专题04 一元一次不等式组期末复习(十大题型+过关检测)-2024-2025学年八年级数学下学期期末重点题型复习与过关检测（北师大版）

专题04 一元一次不等式组期末复习 （十大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 一元一次不等式组的定义 1 题型二 求不等式组的解集 1 题型三 解特殊不等式组 2 题型四 求一元一次不等式组的整数解 3 题型五 由一元一次不等式组的解集求参数 3 题型六 不等式组和方程组结合的问题 4 题型七 列一元一次不等式组 4 题型八 不等式组的经济问题 5 题型九 不等式组的分配问题 6 题型十 不等式组的方案选择问题 7 过关检测 8 题型一 一元一次不等式组的定义 例1：在下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 变式训练一 1．下列不是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 2．下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个． 题型二 求不等式组的解集 例2：解不等式组： (1) (2) 变式训练二 1．解不等式组：． 2．解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来： (1) (2) 题型三 解特殊不等式组 例3：阅读下列关于不等式的解题思路： 由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得： ①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 等式的解集为或 请利用上面的解题思路解答下列问题： (1)求出的解集； (2)求不等式的解集． 变式训练三 1．阅读材料： 李老师给数学兴趣小组布置了这样一个关于不等式的问题：求不等式的解集. 小组成员百思不得其解，这时，李老师提示说：“我们可以利用有理数的运算法则解决这一问题”，话音刚落，聪明的小明就说：“我明白了”！你们想到解决问题的方法了吗？小明是这样做的：根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”. 可得①；或②， 解不等式组①得：，解不等式组②得：， ∴原不等式的解集为：或. 你明白了吗？请结合以上材料解答问题：解不等式. 2．先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式， 解：因为，所以原不等式可化为 由有理数乘法法则“两数相乘，异号得负”，得：①，或②，解不等式组①得，解不等式组②无解，所以原不等式的解集为． (1)用例题的方法解不等式的解集为 　　； (2)解不等式． 题型四 求一元一次不等式组的整数解 例4：解不等式组：，并写出它的所有整数解． 变式训练四 1．解不等式组：，将解集表示在数轴上，并写出非负数整数解． 2．（1）解不等式：，把它的解集表示在数轴上； （2）解不等式组，并写出整数解． 题型五 由一元一次不等式组的解集求参数 例5：若不等式组的解集为，则的值为 ． 变式训练五 1．若关于x的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．不等式组的解集是，则m的取值范围是 ． 题型六 不等式组和方程组结合的问题 例6：已知关于x、y的方程组中，，，求m的取值范围． 变式训练六 1．已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 2．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m得取值范围． (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 题型七 列一元一次不等式组 例7：某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 变式训练七 1．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 2．盐湖区今天的最高气温是，最低气温是，当天盐湖区气温的变化范围用不等式表示为 ． 题型八 不等式组的经济问题 例8：某化工厂现有甲种原料7吨，乙种原料5吨，现计划用这两种原料生产两种不同的化工产品A和B共8吨．生产每吨A，B产品所需的甲、乙两种原料如下表： 甲原料 乙原料 A种产品 0.6吨 0.8吨 B种产品 1.1吨 0.4吨 已知销售两种产品获得的利润分别为0.45万元／吨和0.5万元／吨．设化工厂生产A种产品吨，且销售这两种产品所获得的总利润为万元． (1)求与之间的函数关系式，并求出的取值范围； (2)问：化工厂生产A种产品多少吨时，所获得的总利润最大？最大总利润是多少？ 变式训练八 1．为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球数量，且总费用不超过2900元．设购买A品牌足球的数量为x，列出关于x的不等式组并求出x的取值范围． 2．元旦前夕，某礼品超市要到批发市场采购A，B两种礼品共300件，已知A礼品的件数不少于B礼品的件数，采购总费用不超过4320元，两种礼品的批发价和零售价如下表．设该超市采购x件A礼品． 品名 批发价：元/件 零售价：元/件 A礼品 15 25 B礼品 12 20 (1)求该超市采购总费用y（单位；元）与x（单位；件）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)若该超市将这300件礼品全部以零售价售出，请运用你所学习的一次函数性质求出超市能获得的最大利润； (3)鉴于本次销售市场反馈良好，超市决定春节前再次采购相同数量礼品，受市场行情等因素影响，再次采购时，A礼品的批发价每件上涨了元，同时B礼品批发价每件下降了m元．该超市决定不调整礼品的零售价，通过测算将所有礼品全部卖出获得的最低利润是2040元，求m的值． 题型九 不等式组的分配问题 例9：为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200 吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A 镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 变式训练九 1．为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 2．