可转化为： （1）或（2） 解（1）得：无解，解（2）得： 所以原不等式的解集是 考点讲练05：求使分式值为整数时未知数的整数值 9．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 【答案】(1)真 (2) (3)． 【思路引导】本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式的运算，本题是阅读型题目，连接题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． （1）利用真分式和假分式的定义解答即可； （2）利用题干中的方法化简运算即可； （3）利用整数和整除的意义讨论解答即可． 【完整解答】（1）解：由题意得：分式是真分式， 故答案为：真； （2）解： ； （3）解：； ∵分式的值为整数，x为整数． ∴或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴整数的值是． 10．（2025八年级下·全国·专题练习）使分式的值为整数的整数x的值有多少个？ 请先阅读解题过程，回答有关问题． 因为， 又因为分式的值及x的值均为整数，所以2能整除，当时，因为，所以分母为零，分式无意义． 所以可取的值为，，1，2，相应的x的值为，0，2，3，那么，满足条件的x值共有4个． (1)本题的解题思路是 　 　； (2)运用这种解题思路，求出使分式的值为整数的整数x的值． 【答案】(1)将分式先化简为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题 (2)、、、0、2、3、4、7 【思路引导】本题考查了分式的化简，分式的结果要化成最简分式的形式，解题思路为：一般是将分式先化简为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题． （1）先把分式化简成最简分式或整式，后利用分子是分母的倍数，分类计算即可，注意要保证分式有意义． （2）仿照样本题思路，解答即可． 【完整解答】（1）解：解题思路是将分式先化简为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题； 故答案为：将分式先化简为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题． （2）， 要使分式的值为整数， ①当时，， ②当时，， ③当时，， ④当时，， ⑤当时，， ⑥当时，， ⑦当时，， ⑧当时，， ∴使分式的值为整数的整数x的值、、、0、2、3、4、7． 考点讲练06：求使分式值为整数时未知数的整数值 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）我们知道，分式和分数有很多相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，我们把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)请写出分式的基本性质______________________； (2)下列分式中，属于真分式的是___________； A．    B．    C．    D． (3)将假分式化成整式和真分式的和的形式． 【答案】(1)分式的分子和分母都柔以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 (2)C (3) 【思路引导】本题考查阅读理解，读懂题意，类比分数性质得到分式性质，理解真分式、假分式定义，掌握将假分式化为整式与真分式的和的形式的方法是解决问题的关键． （1）由分数的性质类比即可得到分式的性质； （2）由由真分式定义：把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，逐项分析即可得到答案； （3）由题中所给的方法，类比求解即可得到答案． 【完整解答】（1）解：类比分数的性质可得：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变， 故答案为：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变； （2）解：由真分式定义：把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式， A、中，分子的次数是2次、分母的次数是1次，是假分式，不符合题意； B、中，分子的次数是1次、分母的次数是1次，是假分式，不符合题意； C、中，分子的次数是0次、分母的次数是1次，是真分式，符合题意； D、中，分子的次数是2次、分母的次数是2次，是假分式，不符合题意； 故选：C； （3）解：． 12．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)应用：已知方程组有正整数解，求整数的值． 【答案】(1)①③④ (2) (3)或 【思路引导】（）根据“和谐分式”的定义判断即可； （）根据题例解答即可； （）解方程组，并把解表示成“和谐分式”，再根据方程组有正整数解解答即可； 本题考查了分式的运算，解二元一次方程组，理解题意是解题的关键． 【完整解答】（1）解：①，故是和谐分式； ②，故不是和谐分式； ③，故是和谐分式； ④，故是和谐分式； 故答案为：①③④； （2）解：， 故答案为：； （3）解：解方程组，得， ∵方程组有正整数解， ∴且能被整除， 解得或． 考点讲练07：利用分式的基本性质判断分式值的变化 13．（18-19七年级下·浙江杭州·期中）完成下列各题． （1）不改变分式的值，把下列分子和分母的最高次的系数都化为正数________． （2）不改变分式的值，把下列分子和分母的中各项系数都化为整数________． （3）若分式的值是整数，求整数的值． （4）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或0或2或6；（4） 【思路引导】（1）利用分式的基本性质，分子、分母都乘以即可； （2）利用分式的基本性质，分子、分母都乘以10 即可， （3）将分式变形得，要使结果是整数，，或，进而求出的整数值即可， （4）先求出要求的代数式的倒数，利用整体代入的方法进行计算即可． 【完整解答】解：（1）根据分式基本性质，分子、分母都乘以得， ； （2）根据分式基本性质，分子、分母都乘以10得， ， （3）， 要使分式的值为整数， ，或， 解得，，，，， ∴整数的值为0，2，6，； （4），两边平方得： ， ， ． 故答案为：（1）；（2）；（3）x=-4或0或2或6；（4）. 【考点评析】本题考查分式的基本性质、分式的加减运算，掌握分式的基本性质和计算法则是正确解答的前提． 14．（17-18八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ①= ；   ②= ； ③= ；④= ． 【答案】 【完整解答】①= ; ②=; ③= ④=.故答案为  (1).     (2).     (3).     (4). 考点讲练08：将分式的分子分母的最高次项化为正数 15．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 【答案】（1）；（2）；（3）①，② 【思路引导】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案； （2）根据分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变，可得答案； （3）根据解分式方程，可得答案；根据解不等式，可得答案． 【完整解答】解：（1）原式； （2）原式； （3）①∵， ∴由得， 解得：； ②，得， 解得：． 16．（2025七年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． （1）将分式的分子分母同乘以即可得； （2）将分式的分子分母同乘以即可得． 【完整解答】（1）解： ． （2）解： ． 考点讲练09：将分式的分子分母各项系数化为整数 17．（24-25八年级下·吉林长春·期中）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为______； (2)若可以分式分解为（其中是常数），则______，______； (3)当时，判断与的大小关系，并写出你的证明过程． 【答案】(1) (2)1，3 (3)，证明过程见详解 【思路引导】本题考查新定义下分式的加减及分式的大小比较，理解题中新定义、熟练掌握作差法是解题的关键． （1）根据题中示例进行变形即可得出答案； （2）将通分，即可求得m及关于的方程组，解之即可得答案； （3）根据做差法求出两个分式的差再判断出差的正负即可得出答案． 【完整解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ， ， 解得， 故答案为：1，3； （3） 证明： ， 当时，，，， ． 18．（23-24八年级上·全国·单元测试）课堂上，李老师出了这样一道题： 已知 求整式 A，B． 本题是这样思考的：已知是等式，首先对等式的右边进行通分，可得 已知两个分式相等，分母相等，则分子也相等，即：，利用多项式相等则对应的系数相等可求得A，B． 请你根据上面的思路解决下列问题： 已知 ，求 A，B 的值． 【答案】， 【思路引导】本题考查的是分式的加减法，根据题意得出、的二元一次方程组是解答此题的关键．先把分式右边通分，再根据题意得出关于的方程组，求出、的值即可． 【完整解答】解：原分式可化为， ，即， ， 解得． 考点讲练10：已知分式恒等式，确定分子或分母 19．（24-25八年级下·江苏南京·期中）阅读下列材料 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，． (1)下列式子中，属于真分式的是 （填序号）； ；；； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数 ． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或． 【思路引导】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （）根据真分式的定义即可求解； （）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出的值． 【完整解答】（1）解：根据真分式的定义可知：是真分式；是整式；真分式；是假分式； 故选：； （2）解：； （3）解： ， ∵的值为整数，为整数， ∴或， 解得：或或或， 故答案为：或或或． 20．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）阅读下列材料： 若，试求、的值．（其中、为常数） 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． (1)已知（其中、为常数）求、的值； (2)若对任意自然数都成立，则______，______． (3)计算：______． 【答案】(1) (2)， (3) 【思路引导】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法计算即可求解； （2）根据阅读材料中的方法计算即可求解； （3）将所求式子转化为，即可求解． 【完整解答】（1）解： 等式右边通分得： ， ， 解得：； （2） 等式右边通分得： ， ， 解得：， 故答案为：，； （3） ， 故答案为：． 考点讲练11：分式加减混合运算 21．（24-25八年级下·全国·课后作业）先阅读，再回答问题： 阅读：“要比较代数式A、B的大小，可以作差，比较差的取值．当时，有；当时，有；当时，有．”例如，当时，比较与的大小，可以观察．因为当时，，所以当时，． 当时，比较与的大小． 【答案】 【思路引导】本题考查了分式的加减运算和代数式作差法比较大小，关键是运用相应的运算法则正确计算． 计算，先通分再加减得，再根据判断出，从而判断出结论． 【完整解答】 = = = ∵ ∴ ∴ ∴ 22．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【类比学习】 在数学的奇妙世界里，分式与分数有着紧密的联系，就像我们从分数的基本性质类比出分式的基本性质一样，分数的大小比较的方法也能给分式的大小比较带来启发．我们知道在分数中，当分子和分母都大于0时，有： 1．当分子相同时，分母越小，分数的值越大．如； 2．当分母相同时，分子越大，分数的值越大．如； 3．当分子、分母都不相同时，一般来说，分子越大且分母越小，分数的值越大． 例如：从3、5、7中选两个数组成分数，是最大的，它的分子是所选数字中的最大数，分母是所选数字中的最小数． 【问题呈现】 小明和小强一起做分式的游戏，他们各自有三张牌，如下图所示．小明的牌分别是、、，小强的牌分别是、、．他们各自选两张牌组成分式，并且约定是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜． (1)小明组成的分式中值最大的分式是______， 小强组成的分式中值最大的分式是______． (2)小强思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”，小强说的有道理吗？请你通过计算加以证明． 【答案】(1)， (2)小强说的有道理，理由见详解 【思路引导】本题主要考查分式的大小比较，分式的加减运算； （1）分式的最大，则分母要大于分子，由此即可求解； （2）比较分式，大小即可求解． 【完整解答】（1）解：解：根据分式的大小关系可知， 小明组成的分式中值最大的分式是 小强组成的分式中值最大的分式是 故答案为：，． （2）解：小强说的有道理， 理由如下： 当x是大于的正整数时， ∴ ∴ ∴，故小强说的有道理 考点讲练12：含乘方的分式乘除混合运算 23．