专题03 一元一次不等式期末复习(八大题型+过关检测)-2024-2025学年八年级数学下学期期末重点题型复习与过关检测（北师大版）

专题03 一元一次不等式期末复习（八大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 不等式的基本性质 1 题型二 一元一次不等式的定义 1 题型三 求一元一次不等式的解集 2 题型四 求一元一次不等式解的最值 3 题型五 列一元一次不等式 3 题型六 用一元一次不等式解决实际问题 3 题型七 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 5 题型八 根据两条直线的交点求不等式的解集 5 过关检测 7 题型一 不等式的基本性质 例1：已知，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D．             变式训练一 1．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知，下列不等式一定成立的是（   ） ①②③④⑤ A．①③④⑤ B．①④⑤ C．①②④ D．①④⑤ 题型二 一元一次不等式的定义 例2：2025年春晚《秧BOT》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的AI驱动全身运动控制技术，最大关节扭矩可达，使其动作复杂而灵动．此款机器人的关节扭矩应满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 变式训练二 1．下列各式：①，②，③，④．其中一元一次不等式的个数是（   ） A． B． C． D． 2．国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 题型三 求一元一次不等式的解集 例3：下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式． 根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（   ） A． B． C． D． 变式训练三 1．如图，从“输入实数x”到“结果是否”为一次程序操作，若输入x后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．解不等式： (1)； (2)． 题型四 求一元一次不等式解的最值 例4：不等式的最小整数解是（   ） A． B． C．0 D．1 变式训练四 1．不等式的最大整数解是 ． 2．对于任意有理数、，定义一种运算：．例如，．根据上述定义可知：不等式的最大整数解是 ． 题型五 列一元一次不等式 例5：用不等式表示“的倍与的差不小于” ． 变式训练五 1．某校开展了“科技节”课外知识竞赛．一共有20道题，每答对一题加5分，不答不扣分，每答错一题倒扣2分．已知小明答错与不答的题数相同，最后比赛得分超过64分．设小明答错了道题，根据题意，可列出关于的不等式为 2．用不等式表示下列各数量关系： (1)的5倍与的的和小于2； (2)3与的和的一半不小于3； (3)与的的和是非负数． 题型六 用一元一次不等式解决实际问题 例6：某学校组织学生到郊外植树，并准备了A，B两种食材为学生制作午餐．这两种食材每包质量均为，其营养成分表如图： (1)若制作每份午餐需选用这两种食材共10包，并保证每份午餐摄入热量不低于3800KJ，则至少应选用食材多少包？ (2)考虑到健康饮食的需求，在（1）的条件下，每份午餐脂肪含量要尽可能低．请通过计算，设计符合要求且脂肪含量最低的配餐方案． 变式训练六 1．某《黑神话：悟空》主题商店，计划购进两种纪念品共180件．一种是“黑神话：悟空”手办模型，每个进价95元，另一种是“黑神话：悟空”主题的文化衫，每件进价35元．若该商店进货成本不超过8000元，求该商店最多可购进多少个“黑神话：悟空”手办模型？ 手办95元/个 文化衫35元/件 2.为了提高节日仪式感，三八妇女节期间，甲乙两家花店以同样的价格出售同样的玫瑰花束，并且又各自推出不同促销方案： 甲花店的优惠方案：购花价格累计超过200元后，超出200元的部分按付费； 乙花店的优惠方案：购花价格累计超过100元后，超出100元的部分按付费； 某公司想在三八妇女节为公司的女性送上玫瑰花束，若该公司准备购买总价为元的玫瑰花束． (1)在甲花店购买的优惠价为______元，在乙花店购买的优惠价为______元；（均用含的式子表示）； (2)请问该公司到哪家花店购花更优惠？写出解答过程． 题型七 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 例7：如图，一次函数的图象经过坐标轴上，两点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 变式训练七 1．若一次函数（k，b为常数）的图象如图所示，那么当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知一次函数解析式为，求在这个一次函数图像上且位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围是 ． 题型八 根据两条直线的交点求不等式的解集 例8：一次函数和的图象如图所示，且，． (1)关于的不等式的解集为______； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 变式训练八 1．一次函数与的图像如图所示，则下列结论： ①； ②； ③的值每增加，的值增加； ④． 其中正确的是 ． 2．如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，两直线交于点C．已知，观察图像并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ；关于x的不等式的解集是 ； (2)直接写出关于x的不等式组的解集 ； (3)若点C的坐标为． ①的面积为 ；        ②在y轴上找一点，使得的值最大，求点的坐标．    