随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下： 型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元） 型 27000 型 12000 已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%． (1)求，两种型号的机器人的进价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？ 题型十 不等式组的方案选择问题 例10：吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由哈尔滨工业大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．某商场看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查：“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元． (1)该商场在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个共需要170元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求m，n的值； (2)该商场决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件a个，有哪几种购买方案？ 变式训练十 1．秦汉学校组织全体师生参加夏令营活动，现准备租用、两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆），其中型客车每辆租金500元，型客车每辆租金600元．已知5辆型客车和2辆型客车坐满后共载客310人；3辆型客车和4辆型客车坐满后共载客340人． (1)求每辆型客车，每辆型客车坐满后各载客多少人； (2)若该校计划租用型和型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并能将全校420名师生全部载至目的地，请列举出该校所有的租车方案． 2．某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金2800元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金4600元． (1)求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？ (2)该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种型号口罩共20箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案； (3)若销售一箱甲型口罩，利润率为，乙型口罩的售价为每箱1280元，为了促销，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金m元，而甲型口罩售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求m的值． 一、单选题 1．下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若不等式组有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万元，一台B型设备的单价为10万元．经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由于资金有限，该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，且需要这两种设备每月的污水处理量不低于1930吨，设购买A型污水处理设备a台，则根据题意可以列不等式组为（   ） A． B． C． D． 5．不等式组：的解集为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．若关于x的不等式组只有3个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为 ． 8．若关于的不等式组只有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 9．已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围 ． 10．定义：对于实数，表示，两数中较小的数，如，若关于的函数，且，则的取值范围是 ． 三、解答题 11．解不等式组： (1)； (2) 12．已知不等式组的解集为，则的值等于多少？ 13．定义新运算为：对于任意实数a、b都有，等式右边都是通常的加法、减法、乘法运算，比如． (1)若，求的取值范围． (2)若不等式组恰有三个整数解，求实数的取值范围． 14．某超市销售A，B两种品牌的牛奶，购买2箱A种品牌的牛奶和2箱B种品牌的牛奶共需230元；购买2箱A种品牌的牛奶和5箱B种品牌的牛奶共需410元． (1)求A种品牌的牛奶，B种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？ (2)若某公司购买A，B两种品牌的牛奶共20箱，且A种品牌牛奶的数量至少比B种品牌牛奶的数量多6箱，又不超过B种品牌牛奶的3倍，购买A，B两种品牌的牛奶各多少箱才能使总费用最少？最少总费用为多少元？ 15．阅读下列材料：我们知道，的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 例1：解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为或． 例2：解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为 ． (2)解不等式：． (3)解不等式：． 16．某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进A种型号衣服9件，B种型号衣服10件，则共需1810元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知销售一件A型号衣服可获利18元，销售一件B型号衣服可获利30元，要使在这次销售中获利不少于930元，且A型号衣服不多于32件． (1)求A、B型号衣服进价各是多少元？ (2)若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案？ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元一次不等式组期末复习 （十大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 一元一次不等式组的定义 1 题型二 求不等式组的解集 3 题型三 解特殊不等式组 5 题型四 求一元一次不等式组的整数解 7 题型五 由一元一次不等式组的解集求参数 9 题型六 不等式组和方程组结合的问题 11 题型七 列一元一次不等式组 13 题型八 不等式组的经济问题 14 题型九 不等式组的分配问题 18 题型十 不等式组的方案选择问题 21 过关检测 24 题型一 一元一次不等式组的定义 例1：在下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义．根据一元一次不等式组的定义进行判断．几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 【详解】解：A．第二个不等式不是整式不等式，故本选项不符合题意； B．该不等式组中有2个未知数，故本选项不符合题意； C．该不等式组中的第二个不等式中不含有未知数，故本选项不符合题意； D．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 变式训练一 1．下列不是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式组的定义进行解答． 【详解】解：A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； B、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； C、该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项符合题意； D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组． 2．下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个． 【答案】2 【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ③是一元一次不等式组； ④不是一元一次不等式组； ⑤，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有2个， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 题型二 求不等式组的解集 例2：解不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取较大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． （1）先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“同大取较大”来求不等式组的解集； （2）先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“同大取较大”来求不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 由①，得， 由②，得， 所以不等式组的解集为； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为． 变式训练二 1．解不等式组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 2．解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来： (1) (2) 【答案】(1) (2)原不等式组无解 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的方法是解题的关键． （1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组无解． 题型三 解特殊不等式组 例3：阅读下列关于不等式的解题思路： 由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得： ①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 等式的解集为或 请利用上面的解题思路解答下列问题： (1)求出的解集； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据实数的乘法法则以及解一元一次不等式组解决此题． （2）根据实数的除法法则以及解一元一次不等式组解决此题． 【详解】（1）由两数相乘，异号为负，得： ①或②， 解不等式组①，无解；解不等式组②， 的解集为 （2）由两数相除，同号为正，得： ①或②， 解不等式组①，；解不等式组②， 不等式的解集为或 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决本题的关键． 变式训练三 1．阅读材料： 李老师给数学兴趣小组布置了这样一个关于不等式的问题：求不等式的解集. 小组成员百思不得其解，这时，李老师提示说：“我们可以利用有理数的运算法则解决这一问题”，话音刚落，聪明的小明就说：“我明白了”！你们想到解决问题的方法了吗？小明是这样做的：根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”. 可得①；或②， 解不等式组①得：，解不等式组②得：， ∴原不等式的解集为：或. 你明白了吗？请结合以上材料解答问题：解不等式. 【答案】 【分析】根据有理数相除异号得负，故可得①；②，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意可得： ①；② 解不等式组①，得无解 解不等式组②，得 原不等式的解集为 【点睛】本题主要考查了分式不等式，根据有理数除法同号得正，异号得负的法则，判断出分式不等式分子，分母的正负，组成不等式组是解题的关键． 2．先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式， 解：因为，所以原不等式可化为 由有理数乘法法则“两数相乘，异号得负”，得：①，或②，解不等式组①得，解不等式组②无解，所以原不等式的解集为． (1)用例题的方法解不等式的解集为 　　； (2)解不等式． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）仿照例题的思路，即可解答； （2）由有理数除法法则“两数相除，异号得负”，得：①或②，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）因为， 所以原不等式可化为， 由有理数乘法法则“两数相乘，同号得正”，得： ①或， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 所以原不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）由有理数除法法则“两数相除，异号得负”，得： ①或②， 解不等式组①得无解， 解不等式组②得， 所以原不等式的解集为 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，理解例题的思路是解题的关键． 