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（）根据分式的运算法则计算即可； （）根据分式的运算法则计算即可； （）根据分式的运算法则计算即可； （）根据分式的运算法则计算即可； 本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【完整解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 24．（24-25八年级下·四川巴中·阶段练习）计算 (1)计算：； (2)化简：（结果中不含负整数指数幂）； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)0 【思路引导】（1）先计算负整数指数幂，零指数幂，乘方，化简绝对值，然后计算加减即可； （2）先根据积的乘方和单项式的除法计算，再根据负整数指数幂的运算法则解答； （3）先计算幂的计算，然后再计算乘除法，最后计算加减即可． 【完整解答】（1）解： ． （2） ． （3） ． 【考点评析】本题考查了实数的运算，分式的混合运算，积的乘方，负整数指数幂，零指数幂，绝对值的化简，掌握运算法则准确熟练的计算是解题的关键． 考点讲练13：分式的加减乘除混合运算 25．（24-25八年级下·广东佛山·期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：，即 ，． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，，， 根据材料回答问题： (1)已知，则______． (2)已知，求的值． (3)解关于，的方程组． 【答案】(1)； (2)； (3) 【思路引导】本题主要考查了用倒数法解决分式问题，解决本题的关键是读懂题目中的解题思路，仿照材料中的思路进行解答． 仿照材料中的思路把取倒数，可得：，化简可得：； 设知，可得：，，，然后代入代数式，可得：原式，化简即可求出结果； 把方程组中的两个方程分别取倒数，可得：，，解方程组分别求出和，即可求出方程组的解． 【完整解答】（1）解：， ， ， 移项得：， 故答案为：； （2）解：设知， 则，，， ； （3）解：， 由可得：， 整理得：， 由可得：， 整理得：， 可得：， 得：， ， 把代入得：， 解得：， ， 方程组的解为． 26．（2025·广东深圳·二模）下面是小甜化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 化简 解：原式① ② ③ (1)化简过程中，从第______（填序号）步开始出现错误．错误的原因是______． (2)请写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值． 【答案】(1)①；未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则 (2)；0 【思路引导】本题主要考查了分式的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的法则． （1）按照混合运算的运算顺序进行判断即可； （2）先进行分式的除法运算，然后再进行分式的加减，最后代数求值即可． 【完整解答】（1）解：从第①步开始出现错误， 未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则； 故答案为：①；未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则； （2）解：原式， ， 当时，原式． 考点讲练14：分式化简求值 27．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）已知分式． (1)请对分式进行化简； (2)如图，若m从中取一个合适的整数，则该分式的值对应的点落在数轴上的第_____段上．（填写序号即可） 【答案】(1)见解析； (2)② 【思路引导】此题考查了分式的化简求值和分式有意义的条件． （1）先计算括号内的加法，再计算除法，最后计算减法得到化简结果即可； （2）根据分式有意义的条件选取合适的整数代入化简结果计算，即可得到答案． 【完整解答】（1）解： （2）∵，， ∴或， 当时，原式， 当时，原式， 则该分式的值对应的点落在数轴上的第②段上． 故答案为：② 28．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）化简代数式：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】， 【思路引导】本题主要考查了分式的混合运算、分式有意义的条件，首先根据分式的运算法则进行计算，可得：原式，根据分式有意义的条件可知、、，所以只能取，把代入化简后的分式进行计算即可． 【完整解答】解：， ， 分式的分母不能为，除数不能为， ， 、、， ， 原式 ． 考点讲练15：分式最值 29．（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【答案】B 【思路引导】本题考查了分式的求值，先把化简，再根据分式的特点分析即可． 【完整解答】解：， 分式要有意义， ， 且， a为正整数， ∴a的最小值为2． 分式的值随着a的值的增大而减小， ∴当a取最小整数2时，原式有最大值，最大值，且原分式无最小值． 故选：B． 30．（24-25八年级下·广东广州·开学考试）阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） (2)将分式化成带分式； (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)假分式 (2) (3)时，最大值为7 【思路引导】本题考查了分式的定义和化简，做题的关键是把分子中高于或等于分母次数的项通过凑项与分母化简． （1）根据题意判断，即可求解； （2）把原式变形为，约分即可得到答案； （3）由（2）可得：，求出分母的最小值即可得原分式的最大值． 【完整解答】（1）解：分子，分母的次数相等，则是假分式， 故答案为：假分式； （2）解： （3）由（2）可得：， ∵， ∴， ∴当时，最大， ∴当时，有最大值，最大值为：． 考点讲练16：分式方程无解问题 31．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）已知关于x的分式方程，若该方程无解，求m的值． 【答案】或或． 【思路引导】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出的值；由分式方程无解求出的值，代入整式方程求出的值即可．此题考查了分式方程的无解问题，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键． 【完整解答】解：， 去分母得：， ， ， 由分式方程无解，得到，即或， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，方程无解，此时分式方程无解，解得． 故的值是或或． 32．（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）已知关于的分式方程，若该方程有增根，则的值为（        ）． A． B．1 C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了分式方程的增根问题，确定方程的增根是解题的关键．方程去分母化为整式方程，求得x的值，根据方程有增根即可确定m的值． 【完整解答】解：方程去分母得：， 解得：， 由于方程的增根为，则， 解得：； 故选：A． 考点讲练17：分式方程的行程问题 33．（2025·内蒙古·二模）某校组织九年级学生开展红色研学活动，参观大青山抗日战争纪念馆．已知该学校离纪念馆千米，位于乌兰察布市卓资县的红石崖旅游风景区内．师生乘大巴车前往，某老师因临时有事，推迟了分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为千米/时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 根据题意列出方程即可． 【完整解答】解：由题意得，， 故选：A． 34．（24-25八年级下·重庆万州·期中）2025年春节，是申遗成功以后的首个春节，春晚开场歌舞《如意舞步》在重庆万州望江大台阶取景，向全国乃至全世界展现了万州的魅力和风采． 万州望江大台阶以江为琴、以楼为幕、以桥为弦、以光为歌，共设有331步梯台，是有名的网红打卡地． 某星期六早晨，身为万州高级中学初2023级1班的小刚同学计划要完成240步梯台的登梯任务，他如果将速度提高，则可以提前1分钟完成锻炼，设他原计划每分钟登梯x步，则可以列出下列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查的是分式方程的应用，正确理解题意列方程是解题关键，设他原计划每分钟登梯x步，根据他如果将速度提高，则可以提前1分钟完成锻炼列方程即可解决． 【完整解答】解：设他原计划每分钟登梯x步，则列方程为， 故选：C． 考点讲练18：分式方程的工程问题 35．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程． (1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？ (2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？ (3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程． 【答案】(1)30 (2)甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元 (3)70 【思路引导】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，根据甲队单独施工30天完成总工程的求出甲队单独施工完成全部工程的天数，根据两队完成工程量的和等于总工程量列方程，求得乙队单独施工30天完成全部工程，注意分式方程要检验； （2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元, 根据甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，列方程组求解， 得到甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元； （3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，根据两个工程队不同时施工，总劳务费不超过28万元，两队完成工程量等于总工程量，列出与，求出a的取值范围，根据最快完成总工程的要求，求出的最小值即可． 【完整解答】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程， ∵甲队单独施工完成全部工程的天数是（天）， ∴， 解得，， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， 故乙队单独施工30天完成全部工程； （2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元, ∴， 解得，， 故甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元； （3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天， 则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴ ∴在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快70天能完成总工程． 故答案为：70． 【考点评析】本题主要考查了工程问题，解决问题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，总劳务费与每天劳务费和劳务时间的关系，解分式方程与二元一次方程组等等，熟知相关知识是解题的关键． 36．（19-20八年级下·福建泉州·期末）疫情发生后，口罩成了人们生活的必需品．某药店销售A，B两种口罩，今年3月份的进价如下表： （1）已知B种口罩每包售价比A种口罩贵20元，用64元购买到A种口罩的数量和144元购买到B种口罩的数量相同，求A种口罩和B种口罩每包售价． （2）为满足不同顾客的需求，该药店准备4月份新增购进进价为每包10元的C种口罩，A种和B种口罩仍按需购进，进价与3月份相同，A种口罩的数量是B种口罩的5倍，共花费12000元，则该店至少可以购进三种口罩共多少包？ 【答案】（1）种口罩每包售价16元，种口罩每包售价36元；（2）822包 【思路引导】（1）设种口罩每包售价元，则种口罩每包售价元，根据等量关系：用64元购买到A种口罩的数量和144元购买到B种口罩的数量相同，列出方程并解方程即可. （2）设种口罩买包，种口罩买包，则种口罩买包，根据等量关系：三种口罩共花费12000元，得到，进而得出总数量关于n的函数关系式，根据一次函数的最值求解即可. 【完整解答】解：（1）设种口罩每包售价元，则种口罩每包售价元，依题意，得： 解得： 经检验：是原方程的解 ∴，∴（元） 答：种口罩每包售价16元，种口罩每包售价36元 （2）设种口罩买包，种口罩买包，则种口罩买包 则 ∵是5的倍数，∴ 总数量为 ∵，∴取最大值时，值最小 又∵ ∴当时，总口罩最少为 （包） ∴该店至少可以购买进三种口罩共822包. 【考点评析】本题考查分式方程的实际应用及一次函数的实际应用，准确找到等量关系列出分式方程及一次函数解析式是解题的关键. 考点讲练19：分式方程的经济问题 37．