一、单选题 1．如果，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．下面式子中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．关于x的不等式的正整数解为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．小明同学早上前要到达班级，出家门时是，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式正确的为（   ） A． B． C． D． 6．圆圆想要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，这根铁丝的长度为，圆圆从，两处弯曲，其中，她一定不能成功的是（    ） A． B． C． D． 7．已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知一次函数与的图象的交点坐标为．现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则，其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 9．若是关于x的一元一次不等式，则 . 10．如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是 ． 11．在不等式中，的最小值是 ． 12．“的倍与的差是正数”用不等式可表示为 ． 13．已知关于x的一元一次不等式的解集如图所示，则被墨水“■”覆盖的数为 ． 三、解答题 14．解不等式： (1)； (2)． 15．已知是关于x的一元一次不等式． (1)求m的值． (2)求出原一元一次不等式的解集． 16．已知：如图一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积； (3)结合图象，直接写出时x的取值范围． 17．某校校长暑假将带领该校三好学生去北京旅游．甲旅行社说：“若校长买全票，则其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内全部按票价的六折优惠”．已知全票价格为元． (1)设学生人数为x人，甲旅行社的收费为(元)，乙旅行社的收费为(元)，分别求出，关于x的函数解析式； (2)当学生人数是多少时，两家旅行社的收费一样？ (3)根据学生人数讨论哪家旅行社更优惠？ 18．如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m，且． (1)求m的值； (2)一个光点从点A出发，沿数轴向右运动到点C时，到点A，B的距离之和大于30个单位长度，求此时点C对应的数n的最小整数值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元一次不等式期末复习（八大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 不等式的基本性质 1 题型二 一元一次不等式的定义 2 题型三 求一元一次不等式的解集 4 题型四 求一元一次不等式解的最值 6 题型五 列一元一次不等式 7 题型六 用一元一次不等式解决实际问题 8 题型七 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 11 题型八 根据两条直线的交点求不等式的解集 12 过关检测 17 题型一 不等式的基本性质 例1：已知，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，根据不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变逐个判断即可． 【详解】解：A. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；     B. ∵，∴，故该选项正确，符合题意；     C. ∵，∴ ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 变式训练一 1．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．利用不等式的基本性质逐项分析得出答案即可． 【详解】解：A、若，则，本选项不符合题意； B、若，当时，则，本选项不符合题意； C、若，当时，则，本选项不符合题意； D、若，，则，本选项符合题意； 故选：D． 2．已知，下列不等式一定成立的是（   ） ①②③④⑤ A．①③④⑤ B．①④⑤ C．①②④ D．①④⑤ 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴，， ∴一定成立的有①③④⑤， 故选：A． 题型二 一元一次不等式的定义 例2：2025年春晚《秧BOT》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的AI驱动全身运动控制技术，最大关节扭矩可达，使其动作复杂而灵动．此款机器人的关节扭矩应满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列不等式，解题的关键是根据最大关节扭矩可达得知是关系． 【详解】解：根据最大关节扭矩可达， 则此款机器人的关节扭矩应满足的不等关系为：， 故选：C． 变式训练二 1．下列各式：①，②，③，④．其中一元一次不等式的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式，只含有一个未知数，并且未知数的次数是，两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式，据此判断即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：①是一元一次不等式； ②中左边是分式，不是一元一次不等式； ③中含有个未知数，不是一元一次不等式； ④是一元一次不等式； ∴一元一次不等式有个， 故选：． 