题型四 求一元一次不等式组的整数解 例4：解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：3，4 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后写出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为， 所以不等式组的整数解为：3，4． 变式训练四 1．解不等式组：，将解集表示在数轴上，并写出非负数整数解． 【答案】，非负整数解为和，数轴见解析 【分析】本题考查不等式组的整数解，正确解一元一次不等式组是解题的关键．先分别解两个不等式，将解集表示在数轴上，根据“同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小无解了”取解集，再找出非负整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 将解集表示在数轴上， ， ∴该不等式组的非负整数解为和． 2．（1）解不等式：，把它的解集表示在数轴上； （2）解不等式组，并写出整数解． 【答案】（1），数轴见解析 （2），不等式组的整数解为 【分析】本题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． （1）先求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）先求出每一个不等式的解集，再根据不等式的解集找出不等式组的解集，写出整数解即可． 【详解】解：（1） 解得：； 在数轴上表示为： （2） 解得； 解得； 原不等式组的解集为， 不等式组的整数解为． 题型五 由一元一次不等式组的解集求参数 例5：若不等式组的解集为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的解法以及二元一次方程组的解法，正确利用a和b表示出不等式组的解集是关键． 首先解不等式组，利用a和b表示出不等式组的解集，然后得到关于a和b的方程组，从而解答a、b的值，代入求解． 【详解】解：由得 ∵不等式组的解集为， ∴ 解得． ∴． 故答案为：． 变式训练五 1．若关于x的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查不等式组无解的情况，解题的关键是熟知不等式组的解集．先依次求出不等式的解集，再根据不等式组无解进行求解． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∵该不等式组无解， ∴， 故选：B． 2．不等式组的解集是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 先解得，利用同大取大得到，然后解关于m的不等式即可． 【详解】解：， 解①，得， ∴， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴． 故答案为：． 题型六 不等式组和方程组结合的问题 例6：已知关于x、y的方程组中，，，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查加减法解二元一次方程组，解一元一次不等式的综合．运用加减消元法解二元一次方程组，用含的式子表示的值，再根据，，得到一元一次不等式组，进一步计算即可求解． 【详解】解：， 得，， 把代入得，， ∴原方程组的解为， 依题意得：， 解得：． 变式训练六 1．已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程组的解集的情况求参数的范围，求不等式组的解集，根据方程组的解集的情况，得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：， 得：，即， 得：， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 2．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m得取值范围． (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组和方程组的方法，准确计算． （1）先解方程组得出，然后根据x为非正数，y为负数得出关于m的不等式组，最后解不等式组即可； （2）先将不等式整理为，然后根据不等式的解集为，得出，求出，根据，得出不等式的解集，根据取整数，可得． 【详解】（1）解： 得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为， 为非正数，为负数， ， ， 解得， 的取值范围是． （2）解：将不等式整理，得， 其解集为， ， 解得， ． 结合取整数，可得， 即当时，不等式的解集为 题型七 列一元一次不等式组 例7：某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了列不等式，正确理解收费标准是关键．设他行驶的路程为千米，则付费，根据不足1千米按1千米计算，可得答案． 【详解】解：设他行驶的路程为千米， ∴， 故选A 变式训练七 1．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系，列出不等式组． 设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得． 故选：C． 2．盐湖区今天的最高气温是，最低气温是，当天盐湖区气温的变化范围用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】根据题意列出不等式组即可． 【详解】根据题意知：盐湖区今天的最高气温是，最低气温是， ∴当天盐湖区气温的变化范围为： 故答案为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 题型八 不等式组的经济问题 例8：某化工厂现有甲种原料7吨，乙种原料5吨，现计划用这两种原料生产两种不同的化工产品A和B共8吨．生产每吨A，B产品所需的甲、乙两种原料如下表： 甲原料 乙原料 A种产品 0.6吨 0.8吨 B种产品 1.1吨 0.4吨 已知销售两种产品获得的利润分别为0.45万元／吨和0.5万元／吨．设化工厂生产A种产品吨，且销售这两种产品所获得的总利润为万元． (1)求与之间的函数关系式，并求出的取值范围； (2)问：化工厂生产A种产品多少吨时，所获得的总利润最大？最大总利润是多少？ 