（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． (1)已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ (2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 【答案】(1)12万元，10万元 (2)15万元 【思路引导】（1）设A款机器人价格为ｘ万元，则B款机器人价格为万元，根据题意，得，解方程即可． （2）设A款机器人销售价格为ｘ万元，则B款机器人销售价格为万元，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确掌握方程的应用是解题的关键． 【完整解答】（1）解：设A款机器人价格为ｘ万元，则B款机器人价格为万元，根据题意，得， 解得， ∴， 答：A款机器人价格为12万元，B款机器人价格为万元． （2）解：设A款机器人销售价格为ｘ万元，则B款机器人销售价格为万元，根据题意，得， 解得． 答：该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是15万元． 38．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）冰城某店欲购进和两种品牌的雪地胎，已知种的进价比种进价每条少元，经计算，用万元购进的种雪地胎的数量与万元购进的种雪地胎的数量相同，请解答下列问题： (1)这两种雪地胎每个进价多少元？ (2)若该店欲购进两种品牌雪地胎共个，投入的总资金不超过元，且种品牌雪地胎不超过个（假设每辆车一次换个雪地胎），则该店有哪几种进货方案？ (3)在()条件下，若和两种雪地胎的售价分别是每个元和元，该店从这个雪地胎中拿出个两种雪地胎奖励优秀员工，其余雪地胎全部售出后仍获利元，请直接写出这个雪地胎中种雪地胎的个数． 【答案】(1)品牌的雪地胎每条的进价为元，品牌的雪地胎每条的进价为元 (2)共有三种进货方案．方案一：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案二：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案三：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个； (3)． 【思路引导】（）设种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进种雪地胎个，则购进种雪地胎个，根据题意列出不等式组求出的取值范围，再根据每辆车一次换个雪地胎得到为的倍数，即得的值，据此即可求解； （）设从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，则从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，根据（）中的方案分别计算即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【完整解答】（1）解：设种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元； （2）解：设购进种雪地胎个，则购进种雪地胎个， 由题意得， 解得， ∵每辆车一次换个雪地胎， ∴为的倍数， ∴或或， ∴共有三种进货方案．方案一：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案二：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案三：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个； （3）解：设从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，则从种雪地胎拿出个奖励优秀员工， 当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时， 由题意得，， 整理得，， 解得，不合题意，舍去； 当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时， 由题意得，， 整理得，， 解得； 当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时， 由题意得， 整理得，， 解得，不合题意，舍去； 综上，的值为， 答：这个雪地胎中种雪地胎的个数为． 考点讲练20：分式方程的和差倍分问题 39．（24-25八年级上·浙江台州·期末）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)或 【思路引导】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【完整解答】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 【考点评析】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），一元一次方程的应用（几何问题），列代数式，异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． 40．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．    (1)①“丰收1号”单位面积产量为 ，“丰收2号”单位面积产量为 （以上结果均用含的式子表示）； ②通过计算可知， （填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高； (2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多，求的值； (3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为平方米（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少55平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当且为整数时，符合条件的值为 （直接写出结果）． 【答案】(1)①；②2号 (2)14 (3)，， 【思路引导】本题考查分式方程的应用，不等式的应用． （1）①用“总产量÷面积”列式求得单位面积的产量； ②根据，并利用不等式的性质作出比较； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得的值； （3）根据题意列出方程，并结合，列不等式求解． 理解分式的基本性质，不等式的基本性质，根据题意列出方程是解题关键． 【完整解答】（1）解：①由题意，“丰收号”小麦的试验田的面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为； 由题意，“丰收号”单位面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为． 故答案为：；． ②∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即“丰收号”小麦的单位面积产量高． 故答案为：号． （2）根据题意，得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意． ∴的值是． （3）根据题意，得： ， 整理，可得：， ∴， 当时，， 解得：， 又∵为正整数，且满足， 当时，， 当时，， 当时，， ∴符合条件的的值为，，． 故答案为：，，． 考点讲练21：分式方程的其他问题 41．（24-25八年级上·福建厦门·期末）某校开展“探索生活中的数学奥秘”的社会综合实践活动，某小组选择“汽车中的数学”作为探究方向．他们去汽车维修部考察，发现师傅会将汽车的前后轮进行对调，师傅告诉他们，大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度略高于后轮．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，师傅建议行驶一定里程后，前后轮对调，可以使一组轮胎综合使用里程更长．于是他们提出“行驶多少里程后，前后轮胎对调，可以使得一组轮胎同时报废？”的研究课题． (1)若A型号轮胎安装在后轮位置可行驶的里程是安装在前轮位置的，设该型号的轮胎安装在前轮行驶万千米后报废， ①用含有的式子分别表示该型号轮胎安装在前轮和后轮上每万千米的损耗量； ②若一个全新的该型号轮胎安装在前轮行驶3万千米后，与后轮对调，又行驶了4万千米后报废，求的值； (2)若型号轮胎安装在前轮行驶万千米后报废，安装在后轮行驶万千米后报废，其中，小组成员猜想在行驶万千米后将前后轮对调，可以使得一组轮胎同时报废，你认为他的说法正确吗？若正确，请证明他的猜想；若不正确，请说明理由，并求出一组该型号新轮胎应行驶多少里程后，前后轮对调可使得前后轮同时报废．（参考公式： 【答案】(1)①该型号轮胎安装在前轮上每万千米的损耗量为，安装在后轮上每万千米的损耗量为；② (2)在行驶万千米后将前后轮对调，不能使一组轮胎同时报废．理由见解析；该型号新轮胎应行驶万千米后，前后轮胎对调可使得前后轮胎同时报废． 【思路引导】本题考查分式的运算的应用，分式方程的应用． （1）①把轮胎完好到报废的损耗量看成单位1，根据每万千米的损耗量等于损耗量除以里程即可解答； ②根据“安装在前轮的损耗量＋安装在后轮的损耗量＝1”列出方程，求解并检验即可； （2）B型轮胎在前轮每万千米的损耗量为，在后轮每万千米的损耗量为，当行驶万千米后将前后轮对调，原来在前轮的轮胎还可以行驶路程为万千米，原来在后轮的轮胎还可以行驶路程为万千米，若它们同时报废，则，得到，不合题意，即可解答．设行驶m千米后互换，再行驶n万千米后，两条轮胎同时报废，列出方程组，求解即可． 【完整解答】（1）解：①该型号轮胎安装在前轮上每万千米的损耗量为， 安装在后轮上每万千米的损耗量为． ②根据题意，得， 解得， 经检验，是该方程的解，且符合题意． （2）解：在行驶万千米后将前后轮对调，不能使一组轮胎同时报废．理由如下： B型轮胎在前轮每万千米的损耗量为，在后轮每万千米的损耗量为， 当行驶万千米后将前后轮对调， 原来在前轮的轮胎还可以行驶路程为（万千米）， 原来在后轮的轮胎还可以行驶路程为（万千米）， 若它们同时报废，则， 整理，得， ∴，不合题意， ∴在行驶万千米后将前后轮对调，不能使一组轮胎同时报废． 设行驶m千米后互换，再行驶n万千米后，两条轮胎同时报废，则 解得：， ∴该型号新轮胎应行驶万千米后，前后轮胎对调可使得前后轮胎同时报废． 42．（22-23八年级下·重庆九龙坡·阶段练习）习近平总书记一直十分重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调，“绿水青山就是金山银山”，为践行习总书记重要思想，开创生态文明新时代．安全村是生态文明建设示范村，已知安全村原有绿化植物紫薇、马兰、叶子花的数量之比，为加强生态文明建设，安全村决定增加紫薇、马兰、叶子花的种植量，经村委会测算，增加种植马兰的数量是增加种植这三种绿化植物之和的，此时，现有马兰的数量与现有的三种绿化植物总量之比为，而紫薇与叶子花的总量之比为，则安全村增加种植紫薇的数量与现有的这三种绿化植物总量之比是： ． 【答案】 【思路引导】设紫薇、马兰、叶子花的原有数量分别为，，，增加数量分别为x，y，z，则紫薇、马兰、叶子花的现有数量分别为，，，因此增加种植紫薇的数量与现有的这三种绿化植物总量之比是，根据所给数量关系列出方程组，通过等量代换用含h的代数式表示出x和，代入即可求解． 【完整解答】解：设紫薇、马兰、叶子花的原有数量分别为，，，增加数量分别为x，y，z， 则紫薇、马兰、叶子花的现有数量分别为，，， 由题意知：， 由得：，， 将代入，得，解得， 由③得：， 将代入，得， 解得， 因此， 即增加种植紫薇的数量与现有的这三种绿化植物总量之比是， 故答案为：． 【考点评析】本题考查分式方程、方程组的实际应用，计算量较大，解题的关键是根据题意列出方程组，通过等量代换求解． 考点讲练22：求反比例函数值 43．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知反比例函数，将代入函数表达式中，所得函数值记为；再将代入函数表达式中，所得函数值记为；然后将代入函数表达式中，所得函数值记为，如此继续下去． (1)完成下表： (2)根据上表的规律，猜想的值为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查求反比例函数的函数值，数字类规律探究： （1）根据题意，将自变量的值代入函数解析式，求出函数值，填写表格即可； （2）由（1）中表格可知，函数值以，3，三个数为一组进行循环，进而求出即可． 【完整解答】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 填表如下： 3 3 （2）由表格可知：函数值以，3，三个数为一组进行循环， ∵， ∴． 44．（24-25九年级上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则 ． 【答案】0 【思路引导】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 【完整解答】 解：函数的图象经过点和，，， ，， ． 故答案为：0． 考点讲练23：由反比例函数值求自变量 45．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，先根据，得出，再根据，，得出．然后把代入即可得出结论． 【完整解答】证明：∵， ∴， ∴， ∵，是反比例函数图象上的点， ∴，， ∴． ∵， ∴． 46．