期末高频易错考点必刷练02【20个考点填空80题 第1-6章】-2024-2025学年七年级数学下册期末考试考点全攻略（北师大版2024）

期末考试考点全攻略 作者的话 亲爱的同学们： 期末考试即将来临，数学作为一门逻辑性强、知识点环环相扣的学科，系统化的复习至关重要。为了帮助大家高效备考，我们精心整理了这份《七年级数学下册期末考试考点全攻略》，按照选择题、填空题、解答题三大题型分类，精准剖析高频考点，点拨易错陷阱，并提供针对性解题策略。 本攻略以新人教版教材为纲，结合历年期末真题，提炼出最核心的考查方向。无论你是希望夯实基础，还是冲刺高分，都能在这里找到清晰的复习路径。选择题注重概念辨析与快速计算，填空题强调细节与严谨性，解答题则综合考查逻辑推理与规范书写。我们力求用最简洁的语言，直击要害，助你在考场上游刃有余。 复习建议： 先梳理再刷题——对照攻略自查知识漏洞，优先攻克薄弱环节； 限时模拟训练——按题型分配时间（如选择题1~2分钟/题）； 错题归因——标记反复出错的考点，考前重点复盘。 数学的魅力在于思维的严谨与灵活。愿这份攻略成为你复习路上的“导航仪”，助你稳扎稳打，自信迎考！ ​​ 中小学数学教研 2025年6月 2024-2025学年七年级数学下册期末考试考点全攻略 期末高频易错考点必刷练02 【20个考点选填空80题（第1-6章）】 目录 考点一幂的乘除 3 考点二整式的乘法 3 考点三乘法公式 4 考点四整式的除法 5 考点五两条直线的位置关系 6 考点六直线平行的条件 8 考点七平行线的性质 9 考点八可能性及事件的分类 10 考点九频率及其稳定性 11 考点十等可能事件的概率 13 考点十一三角形的认识 14 考点十二全等三角形的概念及性质 15 考点十三全等三角形的条件 17 考点十四运用三角形全等解决问题 18 考点十五轴对称及其性质 20 考点十六简单的轴对称图形 21 考点十七现实中的变量 23 考点十八用表格表示变量之间的关系 24 考点十九用关系式表示变量之间的关系 25 考点二十用图像表示变量之间的关系 26 考点一幂的乘除 1．计算： ． 2．某零件的精确度极高，它的某个零件的精度小于丝，则用科学记数法表示为 ． 3．中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为，是头发丝的二十万分之一．将用科学记数法表示为，则 ． 4．已知，则代数式的值是 ． 考点二整式的乘法 5．如果多项式的计算结果中不含项，则k的值为 ． 6．多项式，，若的展开式中不含项，则 ． 7．我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：就可以用图2的面积表示．嘉淇选取了如图1所示的2张1号卡片，3张2号卡片和7张3号卡片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为 ．    8．如图，是我国古代数学重要的成就之一——“杨辉三角”或“贾宪三角”．该三角形图表两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个图表给出了（n为正整数）的展开式的系数规律．例如，此三角形中第2行中的2个数1，1，对应着展开式中各项的系数，此三角形中第3行中的3个数1，2，1，对应着展开式中各项的系数，若的展开式共有6项．那么各项的系数中最小的系数是 ． 考点三乘法公式 9．一个长方形的周长为18，若它的长为，宽为，且满足，则这个长方形的面积为 ． 10．已知，，，当时，则的值是 ． 11．如图，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点B是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为 ． 12．一个四位数，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称为“等和数”，将这个“等和数”反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新的四位数，记，则 ；若某个“等和数”的千位与十位上的数字之和为8，为正数且能表示为两个连续偶数的平方之差，则满足条件的最大“等和数”是 ． 考点四整式的除法 13．计算的结果是 ． 14．深圳某科技馆中“数理世界”展厅的密码被设计成如表所示的数学  问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到，则他输入的密码是 ． 账号： ， ， 密码． 15．如图，在数学兴趣活动中，小吴将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为、，则的值是 ． 16．数学计算中给出如下定义：．若，，则的值为 ． 考点五两条直线的位置关系 17．小华在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若，则 度． 18．如图，要把河中的水引到村庄，小凡先作，垂足为点，然后沿开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是 ． 19．如图，直线和相交于点O，平分，，则 ． 20．如图，这是李明同学在体育课上跳远后留下的脚印，的长度就是李明同学的成绩，其中的数学依据是 ． 考点六直线平行的条件 21．如图，，所以O、M、N三点共线，理由是 ． 22．如图，若仅添加一个条件使成立，则可添加条件： ．（写出一个即可） 23．如图，请你写出一个条件使得（不再标注其他字母或数字），你写的条件是 ． 24．下列属于定义的是 ．（填序号） 已知与是同位角，则； 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； 经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离． 考点七平行线的性质 25．如图是一款折叠LED护眼灯示意图，点C在底座上，、分别是长臂和短臂，若，，则 ． 26．如图，将木条a，b与c钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条b旋转的度数是 ．（旋转度数在至之间） 27．为响应国家新能源建设．我省某市公交站亭装上了太阳能电池板（图1）．如图2，电池板与水平线的夹角为，电池板与水平线的夹角为，要使，需将电池板逆时针旋转．则的度数为 ． 28．如图，，CE平分，ED平分，，下列结论：①EC平分；②；③；④，其中正确结论是 ． 考点八可能性及事件的分类 29．下列说法中： ①在13人中至少有两个人的生日月份相同，这是必然事件； ②一次摸奖活动的中奖率是，那么摸100次必然会中一次奖； ③一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃K，这是随机事件； ④一个不透明的口袋中装有3个红球，5个白球，除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性． 正确的有 （填序号）． 30．从一副扑克牌中任意抽取1张，①这张牌是“Q”；②这张牌是“大王”；③这张牌是“红心”．将这些事件的序号按照发生的可能性从小到大的顺序排列： ． 31．如图所示的是一个可以自由转动的转盘，每个扇形的大小相同，颜色分为红、绿、黄三种．指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针指向 色区域的可能性最大． 32．下列事件中，随机事件是 （填序号）． ①某射击运动员射击1次，命中靶心；②从一只装有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球；③13人中至少2人的生日是同一个月；④任意摸1张体育彩票会中奖；⑤太阳从东方升起；⑥随意翻开一本有400页的书，正好翻到第100页；⑦你能长高到；⑧抛掷1枚骰子得到的点数小于8． 考点九频率及其稳定性 33．投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．下表记录了一组游戏参与者的投查结果．根据数据，估计这组游戏参与者投中的概率约为 （结果精确到）． 投壶次数 投中次数 投中频率 34．粮安天下，种子为基．高发芽率的种子能够确保作物生长的初始阶段有足够的健康植株，从而提高作物的产量和质量．某学习小组做某种农作物种子发芽率的实验，整理的实验数据如表： 种子数 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 发芽数 94 186 278 464 927 1856 2787 4650 种子发芽率 0.9400 0.9300 0.9267 0.9280 0.9270 0.9280 0.9290 0.9300 由此估计这种农作物种子的发芽率为 ．（结果精确到0.01） 35．如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，由此可以推断，抛掷该啤酒瓶盖一次，“凸面向上”的概率是 ．