2．国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式，准确理解题意是解题的关键．根据题意进行求解即可． 【详解】解：每天添加糖的摄入量最好控制在以下， 故， 故选：B． 题型三 求一元一次不等式的解集 例3：下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式． 根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的性质，解不等式的方法是关键． 根据不等式的性质“不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变”求解不等式即可． 【详解】解：A、， 解得，， 不等号的方向为改变，不符合题意； B、， 解得，， 不等号的方向为改变，不符合题意； C、， 解得 ，， 不等号的方向改变，解集符合图示，故符合题意； D、， 解得，， 不等号的方向改变，但解集不符合图示，故不符合题意； 故选：C ． 变式训练三 1．如图，从“输入实数x”到“结果是否”为一次程序操作，若输入x后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式是解题的关键．根据运行程序，第一次运算结果小于18列出不等式，然后求解即可． 【详解】解：依题意得：， 解得． 故选C． 2．解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式，涉及解不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案，熟练掌握解一元一次不等式的解法是解决问题的关键． （1）去括号、移项、合并同类项即可得到一元一次不等式的解集； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项即可得到一元一次不等式的解集． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项得， ； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， ． 题型四 求一元一次不等式解的最值 例4：不等式的最小整数解是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查求不等式的整数解，先根据移项，合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，再在解集范围内确定不等式的整数解即可． 【详解】解：∵， 移项得，， 合并得，， 系数化为1，得：， ∴不等式的最小整数解是， 故选：B． 变式训练四 1．不等式的最大整数解是 ． 【答案】4 【分析】求出不等式的解集，即可得出答案． 【详解】解：不等式两边同时乘以6得：，即 解得 故该不等式的最大整数解是4 故答案为：4 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解等知识点，能求出不等式的解集是解此题的关键． 2．对于任意有理数、，定义一种运算：．例如，．根据上述定义可知：不等式的最大整数解是 ． 【答案】0 【分析】根据新定义法则，逐步计算，转化为一元一次不等式，解之取其中的最大整数解即可得出． 【详解】∵， ∴ 解得： ∴最大整数解是0． 【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解以及实数的运算，通过解不等式找出是解题的关键． 题型五 列一元一次不等式 例5：用不等式表示“的倍与的差不小于” ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：依题意得：． 故答案为：． 变式训练五 1．某校开展了“科技节”课外知识竞赛．一共有20道题，每答对一题加5分，不答不扣分，每答错一题倒扣2分．已知小明答错与不答的题数相同，最后比赛得分超过64分．设小明答错了道题，根据题意，可列出关于的不等式为 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式；设小明答错了道题，则答对的题数为道，根据最后比赛得分超过64分列出一元一次不等式即可． 【详解】解：设小明答错了道题，则答对的题数为道， 根据题意，． 故答案为：． 2．用不等式表示下列各数量关系： (1)的5倍与的的和小于2； (2)3与的和的一半不小于3； (3)与的的和是非负数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查列不等式，理解题中不等关系的语句是解答的关键． （1）根据不等关系列不等式即可； （2）根据不等关系列不等式即可； （3）根据不等关系列不等式即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得； （3）根据题意，得． 题型六 用一元一次不等式解决实际问题 例6：某学校组织学生到郊外植树，并准备了A，B两种食材为学生制作午餐．这两种食材每包质量均为，其营养成分表如图： (1)若制作每份午餐需选用这两种食材共10包，并保证每份午餐摄入热量不低于3800KJ，则至少应选用食材多少包？ (2)考虑到健康饮食的需求，在（1）的条件下，每份午餐脂肪含量要尽可能低．请通过计算，设计符合要求且脂肪含量最低的配餐方案． 【答案】(1)至少应选用食材包 (2)应选用A种食品4包，B种食品6包 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出不等式是解题的关键； （1）设应选用A种食品a包，B种食品包，根据“每份午餐摄入热量不低于3800KJ，”列不等式，求出不等式的最大整数解即可． （2）根据题意，当选用A种食品a包时，得出脂肪含量为，根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设应选用A种食品a包，B种食品包， 由题意可知，． 