（20-21八年级下·江苏苏州·期中）平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：，称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点 根据定义，解答下列问题： (1)点的“可控变点”为点________． (2)点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，…，以此类推，若点的坐标为，则点的坐标为________． (3)若点是函数图象上点的“可控变点”，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或． 【思路引导】（1）依据“可控变点”的定义可得，点的“可控变点”为点； （2）依据变化规律可得每四次变化出现一次循环，即可得到当点的坐标为，则点的坐标为； （3）由题意知，点M在上，设，当时，的“可控变点”坐标为：，当时，的“可控变点”坐标为：，再结合反比例函数的特点解答即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴，， ∴根据“可控变点”的定义可得，点的“可控变点”为点， （2）当时，点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点，…， 故每四次变化出现一次循环； 当时， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点，…， 故每四次变化出现一次循环； ∵， ∴当点的坐标为，则点的坐标为． （3）由题意知，点M在上，设， 当时，的“可控变点”坐标为：， ∵点是函数图象上点的“可控变点”， ∴，则， ∴， 当时，的“可控变点”坐标为：， ∵点是函数图象上点的“可控变点”， ∴，则， 此时， ∴ 综上所述，点M的坐标为或． 【考点评析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，新定义的理解，坐标变换，解答本题的关键是熟练掌握新定义“可控变点”，解答此题还需要根据点的坐标变化规律进行判断． 考点讲练24：已知比例系数求特殊图形的面积 47．（24-25八年级下·全国·课后作业）反比例函数中两个变量的乘积不变，由此带来反比例函数的一些特性．如图①，是反比例函数的图像上的一个动点，轴，垂足为轴，垂足为，则，所以，，即矩形的面积不变．当时上述结论也成立．我们可称这一性质为“反比例函数的′面积不变性′”，连接，此时，的面积为，也是定值．试利用“反比例函数的′面积不变性′”解决下列问题：    如图②，③，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为． (1)如图②，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为、相交于点．试比较下列图形面积的大小：______，______（选填“”“”或“”）． (2)如图③，的延长线与反比例函数的图像的另一个交点为轴，垂足为，连接，则四边形的面积为______． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是熟练掌握“过反比例函数图像上的任意一点分别向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于”． （1）由反比例函数系数的几何意义可得，，进而根据，即可求解； （2）根据“反比例函数图像”和“过原点的直线”都是以原点为对称中心的中心对称图形，得出、两点关于原点对称，再根据反比例函数中系数的几何意义求解即可． 【完整解答】（1）解：由反比例函数系数的几何意义可得，， ， ， 故答案为：，； （2）“反比例函数图像”和“过原点的直线”都是以原点为对称中心的中心对称图形， 、两点关于原点对称， 反比例函数的解析式为：， ， ， 故答案为：． 48．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图是反比例函数的图像，在图像上任取一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则四边形是一个矩形，这个矩形的面积为．根据下列要求画图，并写出理由． (1)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的平行四边形（不可为矩形）； (2)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，反比例函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）连接，过点作交轴于点，可知四边形是平行四边形，则有，从而，所以平行四边形即为所求； （2）连接并延长交反比例函数于，连接，由反比例函数的对称性可知，可得，所以即为所求． 【完整解答】（1）解：连接，过点作交轴于点，如图： 轴，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形即为所求； （2）解：连接并延长交反比例函数于，连接，如图： 由反比例函数图象的对称性可知，与关于点对称， ， ， ， ， ， 即为所求． 考点讲练25：求反比例函数解析式 49．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）已知，一次函数的图象交反比例函数图象于点A，B，交x轴于点C，点B为． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； (3)如图2，一次函数交y轴于点F，将一次函数绕C顺时针旋转交反比例函数图象于点D，E，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)8 (3) 【思路引导】（1）首先确定点坐标，然后根据待定系数法求反比例解析式即可； （2）设点的坐标为，则点，根据题意，是以为底边的等腰三角形，则点在的垂直平分线上，易得，解得的值，进而确定点，的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）过点作于，过作轴于，过点作，交延长线于点，证明，由全等三角形的性质可得，，设，易得，求解即可确定点坐标，进而可利用待定系数法解得直线的解析式，联立直线的解析式与反比例函数解析式，求解即可获得答案． 【完整解答】（1）解：对于一次函数， 当时，可有， ∴点， 将点的坐标代入反比例函数表达式， 可得 ， 即反比例函数表达式为； （2）设点的坐标为，则点， 若是以为底边的等腰三角形，则点在的垂直平分线上， 则有 ， 解得（舍去）或， ∴，， 则； （3）设一次函数的图像与轴交于点，过点作于，过作轴于，过点作，交延长线于点，如下图， 对于一次函数， 令，可有，即的坐标为， 令，可有，解得，即的坐标为， 由题意可知，一次函数的图像绕点顺时针旋转交反比例函数图像于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设， ∵ ，， ∴，，，， ∴可有，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式与反比例函数解析式， 可得，可得， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 【考点评析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合应用、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，综合性强，难度较大，解题关键是综合运用相关知识，并运用数形结合的思想分析问题． 50．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，． (1)求与的解析式； (2)当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围； (3)求的面积； (4)设直线与的交点横坐标分别为，，与直线的交点横坐标为，若，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 (3) (4) 【思路引导】（1）根据反比例函数性质得到，求出值，得到点，坐标，再利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据图象交点坐标直接得出自变量x的取值范围即可； （3）利用一次函数性质求出其与轴交点坐标，再结合利用割补法求三角形面积，即可解题； （4）根据题意得到即与的交点在之间，求出当过时，当过时b的临界值，即可得到b的取值范围． 【完整解答】（1）解：反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点， ， 解得， 点，， ， 反比例函数解析式为； 又，解得， 一次函数解析式为； （2）解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围是或； （3）解：， 当时，，解得， 的面积； （4）解：直线与的交点横坐标分别为，，与直线的交点横坐标为，若， 即与的交点在之间， 当过时，．解得， 当过时，．解得， b的取值范围为． 【考点评析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据交点情况求不等式解集，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键． 考点讲练26：反比例函数与几何综合 51．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②四边形的面积不会发生变化；③与始终相等；④当点A是的中点时，点B一定是的中点．其中一定正确的是 ． 【答案】①②④ 【思路引导】本题考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数的图象等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 由点均在反比例函数的图象上，利用反比例函数系数的几何意义即可得出，即可判断①正确；利用分割图形求面积法即可得出四边形的面积为，即可判断②正确；设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，求出的长度，可得出与的关系无法确定，即可判断③错误；连接，由点是的中点可得，结合，可得，从而可得，即可判断④正确． 【完整解答】解：∵点均在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴，， ∴，结论①正确； ∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴， ∴， 即四边形的面积不会发生变化，结论②正确； 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ，， 与的关系无法确定，结论③错误； 如图，连接， 点是的中点， ， ，， ，即， ， ∴点一定是的中点，结论④正确； 综上，正确的结论有①②④， 故答案为：①②④． 52．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点C在y轴上，B在x轴上，把矩形沿对角线所在的直线翻折，点A恰好落在反比例函数的图象上点D处，与y轴交于点E，延长交x轴于点F，点D刚好是的中点．已知B的坐标为． (1)求的度数； (2)求反比例函数的函数表达式； (3)若Q是反比例函数图像上的一点，P点在x轴上，若以P，Q，B，E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点的坐标________________________． 【答案】(1) (2) (3)P点的坐标为或或 【思路引导】（1）根据折叠的性质，线段垂直平分线的判定和性质，角的计算解答即可； （2）利用中点坐标公式计算点D的坐标即可； （3）根据平行四边形的判定，中点坐标公式解答即可； 【完整解答】（1）解：根据题意，得， 又D是中点， 故垂直平分， 所以， 故． （2）解：∵B的坐标为． ∴ ∴， ∴， ∴ ∵点D在反比例函数的图象上， ∴ ∴反比例函数的解析式． （3）解：或或． 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， 设，，由， 当为对角线时， 由中点坐标公式得： 解得：， ∴； ∴； 当为对角线时， 由中点坐标公式得： 解得：， ∴； ∴； 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得：， ∴； ∴； 综上所述，存在点P，且P点的坐标为或或． 【考点评析】本题考查了折叠的性质，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，中点坐标公式，分类思想的应用，熟练掌握待定系数法，平行四边形的性质，中点坐标公式是解题的关键． 考点讲练27：根据图形面积求比例系数（解析式) 53．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，已知，分别是反比例函数与，且轴，点的坐标为，分别过点，作轴于点，轴于点．若四边形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了反比例函数系数的几何意义，矩形的判定，延长交轴于点，求出，然后证明四边形，四边形，四边形是矩形，又点在反比例函数图象上，则，再通过，即，求出的值并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【完整解答】解：如图，延长交轴于点， ∵点的坐标为在反比例函数上， ∴， ∵轴，点的坐标为，分别过点，作轴于点，轴于点， ∴轴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形是矩形， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴， 故选：． 