期末高频易错考点必刷练03【20个考点解答60题 第1-6章】-2024-2025学年七年级数学下册期末考试考点全攻略（北师大版2024）

期末考试考点全攻略 作者的话 亲爱的同学们： 期末考试即将来临，数学作为一门逻辑性强、知识点环环相扣的学科，系统化的复习至关重要。为了帮助大家高效备考，我们精心整理了这份《七年级数学下册期末考试考点全攻略》，按照选择题、填空题、解答题三大题型分类，精准剖析高频考点，点拨易错陷阱，并提供针对性解题策略。 本攻略以新人教版教材为纲，结合历年期末真题，提炼出最核心的考查方向。无论你是希望夯实基础，还是冲刺高分，都能在这里找到清晰的复习路径。选择题注重概念辨析与快速计算，填空题强调细节与严谨性，解答题则综合考查逻辑推理与规范书写。我们力求用最简洁的语言，直击要害，助你在考场上游刃有余。 复习建议： 先梳理再刷题——对照攻略自查知识漏洞，优先攻克薄弱环节； 限时模拟训练——按题型分配时间（如选择题1~2分钟/题）； 错题归因——标记反复出错的考点，考前重点复盘。 数学的魅力在于思维的严谨与灵活。愿这份攻略成为你复习路上的“导航仪”，助你稳扎稳打，自信迎考！ ​​ 中小学数学教研 2025年6月 2024-2025学年七年级数学下册期末考试考点全攻略 期末高频易错考点必刷练01 【20个考点解答60题（第1-6章）】 目录 考点一幂的乘除 3 考点二整式的乘法 4 考点三乘法公式 7 考点四整式的除法 9 考点五两条直线的位置关系 11 考点六直线平行的条件 14 考点七平行线的性质 17 考点八可能性及事件的分类 22 考点九频率及其稳定性 24 考点十等可能事件的概率 26 考点十一三角形的认识 29 考点十二全等三角形的概念及性质 32 考点十三全等三角形的条件 34 考点十四运用三角形全等解决问题 38 考点十五轴对称及其性质 45 考点十六简单的轴对称图形 47 考点十七现实中的变量 50 考点十八用表格表示变量之间的关系 52 考点十九用关系式表示变量之间的关系 54 考点二十用图像表示变量之间的关系 56 考点一幂的乘除 1．计算： 【答案】 【解题思路】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据零指数幂，负整数指数幂，乘方化简，再计算，即可求解． 【详细解答】解：原式： ． 2．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【解题思路】本题考查幂的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）进行乘方，零指数幂，负整数指数幂和去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）先进行幂的乘方，同底数幂的乘除运算，再合并即可． 【详细解答】（1）解：原式 ； （2）原式； ． 3．对于整数、定义运算： （其中、为常数），如． (1)填空：当时， ___________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2) 【解题思路】（1）根据定义的运算解答即可； （2）根据新定义运算，幂的乘方计算即可即可． 【详细解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． （2）解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴． 【考点点评】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题． 考点二整式的乘法 4．在计算时，甲错把看成了，得到的结果是，乙错把看成了，得到的结果是． (1)求、的值； (2)求的正确结果． 【答案】(1)； (2)． 【解题思路】本题考查了整式的乘法运算，正确的计算是解题的关键． （1）根据条件求出代数式的值，对比结果，分别求出的值； （2）将（1）的的值代入代数式求解即可． 【详细解答】（1）解：甲错把看成了， ， 又， ， ． 乙错把看成了， ， 又， ， ， ． 故，． （2）解：由（1）得， ∴ 5．某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，建筑区域是长为米，宽为米的长方形，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)求该小区绿化的总面积； (2)若，，绿化成本为元平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 【答案】(1)该小区绿化的总面积S为平方米 (2)元 【解题思路】本题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清题意列出相应的式子是解题的关键． （1）绿化的总面积等于大长方形面积减小长方形面积，利用多项式乘多项式法则，然后合并同类项即可得出答案； （2）将与的值代入求出绿化的面积，再根据绿化成本为元/平方米，即可得出答案． 【详细解答】（1）解：由题意得： 平方米， 答：该小区绿化的总面积为平方米； （2）当，时， 平方米， 元， 当完成绿化共需要元钱． 6．先化简，再求值，其中，． 【答案】； 【解题思路】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据完全平方公式和平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则进行计算，然后代入数据进行求值即可． 【详细解答】解： ． 当，时， 原式． 考点三乘法公式 7．某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的“福建土楼”，也有被誉为中国民居建筑典范的“山西大院”，同学们分别对建筑物的进行了数据测量，数据如图所示： (1)若图中阴影部分的面积为建筑物的占地面积，其中“福建土楼”的占地面积用表示，“山西大院”的占地用面积表示，请分别计算这两个建筑物的占地面积；（用含a，b的代数式表示） (2)若，，当时，试探究a，b满足的数量关系． 【答案】(1)， (2)当时，a，b满足的数量关系为 【解题思路】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据所给图形，用含a，b的代数式分别表示两个建筑物的占地面积即可； （2）由题意可得，结合，，求出，即可得解． 【详细解答】（1）解：由题意可得：， ； （2）解：当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，a，b满足的数量关系为． 8．老师在黑板上写了一道题目：已知，求的值．针对这道题目小涛和小玲的讨论如图所示． (1)你认为谁说得对？请说明理由． (2)如果，，求这个式子的值． 【答案】(1)小玲说得对．理由见解析 (2) 【解题思路】本题考查的是整式的混合运算，化简求值； （1）先计算整式的乘法运算，再合并同类项即可判断； （2）把，代入（1）中的代数式，再计算即可． 【详细解答】（1）解：小玲说得对．理由如下： ． 经过化简，原式的结果只与x的取值有关，所以小玲说得对． （2）解：由（1）得，原式． 当时，原式． 9．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解题思路】本题考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式法则，合并同类项法则计算，然后把x、y的值代入计算即可． 【详细解答】解：原式 当时，原式． 考点四整式的除法 10．某市计划修建一个长为米，宽为米的长方形市民休闲广场．【结果均用科学记数法表示】 (1)请计算该广场的面积S； (2)如果用一种正方形大理石地砖铺满该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖． 【答案】(1)广场的面积为 (2)需要3×105块大理石地砖 【解题思路】本题主要考查了同底数幂乘法计算，科学记数法，正确计算是解题的关键． （1）根据长方形面积计算公式列式求解即可； （2）先求出一块大理石的面积，再用广场面积除以一块大理石的面积即可得到答案． 【详细解答】（1）解： 答：广场的面积为； （2）解：单块大理石的面积是 ． 答：需要块大理石地砖。 11．探究应用 (1)计算： ①； ②； (2)通过观察上述两例，总结归纳规律，写出一个新的乘法公式：__________；（用含a，b的等式表示） (3)直接应用公式进行计算：． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【解题思路】该题考查了多项式与多项式乘法，整式规律探究，解题的关键是总结题中规律． （1）根据多项式与多项式相乘的法则计算即可得到答案； （2）观察（1）中的计算结果与各项的关系，由此总结规律，即可解答此题； （3）直接根据（2）中得到的公式计算即可． 