（精确到）． 36．七年级（2）班在一次活动中分两次选拔参与活动成员．第一次确定了9人，第二次确定了2名男生和1名女生．现从确定的人员中随机抽取一名同学负责展示，若抽中女生的概率是，则第一次确定的同学中，女生有 人． 考点十等可能事件的概率 37．在一个不透明的袋中装有4个红球，3个黄球，它们除颜色不同外其它完全相同，现从中任意摸出一球，恰为红球的概率为 ． 38．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小兰购买了6张“二十四节气”主题邮票，其中1张“立春”，2张“雨水”和3张“惊蛰”，每张邮票除内容外都相同，将它们背面朝上放置，从中随机抽取一张，恰好抽到“惊蛰”的概率是 ． 39．如图，若随机向8×8正方形网格内投针（针尖落在网格内各点的概率均相等），则针尖落在阴影部分的概率为 ． 40．张老师把边长为4的正方形厚纸板分成七部分，如图1所示，然后将它割开，制成七巧板．用自制的七巧板在一个大长方形中拼出如图2所示的图案，如果小球在如图2所示的大长方形中自由地滚动，那么它最终停留在阴影区域的概率是 ． 考点十一三角形的认识 41．如图，已知于点，于点，与交于点，的边上的高为 . 42．开放性试题如图，湖泊对岸的凉亭B和C到大门A的距离分别是和，则的长可能是 m（写出一个即可） 43．（爱国情怀）学校举办纪念“五四运动”106周年暨“青春心向党，建功新时代”演讲比赛．同学们用青春的声音和故事，弘扬五四精神，彰显青春风采，展现拼搏风貌，深情地演绎了对党和祖国的热爱之情．在演讲比赛举办前夕，王老师想设计一款等腰三角形彩旗悬挂于赛场上，为同学们加油助威．已知每面彩旗的腰长，若其底边长度为整数，则底边长度的最大值为 ． 44．如图，在中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E．F．若，，则的值 ．    考点十二全等三角形的概念及性质 45．如图，在中，，直线经过点且与边相交，动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动，点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束，在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则与全等时，的值为 ． 46．如图，已知长方形的边长，点E在边上，．如果点P从点B出发在线段上以的速度向点C运动，同时，点Q在线段上由点D向点C运动，那么当与全等时，运动时间t的值为 ． 47．如图，已知．点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为．若运动过程中存在与全等，则点的运动速度为每秒 个单位长度． 48．如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走2米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为 米． 考点十三全等三角形的条件 49．如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为 ． 50．如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可） 51．如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，． 52．如图所示，在中，，，点D为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点P，若，则 ． 考点十四运用三角形全等解决问题 53．如图，已知，请再添加一个条件 ，使（无需添加任何辅助线或点）． 54．如图，已知，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ． 55．如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的 ． ①；②；③；④． 56．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为 时，能够使与全等． 考点十五轴对称及其性质 57．如图，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在边上的点处，若，则等于 ． 58．如图，将一张试卷沿折痕翻折，使点分别落在点的位置，且，则的度数为 ． 59．学习情境·动手操作  如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，若，，则的度数是 ． 60．如图1，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在点H、G的位置，与交于点M，如图2，再将沿折叠，点H落在点N的位置．若，则 ． 考点十六简单的轴对称图形 61．如图，在中，是角平分线，若，的面积是12，则的长为 ． 62．如图，在中，，是的角平分线，D是上一点，连接．过点C作，且，的度数为 ． 63．快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C 三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：km）如图所示． （1）若小明按照P→B→A→C→P的路线骑行，则小明骑行的距离为 km； （2）小明骑行的最短距离为 km． 64．如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若的周长是，则的长为 ． 考点十七现实中的变量 65．以固定的速度（米秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系是，在这个关系式中，常量是 ，变量是 ． 66．在某地，人们发现在一定条件下某种蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系：用蟋蟀1分钟叫的次数x加上30，再把结果除以7，就近似的得到该地当时的气温y（单位：）．在这个问题中，变量是 ． 67．一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的．例如：，速度是常量，时间t和里程s为变量，t是自变量，s是 ． 68．科学家认为二氧化碳的释放量越来越多是全球变暖的原因之一．下表1950-2020年全球排放的二氧化碳量： 年份 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 全球排放量/百万吨 6002 9475 14989 19287 22588 24688 34180 35962 其中因变量为 ． 考点十八用表格表示变量之间的关系 69．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量之间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 10 11 12 下列说法正确的是 ． ①x与y都是变量； ②弹簧不挂重物时的长度为； ③物体质量每增加，弹簧长度增加； ④所挂物体质量为时，弹簧长度为． 70．小明为了了解水温的变化规律，连续测量了一杯开水在室温下的温度变化情况，得到如下表格： 开水在室温下的温度变化情况 时间 0 5 10 15 25 35 45 55 65 70 温度 98 71 55 45 35 28 24 22 22 22 根据表格中的信息，请问当天的室温大概是 ． 71．声音在空气中传播的速度y（单位：）与气温x（单位：）的关系如下表： 气温 0 5 10 15 20 声速 331 334 337 340 343 照此规律可以发现，当气温为 时，声速达到． 72．某地用电量与应缴电费之间的关系如下表所示，若应缴电费为2.75元，则用电量为 度． 用电量/度 1 2 3 4 … 应缴电费/元 0.55 1.10 1.65 2.20 … 考点十九用关系式表示变量之间的关系 73．某机床要加工一批机器毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如下表： 每小时加工件数（件） 30 20 18 9 … 加工时间（小时） 12 18 20 40 用x表示每小时加工毛绒玩具的件数，用y表示加工时间，用式子表示y与x之间的关系为 ． 74．点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系如下表： t/分 0 2 4 6 8 10 h/厘米 30 29 28 27 26 25 写出蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系式 ． 75．有甲、乙两只大小不同的水箱，容量分别为升、升，且已各装有一些水，若将甲水箱中的水全倒入乙水箱，乙水箱只可再装升的水；若将乙水箱中的水倒入甲水箱，装满甲水箱后，乙水箱还剩升的水．