54．（24-25九年级上·广东佛山·期末）【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，的一边与轴正方向重合，点在射线上；过点作轴于点，的面积是，函数的图象经过点；以点为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点；分别过点，点作轴和轴的平行线，两线相交于点，连接；过点作轴的平行线交线段于点． 【构建联系】 （1）填空： ． 【深入探究】 （2）求证：点在直线上． （3）请写出与的数量关系，并说明理由． （4）尺规作图：求作射线，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】（1） （2）见解析 （3），见解析 （4）见解析 【思路引导】（1）运用反比例函数系数的几何意义即可求得答案； （2）设，，由轴，轴，可得，，运用待定系数法可得直线的解析式为，当时，，即可证得结论； （3）连接交于点，可证得四边形是矩形，推出，再证得，即可求得答案； （4）连接交反比例函数的图象于点，以点为圆心，为半径画弧交反比例函数的图象于点，分别过、作轴、轴的平行线交于点，作点关于轴的对称点，连接、即可． 【完整解答】解：（1）由于函数的图象经过点， 则， 又， ， 故答案为：； （2）证明：由（1）知：， 设，， 轴，轴， ，， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点在直线上； （3），理由如下： 轴，轴， ， 四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， ， ， 轴， ， ； （4）如图所示，连接交反比例函数的图象于点，以点为圆心，为半径画弧交反比例函数的图象于点，分别过、作轴、轴的平行线交于点，作点关于轴的对称点，连接、，则射线，即为所求． 【考点评析】本题考查了待定系数法、反比例函数系数的几何意义、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 考点讲练28：一次函数与反比例函数图象綜合判断 55．（23-24八年级下·山西临汾·期中）如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，且一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．      (1)求一次函数的表达式以及点的坐标． (2)利用图象，直接写出关于的不等式的解集． (3)如图2，将直线绕点逆时针方向旋转，求旋转后所得直线的函数表达式． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【思路引导】（1）根据题意把代入，求得反比例函数解析式，把代入反比例函数解析式求得，再利用待定系数法求得一次函数的表达式，利用一次函数解析式求出其与轴交点，即可解题； （2）根据函数图像确定一次函数图像在反比例函数图像上方的自变量的取值范围即可； （3）利用一次函数解析式得到点坐标，过点作，交旋转后的直线于点，过点作轴于点，结合旋转的性质和等腰三角形性质证明，利用全等三角形性质得到坐标，设旋转后直线的解析式为，利用待定系数法求得旋转后所得直线的函数表达式即可． 【完整解答】（1）解：把代入，得：，解得：， 把代入得：， 把，代入得： ，解得：， 所以一次函数的表达式为， 把代入，得，， ； （2）解：由图知，不等式的解集为：或； （3）解：把代入，得， ， 过点作，交旋转后的直线于点，过点作轴于点，   ， ，， ， 由旋转的性质可得：， ， ， ， ， ，， ， ， 设旋转后直线的解析式为， 把，代入得： ，解得：， 所以旋转后直线的解析式为． 【考点评析】本题考查了一次函数与反比函数图像性质，等腰三角形性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，掌握待定系数法求函数解析式及利用图像解决不等式是解题的关键． 56．（22-23八年级下·江苏南京·期末）对于两个不同的函数，通过加法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的“和函数”．例如：对于函数和，则函数，的“和函数”．    (1)已知函数和，这两个函数的“和函数”记为． ①写出的表达式，并求出当x取何值时，的值为； ②函数，的图象如图①所示，则的大致图象是______． A．       B．   B． C．  D．   (2)已知函数和，这两个函数的“和函数”记为． ①下列关于“和函数”的性质，正确的有______；（填写所有正确的选项） A．的图象与x轴没有公共点 B．的图象关于原点对称 C．在每一个象限内，随x的值增大而减小 D．当时，随着x的值增大，的图像越来越接近的图象 ②探究函数与一次函数（为常数，且图象的公共点的个数及对应的k的取值范围，直接写出结论． 【答案】(1)①，或；②C； (2)①BD；②当且且时，公共点的个数为2；当或时，公共点的个数为1；当时，公共点的个数为0 【思路引导】（1）①直接代入求解即可； ②通过求在一三象限的最值确定函数图象； （2）①根据函数的性质依次判断即可； ②将函数交点问题转化为对一元二次方程根的判别式问题求解． 【完整解答】（1）①解：∵，， ∴， 把代入得：， 两边同乘，得：， 解得，， 经检验，，都是方程的解． 所以当或时，的值为； ②由完全平方公式可知：，，，即， 当时，， 当时，，， ∴，， 观察四个函数图象，C选项符合题意， 故选：C； （2）①解：∵，， ∴， A．当时，，所以图象与x轴有公共点，该选项错误； B．任选上的一点，，P关于原点对称点，代入得出 成立，故在上，所以的图像关于原点对称，该选项正确； C．当时，，当时，，此时y随x的增大而增大，该选项错误； D．，随着x的增大，越趋近于0，即和的图象越接近，该选项正确， 故选：BD； ②解：根据题意可得：， 即，该方程， 当且且时，公共点的个数为2； 当或时，公共点的个数为1； 当时，公共点的个数为0． 【考点评析】本题考查新定义，函数的性质，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题关键． 考点讲练29：一次函数与反比例函数的交点问题 57．（2025·四川成都·二模）如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C． (1)求双曲线的解析式； (2)如图2，连接OC． ①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标； ②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)双曲线的解析式 (2)①；②的值不发生变化，为18 【思路引导】（1）根据非负数的性质求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）①求出点，，即可求出的面积，设点D的坐标为，，根据的面积是的面积的3倍，求出m的值，即可解答． ②过C作轴于H，证得是等腰直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，设，则，可得，再根据题意可得，即可得证． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得， 将代入，得 ，解得， ∴双曲线的解析式． （2）①当时，， 令，得， ∴，即， 联立得：， 解得：或， ∴点C的坐标为， ∴， 设点D的坐标为，，则 ， ∵的面积是的面积的3倍， ∴，解得， 即， ∴． ②的值不发生变化，理由如下： 过C作轴于H，如图：在中，令得，令得， ∴， ∴， 即 ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 由反比例函数可知，， ∴，即， ∴， ∴ 即的值不发生变化，为18． 58．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）几何图形是数学研究的主要对象之一，图形的形状、大小和位置是几何中研究的主要内容，平面几何中，平移、翻折、旋转是常见的图形变换．鹿鸣学堂数学兴趣小组的同学们在学习了反比例函数的相关内容后，进一步探究反比例函数的图像的平移、旋转、翻折的相关问题，过程如下： (1)如图1，将反比例函数的图像向左平移3个单位，求平移后的图像与y轴的交点坐标； (2)如图2，将反比例函数（）的图像绕点O顺时针旋转60°，点P为旋转后图像上的一点，过点P作直线的垂线，垂足是H，若，求的值； (3)如图3所示，反比例函数（）的图像沿直线翻折得到新图像．若直线与两条曲线交于E、F，直线与两条曲线交于G、H，同学们发现E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，当这个矩形的面积是4时，直接写出b的值． 【答案】(1) (2)2或3 (3)7或3 【思路引导】（1）根据函数图像变换规律“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，进而求解即可； （2）设点为点P旋转前的图像上的对应点，过点作轴于，则，设点坐标为，则①，②,解得，或，，则或；证明直线与x轴的夹角为；证明得到即可求解； （3）联立方程组求得，，进而求得，根据矩形性质求得，分当点H在点G右上方时和当点H在点G左下方时两种情况求得点H坐标，进而利用矩形的性质求得对角线的交点坐标，进而可求解． 【完整解答】（1）解：∵将反比例函数的图像向左平移3个单位， ∴平移后的函数解析式为， ∵当时，， ∴平移后的图像与y轴的交点坐标； （2）解：设点为点P旋转前的图像上的对应点，过点作轴于，如图， 则，设点坐标为， 则①，②, 解得，或，， 则或； 如图，在直线取一点，过T作轴于S， 则，，， ∴，满足直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半， ∴，即直线与x轴的夹角为； ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 即的值为2或3； （3）解：解方程组，得或（舍去）， ∴； 解方程组，得或（舍去）， ∴， ∴， ∵E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，且面积是4， ∴， ∴， ∵直线与两条曲线交于G、H， ∴当点H在点G右上方时，形成矩形为， ∴，此矩形对角线的交点为的中点，坐标为， 根据轴对称性质，将代入得， 解得； ∴当点H在点G左下方时，形成矩形为， ∴，此矩形对角线的交点为的中点，坐标为， 根据轴对称性质，将代入得， 解得； 综上，满足条件的b值为7或3． 【考点评析】本题考查平移的性质、旋转的性质、轴对称的性质以及图形变换的应用、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、矩形性质等知识，熟练掌握图形变换的性质是解答的关键． 考点讲练30：一次函数与反比例函数的实际应用 59．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点_______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则_______； 【深入探究】 （2）若“美好点” 在双曲线（，且为常数）上，则_______； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象： 列表：下表是x与y的几组对应值，请将下表填写完整． 描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图像； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是_______；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图象经过点； ④对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． ⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数的图象怎样平移得到？ 【答案】（1）不是，；（2）；（3）①（）；②图见解析，；③AB；④是为定值，定值为；⑤ 【思路引导】（1）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （2）根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； （3）①根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案； ②先列表然后描点连线即可得到图象， ③根据图象逐一判断即可得到答案； ④将代入进行计算即可得到答案， ⑤由图象观察可知，该图像可由平移得到． 【完整解答】解：（1）， 点不是“美好点”， 点是第一象限内的一个“美好点”， ， 解得：， 故答案为：不是，4； （2）是“美好点”， ， 解得：， ， 将代入双曲线， 得， 故答案为：18； （3）①点是第一象限内的“美好点”， ， 化简得：， 第一象限内的点的横坐标为正， ， 解得：， 关于的函数表达式为：（）； ②列表如下， 如图如图所示：    ③由图象可得： A，图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意； B，由图象可知随着的增大而减小，故B正确，符合题意； C，随着的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意； D，当时，，所以图象经过点，故该选项说法错误，不符合题意 故选：AB； ④， ， 对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为． ⑤该图象可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故答案为：； 【考点评析】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． 