【详细解答】（1）解：①原式 ． ②原式 ． （2）解：根据（1）中规律可总结归纳规律为：； （3）解：原式 ． 12．如图，直线与相交于点O，过点O作射线，且． (1)_______． (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【解题思路】本题主要考查了几何图形中角度的计算，对顶角相等等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）由对顶角相等即可求解； （2）根据，由此即可得到结论． 【详细解答】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴． 考点五两条直线的位置关系 13．如图，直线，相交于点，，． (1)求的度数； (2)过点画射线，并直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】本题主要考查垂线的定义，对顶角相等，几何图形中角度的计算，数形结合是关键． （1）根据对顶角相等得出，根据已知可得，进而根据平角的定义，即可求解； （2）分两种情况讨论，分别画出图形，结合图形，即可求解． 【详细解答】（1）解：∵，． ∴， ∴ （2）解：如图，当在上方时， ∵， ∴∠FOC=90° ∵ ∴ 如图，当在的下方时， ∵， ∴ ∵ ∴ 综上所述，或 14．如图，网格线的交点叫格点，格点是的边上的一点（请用无刻度的直尺借助网格的格点画图，保留画图痕迹）． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为 (2)线段___________的长度是点到直线的距离，线段、这两条线段大小关系是___________（用“”号连接），理由是___________； (3)图中的余角是___________（不再标注其它字母）． 【答案】(1)见解析 (2)，垂线段最短 (3)和 【解题思路】本题主要考查了画垂线，点到直线的距离，垂线段最短和余角的定义，正确作出对应的图形是解题的关键； （1）如图所示，取格点H，连接交于E，则点E和射线即为所求；如图所示，取格点F，连接，则点F和射线即为所求； （2）点到直线的距离为该点向该直线作垂线，该点与垂足的距离，据此可得第一空答案，根据垂线段最短可得第二、三空的答案； （3）根据度数之和为90度的两个角互余，结合三角形内角和定理可得答案． 【详细解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴线段的长度是点到直线的距离，线段、这两条线段大小关系是，理由是垂线段最短； （3）解：∵， ∴， ∴的余角是和． 15．如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)试说明：； (2)若与互余，试说明：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【解题思路】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线判定定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）结合角平分线定义得到，即可证明； （2）结合题意得到，再根据等量代换得到，即可证明． 【详细解答】（1）证明：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴． 考点六直线平行的条件 16．（1）如图，用三角板过点画直线的垂线，垂足为；过点画直线的垂线，交直线于点． （2）线段，的大小关系为______．（填“”“”或“”） （3）过点作的平行线．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【解题思路】本题考查了用三角板画垂线，尺规作一个角等于已知角，平行线的判定，垂线段最短，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据三角板作垂线的方法即可作图； （2）根据垂线段最短即可说理； （3）尺规作，那么由同位角相等，两直线平行即可说理． 【详细解答】解：（1）如解图1，直线即为所作： （2）由垂线段最短可得：； （3）如解图2，直线即为所作： 17．如图，C是的平分线上的任意一点． (1)在射线上找一点D，使； (2)猜想与的位置关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)作图见解析 (2)平行，理由见解析 【解题思路】本题考查了尺规作图，做一个角等于已知角，平行线的判定，角平分线的定义，掌握平行线的判定是解题的关键． （1）根据作一个角等于已知角的步骤作图即可； （2）根据角平分线的定义以及等量代换得到，即可证明平行． 【详细解答】（1）解：如图，点D即为所求： （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．如图，已知，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若平分，于点A，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【解题思路】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、垂线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由同位角相等，两直线平行得出，再由平行线的性质可得，结合题意得出，即可得证； （2）由角平分线的定义结合平行线的性质可得，再由垂线的定义可得，即可得解． 【详细解答】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：平分，， ， ， ， ， ， ． 考点七平行线的性质 19．已知点A，B，C，D，E均为定点，直线，点P为射线上一个动点（点P不与点A重合），连接， (1)如图1，当点P在线段上时，若，，直接写出的度数：______． (2)如图2，点M为直线下方的动点，连接，平分，当点P在线段上时，连接，若平分，用等式表示与之间的数量关系，并证明； 【答案】(1) (2) 【解题思路】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的有关计算； （1）过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差，即可求解； （2）过作，过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，，，结合角平分线的定义及角的和差，即可得证； 能根据题意添加辅助线，并能熟练平行线的判定及性质，角平分线的定义进行求解是解题的关键． 【详细解答】（1）解：过作， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：， 证明：过作，过作， ， ， ， ， ， ， 平分， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 20．已知直线，点分别为直线上的点，点F是与之间任意一点，连接．直线，直线l分别交于两点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，已知，求的度数； (3)如图3，平分平分，过点F作的垂线交于点H，连接，，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）利用平行线的性质，等量代换证明即可； （2）过F作，利用平行线的性质，等量代换证明即可； （3）设，过F作，过R作，利用平行线的性质解答即可． 【详细解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，过F作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴； （3）解：如图，∵平分，平分， ∴设， 过F作，过R作， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点点评】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线，一元一次方程的应用，角的和差倍分计算，熟练掌握性质是解题的关键． 21．一个不透明的盒子中装有只有颜色不同的10张卡片，其中有5张白色卡片、3张黑色卡片、2张红色卡片，以下事件中哪些是随机事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？ (1)从口袋中任意抽取1张卡片，该卡片是黑色卡片； (2)从口袋中任意抽取6张卡片，没有白色卡片； (3)从口袋中任意抽取9张卡片，白色、黑色、红色三种颜色的卡片都有． 