【答案】(1) (2)化工厂生产A种产品3.6吨时，所获得的总利润最大，最大总利润是3.82万元 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用及最大利润问题；得到两种原料的关系式及总利润的等量关系是解决本题的关键． （1）首先根据题意得到，然后列出不等式组求解即可； （2）根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得． 根据题意，得 解得； （2）解：是一次函数， 且 随的增大而减小． 因此，当时，取最大值， 最大值为3.82万元． 即化工厂生产A种产品3.6吨时，所获得的总利润最大，最大总利润是3.82万元． 变式训练八 1．为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球数量，且总费用不超过2900元．设购买A品牌足球的数量为x，列出关于x的不等式组并求出x的取值范围． 【答案】，． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设购买A品牌足球的数量为x，则购买品牌足球的数量为个，根据题意列出不等组，求解即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：设购买A品牌足球的数量为x，则购买品牌足球的数量为个，依题意得： ， 解得：， ∴的取值范围为． 2．元旦前夕，某礼品超市要到批发市场采购A，B两种礼品共300件，已知A礼品的件数不少于B礼品的件数，采购总费用不超过4320元，两种礼品的批发价和零售价如下表．设该超市采购x件A礼品． 品名 批发价：元/件 零售价：元/件 A礼品 15 25 B礼品 12 20 (1)求该超市采购总费用y（单位；元）与x（单位；件）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)若该超市将这300件礼品全部以零售价售出，请运用你所学习的一次函数性质求出超市能获得的最大利润； (3)鉴于本次销售市场反馈良好，超市决定春节前再次采购相同数量礼品，受市场行情等因素影响，再次采购时，A礼品的批发价每件上涨了元，同时B礼品批发价每件下降了m元．该超市决定不调整礼品的零售价，通过测算将所有礼品全部卖出获得的最低利润是2040元，求m的值． 【答案】(1)该超市的采购总费用y与x的函数关系式为 (2)商场能获得的最大利润为2880元 (3) 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的应用，一次函数的应用； （1）该超市采购x件A礼品，则采购件B礼品，根据总费用等于两种礼品的费用之和建立函数关系，再建立不等式组求解自变量的范围即可； （2）设总利润为W元，再利用总利润等于两种礼品的利润之和建立函数关系，再利用一次函数的性质可得答案； （3）设再次销售时总利润为T元，再利用总利润等于两种礼品的利润之和建立函数关系，再利用一次函数的性质分情况可得答案； 【详解】（1）解：该超市采购x件A礼品，则采购件B礼品， 根据题意得：， 由题意得：， 解得：， 答：该超市的采购总费用y与x的函数关系式为：； （2）解：设总利润为W元，根据题意得： ， ， 随x的增大而增大，又， 当时，W最大，最大值为2880， 答：商场能获得的最大利润为2880元； （3）解：设再次销售时总利润为T元，根据题意得： ①当即时，T随x的增大而增大， 又， 当时，T有最小值为， 解得，舍去： ②当即时，T随x的增大而减小， 又， 当时，T有最小值为， 解得：，符合题意． ③当即时，，舍去 综上所述，． 题型九 不等式组的分配问题 例9：为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200 吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A 镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 【答案】(1) (2)总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 【分析】（1）设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨，再根据每吨的运费列出总运费y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围即可； （2）根据一次函数的性质和x的取值范围，求出最低的调运方案及最低运费即可； 本题主要考查了一次函数与一元一次不等式组的实际应用问题，用x表示运往各地的吨数是解决本题的关键． 【详解】（1）解：设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨， 则总费用 整理得： ∵， 解得， 即总运费y关于x的函数关系式为； （2）∵ ， ∴ y随x的增大而减小 ∵， ∴当时，最低运费为：， 此时从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨． 答：总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 变式训练九 1．为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 【答案】全班至少有25人，至多有27人 【分析】本题考查的是二元一次方程与不等式组的应用，设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得，再进一步解题即可． 【详解】解：设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得 由①得：， 将代入②，得， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵是正整数， ∴全班至少有25人，至多有27人． 2．随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下： 型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元） 型 27000 型 12000 已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%． (1)求，两种型号的机器人的进价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？ 【答案】(1)型机器人的进价为4500元；型机器人的进价为3000元； (2)商场应购买型机器人3台，型机器人2台，总费用为19500元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题的关键． （1）设型机器人的进价为元，则型机器人进价为元，设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据题意列出方程组，解方程即可． （2）设再次购买型机器人台，则购买型机器人台，根据题意列出不等式组，解不等式即可． 