60．（2023·广东深圳·一模）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离． 例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离． 【应用】 （1）如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E．若，，则与之间的距离是 ； （2）如图3，已知直线与双曲线交于与B两点，点A与点B之间的距离是 ，点O与双曲线之间的距离是 ； 【拓展】 （3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南−西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？ 【答案】（1）；（2），；（3）80米 【思路引导】（1）过点D作于点H，得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出结果即可； （2）先根据一次函数解析式求出，然后再求出反比例函数解析式，再求出点，根据两点点距离公式求出的值即可；作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为，求出一次函数解析式，再求出交点坐标，最后求出的值即可； （3）作直线，设的解析式为，与双曲线交于点A、B，过点O作于点P，过点P作轴于点H，过点A、B分别作直线的垂线、，垂足为E、F，先求出直线的解析式，然后求出点A、B的坐标，根据两点之间距离公式求出的长，进而即可得出答案． 【完整解答】解：（1）如图，过点D作于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）把代入中，得：， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴双曲线的解析式为， 联立，得：， 即， 解得：，， ∴， ∴； 如图，作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为， 则， 整理得：， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴直线的解析式为， 由， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：；． （3）如图，作直线，设的解析式为，与双曲线交于点A、B，过点O作于点P，过点P作轴于点H，过点A、B分别作直线的垂线、，垂足为E、F， 则， ∵直线平分第二、四象限角， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 代入，得， 解得：， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80米． 【考点评析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，两点之间距离公式，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握两点之间距离公式，准确计算． 考点讲练31：一次函数与反比例函数的其他综合应用 61．（2025·四川成都·二模）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)存在，点的坐标为或． 【思路引导】把代入，求出值，即可得到反比例函数的解析式，把代入，求出值，即可得到一次函数的解析式； 将直线沿轴方向向上平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，的长度就是直线中的；将直线沿轴方向向下平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：，其中的长度是直线中的的相反数； 根据等和点的关系和点、点所在的解析式，设点，点，根据等和点的坐标之间的关系可得方程，解方程求出的值，再把的值代入反比例函数解析式，即可求出符合要求的点的坐标． 【完整解答】（1）解：把代入， 可得：， ， 反比例函数的解析式为， 把代入， 可得：， ， 直线的解析式为； （2）解：， 点的坐标是， ， 如下图所示， 将直线沿轴方向向上平行移动时， 设直线与，轴分别交于点，，则， ， ， ， ， 直线与直线平行，， 直线的解析式为； 将直线沿轴方向向下平行移动时， 设直线与，轴分别交于点，，则， ， ， ， ， 直线与直线平行，， 直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为或； （3）解：点的坐标为或， 点在图象上，点在直线上， 设点，点， 点是点的等和点， ， ， ， ，， 经检验，，均是原分式方程的根， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 综上所述，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或． 【考点评析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合性、求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、函数图象的平移，解决本题的关键是根据函数的图象与性质找到相应的点的坐标，再根据坐标求出解析式． 62．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图象，两个函数图象交于两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： (1)设点P的横坐标为x，的长度为y，则y与x之间的函数关系式为　　　（）； (2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象： ①列表：表中　　　； ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，的最大值为　　　． (3)①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长； ②如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)①；②见解析；③，图见解析 (3)①；② 【思路引导】（1）根据题意，点P的横坐标为x，PQ的长度为y，可得根据的长等于纵坐标之差求解即可； （2）①根据表格数据分别将代入即可求得的值；②根据表格数据描点即可；③根据函数图象直接求解即可 （3）由题意可知，，代入得：，即，根据的结论求得最大值，进而求得对角线的长度； ②先求出点，点坐标，设点，可求, 由四边形面积列式，即可求解. 【完整解答】（1）点P的横坐标为x，PQ的长度为y，可得 ；     故答案为： （2）①当时， 故答案为：；    ②如图所示，    ③观察函数图象， 当时，有最大值为，故答案为: 4； （3）①根据题意可得代入 中，可以得到， 即 ， 由可知函数在时,取得最大值为， ∴当时,,即取得最大值， ， ∴在取得最大值时，矩形的对角线长为 ②∵直线与坐标轴分别交于点, ∴点, 点， 设点， ∴,点， ， ∵四边形面积 由得,当时,有最大值为，即有最小值， ∴四边形面积的最小值为. 【考点评析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，画函数图象，根据函数图象获取信息，矩形的性质，数形结合是解题的关键． 考点讲练32：实际问题与反比例函数 63．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）教室里的饮水机接通电源，就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时x成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为时，接通电源后，水温和时间x的关系如图． (1)直线的函数关系式为______． (2)①如图，t的值为______； ②饮水机第一次关机前，当水温达到以上时，则x的取值范围为______． (3)为了在上午第三节下课时（）能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的吗？说明理由． 【答案】(1) (2)①  ② (3)接通电源的时间可以是当天上午的，理由见解析 【思路引导】（1）设直线的函数关系式为，利用待定系数法解答即可． （2）①根据题意，得反比例函数经过点，设反比例函数的解析式为，确定解析式，后代入求值即可； ②根据解析式为，，分别计算当时的x的值，即可得到范围． （3）根据解析式为，，当时，；当时，；确定循环时长，解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，待定系数法，正确理解题意是解题的关键． 【完整解答】（1）解：根据题意，得温度升到用时间为， 设直线的函数关系式为， 根据题意，得， 解得， 所以． （2）解：①根据题意，得反比例函数经过点， 设反比例函数的解析式为， 故， 解得， 故， 当时， 故， 故答案为：； ②解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 故温度为60摄氏度以上时的时间范围是， 故答案为：． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 故温度为50摄氏度以上时的时间范围是， 即有， 根据题意，得饮水机循环开机时间为，且每个循环周期中，和时段中温度低于， 若接通电源的时间是当天上午的，到一共为， 经过5次循环，剩余时长为， 恰好在的时段中，此时温度不高于， 故可以在接通电源． 64．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______． 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 【答案】（1）；4；2；（2）时，不能围出面积为的矩形；图见解析，理由见解析；（3），交点坐标为． 【思路引导】（1）根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，解方程即可． （2）仿照（1），根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式判定方程解的情况即可． （3）仿照（2），根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式，令判别式等于零求解即可． 【完整解答】解：（1）将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∴，， ∴方程组的解为或， ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2）时，不能围出面积为的矩形；理由如下： 由题意得，即直线：， 将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∵， ∴无解， 故两个函数图象无交点； 的图象， 当时，；当时，； 如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴时，不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线：所示， ∵直线与反比例函数的图象有唯一交点， ∴有唯一解，即：方程只有一个实数解， ∴， 解得：或（舍去）， 此时：， 解得：， 当时，， ∴此时交点坐标为． 【考点评析】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，函数的交点问题，图象的画法，解方程组，解一元二次方程，根的判别式的应用，熟练掌握解方程组，解方程，根的判别式活用是解题的关键． 考点讲练33：实际问题与反比例函数 65．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在正方形中，E，F分别为，边上的点，与交于点M，N为上一点，连接，若．则下列结论：①；②；③；④若，点N为的中点，，则．其中一定正确的结论是 ．（请将正确的结论的序号填在横线上） 【答案】①②④ 【思路引导】根据四边形是正方形，得出，，证明，得出，即可判断①；根据，等量代换得出，三角形内角和定理得出，即，即可判断②；根据，得出，若，则，则，根据①知，在直角三角形在根据斜边大于直角边得出，即，与矛盾，即可判断③；根据，求出，结合①得，在中勾股定理求出，则，在中，等面积法求出，即可求出，在中，勾股定理求出，在中，勾股定理求出，再根据直角三角形的性质求出，即可判断④； 【完整解答】解：∵四边形是正方形， ∴， ， 在和中 ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， 即，故②正确； ∵， ∴， 若， 则， ∴， 根据①知， ∵， ∴， 与矛盾，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴， 结合①得， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 根据②， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴，故④正确； 故正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 【考点评析】该题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形面积公式，二次根式的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 66．