则与之间的数量关系是 ． 76．某农场的粮食总产量为1500吨，农场共有y人，人均占有粮食x吨．根据表格所给数据，请你写出农场人数y（人）和人均占有粮食量x（吨）之间的关系式 ．请你判断表格中的两个量成 关系（填“正比例”或“反比例”）． 农场人数/人 10 20 30 50 人均占有粮食量/吨 150 75 50 30 考点二十用图像表示变量之间的关系 77．甲、乙两人同时骑自行车前往A地，他们距A地的路程与行驶时间之间的关系如图所示．甲乙的速度和为 ． 78．如图①，梯形中，，．动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，与之间关系的如图②所示．梯形的面积为 ． 79．小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是 km． 80．一港口受潮汐的影响，某天小时港内的水深大致如图，港口规定：为了保证航行安全，只有当船底与水底间的距离不少于米时，才能进出该港．一艘吃水深度（即船底与水面的距离）为米的轮船进出该港的时间最多为（单位：时） 小时． 学科网（北京）股份有限公司 $$期末考试考点全攻略 作者的话 亲爱的同学们： 期末考试即将来临，数学作为一门逻辑性强、知识点环环相扣的学科，系统化的复习至关重要。为了帮助大家高效备考，我们精心整理了这份《七年级数学下册期末考试考点全攻略》，按照选择题、填空题、解答题三大题型分类，精准剖析高频考点，点拨易错陷阱，并提供针对性解题策略。 本攻略以新人教版教材为纲，结合历年期末真题，提炼出最核心的考查方向。无论你是希望夯实基础，还是冲刺高分，都能在这里找到清晰的复习路径。选择题注重概念辨析与快速计算，填空题强调细节与严谨性，解答题则综合考查逻辑推理与规范书写。我们力求用最简洁的语言，直击要害，助你在考场上游刃有余。 复习建议： 先梳理再刷题——对照攻略自查知识漏洞，优先攻克薄弱环节； 限时模拟训练——按题型分配时间（如选择题1~2分钟/题）； 错题归因——标记反复出错的考点，考前重点复盘。 数学的魅力在于思维的严谨与灵活。愿这份攻略成为你复习路上的“导航仪”，助你稳扎稳打，自信迎考！ ​​ 中小学数学教研 2025年6月 2024-2025学年七年级数学下册期末考试考点全攻略 期末高频易错考点必刷练02 【20个考点选填空80题（第1-6章）】 目录 考点一幂的乘除 3 考点二整式的乘法 4 考点三乘法公式 7 考点四整式的除法 10 考点五两条直线的位置关系 12 考点六直线平行的条件 14 考点七平行线的性质 15 考点八可能性及事件的分类 18 考点九频率及其稳定性 20 考点十等可能事件的概率 22 考点十一三角形的认识 24 考点十二全等三角形的概念及性质 26 考点十三全等三角形的条件 30 考点十四运用三角形全等解决问题 36 考点十五轴对称及其性质 39 考点十六简单的轴对称图形 42 考点十七现实中的变量 45 考点十八用表格表示变量之间的关系 47 考点十九用关系式表示变量之间的关系 49 考点二十用图像表示变量之间的关系 51 考点一幂的乘除 1．计算： ． 【答案】 【解题思路】本题考查积的乘方的逆用，逆用积的乘方法则进行计算即可． 【详细解答】解：原式； 故答案为：． 2．某零件的精确度极高，它的某个零件的精度小于丝，则用科学记数法表示为 ． 【答案】 【解题思路】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中 ，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详细解答】解：； 故答案为：． 3．中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为，是头发丝的二十万分之一．将用科学记数法表示为，则 ． 【答案】 【解题思路】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详细解答】解：， ∴， 故答案为：． 4．已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【解题思路】本题考查了同底数幂的乘除法，求出a、b、c之间的关系是解题的关键．先根据同底数幂的乘除法求出，得到，再代入计算即可． 【详细解答】解：∵， ∴， ∴， 两式相减，可得， ∴， 故答案为：． 考点二整式的乘法 5．如果多项式的计算结果中不含项，则k的值为 ． 【答案】 【解题思路】本题主要考查了多项式乘多项式的无关项问题，掌握无关项的系数就是其系数为零成为解题的关键． 先运用多项式乘多项式的运算法则计算，然后让的系数为零，据此列出关于k的方程求解即可． 【详细解答】解： ， ∵该计算结果中不含项， ∴，解得． 故答案为：． 6．多项式，，若的展开式中不含项，则 ． 【答案】 【解题思路】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出两个多项式的乘积，再根据乘积展开式中不含项，列出关于b的方程，解方程即可得到答案． 【详细解答】解： ， ∵多项式与的乘积的展开式中不含项， ∴， ∴． 故答案为：． 7．我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：就可以用图2的面积表示．嘉淇选取了如图1所示的2张1号卡片，3张2号卡片和7张3号卡片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为 ．    【答案】/ 【解题思路】本题考查了整式的乘法和整式加减的应用．根据题意得，再画出图形，根据长方形的周长公式列式计算即可求解． 【详细解答】解：由题意得，， 画出图形如下，    长方形的周长为 ， 故答案为：． 8．如图，是我国古代数学重要的成就之一——“杨辉三角”或“贾宪三角”．该三角形图表两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个图表给出了（n为正整数）的展开式的系数规律．例如，此三角形中第2行中的2个数1，1，对应着展开式中各项的系数，此三角形中第3行中的3个数1，2，1，对应着展开式中各项的系数，若的展开式共有6项．那么各项的系数中最小的系数是 ． 【答案】 【解题思路】根据题意得到规律第n行有n项，且指数为序号减1，得到的展开式共有6项，得到，然后根据规律写出的各项系数，进而比较求解即可． 【详细解答】第1行有1项，； 第2行有2项， 第3行有3项， 第4行有4项， … ∴第n行有n项， ∵的展开式共有6项 ∴ 根据题意得， ∴ ∴各项系数分别为32，，80，，10， ∴最小的为． 故答案为：． 【考点点评】此题考查了多项式乘多项式规律问题，中能依据“杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和”写出“杨辉三角”的第6行数是解题关键． 考点三乘法公式 9．一个长方形的周长为18，若它的长为，宽为，且满足，则这个长方形的面积为 ． 【答案】19 【解题思路】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，根据长方形周长公式得到，再由完全平方公式的变形得到，据此代值计算即可． 【详细解答】解：∵长方形的周长为18，x、y为该长方形的一组邻边长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴这个长方形的面积为19， 故答案为：19． 10．已知，，，当时，则的值是 ． 【答案】 【解题思路】本题考查了完全平方公式，对所给条件灵活变形以及正确应用整体思想是解答本题的关键．根据题意将，代入，进而得出，即可求解． 【详细解答】解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 故答案为：． 11．如图，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点B是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为 ． 【答案】4 【解题思路】本题考查了完全平方公式的应用.设，根据题意可得，，然后利用完全平方公式即可求出，进而可得答案． 【详细解答】设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴阴影部分的面积为； 故答案为：4． 12．一个四位数，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称为“等和数”，将这个“等和数”反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新的四位数，记，则 ；若某个“等和数”的千位与十位上的数字之和为8，为正数且能表示为两个连续偶数的平方之差，则满足条件的最大“等和数”是 ． 