【答案】(1)随机事件 (2)不可能事件 (3)必然事件 【解题思路】本题主要考查了事件的分类，解题的关键在于熟知在一定条件下，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，不一定发生的事件是随机事件． （1）任意抽取1张卡片，该卡片可能是黑色卡片，也可能不是黑色卡片，据此可得答案； （2）由于黑色卡片和红色卡片共有5张，那么抽取6张卡片一定会有白色卡片，据此可得答案； （3）由于白色卡片和黑色卡片共有8张，那么抽取9张卡片一定会有红色卡片，即三种颜色的卡片都有，据此可得答案． 【详细解答】（1）解：从口袋中任意抽取1张卡片，该卡片是黑色卡片，这是随机事件； （2）解：∵， ∴从口袋中任意抽取6张卡片，一定会有白色卡片， ∴原事件为不可能事件； （3）解：∵， ∴从口袋中任意抽取9张卡片，白色、黑色、红色三种颜色的卡片都有是必然事件． 考点八可能性及事件的分类 22．一个盒子中有6个乒乓球，其中2个是次品，4个是正品，正品和次品的大小和形状完全相同．从中任取3个乒乓球，出现了下列事件：①3个正品；②至少有1个次品；③3个次品；④至少有1个正品．这些事件分别是什么事件？ 【答案】①②可能发生，也可能不发生，是随机事件；③一定不会发生，是不可能事件；④一定发生，是必然事件． 【解题思路】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件． 【详细解答】解：①3个是正品可能发生，也可能不发生，是随机事件； ②至少有1个次品可能发生，也可能不发生，是随机事件； ③3个次品不可能发生，是不可能事件； ④至少有1个正品一定发生，是必然事件． 23．盒中装有红球、黄球和白球，共个，每个球除颜色外都相同，每次摸个球，然后放回；摇匀后，再摸第次、第次． (1)小颖同学摸球次，没有摸到红球，便断定“摸到红球”是不可能的，这种说法正确吗？ (2)小亮同学摸球次，摸到白球次，红球次，黄球次，这说明什么问题？ (3)小明同学没有去摸球，就认为摸到红球、黄球、白球的可能性大小是一样的．这样认为对吗？ 【答案】(1)这种说法不正确，理由见解析； (2)说明盒中装有红球、黄球和白球，共个，每个球除颜色外都相同，每次摸个球，摸到球的颜色是白、红、黄三种颜色中的一种是随机事件； (3)不对，理由见解析． 【解题思路】本题考查了随机事件可能性，正确理解随机事件事件发生的可能性是解题的关键． （1）根据事件发生的可能性进行判断即可； （2）根据事件发生的可能性进行判断即可； （3）根据事件发生的可能性进行判断即可； 【详细解答】（1）解：小颖同学摸球次，没有摸到红球，便断定“摸到红球”是不可能的，这种判断不正确，因为此事件是随机事件，不能因为事件发生的可能性小就认为它是不可能事件； （2）解：小亮同学摸球次，摸到白球次，红球次，黄球次，这说明盒中装有红球、黄球和白球，共个，每个球除颜色外都相同，每次摸个球，摸到球的颜色是白、红、黄三种颜色中的一种是随机事件； （3）解：小明同学没有去摸球，就认为摸到红球、黄球、白球的可能性大小是一样的，这种说法不对，因为红球数、黄球数及白球数不相等时，他们的可能性就不一样． 24．某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是 事件．（填随机、必然、不可能） (2)小明观察一段时间后发现，平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估算袋中白球的数量； (3)在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加3个黄球，那么抽中一等奖的概率为多少？ 【答案】(1)必然 (2)9个 (3) 【解题思路】本题主要考查了简单的概率计算，已知概率求数量，事件的分类： （1）根据 题意可知，小明一定会中奖，即小明中奖是必然事件； （2）根据题意可知抽中一等奖的概率为，抽中二等奖的概率为，据此求出红色球和黄色球的数量，进而求出白色球数量； （3）用红色球数量除以球的总数即可得到答案． 【详细解答】（1）解：∵只有三个小球，每个小球都对应着相应的奖级， ∴小明获得1次抽奖机会，小明一定会中奖，即小明中奖是必然事件， 故答案为：必然； （2）解：∵平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖， ∴抽中一等奖的概率为，抽中二等奖的概率为， ∴红色球和黄色球分别有个，个， ∴估算袋中白球的数量为个； （3）解：， ∴如果在抽奖袋中增加3个黄球，那么抽中一等奖的概率为． 考点九频率及其稳定性 25．现对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格数 48 95 141 190 480 760 950 合格率 (1)求，的值； (2)估计任抽一件衬衣是合格品的概率． 【答案】(1)； (2) 【解题思路】本题考查了求某事件的频率，利用频率估计概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据合格率合格数抽取件数计算即可； （2）根据7批次衬衫从50件增加到1000件时，衬衣的合格率趋近于0.95，所以估计衬衣合格的概率为0.95． 【详细解答】（1）解：根据题意，； ． 答：的值为，的值为． （2）抽取件数为1000时，合格的频率趋近于0.95， 估计任抽一件衬衣是合格品的概率为0.95． 26．下表为某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 100 200 500 1 000 2 000 5 000 发芽的粒数m 94 a 475 954 1 906 4 745 发芽频率 0.940 0.955 0.950 b 0.953 0.949 (1)求出a，b的值； (2)任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率．（结果精确到0.01） 【答案】(1)191，0.954 (2)0.95 【解题思路】本题考查了频数、频率、总数之间的关系，用频率估计概率，掌握频数、频率、总数之间的关系是解决本题的关键． （1）根据种子数、发芽的粒数、发芽率之间的关系求解即可； （2）根据概率与频率的关系解答即可． 【详细解答】（1）解：， ． 故答案为：191，0.954； （2）解：随着实验种子数的增加，频率稳定在0.95， 任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是0.95； 故答案为：0.95． 27．某种玉米种子在相同条件下的发芽试验结果如下表： 试验的种子粒数n 100 150 200 500 800 1000 发芽的粒数m 65 111 136 345 560 700 发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 (1)计算并完成表格（结果精确到0.01）； (2)请估计当n很大时，频率将接近____________； (3)这种玉米种子的发芽概率的估计值是多少？请简要说明理由． 【答案】(1)0.70； 0.70 (2)0.70 (3)这种玉米种子的发芽概率的估计值是0.7；理由：在相同条件下，多次试验，事件的发生频率近似等于概率 【解题思路】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比． （1）用发芽的粒数每批粒数n即可得到发芽的频率； （2）种子粒数从100粒逐渐增加到1000粒时，种子发芽的频率趋近于0.7，所以估计当n很大时，频率将接近0.7； （3）这种玉米种子的发芽概率的估计值是0.7，因为在相同条件下，多次实验，某一事件的发生频率近似等于概率． 【详细解答】（1）解：表中①的数值为，②的数值为； 故答案为：0.70、0.70； （2）当n很大时，频率将接近0.70； （3）解：该品种小麦种子发芽的概率估计值是0.70， 理由：在相同条件下，多次实验，某一事件发生的频率近似等于概率． 考点十等可能事件的概率 28．在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 600 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.60 (1)表中的________； ________； (2)“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 【答案】(1)0.59，116 (2)0.6 (3)还有8个其它颜色的球 【解题思路】本题考查利用频率估计概率，利用概率求数量： （1）根据频率，频数和总数之间的关系进行求解即可； （2）利用频率估计概率即可； （3）用概率求出总量，再减去白球的数量即可． 【详细解答】（1）解：，； （2）由表格可知：“摸到白球”的概率的估计值是0.6； （3）（个）； 答：还有8个其它颜色的球． 