（24-25八年级上·江苏南京·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值是 ； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ； (3)【感悟探索】 ①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是 ． 【答案】(1)①，；②5 (2)20 (3)①见解析，；② 【思路引导】本题考查了轴对称-最短路线问题，也考查了勾股定理和类比的方法． （1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出即可得到代数式的最小值； （3）①利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为1的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结论； ②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长，的长方形，利用勾股定理构图解答即可． 【完整解答】（1）解：①在中，， 在中，， 故答案为：，； ②连接， 由①得， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图1，易得四边形为长方形， ∴，， 在中，， ∴的最小值为5， 即的最小值是5； 故答案为：5； （2）解：如图， 设，，，，则， 在中，， 在中，； ∴， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，易得四边形为长方形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为20， 即的最小值为20． 故答案为：20； （3）解：画出边长为1的正方形，在边上截取出长为a，b，c的线段，作图如下： 则，，，， ∴， 利用两点之间线段最短可知：（当且仅当A、B、C、D共线时取等号）， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为； ②分别以，为边长作出长方形，则，，上取一点E，使，则，取的中点为F，连接，，，如图， ∴，，，，， ∴， ， ， ∴以，，为边的三角形的面积， ∵ ， ∴以，，为边的三角形的面积为， 故答案为：． 考点讲练34：利用二次根式的性质化简 67．（24-25八年级下·福建福州·期中）已知，一次函数与轴交点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点是轴上一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，当的面积是时，求点的坐标； (3)已知是的角平分线，在线段上找一点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)直线的函数解析式为 (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为 【思路引导】（1）先求出的坐标，对称性求出点坐标，待定系数法求出的函数解析式即可； （2）设，则、，过点作于点，利用，进行求解即可； （3）方法一：作于点，利用等积法求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可． 方法二：作于点，利用等积法求得，过点作，延长交轴于，连接，如图所示，在中，由勾股定理求出，再利用等积法求得，在等腰中，设，则，即，建立方程解得，在中，由勾股定理求出，即可得到答案． 【完整解答】（1）解：对于， 由得，则， 由得，解得，则， ∵点与点关于轴对称， ∴， 设直线的函数解析式为， 则，解得． ∴直线的函数解析式为； （2）解：设， 则、， 过点作于点，如图所示： ∴，， ∴， 解得， ∴点的坐标为或； （3）解法一：∵，， ∴，， ∴， 作于点，如图所示： ∵是的角平分线， ∴， ∵， 即， 解得， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴点的坐标为． 解法二：∵，， ∴，， ∴， 作于点，如图所示： ∵是的角平分线， ∴， ∵， 即， 解得， 过点作，延长交轴于，连接，如图所示： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， ，则， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， ， ，解得， 在等腰中，设，则由勾股定理可知， 即， ， 解得， 在中， ． ∴点的坐标为． 【考点评析】本题考查一次函数的综合应用，涉及相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理、等面积法求线段长等知识．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 68．（20-21八年级上·福建三明·期中）先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以， 问题： （1）填空：__________，____________﹔ （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________． （3）化简：（请写出化简过程） 【答案】（1），；（2）；（3） 【思路引导】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果； （3）将写成，4写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算． 【完整解答】解：（1）； ； （2）； （3）==． 【考点评析】本题考查二次根式的计算和化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 考点讲练35：复合二次根式的化简 69．（24-25八年级下·北京海淀·期中）小君想到了一种证明等式成立的方法． 证明过程如下： 设，，则，． 等号左边，等号右边； ∵，， ∴， ∴等号右边， ∴等号左边等号右边， ∴等式成立． (1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下： (2)请直接写出方程的解为________． 【答案】(1)9；1；． (2) 【思路引导】本题主要考查了无理方程、二次根式的性质与化简、二次根式的乘除法、二元一次方程组的解等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）依据题意，由、，则，，又，则可求出m，n，进而完成解答； （2）依据题意，由，从而， 则，故，然后整理后求解即可． 【完整解答】（1）解：设，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 联立，解得： ∴． ∴． 故答案为：9；1． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴，解得：． 经检验：是原方程的解． 故答案为：． 70．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）问题提出：如图（1），E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系． 问题探究： （1）先将问题特殊化，如图（2），当时，求证：： （2）再探究一般情形，如（1），试探究与的数量关系． 问题拓展：现将图（1）特殊化，如图（3），连接，若，菱形的面积为，则当点E从点B运动到点C时，线段扫过的面积为_____ 【答案】（1）证明见解析，（2）；（3）． 【思路引导】问题探究（1）在上截取，使得，证明得到，进一步证明，，即可求出； （2）在上截取，使，连接，证明得到，求出得到，进而得到； 问题拓展：如图，过作于，延长交的延长线于，由菱形的面积为，可得，证明的轨迹是线段，当，重合，，重合，如图，可得扫过的面积是的面积，再进一步解答即可． 【完整解答】解：（1）如图，在上截取，使得． ∵四边形是正方形， ，， ∵， ， ∵，， ， ∵， ， ， ∵，， ∴， ， ， ； （2）结论：； 理由：如图，在上截取，使，连接． ∵，， ． ∵， ， ． ∵，， ． ∵， ， ∴， ； （3）如图，过作于，延长交的延长线于， ∵菱形，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵菱形的面积为， ∴， ∴， ∵，结合（2）可得： ， ∴的轨迹是线段， 当，重合，，重合，如图， ∴扫过的面积是的面积， 由菱形的性质可得：， ∴， ∴， ∴扫过的面积是． 【考点评析】本题考查的是二次根式的混合运算，正方形，菱形的性质，勾股定理的应用，点的轨迹问题，全等三角形的判定与性质，本题难度大，属于中考压轴题，作出合适的辅助线是解本题的关键． 考点讲练36：二次根式的乘除混合运算 71．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）下列整数x能使为最简二次根式，则x可以是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】D 【思路引导】根据最简二次根式的定义对各选项进行判断即可．本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【完整解答】解：A、当时，，不是最简二次根式，故选项A不符合题意； B、当时，，不是最简二次根式，故选项B不符合题意； C、当时，，不是最简二次根式，故选项C不符合题意； D、当时，，是最简二次根式，故选项D符合题意． 故选：D 72．（24-25八年级下·西藏日喀则·期中）下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的概念逐一进行判断即可． 【完整解答】解：A．被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项不符合题意； B．是最简二次根式，故选项符合题意； C． 被开方数含有分母，不是最简二次根式，故选项不符合题意； D． 被开方数含有分母，不是最简二次根式，故不符合题意． 故选：B． 考点讲练37：化为最简二次根式 73．（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在矩形中，，的平分线交于点，连接，若，求的长． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，由矩形的性质得到，再证明为等腰直角三角形，得到，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【完整解答】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 74．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）【问题情境】矩形的折叠 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以折纸活动是一种有效的学习方式．活动课上，同学们选取相同矩形纸片进行操作，其中． 【初步操作】 （1）小刚将图①中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，然后把纸片展平得到图②，证明四边形是正方形； 【操作探究】 （2）小红将矩形纸片先沿着与平行的虚线折叠（如图③），使点A、D分别落在上的G、H处，E，F分别在边上，将矩形纸片沿着折叠，点G、H分别落在点与点处，恰好点B在边上，与相交于点O，且，又已知，求线段的长； 【深入研究】 （3）如图④，小明将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得折痕，沿着折痕剪开．E、F分别在边上，，将矩形纸片沿着折叠，点M、D分别落到点与点处．点E从点N单向运动到点M的过程中，若边与边交于点P． 填空：的最大值为________；点P运动的路径长为________． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）8； 【思路引导】（1）由矩形的性质得到，由折叠的性质得到，，则可证明是等腰直角三角形，得到，据此可证明结论； （2）先证明四边形是矩形，得到，，则；可证明，得到，，则，；由折叠的性质可得，，则，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案 （3）如图3-1所示，可证明，得到，则，故当时，有最小值，即此时有最大值，可证明此时四边形是矩形，则，即；如图3-2所示，当点E与点N重合时，同理可得，设，则，由勾股定理得，解方程可得；如图3-3所示，当点P恰好与点重合时，由折叠的性质可得，则，据此可得答案． 