【答案】3 8404 【解题思路】本题考查对题干“等和数”的理解，根据“等和数”的定义即可得到，设“等和数”的千位和百位分别为、，则十位数为，个位数为，根据题意得到，利用为正数且能表示为两个连续偶数的平方差，设，推出为的奇数倍，根据“等和数”的千位与十位上的数字之和为，确定出、的值，即可解题． 【详细解答】解：由题知，； 设“等和数”的千位和百位分别为、， 则十位数字为，个位数字为， ， ， ， ， 为正数且能表示为两个连续偶数的平方差， 设，其中为自然数， ， 为的奇数倍， 千位与十位上的数字之和为，且个位数字不能为0， ，， ， ， 最大能取，则， 满足条件的最大“等和数”是， 故答案为：，． 考点四整式的除法 13．计算的结果是 ． 【答案】 【解题思路】本题考查的是单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则进行计算即可. 【详细解答】解：， 故答案为： 14．深圳某科技馆中“数理世界”展厅的密码被设计成如表所示的数学  问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到，则他输入的密码是 ． 账号： ， ， 密码． 【答案】 【解题思路】本题考查了单项式除以单项式，幂的乘方，先化简各式，得出密码与指数的关系即可得答案，熟练掌握运算法则，正确得出密码与指数的关系是解题的关键． 【详细解答】解： ， 故答案为：． 15．如图，在数学兴趣活动中，小吴将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为、，则的值是 ． 【答案】3 【解题思路】本题考查了多项式的乘法运算及整式的加减运算；由两根铁丝长度相同，求出乙长方形的长，分别计算出，则可计算． 【详细解答】解：由于两根铁丝长度相同，乙长方形的长为， 则， ． 故答案为3． 16．数学计算中给出如下定义：．若，，则的值为 ． 【答案】 【解题思路】本题考查了整式的化简求值，理解新定义的规定是解题的关键． 先根据新定义变形，再化简可得，把的值代入计算即可． 【详细解答】解：， 由题意得：， 整理得， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：． 考点五两条直线的位置关系 17．小华在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若，则 度． 【答案】 【解题思路】本题考查了对顶角相等，由对顶角相等得出，结合题意计算即可得解，熟练掌握对顶角相等是解此题的关键． 【详细解答】解：由题意可得：， ∵， ∴， 故答案为：． 18．如图，要把河中的水引到村庄，小凡先作，垂足为点，然后沿开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是 ． 【答案】垂线段最短 【解题思路】本题是垂线段最短在实际生活中的应用，过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．体现了数学的实际运用价值． 【详细解答】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短， ∴沿开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短． 故答案为：垂线段最短． 19．如图，直线和相交于点O，平分，，则 ． 【答案】 【解题思路】本题考查了角平分线的定义以及对顶角的性质．先根据对顶角相等求出，然后根据角平分线的定义求出即可． 【详细解答】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为：． 20．如图，这是李明同学在体育课上跳远后留下的脚印，的长度就是李明同学的成绩，其中的数学依据是 ． 【答案】垂线段最短 【解题思路】本题考查了垂线段最短，理解相关含义是解题关键． 【详细解答】解：测量的依据是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 考点六直线平行的条件 21．如图，，所以O、M、N三点共线，理由是 ． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【解题思路】本题考查了过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，理解题意是解题关键． 根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行即可得． 【详细解答】解：∵， ∴， 则点三点共线，理由是过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 22．如图，若仅添加一个条件使成立，则可添加条件： ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解题思路】本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解题的关键． 【详细解答】解：添加条件，证明如下： ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：（答案不唯一）． 23．如图，请你写出一个条件使得（不再标注其他字母或数字），你写的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【解题思路】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．利用平行线的判定方法即可得到结果． 【详细解答】解：∵， ∴； 或∵， ∴； 故答案为：或． 24．下列属于定义的是 ．（填序号） 已知与是同位角，则； 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； 经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离． 【答案】 【解题思路】该题考查了定义的概念，根据平行公理及推论、对顶角、邻补角、点到直线的距离、同位角、内错角、同旁内角判断． 【详细解答】解：已知与是同位角，则，不是定义； 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，不是定义； 经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线，不是定义； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离，是定义． 故答案为：． 考点七平行线的性质 25．如图是一款折叠LED护眼灯示意图，点C在底座上，、分别是长臂和短臂，若，，则 ． 【答案】/110度 【解题思路】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质即可求解． 【详细解答】解：， ． 故答案为：． 26．如图，将木条a，b与c钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条b旋转的度数是 ．（旋转度数在至之间） 【答案】或 【解题思路】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据平行线的判定可得时，木条与平行，然后进行计算即可解答． 【详细解答】解：当时，木条与平行， 要使木条与平行，木条b逆时针旋转的度数 或顺时针旋转的度数， 故答案为：或． 27．为响应国家新能源建设．我省某市公交站亭装上了太阳能电池板（图1）．如图2，电池板与水平线的夹角为，电池板与水平线的夹角为，要使，需将电池板逆时针旋转．则的度数为 ． 【答案】/10度 【解题思路】本题考查平行线的知识．由平行线的性质，得，则，计算即可． 【详细解答】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 28．如图，，CE平分，ED平分，，下列结论：①EC平分；②；③；④，其中正确结论是 ． 【答案】①②③④ 【解题思路】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义．根据平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义进行判断即可． 【详细解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，平分，故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∴，故④正确； 综上，①②③④都正确． 故答案为：①②③④． 考点八可能性及事件的分类 29．下列说法中： ①在13人中至少有两个人的生日月份相同，这是必然事件； ②一次摸奖活动的中奖率是，那么摸100次必然会中一次奖； ③一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃K，这是随机事件； ④一个不透明的口袋中装有3个红球，5个白球，除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性． 