【详解】（1）解：设B型机器人进价为元，购进B型机器人台，则型机器人进价为元，购进型机器人台， 根据题意，可列方程， 解得， 即B型机器人进价为3000元，型机器人进价为元． （2）解：设再次购买型机器人a台，则购买型机器人台， 根据题意，得， 解得， 由于为整数，所以， 总费用为元， 故商场应购买型机器人3台，B型机器人2台，总费用为19500元． 题型十 不等式组的方案选择问题 例10：吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由哈尔滨工业大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．某商场看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查：“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元． (1)该商场在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个共需要170元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求m，n的值； (2)该商场决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件a个，有哪几种购买方案？ 【答案】(1)， (2)共有3种购买方案：方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个；方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个；方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件a个，则购买“妮妮“造型钥匙扣挂件个，根据题意列出一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得： ， ∴，； （2）解：设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件a个，则设购买“妮妮“造型钥匙扣挂件个， 根据题意得：， 解得：， 又∵a为正整数， ∴a可以为，，， ∴共有3种购买方案： 方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个； 方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个； 方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个． 变式训练十 1．秦汉学校组织全体师生参加夏令营活动，现准备租用、两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆），其中型客车每辆租金500元，型客车每辆租金600元．已知5辆型客车和2辆型客车坐满后共载客310人；3辆型客车和4辆型客车坐满后共载客340人． (1)求每辆型客车，每辆型客车坐满后各载客多少人； (2)若该校计划租用型和型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并能将全校420名师生全部载至目的地，请列举出该校所有的租车方案． 【答案】(1)每辆型车、型车坐满后各载客人、人； (2)方案一、租用型车5辆，则租用型车5辆；方案二、租用型车6辆，则租用型车4辆；方案三、租用型车7辆，则租用型车3辆；方案四、租用型车8辆，则租用型车2辆． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等组的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设每辆型车、型车坐满后各载客人、人，由题意列出方程组求解即可； （2）设租用型车辆，则租用型车辆，由题意列出不等组，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设每辆型车、型车坐满后各载客人、人，由题意得： ， 解得：， 答：每辆型车、型车坐满后各载客人、人； （2）解：设租用型车辆，则租用型车辆，由题意得： ， 解得：， ∵取正整数， ∴， ∴共有种租车方案； 方案一、租用型车5辆，则租用型车5辆； 方案二、租用型车6辆，则租用型车4辆； 方案三、租用型车7辆，则租用型车3辆； 方案四、租用型车8辆，则租用型车2辆． 2．某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金2800元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金4600元． (1)求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？ (2)该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种型号口罩共20箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案； (3)若销售一箱甲型口罩，利润率为，乙型口罩的售价为每箱1280元，为了促销，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金m元，而甲型口罩售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求m的值． 【答案】(1)甲型号口罩每箱进价为1000元，乙型号口罩每箱进价为800元 (2)共有四种方案，方案一：购进甲型口罩7箱、乙型口罩13箱；方案二：购进甲型口罩8箱、乙型口罩12箱；方案三：购进甲型口罩9箱、乙型口罩11箱；方案四：购进甲型口罩10箱、乙型口罩10箱 (3)80 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用． （1）设甲型口罩每箱的进价为x元，乙型口罩每箱的进价为y元，根据“若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金2800元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金4600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进a箱甲型口罩，则购进箱乙型口罩，根据进货总价不多于万元且不少于万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再结合a为正整数即可得出各进货方案； （3）设销售完20箱口罩后获得的利润为w元，根据总利润每箱利润销售数量（进货数量），即可得出w关于a的函数关系式，由（2）中所有方案获利相同可得出，解之即可得出m的值． 