解得：． 为正整数，最小值为 答：至少应选用食材包． （2）当选用A种食品a包时，脂肪含量（单位：g）为， 脂肪含量随a的增大而增大． ∴时既符合蛋白质的需求，又能够保证脂肪含量最少． B种食品:（包）． 答：应选用A种食品4包，B种食品6包． 变式训练六 1．某《黑神话：悟空》主题商店，计划购进两种纪念品共180件．一种是“黑神话：悟空”手办模型，每个进价95元，另一种是“黑神话：悟空”主题的文化衫，每件进价35元．若该商店进货成本不超过8000元，求该商店最多可购进多少个“黑神话：悟空”手办模型？ 手办95元/个 文化衫35元/件 【答案】该商店最多可购进28个“黑神话：悟空”手办模型 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设该商店购进x个“黑神话：悟空”手办模型，则购进个“黑神话：悟空”主题的文化衫，利用总价=单价×数量，结合总价不超过8000元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】解：设该商店可购进x个“黑神话：悟空”手办模型， 根据题意，得． 解得． 因为x是正整数， 所以x的最大值为28． 答：该商店最多可购进28个“黑神话：悟空”手办模型． 2.为了提高节日仪式感，三八妇女节期间，甲乙两家花店以同样的价格出售同样的玫瑰花束，并且又各自推出不同促销方案： 甲花店的优惠方案：购花价格累计超过200元后，超出200元的部分按付费； 乙花店的优惠方案：购花价格累计超过100元后，超出100元的部分按付费； 某公司想在三八妇女节为公司的女性送上玫瑰花束，若该公司准备购买总价为元的玫瑰花束． (1)在甲花店购买的优惠价为______元，在乙花店购买的优惠价为______元；（均用含的式子表示）； (2)请问该公司到哪家花店购花更优惠？写出解答过程． 【答案】(1)，； (2)当时，在甲花店购花更优惠；当时，在乙花店购花更优惠；当时，在甲，乙花店购花一样优惠；过程见解析． 【分析】本题主要考查列代数式、一元一次不等式的应用等知识点，审清题意、正确列出代数式和一元一次不等式成为解题的关键． （1）直接根据优惠方案列代数式即可； （2）根据题意，分三种情况，分别列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：在甲花店购买的优惠价为元；在乙花店购买的优惠价为元． 故答案为：，． （2）解：当时，，解得：，即当时，在甲花店购花更优惠； 当时，，解得：，即当时，在乙花店购花更优惠； 当时，，解得：，即当时，在甲，乙花店购花一样优惠． 题型七 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 例7：如图，一次函数的图象经过坐标轴上，两点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．根据一次函数与一元一次不等式的关系，利用函数图象找出函数值为负数时，对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过坐标轴上，两点， ∴当时，，即 ∴由图象可知，关于x的不等式的解集是． 故选：C． 变式训练七 1．若一次函数（k，b为常数）的图象如图所示，那么当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象，得到y随x的增大而减小，且时，，根据性质解答即可． 本题考查了一次函数的性质，一次函数与等式，熟练掌握性质和不等式是解题的关键． 【详解】解：根据图象，得到y随x的增大而减小，且时，， 故时，， 故选：A． 2．已知一次函数解析式为，求在这个一次函数图像上且位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，一次函数的增减性，先求出函数值为0时自变量的值，再判断出函数的增减性即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而增大， ∴在这个一次函数图像上且位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围是， 故答案为：． 题型八 根据两条直线的交点求不等式的解集 例8：一次函数和的图象如图所示，且，． (1)关于的不等式的解集为______； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据观察函数图象，即可求解； （2）先求出，再由不等式的解集是，可得点的横坐标为，即可求解． 【详解】（1）解；∵在中，， ∴随x增大而增大， ∵的函数图象经过， ∴∴不等式的解集为； （2）解：把点代入，得： ，解得， ∴， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标为， ∴在中，当时，， ∴点的坐标为． 变式训练八 1．一次函数与的图像如图所示，则下列结论： ①； ②； ③的值每增加，的值增加； ④． 其中正确的是 ． 【答案】①② 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据函数图象结合一次函数性质逐项判断，由一次函数图像及其性质可知的符号情况，从而可判断①，由两函数图像的交点情况可判断②，根据函数图象结合一次函数性质可判断③，利用特殊值法可判断④，即可解题． 【详解】解：①由图象可得：， ∴， ∴，故①正确； ②∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3， .∴， ∴，即，故②正确； ③∵， ∴ 当的值每增加，，故③错误， 当时，由图象可得：，故④错误． 综上所述，正确的是①②． 故答案为：①②． 2．如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，两直线交于点C．