正确的有 （填序号）． 【答案】①③/③① 【解题思路】本题考查了等可能事件，关键是要理解如果一个事件中，每一种结果出现的可能性都相同，那么这个事件就是等可能事件．根据概率的意义逐一判断即可． 【详细解答】解：①一年有12个月，所以13人中至少有两个人的生日月份相同，这是必然事件，则①正确； ②中奖率是的意思是摸100次可能会摸到1次，只是可能性，不是必然性，则②错误； ③一副扑克牌中，抽取任意一张牌的可能性都相等，所以随意抽取一张是红桃K，这是随机事件，则③正确； ④摸到每一个球的可能性都相等，但红球的个数小于白球的个数，所以摸到红球的可能性小于摸到白球的可能性，则④错误； 故答案为：①③． 30．从一副扑克牌中任意抽取1张，①这张牌是“Q”；②这张牌是“大王”；③这张牌是“红心”．将这些事件的序号按照发生的可能性从小到大的顺序排列： ． 【答案】②①③ 【解题思路】此题主要考查了随机事件发生的可能性的大小问题，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出一副扑克牌中含“A”、“红桃”、“大王”、“红色的牌”的张数各是多少． 首先分别求出一副扑克牌中含“A”、“红桃”、“大王”、“红色的牌”的张数各是多少，然后根据每张牌被抽到的机会相等，只要比较出哪个事件的可能结果最多，即可判断出这些事件发生的可能性的大小，并将这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列即可． 【详细解答】解：一副扑克牌中含“Q”4张，“红心”13张，“大王”1张， ∵， ∴将这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列：②①③． 故答案为：②①③． 31．如图所示的是一个可以自由转动的转盘，每个扇形的大小相同，颜色分为红、绿、黄三种．指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针指向 色区域的可能性最大． 【答案】红 【解题思路】本题考查了可能性大小的知识，解题的关键是看清那种颜色的最多．哪一种颜色多，指针指向那种颜色的可能性就最大． 【详细解答】解：因为转盘分成6个大小相同的扇形，绿色的有1块，红色的有3块，黄色的有2块， 所以转动一次转盘后，指针指向红颜色的可能性最大， 故答案为：红． 32．下列事件中，随机事件是 （填序号）． ①某射击运动员射击1次，命中靶心；②从一只装有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球；③13人中至少2人的生日是同一个月；④任意摸1张体育彩票会中奖；⑤太阳从东方升起；⑥随意翻开一本有400页的书，正好翻到第100页；⑦你能长高到；⑧抛掷1枚骰子得到的点数小于8． 【答案】①④⑥ 【解题思路】本题考查对随机事件、必然事件、不可能事件的应用，解题的关键是掌握：必然事件发生的可能性大小为，不可能事件发生的可能性大小为，随机事件可能发生也可能不发生．据此解答即可． 【详细解答】解：必然事件是③⑤⑧，不可能事件是②⑦，随机事件是①④⑥． 故答案为：①④⑥． 考点九频率及其稳定性 33．投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．下表记录了一组游戏参与者的投查结果．根据数据，估计这组游戏参与者投中的概率约为 （结果精确到）． 投壶次数 投中次数 投中频率 【答案】 【解题思路】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．根据表格数据得出游戏参与者投中的频率趋近于，即可估计出其概率约为． 【详细解答】解：根据题意可知，随着投中次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近， 估计这组游戏参与者投中的概率约为 故答案为：． 34．粮安天下，种子为基．高发芽率的种子能够确保作物生长的初始阶段有足够的健康植株，从而提高作物的产量和质量．某学习小组做某种农作物种子发芽率的实验，整理的实验数据如表： 种子数 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 发芽数 94 186 278 464 927 1856 2787 4650 种子发芽率 0.9400 0.9300 0.9267 0.9280 0.9270 0.9280 0.9290 0.9300 由此估计这种农作物种子的发芽率为 ．（结果精确到0.01） 【答案】0.93 【解题思路】本题主要考查了用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得答案． 【详细解答】解：观察表格可知，随着试验次数的增加，种子发芽率逐渐稳定在0.93附近， ∴可估计这种农作物种子的发芽率为0.93， 故答案为：0.93． 35．如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，由此可以推断，抛掷该啤酒瓶盖一次，“凸面向上”的概率是 ．（精确到）． 【答案】 【解题思路】本题主要考查了用频率值估计概率，解题的关键在于熟知大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值．根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值求解即可． 【详细解答】解：∵大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值， ∴抛掷该啤酒瓶盖一次，“凸面向上”的概率是， 故答案为：． 36．七年级（2）班在一次活动中分两次选拔参与活动成员．第一次确定了9人，第二次确定了2名男生和1名女生．现从确定的人员中随机抽取一名同学负责展示，若抽中女生的概率是，则第一次确定的同学中，女生有 人． 【答案】 【解题思路】本题考查频率估计概率，设第一次确定的同学中，女生有人，由题意可得，解一元一次方程即可得到答案．读懂题意，理解由频率估计概率的方法是解决问题的关键． 【详细解答】解：设第一次确定的同学中，女生有人， 抽中女生的概率是， ，解得， 故答案为：． 考点十等可能事件的概率 37．在一个不透明的袋中装有4个红球，3个黄球，它们除颜色不同外其它完全相同，现从中任意摸出一球，恰为红球的概率为 ． 【答案】 【解题思路】本题主要考查了根据概率公式计算概率，从红球的数量除以总的球的数量即可得出答案． 【详细解答】解：任意摸出一球，恰为红球的概率为， 故答案为： 38．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小兰购买了6张“二十四节气”主题邮票，其中1张“立春”，2张“雨水”和3张“惊蛰”，每张邮票除内容外都相同，将它们背面朝上放置，从中随机抽取一张，恰好抽到“惊蛰”的概率是 ． 【答案】 【解题思路】本题主要考查概率的计算，掌握概率计算公式是解题的关键． 根据题意，共有6种等可能的结果，其中恰好抽到“惊蛰”结果有3种，由概率公式计算即可． 【详细解答】解：由题意，共有6种等可能的结果，其中恰好抽到“惊蛰”结果有3种，则 P（抽到“惊蛰”）=． 故答案为． 39．如图，若随机向8×8正方形网格内投针（针尖落在网格内各点的概率均相等），则针尖落在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【解题思路】本题考查几何概率，掌握事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示是解题关键，根据割补法可求出阴影部分面积，再求出正方形网格总面积，最后根据概率公式计算即可． 【详细解答】解：将上边和左边的弓形阴影割补到下边和右边，则可得阴影部分面积为， 正方形网格总面积为， 针尖落在阴影部分的概率为器， 故答案为：． 40．张老师把边长为4的正方形厚纸板分成七部分，如图1所示，然后将它割开，制成七巧板．用自制的七巧板在一个大长方形中拼出如图2所示的图案，如果小球在如图2所示的大长方形中自由地滚动，那么它最终停留在阴影区域的概率是 ． 【答案】 【解题思路】本题考查几何的概率，关键在利用七巧板的性质进行正方形面积的求解． 分别求出图1和图2的面积，即可得出A的面积B的面积，进而可求出图2的面积和阴影部分的面积，再根据概率公式求解即可． 【详细解答】解：根据题意可得：七巧板的面积之和边长为4的正方形面积， ∵图1为正方形， ∴①的面积②的面积， ∴A的面积B的面积， 则阴影区域的面积为：A的面积B的面积，图2的面积， ∴最终停留在阴影区域的概率， 故答案为：． 考点十一三角形的认识 41．如图，已知于点，于点，与交于点，的边上的高为 . 【答案】/ 【解题思路】由三角形高的含义可得答案．本题考查的是三角形高的含义，熟记三角形的高的定义并能识别图形中三角形的高是解题的关键． 【详细解答】解：∵ ∴的边上的高为 故答案为：． 