29．某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元． (1)他获得购物券的概率是多少？ (2)他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？ (3)若要让获得20元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成黄色． 【答案】(1) (2)他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是 (3)还需要将个无色扇形涂成黄色 【解题思路】本题主要考查了概率公式，一元一次方程的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据概率公式计算即可； （3）设还需要将个无色扇形涂成黄色，列方程求解即可． 【详细解答】（1）解：， 答：他获得购物券的概率是； （2）解：他得到100元购物券的概率是， 他得到50元购物券的概率是， 他得到20元购物券的概率是， 答：他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是； （3）解：设还需要将个无色扇形涂成黄色， 根据题意得：， 解得：， 答：还需要将个无色扇形涂成黄色． 30．现有12张卡片，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．小花和小佳合作完成一个游戏，规定：小花先随意抽取一张，然后让小佳猜这个数，如果猜对了，那么小佳获胜；如果猜错了，那么小花获胜． (1)这个游戏对双方公平吗？为什么？ (2)现还有下面两种游戏规则，你认为公平吗？为什么？ ①猜是奇数还是偶数； ②猜是不是3的倍数． (3)如果你是小佳，为了获胜，你选择上面哪一种猜法？ 【答案】(1)不公平，理由见解析 (2)①公平，理由见解析；②不公平，理由见解析 (3)为了获胜，选择猜不是3的倍数 【解题思路】本题主要考查了游戏的公平性，正确根据概率计算公式求出对应游戏规则下获胜的概率是解题的关键． （1）分别计算出两人获胜的概率，比较即可得到答案； （2）①分别计算出猜奇数和猜偶数获胜的概率，比较即可得到答案；②分别计算出猜3的倍数和猜不是3的倍数获胜的概率，比较即可得到答案； （3）根据（2）所求可得答案． 【详细解答】（1）解：这个游戏对双方不公平，理由如下： ∵一共有12个数字，小佳猜对的数字只有一个，猜错的数字有11个， ∴小佳获胜的概率为，小花获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏对双方不公平； （2）解：①公平，理由如下： ∵一共有12个数，其中奇数和偶数分别有6个， ∴猜奇数或者猜偶数获胜的概率都为， ∴公平； ②不公平，理由如下： ∵一共有12个数，其中3的倍数有4个，不是3的倍数有8个， ∴猜3的倍数获胜的概率为，猜不是3的倍数获胜的概率为， ∵， ∴不公平； （3）解：由（2）可得，猜不是3的倍数的获胜概率比较大，故为了获胜，选择猜不是3的倍数． 考点十一三角形的认识 31．已知平面内三点的坐标如图所示，求三角形的面积． 【答案】 【解题思路】本题考查运用割补法求三角形的面积，用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得解． 【详细解答】解：如下图画一个各边都与坐标轴平行或垂直的长方形，使得三个顶点都在长方形的边上， 则：． 答：三角形的面积为． 32．如图，中，分别是上的点，满足． (1)，是否平行？说明理由． (2)若平分，，求度数． 【答案】(1)平行 (2) 【解题思路】本题考查了三角形的内角和，平行线的判定等知识点． （1）由三角形内角和为，结合已知可得，由同位角相等两直线平行即可得出结论； （2）根据角平分线定义可得，结合可得． 【详细解答】（1）结论：平行， ∵， ， ∴， ∴． （2）∵平分， ∴， ∵， ∴． 33．如图，直线与直线，直线分别相交于点，，若于点，交直线于点． (1)若与互余，试判断直线，直线的位置关系，并说明理由； (2)若，，，则点到直线的距离是________． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【解题思路】本题考查了平行线的判定、垂直的定义、三角形的面积公式，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，得出，根据互余的性质得出，推出，再利用内错角相等，两直线平行即可得出结论． （2）过点作于点，利用等面积法求出的长，即可得到点到直线的距离． 【详细解答】（1）解：，理由如下： ， ， ， 与互余， ， ， ． （2）解：如图，过点作于点， 三角形的面积， ， 点到直线的距离是． 故答案为：． 考点十二全等三角形的概念及性质 34．如图，且，，，． (1)求的长度． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【解题思路】本题考查的是全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等． （1）根据题意求出的长，根据全等三角形的性质得到答案； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详细解答】（1）解：，， ， ， ； （2）解：∵ ∴． 35．如图，，、分别为和上的点．求证：． 【答案】见解析 【解题思路】本题主要考查的是全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 先由得出，即可得到． 【详细解答】证明：， ， ∵、分别为和上的点， ， ． 36．如图，，点在的延长线上，，． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【解题思路】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解决本题的关键，全等三角形的对应边相等，对应角相等． 根据全等三角形的性质得出，，再求出即可； 根据全等三角形的性质得出，根据角的和与差可证结论成立． 【详细解答】（1）解：，，， ，， ； （2）证明：， ， ， ． 考点十三全等三角形的条件 37．如图，点和点在线段上，． (1)求证：； (2)判断线段与的关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 【解题思路】本题考查全等三角形的性质与判定，平行线的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，即可解答． （2）．由，可得，继而证明，即可解答． 【详细解答】（1）证明：， ， ； （2）解：． 理由如下： ， ， ， ， ， ． 38．如图，已知点，在线段上，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】，证明见解析 【解题思路】本题考查了全等三角形的性质与判定，先证明，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详细解答】解：与的数量关系为，理由如下： ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 39．（1）如图1，已知是直角三角形．，，直线经过点，分别从点、向直线作垂线，垂足分别为、．求证：． （2）如图2，在中，，直线经过点，点、分别在直线上，如果，猜想、、有何数量关系？并给予证明． （3）如图3，以的边、为腰向外作等腰和等腰，，，，是边上的高．延长交于点，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），理由见解析 【解题思路】（1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定得，，由此可得出、、的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定，则，，同理可证明得，，再证明得，再根据可得结论． 【详细解答】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 【考点点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 考点十四运用三角形全等解决问题 40．如图所示，于点，于点，是上一点，，．求证：． 【答案】见解析 【解题思路】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 根据题意判定，可得，进而求解； 【详细解答】证明：于点，于点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 41．在中，，，过点A作，连接，，M为平面内一动点． (1)如图1，点M在上，连接，，过点A作于点F，D为中点，连接并延长，交于点H．求证：． (2)如图2，连接，，过点B作于点B，且满足，连接，，过点B作于点G，若，，，请求出线段的取值范围． 【答案】(1)见详解 (2) 【解题思路】（1）先根据证得，得出，，再利用证得，得出，即可得出结论； （2）连接，先利用得出，得出，再根据等底同高的三角形的面积相等得出，再利用三角形的面积公式得出的长，从而利用三角形的三边关系得出的取值范围； 本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的三边关系，灵活运用全等三角形的判定是解题的关键． 【详细解答】（1）解：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴． （2）解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 则， ∴， ∴． 42．综合与实践：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，，求的取值范围； (2)如图2，，，，D为的中点，求证，； (3)如图3，在四边形中，对角线相交于点E，F是的中点，，，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【解题思路】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理等知识． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解； （2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到； （3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到． 【详细解答】（1）解：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故答案为：； （2）证明：延长至G，使，连接，则 ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （3）证明：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 考点十五轴对称及其性质 43．如图，16个相同的小正方形拼成一个正方形网格，其中的两个小方格已涂黑．请用三种不同的方法分别在图中再涂黑两个小方格，使整个网格成为轴对称图形． 【答案】见解析 【解题思路】本题主要考查了设计轴对称图案，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义进行设计图案即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详细解答】解：如图，（答案不唯一） 44．①在图中画出与关于直线成轴对称的； ②在直线上找到一点，使最短. 【答案】①见解析；②见解析 【解题思路】本题考查了画轴对称图形，轴对称的性质求线段和的最值问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键；①根据轴对称的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解；②连接，则，则，根据线段最短，即可求解． 【详细解答】解：如图，即为所求 ②如图所示，点即为所求； 45．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点．图①、图②中点A、B均为格点，图③中点A为格点、点B在网格线上且不是格点．只用无刻度的直尺，分别在图①、图②、图③中画出线段AB关于直线l的对称图形，保留作图痕迹． 【答案】见解析 【解题思路】本题主要考查了格点作图、轴对称作图等知识点，掌握轴对称图形的定义成为解题的关键． 根据轴对称的性质可直接画出图①图②；在图③中，先取点A关于直线l的对称点C，连接BC交直线l于点O，连接AO并延长与网格线交于点D，连接CD即可． 【详细解答】解：分别如图①②③所示． 考点十六简单的轴对称图形 46．已知：如图，等腰中，，腰的垂直平分线分别交、于E、D，连接． (1)若，，求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【解题思路】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出，掌握等边对等角． （1）由线段垂直平分线的性质推出，即可得到的周长； （2）由等腰三角形的性质推出， ， 即可求出的度数． 【详细解答】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长； （2）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ， ∴． 47．如图，已知，点在的内部，且；是的角平分线． (1)用量角器画； (2)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (3)若射线、分别表示从点出发的北、东两个方向，则射线表示 方向． 【答案】(1)图形见解析； (2)图形见解析； (3)北偏东． 【解题思路】（1）以为边，在的内部画； （2）利用尺规作图的方法，作的角平分线； （3）把、看作方向标，求出的度数即可求解． 【详细解答】（1）解：以为边，在的内部画，如图所示； （2）解：画出的角平分线如图所示； （3）解：若射线、分别表示从点出发的北、东两个方向， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴射线表示北偏东方向． 故答案为：北偏东． 【考点点评】此题考查了作图基本作图，方向角，涉及画已知度数的角；利用尺规作图画角的平分线；根据方向标和角的度数表示方向；以及求一个角的余角和补角的方法的灵活应用． 48．在中，， 的作图痕迹如图所示，交于点N，垂直平分边，交于点D，交于点E，交于点O，连接． (1)若，，求与的面积比； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）过点作于点，根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式即可求解； （2）根据等边对等角得出的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出的度数，即可推出结果． 【详细解答】（1）解：如图，过点作于点， 由作图可知，平分， 又垂直平分边，， ， ，， ， △与△的面积比； （2）解：，， ，， 平分， ， 垂直平分边， ， ， ． 【考点点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，尺规基本作图-作角平分线，熟练掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质是解题的关键． 考点十七现实中的变量 49．写出下列各个过程中的变量与常量： (1)我国第一颗人造地球卫星绕地球1周需内卫星绕地球的周数为N，； (2)长方形的长为2，它的面积S与宽a的关系式为． 【答案】(1)N和t是变量，114是常量 (2)S和a是变量，2是常量 【解题思路】本题主要考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解题的关键． （1）根据在这一变化过程中，是保持不变的量；和是可以取不同数值的量分析判断即可得解； （2）根据在这一变化过程中，是保持不变的量；和是可以取不同数值的量分析判断即可得解． 【详细解答】（1）解：和是变量，是常量； （2）解：和是变量，是常量． 50．下面的图象记录了某地1月份某一天的温度情况，请你仔细观察图象后回答下面的问题． (1)图中反映了哪两个变量之间的关系？其中，哪个是自变量，哪个是因变量？ (2)你能描述气温随时间的变化而变化的情况吗？ 【答案】(1)图象反映的是温度和时间两个变量之间的关系，时间是自变量，温度是因变量 (2)在时，气温不断上升；在时或时，气温不断下降 【解题思路】本题考查了变量，掌握相关定义是解题关键．在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量．若一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化，那么我们称前一个变量为因变量，后一个变量为自变量，据此即可作答． （1）根据变量的定义作答即可； （2）根据图象进行描述即可． 【详细解答】（1）解：图象反映的是温度和时间两个变量之间的关系，时间是自变量，温度是因变量； （2）解：在时，气温不断上升；在时或时，气温不断下降． 51．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 【答案】(1)印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费 (2)增加 (3)150 【解题思路】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键． （1）由表格中数据变化可得答案； （2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案； （3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000张印刷收费即可． 【详细解答】（1）解：根据表格中的数据变化可得： 上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费， 故答案为：印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费； （2）解：从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而增加， 故答案为：增加； （3）由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为（元）， 所以印刷1000张的费用为：（元）， 故答案为：150． 考点十八用表格表示变量之间的关系 52．海水受日月的引力而产生潮汐现象．早晨海水上涨叫作潮，黄昏海水上涨叫作汐，合称潮汐．潮汐与人类的生活有着密切的联系．某港口某天从0时到12时的水深情况如下表，其中T表示时刻，h表示水深． 上述问题中，字母T、h表示的是变量还是常量，简述你的理由． T（时） 0 3 6 9 12 h（米） 5 4 1 6 5 【答案】变量，见解析 【解题思路】此题主要考查了常量和变量的定义．根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，可得T，h是变量． 【详细解答】解：字母T，h表示的是变量．因为水深h随着时间T的变化而变化． 53．从高处抛下一个物体，测定高度与落地时间的关系如下表： 高度 5 10 15 20 25 落地时间 1 2 估计从处抛下，需多少时间落地？ 【答案】估计从处抛下，需落地 【解题思路】本题主要考查了函数关系是以及函数的表示方法等知识，学会观察表格是解决本题的关键．根据下落高度与时间进行估算即可． 【详细解答】解：由表格可知，从到，落地时间的增加量为， 所以从到，落地时间的增加量应小于， 即时的落地时间应在到之间． 故估计从处抛下，需落地． 54．王师傅非常喜欢自驾游，他为了了解新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程S（） 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … (1)该轿车油箱的容量为 ，行驶150时，油箱中的剩余油量为 ； (2)在这个问题中，哪些是变量？哪些是常量？ (3)用含S的代数式来表示． 【答案】(1)50，38 (2)变量：行驶的路程S，油箱剩余油量；常量：油箱的容量，每千米的耗油量 (3) 【解题思路】本题考查了列代数式，有理数的运算，变量与常量，读懂图表信息是解题的关键． （1）由表格可知，开始时油箱为，每行驶，油量减少，由此填空； （2）根据常变量的定义可得出结论； （3）由表格可知，开始时油箱为，每行驶，油量减少，即可得到用S的代数式来表示． 【详细解答】（1）解：当，， ∴轿车油箱的容量为， 行驶的油耗为， ∴行驶，油箱剩余的油为， 故答案为：50，38； （2）解：在这个问题中，变量：行驶的路程S，油箱剩余油量；常量：油箱的容量，每千米的耗油量； （3）解：∵该轿车油箱的容量为，油耗为行驶的油耗为， ∴． 考点十九用关系式表示变量之间的关系 55．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离与时间的数据如表所示．请写出s和t满足的关系式，并指出哪些是常量，哪些是变量． 时间 1 2 3 4 5 … 距离 2 8 18 32 50 … 【答案】，常量是2，变量是s和t 【解题思路】通过观察发现：距离都为偶数，应都与2有关，所以表中数据的规律可以确定为t秒时，距离为，从而得出s和t满足的关系式；再根据常量和变量的定义即可得出答案． 【详细解答】解：∵1秒时，距离为2； 2秒时，距离为； 3秒时，距离为； 4秒时，距离为； ∴t秒时，距离为，； 常量是2，变量是s和t． 56．（1）用总长为的篱笆围成长方形场地，求长方形的面积S（单位：）与一边长x（单位：）之间的关系式，并指出关系式中的变量和常量； （2）运动员在一圈的跑道上训练，求他跑一圈所用的时间t（单位：s）与跑步的平均速度（单位：）之间的关系式，及当时，t的值． 【答案】（1）．其中变量是S，x，常量是30；（2）．当时，t的值为100 【解题思路】本题主要考查利用关系式表示变量之间的关系，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题意矩形周长与面积的计算公式得到关系式； （2）根据路程时间速度写出关系式即可． 【详细解答】解：（1）长方形场地总长为， 另一边为， ．其中变量是S，x，常量是30； （2）由题意可得：， 当时，t的值为100． 57．实验测得声速与气温的一些数据如下表： 气温 0 1 2 3 4 声速 331 331.6 332.2 332.8 333.4 (1)此表反映的是________随________变化的情况； (2)请直接写出与之间的关系式：________； (3)某人看到烟花燃放后才听到声响，且此人与烟花燃放所在地的距离为，求此时的气温． 【答案】(1)声速；气温 (2) (3)此时的气温为 【解题思路】本题考查用关系式表示变量间的关系，找到变量之间的变化规律是本题的关键． （1）根据表格数据可得出结论； （2）根据“气温每增加，声速增加”作答即可； （3）先根据求得声速，再代入，求解即可． 【详细解答】（1）解：此表反映的是声速随气温变化的情况； 故答案为：声速；气温； （2）解：因为当气温是时，声速是， 气温每增加，声速增加， 所以与之间的关系式为； （3）解：设此时气温为， 因为， 所以， 解得． 答：此时的气温为． 考点二十用图像表示变量之间的关系 58．如图所示是某地一天内的气温变化图，看图回答： (1)这天7时、10时、14时的气温分别是多少？ (2)这一天中什么时候的气温在逐渐升高？什么时候的气温在逐渐降低？ (3)这个问题中的变量是什么？ 【答案】(1)、、 (2)3～14时的气温在升高；0～3时与14～24时的气温在降低 (3)时间和温度 【解题思路】本题考查了变量与常量、用图象表示变量之间的关系，解题的关键是： （1）根据图象即可解答； （2）根据图象即可解答； （3）根据图象即可解答． 【详细解答】（1）解： 7时、10时、14时的气温是、、； （2）解：3～14时的气温在升高；0～3时与14～24时的气温在降低； （3）解：变量是时间和温度． 59．宝兰客专是首条贯通丝绸之路经济带的高铁线，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作，人文交流具有十分重要的意义．试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，西宁与西安相距千米，两车同时出发，两车出发后小时相遇；设普通列车行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米），图中的折线表示与之间的关系，根据图象，解答下列问题： (1)普通列车到达终点共需 小时，它的速度是 千米/小时； (2)求动车的速度； (3)动车行驶多长时间与普通列车相距千米？ 【答案】(1)， (2)千米/小时 (3)小时或小时 【解题思路】本题主要考查函数图象的应用，熟练掌握两人单线型行程问题的图象中的各拐点坐标的实际意义及行程问题中蕴含的相等关系是解题的关键． （1）先得出两地相距千米，根据时的实际意义可得普通列车共需时间，由速度路程时间可得答案； （3）设动车的速度为千米/小时，根据“动车小时行驶的路程普通列车小时行驶的路程”列方程求解可得； （4）分两种情况：①相遇前；②相遇后进行讨论，可得答案． 【详细解答】（1）解：由时，， 则西宁和西安两地相距千米， 由图象知时，普通列车到达西安， 即普通列车到达终点共需小时， 故普通列车的速度是（千米/小时）， 故答案为：，； （2）解：设动车的速度为千米/小时， 根据题意，得：， 解得：， 答：动车的速度为千米/小时； （3）解：①当相遇前动车行驶与普通列车相距千米， 根据题意得：（小时）， ∴相遇前动车行驶小时与普通列车相距千米； ②当相遇后动车行驶与普通列车相距千米， 由当动车到达终点时用时（小时）， 此时两车相距， 即两车相距千米是在动车到达终点之前， 根据题意得：（小时）， ∴相遇后动车行驶小时与普通列车相距千米； 综上，动车行驶小时或小时与普通列车相距千米． 