已知，观察图像并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ；关于x的不等式的解集是 ； (2)直接写出关于x的不等式组的解集 ； (3)若点C的坐标为． ①的面积为 ；        ②在y轴上找一点，使得的值最大，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，三角形面积，三角形三边关系的应用，正确利用数形结合解题是解题关键． （1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案； （2）利用两直线与轴交点横坐标，结合图象得出答案； （3）①利用三角形面积公式求得即可；②记交轴于点，此时最大，再求解直线解析式即可． 【详解】（1）解：∵一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，， ∴关于x的方程的解是，关于x的不等式的解集是， 故答案为：， （2）∵关于x的不等式的解集是，关于x的不等式的解集是， ∴关于x的不等式组的解集， 故答案为： （3）①点C的坐标为．, ∴的面积为， 故答案为： ②，记交轴于点，    此时，此时最大， 设直线为， ∴，解得， 直线为， 令，则， 一、单选题 1．如果，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的基本性质，逐一推导筛选即可得到答案． 【详解】解：A，，，，故此选项错误； B，，，故此选项正确； C， ，，，故此选项错误； D，，，，故此项错误； 故选：B． 2．下面式子中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的定义．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式是一元一次不等式，据此求解即可． 【详解】解：A、没有未知数，不是一元一次不等式，本选项不符合题意， B、是等式，不是一元一次不等式，本选项不符合题意， C、符合一元一次不等式的定义，是一元一次不等式，本选项符合题意， D、含有两个未知数，不是一元一次不等式，本选项不符合题意， 故选：C． 3．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤． 把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 系数化为1得，． 故选：C． 4．关于x的不等式的正整数解为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题考查了求不等式的整数解．先求出不等式的解集，即可得到答案． 【详解】解： 移项得到， 合并同类项得到， 系数化为1得， ∴关于x的不等式的正整数解为， 故选：A 5．小明同学早上前要到达班级，出家门时是，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的运用，理解数量关系，正确列不等式是关键． 根据题意可得，保证小明同学不迟到，则跑步时间与走路时间要小于，由此列式即可． 【详解】解：小明家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，设小明同学跑步时间为，出家门时是，早上前要到达班级，保证小明同学不迟到，则跑步时间与走路时间要小于， ∴， 故选：C ． 6．圆圆想要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，这根铁丝的长度为，圆圆从，两处弯曲，其中，她一定不能成功的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，解一元一次不等式，正确理解三角形的三边关系是解题的关键．根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列出不等式，即可解答． 【详解】解：，，能构成三角形， ， ， 解得， 又， ， 选项D不符合要求． 故选D． 7．已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，正确理解一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键． 根据一次函数与一元一次不等式的关系即可解答． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴该函数图象过且当时，函数图象在x轴的上方，． 故选A． 8．如图，已知一次函数与的图象的交点坐标为．现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则，其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】直接利用一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与图象的交点坐标为得到时，，于是可对③进行判断；先确定一次函数的解析式为，再求出一次函数与x轴的交点坐标为，然后结合函数图象，写出在x轴下方，直线在直线的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三象限， ，所以①正确； 一次函数的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交， ，， ，所以②错误； 一次函数与图象的交点坐标为， 时，，所以③正确； 把代入得， 解得， 一次函数的解析式为， 当时，， 解得， 一次函数与x轴的交点坐标为， 当时，， 当时，，所以④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，数形结合是解答本题的关键． 二、填空题 9．若是关于x的一元一次不等式，则 . 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可． 【详解】解：不等式是一元一次不等式， ， 解得：， 故答案为：． 10．