42．开放性试题如图，湖泊对岸的凉亭B和C到大门A的距离分别是和，则的长可能是 m（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解题思路】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键； 此题可根据三角形的三边关系的知识，进行作答，即可求解； 【详细解答】解：由题意得：，即； 在区间内， ∴的长可能是， 故答案为：（答案不唯一） 43．（爱国情怀）学校举办纪念“五四运动”106周年暨“青春心向党，建功新时代”演讲比赛．同学们用青春的声音和故事，弘扬五四精神，彰显青春风采，展现拼搏风貌，深情地演绎了对党和祖国的热爱之情．在演讲比赛举办前夕，王老师想设计一款等腰三角形彩旗悬挂于赛场上，为同学们加油助威．已知每面彩旗的腰长，若其底边长度为整数，则底边长度的最大值为 ． 【答案】11 【解题思路】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．利用三角形的三边关系可得，从而可得，即可解答． 【详细解答】解：由题意得：， ， ， 长度为整数， 长度的最大值为11， 故答案为：11． 44．如图，在中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E．F．若，，则的值 ．    【答案】6 【解题思路】本题主要考查了三角形的面积．根据三角形面积公式得出，再根据，得出，即可得出． 【详细解答】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，则， 故答案为：6． 考点十二全等三角形的概念及性质 45．如图，在中，，直线经过点且与边相交，动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动，点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束，在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则与全等时，的值为 ． 【答案】2或或6 【解题思路】本题考查全等三角形的性质，分，且点在上、点在上运动，，且点与点重合，当，且点在上、点在上运动三种情况进行讨论求解即可． 【详细解答】解：∵， ∴， ∴与全等分三种情况讨论： ①如图①，当，且点在上、点在上运动时， ． 此时， ∴， 解得； ②如图②，当，且点与点重合时， ． 此时， ∴， 解得； ③当，且点在上、点在上运动时，． 此时． 当点未到达终点时， ， 解得， 不符合题意，舍去． 当点到达终点时，继续运动，如图③， 此时点与点重合，， ∴， 解得． 综上所述，当的值为2或或6时，与全等． 故答案为：2或或6 46．如图，已知长方形的边长，点E在边上，．如果点P从点B出发在线段上以的速度向点C运动，同时，点Q在线段上由点D向点C运动，那么当与全等时，运动时间t的值为 ． 【答案】1或3 【解题思路】本题考查全等三角形的性质，属于全等三角形的动点问题，解题关键是分和两种情况分别计算． 首先根据题意得到，然后分两种情况讨论求解即可． 【详细解答】解：∵， ∴， 当时，则有，即， 解得， 当时，则，即， 解得， 故答案为：1或3． 47．如图，已知．点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为．若运动过程中存在与全等，则点的运动速度为每秒 个单位长度． 【答案】1或 【解题思路】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用．由题意知当与全等，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【详细解答】解：设运动时间为t，由题意知，， 与全等，， ∴分两种情况求解： ①当时，，即，解得； ②当时，，即, 解得， ，即6， 解得； 综上所述，x的值是1或， 故答案为：1或． 48．如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走2米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为 米． 【答案】或/24或45 【解题思路】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意，分类讨论：当；当；根据全等三角形的性质即可求解． 【详细解答】解：根据题意，设运动时间为，则，， ①点是中点，时，，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②时，，， ∴，即， 解得，， ∴； 综上所述，线段的长度为或， 故答案为：或． 考点十三全等三角形的条件 49．如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为 ． 【答案】/0.5 【解题思路】本题考查全等三角形的判定与性质：过点B作，且，在上截取，连接，由可证，可得，由“”可证，可得，则，即当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，由“”可证，可得，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详细解答】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H是的中点， ∴， ∴点P与点H重合， ∴， ∴， 故答案为：． 50．如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【解题思路】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．利用可得出，（答案不唯一）进而证明，即可得出答案． 【详细解答】解：在和中， ， ， 利用证明，需添加的条件是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 51．如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，． 【答案】6或3 【解题思路】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键． 先证明，得出，①当点E在射线上移动时，，即可求出E移动了；②当点E在射线上移动时，，即可求出E移动了． 【详细解答】解：∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点E作的垂线交直线于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ①如图，当点E在射线上移动时，， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动了：； ②当点E在射线上移动时，， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动了：； 综上所述，当点E在射线上移动或时，； 故答案为：6或3． 52．如图所示，在中，，，点D为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点P，若，则 ． 【答案】3或 【解题思路】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，分情况根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详细解答】解：①点B在上时，作，交的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 根据题意知，， 设，则， ∴， ∴, ∴； ②如图，点B在的延长线上，作于M， 用①中同样的解法可以得到， 设， ∴, ∴． 故答案为：3或． 考点十四运用三角形全等解决问题 53．如图，已知，请再添加一个条件 ，使（无需添加任何辅助线或点）． 【答案】或或（答案不唯一） 【解题思路】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，添加条件或或，根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详细解答】解：添加， 理由是：在和中， ， ∴； 添加， ∵， ∴； 添加， ∵， ∴； 故答案为：或或（答案不唯一）． 54．如图，已知，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【答案】，，（其中一个即可）． 【解题思路】本题考查了全等三角形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详细解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴添加，或其中一个，即可推出， 故答案为：，，（其中一个即可）． 