1.3 线段的垂直平分线 同步练习题 2024--2025学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级数学下册第一章3 线段的垂直平分线同步练习题 一、单选题 1．在平面内，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条高线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边垂直平分线的交点 2．在元旦联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点 3．在下列说法中，正确的是（　　） A．如果两个三角形全等，则它们必是关于某直线成轴对称； B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形； C．等腰三角形是关于一边中线成轴对称的图形； D．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 4．如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为（　　） A．13 B．19 C．10 D．12 5．尺规作图要求：I、过直线外一点作这条直线的垂线；II、作线段的垂直平分线；III、过直线上一点作这条直线的垂线；IV、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：（　　） A．①—Ⅳ，②—Ⅱ，③—Ⅰ.④—Ⅲ B．①—Ⅳ，②—Ⅲ，③—Ⅱ.④—Ⅰ C．①—Ⅳ，②—Ⅳ，③—Ⅲ.④—Ⅰ D．①—Ⅳ，②—Ⅰ，③—Ⅱ.④—Ⅲ 6．如图，矩形ABCD中，E为CD的中点，连结AE，过E作交BC于点F，连结AF，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图所示，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，斜边的垂直平分线交于点，连接若，，则的周长为(　　) A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，的垂直平分线分别交和于点D和点E，若的周长，的周长，则的长为　 　． 10．如图，在△中，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的同样长为半径画弧，两弧相交于两点、； ②作直线交于点，连接． 请回答：若，，则的度数为　 　． 11．如图，在中，，点为上一点，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，则的度数为　 　． 12．如图，在中，，点在的垂直平分线上，将沿翻折后，使点落在点处，线段与相交于点，则　 　度. 13．如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D．若BC=8，AD=5，则AC等于　 　． 14．如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，，连接，，，若，则　 　°． 三、解答题 15．如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于点E． （1）若，求的度数； （2）若的周长为，BC的长为，求的周长． 16．如图，在中，，，的垂直平分线分别交于点D，E，垂足分别为F，G． （1）若，求的度数． （2）若，，求的长． 17．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°. （1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E.（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； （2）连接BD，求证：BD平分∠CBA. 18．如图 ， 为 内的一点， 的延长线交 于点 ． 求证： ． 19．如图，已知，中，为的中点，求的度数 20．如图，在中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且 （1）求证：； （2）若，，求CE的长． 四、综合题 21．如图，在△ABC中，AE为∠BAC的角平分线，点D为BC的中点，DE⊥BC交AE于点E，EG⊥AC于点G． （1）求证： AB+AC=2AG． （2）若BC=8cm，AG=5cm，求△ABC的周长． 五、证明题 22．如图，直线与坐标轴分别交于点，． （1）求直线l的解析式； （2）如图，过线段的中点作一条直线与x轴交于点F，当为直角三角形时，请求出点F的坐标． （3）如图，点C是x轴上一动点，连接，在右侧作等腰直角，，连接，直接写出周长的最小值． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】A 【解析】【解答】解：如图：延长，交的延长线于点G， ∵四边形是矩形 ∴，， ∴ ∵E为边中点， ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴垂直平分 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：A 【分析】延长，交的延长线于点G，根据矩形的性质可得，根据全等三角形的判定定理证明，根据全等三角形的性质可得，可知垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，再结合平行线的性质可得，求出，进一步可得的度数． 7．【答案】C 【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝6cm， ∴DA＝DC，AC＝2AE＝12cm， ∵△ABD的周长为14cm， ∴AB＋BD＋DA＝AB＋BD＋DC＝AB＋BC＝14cm， ∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝14＋12＝26（cm）， 故答案为：C． 【分析】先利用线段垂直平分线的性质可得DA＝DC，AC＝2AE＝12cm，再利用三角形周长公式及等量代换求出△ABC的周长即可. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：△ABC中，∵∠C=90°，AB=13，BC=5， ∴， ∵直线l是线段AB的垂直平分线， ∴BD=AD， ∴△BCD的周长为：BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=17. 故答案为：B. 【分析】在Rt△ABC中，首先用勾股定理算出AC的长，然后由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BD=AD，最后根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差将△BCD的周长转化为BC+AC，此题得解了. 9．【答案】9 10．【答案】 11．【答案】 12．【答案】81 【解析】【解答】解：∵点D在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵将沿翻折后，使点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【分析】先根据垂直平分线的性质得到，进而根据等腰三角形的性质得到，再结合折叠的性质得到，从而结合题意进行角的运算即可求解。 13．【答案】4. 14．【答案】 15．【答案】（1） （2） 16．【答案】（1） （2）10 17．【答案】（1）解：如图所示，DE就是要求作的AB边上的中垂线； （2）证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A=30°， ∴AD=BD， ∴∠ABD=∠A=30°， ∵∠C=90°， ∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°， ∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣30°=30°， ∴∠ABD=∠CBD， ∴BD平分∠CBA. 【解析】【分析】（1）分别以A、B为圆心，以大于 AB的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，交AC于点D，AB于点E，直线DE就是所要作的AB边上的中垂线； （2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角的性质求出∠ABD=∠A=30°，然后求出∠CBD=30°，从而得到BD平分∠CBA. 18．【答案】证明：∵BD=CD， ∴∠DBC=∠DCB， ∵∠1=∠2， ∴∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC， ∵BD=CD， ∴AD垂直平分BC， ∴AE⊥BC 19．【答案】 20．【答案】（1）证明：连接BE， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴ ∵， ∴，即 ∴是直角三角形， ∴​​​​​​​ （2）解：∵，，∴ 设，则，∵，，∴ 解得，∴ 【解析】【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，然后结合已知利用勾股定理的逆定理进行证明即可； （2）设，则，然后利用勾股定理列方程求解即可． 21．【答案】（1）证明：延长AB至点M，过点E作EF⊥BM于点F ∵AE平分∠BAC EG⊥AC于点G ∴EG=EF，∠EFB=∠EGC=90° 连接BE，EC ∵点D是BC的中点，DE⊥BC ∴BE=EC 在Rt△BFE与Rt△CGE中 ∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL） ∴BF=GC ∵AB+AC=AB+AG+GC ∴AB+AC =AB+BF+AG =AF+AG 在Rt△AFE与Rt△AGE中 ∴Rt△AFE≌Rt△AGE(HL） ∴AF=AG ∴AB+AC=2AG （2）解：∵AG=5cm， AB+AC=2AG ∴AB+AC=10cm 又∵BC=8cm ∴△ABC的周长为AB+AC+BC=8+10=18cm． 【解析】【分析】(1)连接BE、EC，只要证明Rt△BFE≌Rt△CGE，得BF=CG，再证明Rt△AFE≌Rt△AGE得：AF=AG，根据线段和差定义即可解决.（2由AG=5cm可得AB+AC=10cm即可得出△ABC的周长. 22．【答案】（1） （2）， （3） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$