60．小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会儿准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整）．据图中给出的信息，解答下列问题： (1)在上述变化过程中，自变量是___________，因变量是___________； (2)朱老师的速度为___________米/秒，小明到达点C前的速度为___________米/秒； (3)当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离是多少米？ 【答案】(1)； (2)2，6； (3)300米 【解题思路】（1）利用函数的定义求解； （2）根据函数图象，得到朱老师在110秒跑了220米，小明70秒跑了420米，然后根据速度公式分别计算他们的速度； （3）设秒时，小明第一次追上朱老师，利用路程相等得到，解方程求出，然后计算即可； 本题考查了从函数的图象获取信息，运用数形结合思想以及熟练掌握路程，时间，速度三者关系是解题的关键． 【详细解答】（1）解：依题意，在上述变化过程中，自变量是，因变量是； 故答案为：；； （2）解：朱老师的速度（米秒），小明的速度为（米秒）； 故答案为：2，6； （3）解：设秒时，小明第一次追上朱老师 根据题意得，解得， 则（米， 所以当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离为300米； 学科网（北京）股份有限公司 $$期末考试考点全攻略 作者的话 亲爱的同学们： 期末考试即将来临，数学作为一门逻辑性强、知识点环环相扣的学科，系统化的复习至关重要。为了帮助大家高效备考，我们精心整理了这份《七年级数学下册期末考试考点全攻略》，按照选择题、填空题、解答题三大题型分类，精准剖析高频考点，点拨易错陷阱，并提供针对性解题策略。 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7．某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的“福建土楼”，也有被誉为中国民居建筑典范的“山西大院”，同学们分别对建筑物的进行了数据测量，数据如图所示： (1)若图中阴影部分的面积为建筑物的占地面积，其中“福建土楼”的占地面积用表示，“山西大院”的占地用面积表示，请分别计算这两个建筑物的占地面积；（用含a，b的代数式表示） (2)若，，当时，试探究a，b满足的数量关系． 8．老师在黑板上写了一道题目：已知，求的值．针对这道题目小涛和小玲的讨论如图所示． (1)你认为谁说得对？请说明理由． (2)如果，，求这个式子的值． 9．先化简，再求值：，其中． 考点四整式的除法 10．某市计划修建一个长为米，宽为米的长方形市民休闲广场．【结果均用科学记数法表示】 (1)请计算该广场的面积S； (2)如果用一种正方形大理石地砖铺满该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖． 11．探究应用 (1)计算： ①； ②； (2)通过观察上述两例，总结归纳规律，写出一个新的乘法公式：__________；（用含a，b的等式表示） (3)直接应用公式进行计算：． 12．如图，直线与相交于点O，过点O作射线，且． (1)_______． (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 考点五两条直线的位置关系 13．如图，直线，相交于点，，． (1)求的度数； (2)过点画射线，并直接写出的度数． 14．如图，网格线的交点叫格点，格点是的边上的一点（请用无刻度的直尺借助网格的格点画图，保留画图痕迹）． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为 (2)线段___________的长度是点到直线的距离，线段、这两条线段大小关系是___________（用“”号连接），理由是___________； (3)图中的余角是___________（不再标注其它字母）． 15．如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)试说明：； (2)若与互余，试说明：． 考点六直线平行的条件 16．（1）如图，用三角板过点画直线的垂线，垂足为；过点画直线的垂线，交直线于点． （2）线段，的大小关系为______．（填“”“”或“”） （3）过点作的平行线．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 17．如图，C是的平分线上的任意一点． (1)在射线上找一点D，使； (2)猜想与的位置关系，并证明你的猜想． 18．如图，已知，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若平分，于点A，，求的度数． 考点七平行线的性质 19．已知点A，B，C，D，E均为定点，直线，点P为射线上一个动点（点P不与点A重合），连接， (1)如图1，当点P在线段上时，若，，直接写出的度数：______． (2)如图2，点M为直线下方的动点，连接，平分，当点P在线段上时，连接，若平分，用等式表示与之间的数量关系，并证明； 20．已知直线，点分别为直线上的点，点F是与之间任意一点，连接．直线，直线l分别交于两点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，已知，求的度数； (3)如图3，平分平分，过点F作的垂线交于点H，连接，，求的度数． 21．一个不透明的盒子中装有只有颜色不同的10张卡片，其中有5张白色卡片、3张黑色卡片、2张红色卡片，以下事件中哪些是随机事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？ (1)从口袋中任意抽取1张卡片，该卡片是黑色卡片； (2)从口袋中任意抽取6张卡片，没有白色卡片； (3)从口袋中任意抽取9张卡片，白色、黑色、红色三种颜色的卡片都有． 考点八可能性及事件的分类 22．一个盒子中有6个乒乓球，其中2个是次品，4个是正品，正品和次品的大小和形状完全相同．从中任取3个乒乓球，出现了下列事件：①3个正品；②至少有1个次品；③3个次品；④至少有1个正品．这些事件分别是什么事件？ 23．盒中装有红球、黄球和白球，共个，每个球除颜色外都相同，每次摸个球，然后放回；摇匀后，再摸第次、第次． (1)小颖同学摸球次，没有摸到红球，便断定“摸到红球”是不可能的，这种说法正确吗？ (2)小亮同学摸球次，摸到白球次，红球次，黄球次，这说明什么问题？ (3)小明同学没有去摸球，就认为摸到红球、黄球、白球的可能性大小是一样的．这样认为对吗？ 24．某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是 事件．（填随机、必然、不可能） (2)小明观察一段时间后发现，平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估算袋中白球的数量； (3)在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加3个黄球，那么抽中一等奖的概率为多少？ 考点九频率及其稳定性 25．现对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格数 48 95 141 190 480 760 950 合格率 (1)求，的值； (2)估计任抽一件衬衣是合格品的概率． 26．下表为某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 100 200 500 1 000 2 000 5 000 发芽的粒数m 94 a 475 954 1 906 4 745 发芽频率 0.940 0.955 0.950 b 0.953 0.949 (1)求出a，b的值； (2)任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率．（结果精确到0.01） 27．某种玉米种子在相同条件下的发芽试验结果如下表： 试验的种子粒数n 100 150 200 500 800 1000 发芽的粒数m 65 111 136 345 560 700 发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 (1)计算并完成表格（结果精确到0.01）； (2)请估计当n很大时，频率将接近____________； (3)这种玉米种子的发芽概率的估计值是多少？请简要说明理由． 考点十等可能事件的概率 28．