如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质和解不等式，根据不等式的性质求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】∵关于的不等式的解集为， ∴， 解得：， 故答案为：． 11．在不等式中，的最小值是 ． 【答案】-3 【分析】先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的最小值即可． 【详解】解：， 系数化为1得，． 故的最小值是：-3， 故答案为：-3． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解法，解不等式应根据不等式的基本性质，特别是不等式两边除以一个负数时不等号的方向要改变． 12．“的倍与的差是正数”用不等式可表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的运用，理解数量关系列式是关键．根据数量关系列不等式即可． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 13．已知关于x的一元一次不等式的解集如图所示，则被墨水“■”覆盖的数为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查不等式的求解．先求出不等式的解集，然后根据数轴得到不等式的解集，故可列式求解． 【详解】解：设“”表示的数为， 由题意得：， 解得：， 由数轴得到不等式的解集为， 故， 解得：， 则“”表示的数为6， 故答案为：6． 三、解答题 14．解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤． （1）不等式去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1） 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （2） 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 15．已知是关于x的一元一次不等式． (1)求m的值． (2)求出原一元一次不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次不等式的定义，，，分别进行求解即可． （2）代入m的值，利用解一元一次不等式的一般步骤求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，解得，， 所以． （2）解：原一元一次不等式为， 移项得， 合并同类项得， 解得． 【点睛】题考查了一元一次不等式的定义，解一元一次不等式，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 16．已知：如图一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积； (3)结合图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法和三角形面积的求法，求出点A、B、C的坐标是解题的关键． （1）将两个函数表达式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标； （2）先根据两个函数表达式求出点B、C的坐标，从而得到的长，再利用三角形的面积公式可得结果； （3）根据函数图象和点A的坐标即可得到结果． 【详解】（1）解：联立，解得， ∴点A坐标为． （2）解：当时，，即，则B点坐标为； 当时，，即，则C点坐标为； ， 的面积为：． （3）解：根据图象可知，时，x的取值范围是． 17．某校校长暑假将带领该校三好学生去北京旅游．甲旅行社说：“若校长买全票，则其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内全部按票价的六折优惠”．已知全票价格为元． (1)设学生人数为x人，甲旅行社的收费为(元)，乙旅行社的收费为(元)，分别求出，关于x的函数解析式； (2)当学生人数是多少时，两家旅行社的收费一样？ (3)根据学生人数讨论哪家旅行社更优惠？ 【答案】(1)； (2)当学生人数是4时，两家旅行社收费一样 (3)当学生人数少于4时，乙旅行社更优惠；当学生人数是4时，两家旅行社收费一样；当学生人数多于4时，甲旅行社更优惠 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用等知识，根据题意列式和不等式是解题的关键． （1）根据两个旅行社的优惠信息分别计算即可； （2）令，得到关于x的方程，求解即可； （3）分别令，，求出x的取值范围，结合（2）的结论即可得解． 【详解】（1）解：依题意得：甲旅行社的收费为：， 乙旅行社的收费为：， 答：，关于x的函数解析式分别为：；； （2）令，即， 解得：； 答：当学生人数是4时，两家旅行社收费一样； （3）令，即， 解得：，即当学生人数少于4时，乙旅行社更优惠； 令，即， 解得：，即当学生人数多于4时，甲旅行社更优惠； 结合第二问结论总结得：当学生人数少于4时，乙旅行社更优惠；当学生人数是4时，两家旅行社收费一样；当学生人数多于4时，甲旅行社更优惠． 18．如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m，且． (1)求m的值； (2)一个光点从点A出发，沿数轴向右运动到点C时，到点A，B的距离之和大于30个单位长度，求此时点C对应的数n的最小整数值． 【答案】(1)m的值为8 (2)19 【分析】本题考查了数轴，一元一次不等式的应用． （1）根据题意，结合数轴得； （2）根据题意，列出不等式，解不等式，进而可得n的最小整数值． 【详解】（1）解：，点B在点A的右侧， ， 即m的值为8； （2）解：由题意，得， 解得， 的最小整数值为19． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$