55．如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的 ． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【解题思路】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断．关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、．根据全等三角形的判定方法结合添加的条件逐一分析即可． 【详细解答】解：①由，，得到，又，由判定，故①符合题意； ②由，推出，而，可得，结合，由判定，故②符合题意； ③如图，记交点为， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴由判定，故③符合题意； ④增加添加，不能判定，故④不符合题意． 增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是①②③． 故答案为：①②③． 56．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为 时，能够使与全等． 【答案】厘米秒或厘米秒 【解题思路】本题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用（行程问题）等知识点．利用全等三角形的判定方法，分两种情况讨论：或，分别求解即可． 【详细解答】解：设点运动的时间为秒， 则（厘米），厘米， ， 当，时，， ，，运动的时间相等， 的运动速度是厘米秒； 当，时，， 是中点， （厘米）， ∵， ∴， 解得：， ∴厘米秒； 当点的运动速度为厘米秒或厘米秒时，能够使与全等， 故答案为：厘米秒或厘米秒． 考点十五轴对称及其性质 57．如图，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在边上的点处，若，则等于 ． 【答案】/度 【解题思路】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．由折叠可得，再根据平行线的性质即可得到． 【详细解答】解：， ， 由折叠可得，， 由长方形可得， ∴， ． 故答案为：． 58．如图，将一张试卷沿折痕翻折，使点分别落在点的位置，且，则的度数为 ． 【答案】 【解题思路】本题考查了折叠的性质，平行线的性质；由折叠的性质得，由平行线的性质得，即可求解；能熟练利用折叠的性质，平行线的性质进行求解是解题的关键． 【详细解答】解：， ， ， ， 由折叠得：， ， ， ， ； 故答案为：． 59．学习情境·动手操作  如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，若，，则的度数是 ． 【答案】/30度 【解题思路】本题考查折叠，平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，折叠的性质，根据题意延长到，作，根据平行线的性质得，根据折叠的性质，则，求出，根据平行线的性质，则，再根据平行线的性质，得出，即可． 【详细解答】解：如图，延长到，作． 由于纸带对边平行， 所以． 因为纸带翻折，所以， 所以， 所以． 因为， 所以． 故答案为：． 60．如图1，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在点H、G的位置，与交于点M，如图2，再将沿折叠，点H落在点N的位置．若，则 ． 【答案】 【解题思路】本题考查了平行线的性质、折叠的性质，由平行线的性质可得，，由折叠的性质可得，，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详细解答】解：由题意可得：， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 故答案为：． 考点十六简单的轴对称图形 61．如图，在中，是角平分线，若，的面积是12，则的长为 ． 【答案】3 【解题思路】本题主要考查了角平分线的性质定理，过点D作与点E，由角平分线的性质定理可得出，再根据三角形面积即可得出，进而可得出． 【详细解答】解：过点D作与点E， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 62．如图，在中，，是的角平分线，D是上一点，连接．过点C作，且，的度数为 ． 【答案】/36度 【解题思路】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，以及平行线的性质是解题的关键． 利用直角三角形的两个锐角互余进行计算得出，再利用角平分线的定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，从而利用平行线的性质可得，然后再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，即可解答． 【详细解答】解：，， ， 平分， ， ， ∵， ， ， ∵， ， ∵， ， ， 故答案为：． 63．快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C 三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：km）如图所示． （1）若小明按照P→B→A→C→P的路线骑行，则小明骑行的距离为 km； （2）小明骑行的最短距离为 km． 【答案】6.2 5.2 【解题思路】本题涉及到距离的计算． （1）直接将路线中各段距离相加即可； （2）需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离． 【详细解答】（1）根据图示计算P→B→A→C→P的路线距离为km； （2）找出所以可能路线计算： P→B→A→C→P，距离为km； P→B→C→A→P，距离为km P→A→B→C→P，距离为km； P→A→C→B→P，距离为km； P→C→A→B→P，距离为km； P→C→B→A→P，距离为km 通过比较这些路线的距离，5.2km是最短的． 64．如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若的周长是，则的长为 ． 【答案】 【解题思路】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称是解题的关键．先根据轴对称的性质得出，，再由的周长是，即可得出结论． 【详细解答】解：交于点，交于点，交于点，交于点， ，， 的周长是， ， ． 故答案为：． 考点十七现实中的变量 65．以固定的速度（米秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系是，在这个关系式中，常量是 ，变量是 ． 【答案】， ， 【解题思路】本题考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解题的关键：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量；在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量． 根据常量与变量的定义即可直接得出答案． 【详细解答】解：由常量与变量的定义可知： 在关系式中，常量是，，变量是，， 故答案为：，；，． 66．在某地，人们发现在一定条件下某种蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系：用蟋蟀1分钟叫的次数x加上30，再把结果除以7，就近似的得到该地当时的气温y（单位：）．在这个问题中，变量是 ． 【答案】蟋蟀1分钟叫的次数和该地当时的气温 【解题思路】此题考查了函数的变量，根据变量的定义结合具体问题情境进行判断即可． 【详细解答】解：根据题意得，在这个问题中，变量是蟋蟀1分钟叫的次数和该地当时的气温． 故答案为：蟋蟀1分钟叫的次数和该地当时的气温． 67．一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的．例如：，速度是常量，时间t和里程s为变量，t是自变量，s是 ． 【答案】因变量 【解题思路】本题考查了函数关系式的知识，属于基础题，关键是知道：路程=速度×时间． 【详细解答】解：，速度是常量，时间t和里程s为变量，t是自变量，s是因变量， 故答案为：因变量． 68．科学家认为二氧化碳的释放量越来越多是全球变暖的原因之一．下表1950-2020年全球排放的二氧化碳量： 年份 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 全球排放量/百万吨 6002 9475 14989 19287 22588 24688 34180 35962 其中因变量为 ． 