【详解】（1）解：设甲型号口罩每箱进价为x元，乙型号口罩每箱进价为y元， 根据题意可得：， 解得， 答：甲型号口罩每箱进价为1000元，乙型号口罩每箱进价为800元． （2）解：设购进甲型号口罩a箱，则购进乙型号口罩箱， 根据题意可得：， 解得， a可取7、8、9、10， 共有四种方案， 方案一：购进甲型口罩7箱、乙型口罩13箱； 方案二：购进甲型口罩8箱、乙型口罩12箱； 方案三：购进甲型口罩9箱、乙型口罩11箱； 方案四：购进甲型口罩10箱、乙型口罩10箱； （3）解：设销售完20箱口罩后获得的利润为w元，甲型口罩每箱利润为， 依题意，得， 当时，w始终等于8000，取值与a无关． 一、单选题 1．下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组．解题的关键是掌握一元一次不等式组的定义． 一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：A、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； B、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； C、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集． 【详解】 解不等式①得：x≤﹣1，解不等式②得：x＞2，在数轴上表示为： 则不等式组的为空集． 故选B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 3．若不等式组有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式组及不等式组有解求参数，熟练掌握解一元一次不等式组的方法步骤是解决问题的关键． 根据一元一次不等式组的解法及不等式组有解的条件得出不等式求解即可得到答案． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 不等式组有解， ，即， 故选：C． 4．某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万元，一台B型设备的单价为10万元．经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由于资金有限，该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，且需要这两种设备每月的污水处理量不低于1930吨，设购买A型污水处理设备a台，则根据题意可以列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，设购买A型污水处理设备a台，则设购买B型污水处理设备台，根据购买资金不超过106万元可得，根据污水处理量不低于1930吨可得，据此可得答案． 【详解】解：设购买A型污水处理设备a台， 由题意得，， 故选：B． 5．不等式组：的解集为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，先求出不等式的解集，再根据不等式组的解集为，即可求出答案． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式组的解集为， ∴， 故选：B． 6．若关于x的不等式组只有3个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解．先求出每个不等式的解集，根据已知进行得出m的范围即可． 【详解】解：∵， ∴解不等式组得， 又∵关于x的不等式组只有个整数解， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 7．把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为 ． 【答案】 【分析】设有a个学生，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为：，根据最后一个同学最多分得3个，即大于0个小于等于3个，列出一元一次不等式组即可求解． 【详解】由已知条件可得，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为： 最后一个同学最多分得3个， 则，即． 故答案为． 【点睛】本题考查了列不等式组，根据题意找到不等关系列出不等式是解题的关键． 8．若关于的不等式组只有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先解出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于的不等式组只有一个整数解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得， 关于的不等式组只有一个整数解， ， 故答案为：． 9．已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，先求出方程组的解，再把解代入到不等式中，最后解不等式即可求解，正确求出方程组的解是解题的关键． 【详解】解： 得，， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为， ∵方程组的解满足， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 10．定义：对于实数，表示，两数中较小的数，如，若关于的函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查是新定义运算，一次函数的定义，不等式组的应用，根据新定义得出或，解不等式组，即可 【详解】解：依题意，或 解第一个不等式组得：， 解第二个不等式组得： ∴或 故答案为：或 ． 三、解答题 11．解不等式组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）先求出两个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可； （2）先求出两个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 12．已知不等式组的解集为，则的值等于多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了含参数的一元一次不等式组、代数式求值等知识点，掌握确求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”成为解题的关键． 