在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 600 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.60 (1)表中的________； ________； (2)“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 29．某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元． (1)他获得购物券的概率是多少？ (2)他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？ (3)若要让获得20元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成黄色． 30．现有12张卡片，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．小花和小佳合作完成一个游戏，规定：小花先随意抽取一张，然后让小佳猜这个数，如果猜对了，那么小佳获胜；如果猜错了，那么小花获胜． (1)这个游戏对双方公平吗？为什么？ (2)现还有下面两种游戏规则，你认为公平吗？为什么？ ①猜是奇数还是偶数； ②猜是不是3的倍数． (3)如果你是小佳，为了获胜，你选择上面哪一种猜法？ 考点十一三角形的认识 31．已知平面内三点的坐标如图所示，求三角形的面积． 32．如图，中，分别是上的点，满足． (1)，是否平行？说明理由． (2)若平分，，求度数． 33．如图，直线与直线，直线分别相交于点，，若于点，交直线于点． (1)若与互余，试判断直线，直线的位置关系，并说明理由； (2)若，，，则点到直线的距离是________． 考点十二全等三角形的概念及性质 34．如图，且，，，． (1)求的长度． (2)求的度数． 35．如图，，、分别为和上的点．求证：． 36．如图，，点在的延长线上，，． (1)求的长； (2)求证：． 考点十三全等三角形的条件 37．如图，点和点在线段上，． (1)求证：； (2)判断线段与的关系并证明． 38．如图，已知点，在线段上，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 39．（1）如图1，已知是直角三角形．，，直线经过点，分别从点、向直线作垂线，垂足分别为、．求证：． （2）如图2，在中，，直线经过点，点、分别在直线上，如果，猜想、、有何数量关系？并给予证明． （3）如图3，以的边、为腰向外作等腰和等腰，，，，是边上的高．延长交于点，探究与的数量关系，并说明理由． 考点十四运用三角形全等解决问题 40．如图所示，于点，于点，是上一点，，．求证：． 41．在中，，，过点A作，连接，，M为平面内一动点． (1)如图1，点M在上，连接，，过点A作于点F，D为中点，连接并延长，交于点H．求证：． (2)如图2，连接，，过点B作于点B，且满足，连接，，过点B作于点G，若，，，请求出线段的取值范围． 42．综合与实践：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，，求的取值范围； (2)如图2，，，，D为的中点，求证，； (3)如图3，在四边形中，对角线相交于点E，F是的中点，，，试探究与的数量关系，并说明理由． 考点十五轴对称及其性质 43．如图，16个相同的小正方形拼成一个正方形网格，其中的两个小方格已涂黑．请用三种不同的方法分别在图中再涂黑两个小方格，使整个网格成为轴对称图形． 44．①在图中画出与关于直线成轴对称的； ②在直线上找到一点，使最短. 45．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点．图①、图②中点A、B均为格点，图③中点A为格点、点B在网格线上且不是格点．只用无刻度的直尺，分别在图①、图②、图③中画出线段AB关于直线l的对称图形，保留作图痕迹． 考点十六简单的轴对称图形 46．已知：如图，等腰中，，腰的垂直平分线分别交、于E、D，连接． (1)若，，求的周长； (2)若，求的度数． 47．如图，已知，点在的内部，且；是的角平分线． (1)用量角器画； (2)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (3)若射线、分别表示从点出发的北、东两个方向，则射线表示 方向． 48．在中，， 的作图痕迹如图所示，交于点N，垂直平分边，交于点D，交于点E，交于点O，连接． (1)若，，求与的面积比； (2)若，求的度数． 考点十七现实中的变量 49．写出下列各个过程中的变量与常量： (1)我国第一颗人造地球卫星绕地球1周需内卫星绕地球的周数为N，； (2)长方形的长为2，它的面积S与宽a的关系式为． 50．下面的图象记录了某地1月份某一天的温度情况，请你仔细观察图象后回答下面的问题． (1)图中反映了哪两个变量之间的关系？其中，哪个是自变量，哪个是因变量？ (2)你能描述气温随时间的变化而变化的情况吗？ 51．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 考点十八用表格表示变量之间的关系 52．海水受日月的引力而产生潮汐现象．早晨海水上涨叫作潮，黄昏海水上涨叫作汐，合称潮汐．潮汐与人类的生活有着密切的联系．某港口某天从0时到12时的水深情况如下表，其中T表示时刻，h表示水深． 上述问题中，字母T、h表示的是变量还是常量，简述你的理由． T（时） 0 3 6 9 12 h（米） 5 4 1 6 5 53．从高处抛下一个物体，测定高度与落地时间的关系如下表： 高度 5 10 15 20 25 落地时间 1 2 估计从处抛下，需多少时间落地？ 54．王师傅非常喜欢自驾游，他为了了解新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程S（） 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … (1)该轿车油箱的容量为 ，行驶150时，油箱中的剩余油量为 ； (2)在这个问题中，哪些是变量？哪些是常量？ (3)用含S的代数式来表示． 考点十九用关系式表示变量之间的关系 55．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离与时间的数据如表所示．请写出s和t满足的关系式，并指出哪些是常量，哪些是变量． 时间 1 2 3 4 5 … 距离 2 8 18 32 50 … 56．（1）用总长为的篱笆围成长方形场地，求长方形的面积S（单位：）与一边长x（单位：）之间的关系式，并指出关系式中的变量和常量； （2）运动员在一圈的跑道上训练，求他跑一圈所用的时间t（单位：s）与跑步的平均速度（单位：）之间的关系式，及当时，t的值． 57．实验测得声速与气温的一些数据如下表： 气温 0 1 2 3 4 声速 331 331.6 332.2 332.8 333.4 (1)此表反映的是________随________变化的情况； (2)请直接写出与之间的关系式：________； (3)某人看到烟花燃放后才听到声响，且此人与烟花燃放所在地的距离为，求此时的气温． 考点二十用图像表示变量之间的关系 58．如图所示是某地一天内的气温变化图，看图回答： (1)这天7时、10时、14时的气温分别是多少？ (2)这一天中什么时候的气温在逐渐升高？什么时候的气温在逐渐降低？ (3)这个问题中的变量是什么？ 59．宝兰客专是首条贯通丝绸之路经济带的高铁线，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作，人文交流具有十分重要的意义．试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，西宁与西安相距千米，两车同时出发，两车出发后小时相遇；设普通列车行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米），图中的折线表示与之间的关系，根据图象，解答下列问题： (1)普通列车到达终点共需 小时，它的速度是 千米/小时； (2)求动车的速度； (3)动车行驶多长时间与普通列车相距千米？ 60．小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会儿准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整）．据图中给出的信息，解答下列问题： (1)在上述变化过程中，自变量是___________，因变量是___________； (2)朱老师的速度为___________米/秒，小明到达点C前的速度为___________米/秒； (3)当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离是多少米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$