【答案】二氧化碳的释放量 【解题思路】根据自变量、因变量的定义分别得出即可； 【详细解答】解：由表可知，二氧化碳的释放量随着年份的增加而增大． ∴因变量为二氧化碳的释放量； 故答案为：二氧化碳的释放量； 【考点点评】此题主要考查了自变量、因变量的定义，解题的关键是熟记定义进行判断． 考点十八用表格表示变量之间的关系 69．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量之间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 10 11 12 下列说法正确的是 ． ①x与y都是变量； ②弹簧不挂重物时的长度为； ③物体质量每增加，弹簧长度增加； ④所挂物体质量为时，弹簧长度为． 【答案】①③④ 【解题思路】本题考查变量和常量，熟练掌握变量是变化的量，常量是固定不变的量，是解题的关键．根据给出的表格中的数据进行分析，可以确定自变量和因变量以及弹簧伸长的长度，得到答案． 【详细解答】解：①x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，正确； ②弹簧不挂重物时的长度为，错误； ③物体质量每增加，弹簧长度增加，正确； ④所挂物体质量为时，弹簧长度为，正确 故答案为：①③④． 70．小明为了了解水温的变化规律，连续测量了一杯开水在室温下的温度变化情况，得到如下表格： 开水在室温下的温度变化情况 时间 0 5 10 15 25 35 45 55 65 70 温度 98 71 55 45 35 28 24 22 22 22 根据表格中的信息，请问当天的室温大概是 ． 【答案】22 【解题思路】本题考查用表格表示变量之间的关系，根据表格可知从开始水温不在发生变化，此时水温约等于室温，即可得出结果． 【详细解答】解：由表格可知，从开始水温不在发生变化，为， ∴当天的室温大概是； 故答案为：22． 71．声音在空气中传播的速度y（单位：）与气温x（单位：）的关系如下表： 气温 0 5 10 15 20 声速 331 334 337 340 343 照此规律可以发现，当气温为 时，声速达到． 【答案】 【解题思路】本题考查了利用表格表示变量之间的关系．观察图表数据，气温每升高，声速增加，然后结合当气温为，音速增加，从而可得答案． 【详细解答】解：∵气温每升高，音速增加， 当气温为，音速增加， ∴当声音在空气中的传播速度为，气温是， 故答案为：． 72．某地用电量与应缴电费之间的关系如下表所示，若应缴电费为2.75元，则用电量为 度． 用电量/度 1 2 3 4 … 应缴电费/元 0.55 1.10 1.65 2.20 … 【答案】5 【解题思路】本题考查了数据的观察与分析能力，正确的识别规律建立方程是解答本题的关键．观察表格数据，找出用电量与应缴电费之间的规律：通过观察发现用电量每增加1度，电费增加了0.55元，这意味着电费和用电量之间存在一定变化规律，根据这规律列出方程，再把应缴电费为2.75元代入求解即可． 【详细解答】解：设用电量为x度，应缴电费为y元，根据题意， ， 把代入上式， 解这个方程得，， 故答案为：5． 考点十九用关系式表示变量之间的关系 73．某机床要加工一批机器毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如下表： 每小时加工件数（件） 30 20 18 9 … 加工时间（小时） 12 18 20 40 用x表示每小时加工毛绒玩具的件数，用y表示加工时间，用式子表示y与x之间的关系为 ． 【答案】 【解题思路】本题考查了反比例关系的意义，工作总量、工作时间、工作效率三者关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．观察表格数据，发现，，，，结合工作时间工作效率工作总量，且工作总量不变，即可作答． 【详细解答】解：由表格数据，得，，，， ∴这批毛绒玩具共360件， ∵工作总量不变，都是360件， ∴加工时间与每小时加工件数乘积都是360，即乘积不变， ∴， 故答案为：． 74．点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系如下表： t/分 0 2 4 6 8 10 h/厘米 30 29 28 27 26 25 写出蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系式 ． 【答案】 【解题思路】此题主要考查了根据实际问题列函数关系式，根据表格可以发现时间每增加2分钟，高度减少1厘米，据此求解即可． 【详细解答】解：由表格可得：时间每增加2分钟，高度减少1厘米，即每分钟高度减少0.5厘米，当时，，即蜡烛初始长度30厘米， ∴蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系式为， 故答案为：． 75．有甲、乙两只大小不同的水箱，容量分别为升、升，且已各装有一些水，若将甲水箱中的水全倒入乙水箱，乙水箱只可再装升的水；若将乙水箱中的水倒入甲水箱，装满甲水箱后，乙水箱还剩升的水．则与之间的数量关系是 ． 【答案】 【解题思路】本题主要考查了列函数关系式，设甲、乙两个水桶中已各装了公升水，根据题意可得，，然后即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详细解答】解：设甲、乙两个水桶中已各装了公升水， 由甲中的水全倒入乙后，乙只可再装公升的水得：； 由乙中的水倒入甲，装满甲水桶后，乙还剩公升的水得：； 得：， ∴， 故答案为：． 76．某农场的粮食总产量为1500吨，农场共有y人，人均占有粮食x吨．根据表格所给数据，请你写出农场人数y（人）和人均占有粮食量x（吨）之间的关系式 ．请你判断表格中的两个量成 关系（填“正比例”或“反比例”）． 农场人数/人 10 20 30 50 人均占有粮食量/吨 150 75 50 30 【答案】 反比例 【解题思路】本题考查反比例的定义，关键是掌握积是定值的两个量成反比例关系． 由表格中数据可得出之间的关系式，并根据关系得出表格中的两个量的关系． 【详细解答】解：由表格中数据可得：， ∴农场人数（人）和人均占有粮食量（吨）之间的关系式为， ∴表格中的两个量成反比例关系， 故答案为：，反比例． 考点二十用图像表示变量之间的关系 77．甲、乙两人同时骑自行车前往A地，他们距A地的路程与行驶时间之间的关系如图所示．甲乙的速度和为 ． 【答案】 【解题思路】本题考查了用图象表示变量间的关系，根据图象求得甲、乙的速度是解题的关键．根据图象，利用速度等于路程除以时间，分别求出甲乙的速度即可得解． 【详细解答】解：根据图可知，甲距离A地，行驶时间为，乙距离A地，行驶时间为， 甲的速度为，乙的速度为， 甲乙的速度和为． 故答案为： 78．如图①，梯形中，，．动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，与之间关系的如图②所示．梯形的面积为 ． 【答案】26 【解题思路】本题考查了用图象表示变量间的关系，弄清图象上的信息是解题的关键．根据图象得出，以及此时面积，利用三角形面积公式求出；再由图象得出，最后利用梯形面积公式计算梯形面积即可． 【详细解答】解：根据图象得：，此时 ，即 解得： 由图像可得： 故答案为：26． 79．小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是 km． 【答案】0.64 【解题思路】设小红的速度为，小星的速度为．由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇，由此可得．又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时，则可得的值，进而求得的值，由此即可求出当小星到达终点时，小红离终点的路程． 本题考查了用图像表示变量之间的关系，解题的关键是认真读题，并结合图像弄清楚图像上每一个点所表示的实际意义． 【详细解答】解：设小红的速度为，小星的速度为． 由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇， ∴， ， 又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时， ， ， ∴小星到达甲地时小红好跑了， 此时小红离终点的路程为． 故答案为：0.64 80．一港口受潮汐的影响，某天小时港内的水深大致如图，港口规定：为了保证航行安全，只有当船底与水底间的距离不少于米时，才能进出该港．一艘吃水深度（即船底与水面的距离）为米的轮船进出该港的时间最多为（单位：时） 小时． 【答案】 【解题思路】从图像上找到当水深为米的两个时间相减即可得到本题的答案． 【详细解答】解：当船底与水底间的距离不少于米时，才能进出该港． 水深度即船底与水面的距离为米的轮船在水深为米时才可以通航， 从图像可知水深为米的时间为时和时， 进出该港口的时间为小时， 故答案为：． 【考点点评】本题考查了用图像表示变量之间的关系，解决本题的关键是理解吃水的概念． 学科网（北京）股份有限公司 $$