【完整解答】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴四边形是矩形，是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形； （2）∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 由折叠的性质可得，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （3）如图3-1所示，由折叠的性质可得，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，有最大值， ∴当时，有最小值，即此时有最大值， ∴此时四边形是矩形， ∴， ∴； 如图3-2所示，当点E与点N重合时，同理可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 如图3-3所示，当点P恰好与点重合时， 由折叠的性质可得， ∴， ∴点P运动的路径长为． 【考点评析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，正方形的判定，全等三角形的性质与判定等待，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 考点讲练38：已知最简二次根式求参数 75．（22-23八年级下·安徽·阶段练习）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 【答案】68 【思路引导】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可． 【完整解答】∵A，B为最简二次根式，且， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：68． 【考点评析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出是解题的关键． 76．（19-20八年级下·山东济南·阶段练习）如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值． 【答案】x=4，y=3． 【思路引导】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可． 【完整解答】∵最简二次根式与同类二次根式， ∴3a+4=19-2a， 解得，a=3， ∴，即 ∵≥0，≥0， ∴12-3x=0，y-3=0， 解得，x=4，y=3． 【考点评析】本题考查的是最简二次根式、同类二次根式的概念以及二次根式的性质，掌握二次根式是非负数是解题的关键． 考点讲练39：二次根式的加减运算 77．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． （1）仿照例题即可求解； （2）将化为，再利用二次根式的性质化简计算； （3）将变形为，再利用二次根式的性质化简计算． 【完整解答】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， 而，则 ∴ （3）解： ． 78．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的加减计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先化简二次根式，再根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【完整解答】（1）解：原式 ； （2）解： ． 考点讲练40：二次根式的混合运算 79．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了二次根式的混合运算． （1）先利用二次根式的性质化简，化简绝对值，求算术平方根，最后根据二次根式的加减运算法则计算即可． （2）先计算完全平方公式计算二次根式的乘法运算，再计算二次根式的除法，最后再计算二次根式的加减法即可． 【完整解答】（1）解： （2）解： 80．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解下列材料，并解决相应的问题． ［材料一］两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是 （写出一个即可），的有理化因式是 （写出一个即可）； ［材料二］如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简计算：． ［材料三］与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．比如：． （3）试利用分子有理化比较和的大小．并说明理由． 【答案】（1）（答案不唯一），（答案不唯一）；（2）；（3） 【思路引导】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据分母有理化计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可． 【完整解答】解：（1）的有理化因式是（答案不唯一）， 的有理化因式是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一）； （2） ； （3）， ， ， ， ． 考点讲练41：已知字母的值，化简求值 81．（2025八年级下·河南·专题练习）（1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）15；（2）． 【思路引导】本题考查了代数式求值，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据完全平方公式将原式变形，再代入求解即可； （2）将代入，再根据多项式乘式多项式，平方差公式求解即可． 【完整解答】解：（1），， ； （2）， ． 82．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的就应用了黄金分割数．设，，请解决下面的问题． (1)分别求出，的值． (2)分别求出，的值． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题考查的是黄金分割数的含义，二次根式的混合运算，分式的加法运算； （1）直接代入，进行计算即可； （2）由，，再代入计算即可． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴． ． （2）解：∵，， ∴． ． 考点讲练42：已知条件式，化简求值 83．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）在数学课外学习活动中，小浩和他的同学遇到一个问题：已知，求的值，经过思考和讨论他是这样解答的； ，，， ，． 请你根据小浩的解题过程，解决如下问题： (1)______，______； (2)求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2)44 (3)0 【思路引导】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值，熟知分母有理化的方法是解题的关键： （1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）根据（1）所求把所求式子的每一项分母有理化，再计算加减法即可； （3）先求出a的值，进而求出的值，再把所求式子分解因式得到，据此可得答案． 【完整解答】（1）解：； ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 84．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）阅读理解：已知，将其分母有理化，小明同学是这样解答的： ． 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)化简：； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键； （1）根据题意可直接进行分母有理化； （2）根据分母有理化先化简，然后根据二次根式的加减运算可进行求解即可； （3）先分母有理化，可得，可得，然后再进行代值求解． 【完整解答】（1）解：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 考点讲练43：比较二次根式的大小 85．（24-25八年级下·吉林长春·期中）阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)写出的一个有理化因式：________，将分母有理化得________． (2)计算：； (3)比较大小：________（用“＞”、“=”或“＜”填空）． 【答案】(1)； (2) (3) 【思路引导】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法． （1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简； （2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子，再进行加减计算，即可求解； （3）先计算两数的倒数，根据分母有理化，进而比较即可求解． 【完整解答】（1）解：的一个有理化因式为；分母有理化得， 故答案为：；． （2）解： ； （3）解： ∵ ∴ 故答案为：． 86．（24-25八年级下·全国·课后作业）比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 显然，所以． 仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题： (1)猜想：与的大小关系； (2)尝试计算：． 【答案】(1) (2)9 【思路引导】此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同． （1）根据阅读材料中的方法将两式化简，即可做出比较； （2）原式变形后，计算即可得到结果． 【完整解答】（1）解：，． 显然， 所以． 所以 （2）解： 考点讲练44：二次根式的应用 87．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）阅读材料: 若两个正数，，则有下面不等式，当时取等号，我们把叫作正数，的算术平均数，把叫作正数，的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．不等式可以变形为不等式，当且仅当时取到等号．(，均为正数) 例：已知x>0，求的最小值． 解：由得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为．根据上面材料回答下列问题： (1)______；______；(用“”“”“”填空) (2)当，则的最小值为，此时_____； (3)当，则的最小值为______； (4)用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？ 【答案】(1)， (2)， (3) (4)这个长方形的长、宽为时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是 【思路引导】本题考查了二次根式的性质，理解题意是解题的关键； （1）根据，当且仅当时取到等号．(，均为正数)即可求解． （2）根据例题的方法，，即可求解． （3）将看成整理，即，进而根据，代入即可求解； （4）设这个矩形的长为x米，根据宽=面积÷长，可得宽为米，则所用的篱笆长等于长加宽的和乘以2，根据阅读材料即可求解； 【完整解答】（1）解：∵，， ∴； ∵ ∴ 故答案为：，． （2）解：∵， ∴ ∴当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：，． （3）解：∵ ∴ 设 ∴ 当时，即时，有最小值，最小值为 故答案为：． （4）设这个矩形的长为，所用的篱笆总长为， ∵围一个面积为的长方形花园， ∴宽为， ∴ ∵， ∴， 当且仅当时，即时有最小值，最小值为40． 时，=10， ∴当这个长方形的长、宽为时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是． 88．（24-25八年级下·吉林松原·期中）高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高空抛出的物体下落所需时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间________；（结果保留根号） (2)从高空抛出的物体，经过落地，求所抛物体下落的高度是多少？ (3)资料显示：伤害无防护人体只需要的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位：），，h为高度（单位：）．根据以上信息判断，一个质量为的玩具经过落在地面上，该玩具在坠落地面时所带能量是否会伤害到楼下无防护的行人？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)会，见解析 【思路引导】本题考查二次根式的应用，弄清题意，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）直接把代入公式即可得时间； （2）将代入公式即可得高度h； （3）先根据公式求出，再代入动能计算公式求出这个玩具产生的动能，即可判断． 【完整解答】（1）解：根据题意得：； 故答案为： （2）解：把代入公式得：， 解得：； 所抛物体下落的高度是． （3）解：能伤害到楼下无防护的行人，理由如下： 当时，． 解得． 把代入公式得，． 质量为的玩具经过落地所带能量能伤害到楼下无防护的行人． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$