先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式组的解集列出求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：由可得：， ∵该不等式组的解集为， ∴，解得：， ∴． 13．定义新运算为：对于任意实数a、b都有，等式右边都是通常的加法、减法、乘法运算，比如． (1)若，求的取值范围． (2)若不等式组恰有三个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式、一元一次不等式组，熟练掌握不等式和不等式组的解法是解题关键． （1）根据新运算的定义可得，从而可得，解不等式即可得； （2）根据新运算的定义可得不等式组，分别解两个不等式，再根据不等式组恰有三个整数解可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， 解得：． （2）解：由题意得：， ， ∴不等式组可转化为， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组恰有三个整数解， ∴， 解得． 14．某超市销售A，B两种品牌的牛奶，购买2箱A种品牌的牛奶和2箱B种品牌的牛奶共需230元；购买2箱A种品牌的牛奶和5箱B种品牌的牛奶共需410元． (1)求A种品牌的牛奶，B种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？ (2)若某公司购买A，B两种品牌的牛奶共20箱，且A种品牌牛奶的数量至少比B种品牌牛奶的数量多6箱，又不超过B种品牌牛奶的3倍，购买A，B两种品牌的牛奶各多少箱才能使总费用最少？最少总费用为多少元？ 【答案】(1)A种品牌的牛奶每箱价格是55元，B种品牌的牛奶每箱价格是60元 (2)购买A品牌的牛奶15箱，B品牌的牛奶5箱才能使总费用最少，最少总费用为1125元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设A种品牌的牛奶每箱价格是a元，B种品牌的牛奶每箱价格是b元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设购买A品牌的牛奶x箱，则购买B品牌的牛奶箱．根据题意列出一元一次不等式组，求出，设总费用为W元，则，再由一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A种品牌的牛奶每箱价格是a元，B种品牌的牛奶每箱价格是b元． 根据题意，得， 解得． ∴A种品牌的牛奶每箱价格是55元，B种品牌的牛奶每箱价格是60元． （2）解：设购买A品牌的牛奶x箱，则购买B品牌的牛奶箱． 根据题意，得， 解得， 设总费用为W元，则， ， 随x的增大而减小， ， 当时，W值最小，，（箱）． ∴购买A品牌的牛奶15箱，B品牌的牛奶5箱才能使总费用最少，最少总费用为1125元． 15．阅读下列材料：我们知道，的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 例1：解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为或． 例2：解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为 ． (2)解不等式：． (3)解不等式：． 【答案】(1)或者 (2) (3)或者 【分析】本题考查了绝对值及不等式的知识． 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． （1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点的对应的数为1或求解即可； （2）先求出的解，再求出的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出的解集． 【详解】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点的对应的数为1或 ∴方程的解为或， 故答案为：或； （2）解：∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点的对应的数为或8 ∴方程的解为或 ∴的解集为． （3）解：由绝对值的几何意义可知，方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值． ∵在数轴上4和对应的点的距离是6 ∴满足方程的x的点在4的右边或的左边 若x对应的点在4的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得 ∴方程的解为或 ∴的解集为或者． 16．某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进A种型号衣服9件，B种型号衣服10件，则共需1810元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知销售一件A型号衣服可获利18元，销售一件B型号衣服可获利30元，要使在这次销售中获利不少于930元，且A型号衣服不多于32件． (1)求A、B型号衣服进价各是多少元？ (2)若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案？ 【答案】(1)型号衣服每件90元，型号衣服每件100元 (2)有两种进货方案：①型号衣服购买13件，型号衣服购进30件；②型号衣服购买14件，型号衣服购进32件 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意建立不等式组和方程组是解题的关键； （1）设型号衣服每件元，型号衣服每件元，根据等量关系：A种型号衣服9件进价B种型号衣服10件进价，A种型号衣服12件进价B种型号衣服8件进价建立方程组求解即可； （2）设型号衣服购进件，则型号衣服购进件，根据获利不少于930元，且A型号衣服不多于32件．关系式为：型件数型件数，A型号衣服件数，据此建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设型号衣服每件元，型号衣服每件元， 由题意得 解得 答：型号衣服每件90元，型号衣服每件100元； （2）解：设型号衣服购进件，则型号衣服购进件， 由题意得 解得， 为正整数， 或，当时，，当时，． ∴有两种进货方案：①型号衣服购买13件，型号衣服购进30件；②型号衣服购买14件，型号衣服购进32件. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$