精品解析：云南省昭通市昭通一中教研联盟2024～2025学年高二下学期期中数学试题（B卷）

昭通一中教研联盟2024~2025学年下学期高二年级期中质量检测 数学（B卷） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法计算即可. 【详解】. 故选：C 2. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出指数函数、对数函数值域化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】对数函数为增函数，当时，，则， 指数函数为减函数，当时，，则， 所以. 故选：B 3. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式求出结果. 【详解】由诱导公式可知， 所以， 故选：A. 4. 在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值. 【详解】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：C. 5. 甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 15种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类分步计数原理，利用组合数计算即可得出结果. 【详解】根据题意可知，首先选取1种相同课外读物的选法有种， 再选取另外两种课外读物需不同，则共有种， 所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有种； 故选：B 6. 若，则（ ） A. 5 B. 20 C. 60 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的性质求出，再根据排列数公式计算可得. 【详解】因为，所以或， 解得（舍去）或， 所以. 故选：D 7. 已知数列中，，且，则这个数列的前10项和为（ ）. A. 99 B. 100 C. 101 D. 102 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】因为，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 故选：B. 8. 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件设出椭圆的标准方程，再代点列方程组求系数即可. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，为正方体的顶点．则满足的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理可得B，C的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断A，D的正误. 【详解】设正方体的棱长为2， 对于A，如图（1）所示，连接，则， 故（或其补角）为异面直线所成的角， 在，，所以，则与不垂直，故A错误； 对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接， 则，，即平面，平面， 所以， 又平面，则平面， ，故B正确； 对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得， 所以，故C正确； 对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接， 则，又，故， 所以或其补角为异面直线所成的角， 又，，， 因为，故不是直角，所以与不垂直，故D错误. 故选：BC. 10. 已知函数，则（ ） A. 有一个零点 B. 的单调递增区间为 C. 在上的最大值为7 D. 有两个极值点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对函数求导，研究区间单调性、判断零点个数及极值点情况，即可判断各项的正误. 【详解】由题设，则或有，有， 所以在和上单调递增，在上单调递减，B错； 且，，时趋向于，时趋向于， 所以在存在唯一零点，在定义域上有两个极值点，A、D对； 又，，显然在上的最大值为7，C对； 故选：ACD 11. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. B. 数列为等比数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的通项公式为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据数列的递推公式，结合等比数列的定义，求出通项公式，依次求解判断各个选项. 【详解】由，易知，则，即， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； ，即， ，，故A正确，D错误； 又，故C错误. 故选：AB. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，且，则的值为______． 【答案】15 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，，解得． 故答案为：15． 13. 在的展开式中，的系数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可. 【详解】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 故答案为：60. 14. 若过点作圆的切线，则切线方程为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据圆心到切线的距离等于圆的半径即可求解. 【详解】由题意可知，，故在圆外， 则过点做圆的切线有两条，且切线斜率必存在， 设切线为，即， 则圆心到直线的距离，解得或， 故切线方程为或． 故答案为：或． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，底面ABCD满足，，底面ABCD，且，. （1）求四棱锥的体积； （2）求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先求底面面积，再结合锥体体积公式即可求解； （2）分别以所在直线为轴,轴、轴,建立如图空间直角坐标系,为平面的一个法向量,且,求平面的一个法向量,根据,即可求得答案. 【详解】（1）平面,,，且， 所以四棱锥的体积； （2）分别以所在直线为轴,轴、轴,建立如图空间直角坐标系, 如图: 由， 可得:,,,,, 由（1）知平面, 为平面的一个法向量,且； 设为平面的一个法向量, 则,, ,, ,, , 令,则,, , 设平面与平面所成的二面角为, ， 平面与平面所成二面角的余弦值为． 16. 已知为正实数，展开式的二项式系数和为256． （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中各项系数之和； （3）若第项是有理项，求的取值集合． 【答案】（1） （2）256 （3） 【解析】 【分析】（1）展开式的二项式系数和求出n的值，再利用二项式定理求出通项，二项式系数最大的项为中间项，求解即可； （2）利用赋值法代入计算即可求得二项式系数和； （3）当为整数时为有理项，即可求解 【小问1详解】 由题知， ， 展开式中二项式系数最大的项是中间项，即第5项， 所以． 【小问2详解】 令，得． 【小问3详解】 ， 当为整数时为有理项，即， 则的取值集合． 17. 证明不等式：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】分别研究函数与最值，据此可完成证明. 【详解】证明：令， 则，而， ∴当时，，当时，， ∴在单调递减，在单调递增， 故，即在上恒成立， ∴得证． 令，则，而， 当时，，当时，单调递增； ∴在单调递减，在单调递增， 故，即在上恒成立， ∴． 综上可得：. 18. 某种产品的加工需要经过6道工序． （1）若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ （2）若其中某3道工序必须相邻，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ （3）若其中某3道工序两两不能相邻，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ 【答案】（1）288 （2）144 （3）144 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用有限制条件的排列问题，结合分步乘法计数原理计算即得. （2）根据给定条件，利用相邻问题，结合分步乘法计数原理计算即得. （3）根据给定条件，利用不相邻问题，结合分步乘法计数原理计算即得. 【小问1详解】 先从另外4道工序中任选2道工序放在最前面与最后面， 有种不同的排法， 再将其余的4道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序． 【小问2详解】 先排这3道工序，有种不同的排法， 再将它们看作一个整体，与其余的3道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序． 【小问3详解】 先排其余的3道工序，有种不同的排法，有4个空档， 再将这3道工序插入空档，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序 19. 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点． （1）求抛物线的方程； （2）求的面积； （3）若为的准线，证明：以为直径的圆与相切． 【答案】（1） （2） （3）证明：设的中点为，且到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半， 所以以为直径的圆与直线相切． 【解析】 【分析】（1）利用抛物线焦点可求抛物线方程； （2）利用抛物线的定义来求焦点弦长，再求点到线的距离可求得面积； （3）利用抛物线的定义结合梯形的中位线通过圆心到直线的距离等于半径可判断相切. 【小问1详解】 直线过点， 所以抛物线的焦点， 所以， 所以抛物线的方程为． 【小问2详解】 设， 由，消去并化简得， 解得， 所以， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昭通一中教研联盟2024~2025学年下学期高二年级期中质量检测 数学（B卷） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 3. 的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 15种 6. 若，则（ ） A. 5 B. 20 C. 60 D. 120 7. 已知数列中，，且，则这个数列的前10项和为（ ）. A. 99 B. 100 C. 101 D. 102 8. 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，为正方体的顶点．则满足的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 有一个零点 B. 的单调递增区间为 C. 在上的最大值为7 D. 有两个极值点 11. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. B. 数列为等比数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的通项公式为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，且，则的值为______． 13. 在的展开式中，的系数为_________． 14. 若过点作圆的切线，则切线方程为___________. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，底面ABCD满足，，底面ABCD，且，. （1）求四棱锥的体积； （2）求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值. 16. 已知为正实数，展开式的二项式系数和为256． （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中各项系数之和； （3）若第项是有理项，求的取值集合． 17. 证明不等式：． 18. 某种产品的加工需要经过6道工序． （1）若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ （2）若其中某3道工序必须相邻，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ （3）若其中某3道工序两两不能相邻，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ 19. 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点． （1）求抛物线的方程； （2）求的面积； （3）若为的准线，证明：以为直径的圆与相切． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $