第06讲 锐角的三角比（4知识点+5大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第06讲 锐角的三角比（4知识点+5大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：正切和余切 1.正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切．锐角A的正切记作tan A． ． 2.余切 直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切．锐角A的余切记作cot A． ． 知识点02：正弦和余弦 1.正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦．锐角A的正弦记作sin A． ． 2.余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦．锐角A的余弦记作cos A． ． 知识点03：锐角的三角比 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比． 定义 表达式 取值范围 相互关系 正 切 （为锐角） 余 切 （为锐角） 正 弦 （为锐角） 余 弦 （为锐角） 知识点04：特殊锐角的三角比的值 30° 45° 1 1 60° 【题型1 正弦的概念辨析】 【例1】（2025·上海崇明·一模）在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．大小不变 D．不能确定 【变式1-1】在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（        ） A． B． C． D． 【变式1-3】在中，，若的三边都扩大5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变 【题型2 余弦的概念辨析】 【例2】如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，，，下列用线段比表示的值，错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）已知是锐角，化简： ． 【变式2-4】（22-23九年级上·上海黄浦·阶段练习）如图，已知在中，，分别是边上的高，连接，那么和的周长比为 ． 【题型3 正切的概念辨析】 【例3】（24-25九年级下·上海·阶段练习）在中，，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）在中，，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，在以为坐标原点的直角坐标平面内有一点，如果OP与轴正半轴的夹角为，那么的余切值为 ． 【变式3-3】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，在中，，，，是边上一点，，连接，过作的垂线交边于点，连接，则 ． 【变式3-4】（2024九年级下·上海·专题练习）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，A、两点的坐标分别为和，如果将绕着原点旋转后，点A落在轴上，点落在点处，那么的值为 ． 【题型4 求锐角的三角比的值】 【例4-1】（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知在平面直角坐标系内有一点，那么与轴正半轴的夹角的正切值是(    ) A． B． C． D． 【例4-2】（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如果，那么锐角的度数是 【例4-3】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）计算： 【变式4-1】（24-25九年级下·上海普陀·阶段练习）在中，，，那么长为（   ） A．3 B． C． D．5 【变式4-2】（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【变式4-3】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，，是斜边上的高，下列线段的比值不等于的值的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知锐角，如果，那么 ． 【变式4-5】（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，，，则 ． 【变式4-6】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知为锐角，且，那么的余弦值为 ． 【变式4-7】（23-24九年级上·上海闵行·期中）计算： 【变式4-8】（24-25九年级上·上海·阶段练习）计算：． 【变式4-9】（24-25九年级上·上海普陀·期中）计算：． 【题型5 锐角的三角比有关综合题】 【例5-1】（24-25九年级上·上海·期中）如图，、是的两条高，连接，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【例5-2】（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）如图，在由正三角形构成的网格图中，A、B、C三点均在格点上，则的值为 ． 【例5-3】（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，已知中，，，正方形的顶点、在边上，顶点、分别在边、上，如果，那么的值是 ． 【例5-4】（2025·上海徐汇·一模）在矩形中连接，过点D作的垂线交于E，于F． (1)证明：； (2)若，，连接，求的值． 【变式5-1】（24-25九年级上·上海·期中）在中，都是锐角，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的网格中，点、、都在格点上，那么的正切值是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·上海嘉定·一模）如图，在直角梯形中，，，如果对角线，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【变式5-4】（2025·上海徐汇·模拟预测）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形，连接，则（ ） A． B． C． D． 【变式5-5】（24-25九年级下·上海·阶段练习）如果一个四边形存在一条对角线把它分割成两个相似比不为的相似三角形，那么称这个四边形为“相似分割四边形”，已知一个梯形是“相似分割四边形”，且这个梯形有两条边相等，最大边是最小边的倍，那么该梯形最小内角的余弦值是 ． 【变式5-6】（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，，，将△绕点旋转到的位置，其中点与点对应，点与点对应．如果图中阴影部分的面积为5，那么的正切值是 ． 【变式5-7】（2025·上海徐汇·二模）如图，梯形中，，，，，那么的值是 ． 【变式5-8】（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，在矩形中，E，F是边上两点，且，连接，，与相交于点G，连接．若，，则的值为 ． 【变式5-9】（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）如图，点M是正方形边上一点，连接，作于点E，于点F，连接．已知，四边形的面积为24，则的正弦值为 ． 【变式5-10】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，已知在四边形中，，，点E、F分别在线段、上．如果，，那么 ． 【变式5-11】（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，在矩形纸片中，，，点E是边上的点，连接，将沿翻折，使点B落在处；点F是边上的点，连接，将沿翻折，使点C恰好落在线段上，记作点，连接．如果，那么 ． 【变式5-12】（24-25九年级上·上海·期中）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于C，点D在边上，，与交于点F，连接，如果，，那么 ． 【变式5-13】（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在的网格图形中，的顶点、、都在格点上．请按要求完成下列问题： (1)　　；　　； (2)请仅用无刻度的直尺在线段上求作一点，使（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）． 【变式5-14】（24-25九年级下·上海青浦·阶段练习）如图，在中，点、在边、上，且，，，点为的中点，射线交边于点． (1)求证：． (2)如果，求的余弦值． (3)当是等腰三角形时，求线段的长． 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海·期中）已知在中，，那么的正弦值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在中，，那么边的长是（    ） A． B．1 C．2 D． 3．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·上海浦东新·阶段练习）已知在中，，则的长为（   ） A．1 B．9 C． D． 5．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，那么的正切值是（    ） A． B． C． D．2 二、填空题 6．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）计算： ． 7．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如果，那么锐角 度． 8．（24-25九年级上·上海静安·期中）如果是边长为10的菱形的一个锐角，，那么这个菱形的面积是 ． 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，直角三角形斜边上的中线和边上的中线互相垂直，则的正弦值为 ． 10．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，直线交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线上，若点N在第二象限内，则的正切值为 ． 11．（24-25九年级上·上海·期中）如图，将矩形绕点C顺时针旋转，点A、B、D分别落在点、、处，如果，，那么的正切值是 ． 12．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在Rt中，，将折叠，使点落在边上的点处，为折痕．若 ． 三、解答题 13．（2025·上海奉贤·三模）计算：． 14．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）计算：． 15．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与正比例函数的图象相交于横坐标为2的点A，平移直线，使它经过点，与y轴交于点C． (1)求平移后直线的表达式； (2)求的余切值． 16．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，为边上的中线，点是的边上的一点，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的余弦值． 17．（24-25九年级下·上海·阶段练习）平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，点在直线l上，点B在双曲线上． (1)求直线l与双曲线的表达式； (2)联结，若直线和直线l平行，求的值． 18．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知矩形中，，，是上一点，将沿直线翻折，使点落在点处，连接，直线与射线相交于点F． (1)如图1，当在边上，若时，求的长； (2)若射线交的延长线于，设，，求与的函数解析式，并写出的取值范围； (3)①如图2，直线与边交于点，若与相似，求的正切值； ②如图3，当直线与的延长线相交于点时，若，求的长． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 锐角的三角比（4知识点+5大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：正切和余切 1.正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切．锐角A的正切记作tan A． ． 2.余切 直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切．锐角A的余切记作cot A． ． 知识点02：正弦和余弦 1.正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦．锐角A的正弦记作sin A． ． 2.余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦．锐角A的余弦记作cos A． ． 知识点03：锐角的三角比 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比． 定义 表达式 取值范围 相互关系 正 切 （为锐角） 余 切 （为锐角） 正 弦 （为锐角） 余 弦 （为锐角） 知识点04：特殊锐角的三角比的值 30° 45° 1 1 60° 【题型1 正弦的概念辨析】 【例1】（2025·上海崇明·一模）在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．大小不变 D．不能确定 【答案】C 【知识点】正弦的概念辨析 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：在锐角中，每个边都缩小为原来的，那么每个角的大小都不变， ∴的正弦值不变， 故选：C ． 【变式1-1】在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦的概念辨析 【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边求解即可． 【详解】解：如图， ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；锐角的正切等于对边比邻边． 【变式1-2】一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦的概念辨析 【分析】铁球上滚的距离，铁球距地面的高度，可看作直角三角形的斜边与已知角的对边，可利用正弦函数求解． 【详解】铁球上滚的距离铁球距地面的高度， 铁球距地面的高度． 故选：B． 【点睛】本题考查了一个角的正弦等于这个角的对边比斜边，熟知三角形的正弦函数是解题的关键． 【变式1-3】在中，，若的三边都扩大5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变 【答案】D 【知识点】正弦的概念辨析 【分析】直接利用锐角的正弦的定义——“锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作”求解． 【详解】解：∵， ∴的对边与斜边的比， ∵的三边都扩大5倍， ∴的对边与斜边的比不变， ∴的值不变． 故选：D． 【题型2 余弦的概念辨析】 【例2】如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦的概念辨析 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，． 故选：C． 【变式2-1】如图，在中，，，下列用线段比表示的值，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦的概念辨析 【分析】本题考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∴． ∴A，B，C正确，不符合题意，D错误，符合题意， 故选：D． 【变式2-2】如图，在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦的概念辨析、余弦的概念辨析 【分析】考查锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦的定义是解题的关键． 【详解】解：，， 故选A． 【变式2-3】（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）已知是锐角，化简： ． 【答案】1 【知识点】余弦的概念辨析、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，化简二次根式，根据锐角的余弦值小于1化简二次根式，然后合并即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：1． 【变式2-4】（22-23九年级上·上海黄浦·阶段练习）如图，已知在中，，分别是边上的高，连接，那么和的周长比为 ． 【答案】/ 【知识点】余弦的概念辨析、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据三角形的高得出，证明，继而证明，根据周长比等比相似比，结合，即可求解． 【详解】∵分别是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴与的周长比， ∵， ∴与的周长比， 故答案为：． 【点睛】本题考查了余弦的定义，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【题型3 正切的概念辨析】 【例3】（24-25九年级下·上海·阶段练习）在中，，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正切的概念辨析 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，掌握余切函数的定义即可解答． 根据余切的定义求解即可． 【详解】解：如图：在中，，， ∴，即． 故选D． 【变式3-1】（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）在中，，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正切的概念辨析、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，先根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义即可解答；理解三角函数的相关定义是解题的关键． 【详解】解：如图:∵，， ∴， ∴． 故选：A． 【变式3-2】（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，在以为坐标原点的直角坐标平面内有一点，如果OP与轴正半轴的夹角为，那么的余切值为 ． 【答案】 【知识点】正切的概念辨析 【分析】本题主要考查了解直角三角形、坐标与图形等知识点，能根据题意画出示意图及熟知余切的定义是解题的关键． 先根据题意画出图形，再结合余切的定义求解即可． 【详解】解：如图：过点P作y轴的垂线，垂足为M， ∵， ∴． 在中，，即． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，在中，，，，是边上一点，，连接，过作的垂线交边于点，连接，则 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、正切的概念辨析 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、相似三角形的性质与判定，掌握相关知识点，结合图形找到合适的相似三角形是解题的关键．通过证明，利用相似三角形的性质得到，再根据正切的定义得到，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ，即， ， ， 在中，， ， ． 故答案为：． 【变式3-4】（2024九年级下·上海·专题练习）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，A、两点的坐标分别为和，如果将绕着原点旋转后，点A落在轴上，点落在点处，那么的值为 ． 【答案】或 【知识点】坐标与图形、正切的概念辨析、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化、旋转的性质、锐角三角函数的定义等知识点，熟记相关性质是解题的关键． 根据点A的坐标判断出与轴的夹角为，再根据旋转的性质可得，根据等边对等角可得，如图：过点作轴于，然后求出、，再分两种情况求出，最后根据余切的定义列式计算即可解答． 【详解】解：， 与轴的夹角为， 旋转后与轴的夹角为且， ， 如图：过点作轴于， 则， 如图，若顺时针旋转，则， ， 若逆时针旋转，则， ， 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 【题型4 求锐角的三角比的值】 【例4-1】（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知在平面直角坐标系内有一点，那么与轴正半轴的夹角的正切值是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求点到坐标轴的距离、求角的正切值 【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作轴，垂足为，根据已知易得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作轴，垂足为， 点 ，， 在中，， 故选：B． 【例4-2】（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如果，那么锐角的度数是 【答案】/60度 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．利用特殊角的三角函数值计算即可得到锐角的度数． 【详解】解：∵，， ∴锐角的度数为． 故答案为：． 【例4-3】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）计算： 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式4-1】（24-25九年级下·上海普陀·阶段练习）在中，，，那么长为（   ） A．3 B． C． D．5 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、已知正切值求边长 【分析】本题考查锐角三角函数的定义、勾股定理等知识点，掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边、余弦为邻边比斜边、正切为对边比邻边是解题的关键． 先作出图形，然后结合图形，根据锐角的正切函数定义求得，然后再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示： 在中，，， ∴，即，解得：， 由勾股定理可得：． 故选：C． 【变式4-2】（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】求角的正弦值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了求角的正弦值，勾股定理，首先根据勾股定理求出，然后根据角的正弦求解即可． 【详解】解：如图 ∵中， ， ， ， ∴ 则． 故选：B． 【变式4-3】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，，是斜边上的高，下列线段的比值不等于的值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求角的余弦值 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，三角形的内角和定理的应用，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．先证明，再结合锐角的余弦可得答案． 【详解】解：∵，是斜边上的高， ∴， ∴， ∴， 故C不符合题意； 故选：C 【变式4-4】（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知锐角，如果，那么 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的余弦值、已知正切值求边长 【分析】本题考查的是锐角三角函数的应用，根据，画图设，则，再求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，，， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， 故答案为： 【变式4-5】（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，，，则 ． 【答案】 【知识点】求角的正切值、正弦的概念辨析 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦与余切的定义是解题关键．先画出图形，根据正弦的定义可得，再根据余切的定义即可得． 【详解】解：∵，， 设，则，， ∴， 故答案为：． 【变式4-6】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知为锐角，且，那么的余弦值为 ． 【答案】/ 【知识点】已知正切值求边长、求角的余弦值 【分析】此题考查了锐角三角函数的定义．由题意设，则，再根据勾股定理求出斜边，即可求出的余弦值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∴的余弦值为， 故答案为：． 【变式4-7】（23-24九年级上·上海闵行·期中）计算： 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】代入特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【变式4-8】（24-25九年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键．先代入特殊三角函数值，再利用实数的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式4-9】（24-25九年级上·上海普陀·期中）计算：． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 【题型5 锐角的三角比有关综合题】 【例5-1】（24-25九年级上·上海·期中）如图，、是的两条高，连接，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、三角函数综合 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，锐角三角函数．熟练掌握三角形相似的判定定理和性质定理，锐角三角函数的定义是解题关键．根据题意易证，得出，即，从而可证，即得出． 【详解】解：∵、是的两条高， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选D． 【例5-2】（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）如图，在由正三角形构成的网格图中，A、B、C三点均在格点上，则的值为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题、求角的余弦值、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角函数、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．根据等边三角形的性质可得，然后设正三角形构成的网格线段长为，分别求出直角边，，然后根据勾股定理求出，最后根据三角函数定理即可求出． 【详解】解：由正三角形的性质可知， 设正三角形构成的网格线段长为， 在中，，， 根据勾股定理，可得， ， 故答案为：． 【例5-3】（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，已知中，，，正方形的顶点、在边上，顶点、分别在边、上，如果，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，过点作，交于点，交于点，平行线分线段成比例，得到，设，设，则：，证明，得到，求出的值，平行得到，进而得到，即：，根据，得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】过点作，交于点，交于点， ∵正方形， ∴，，， ∴，，， 不妨设， 则：， 设，则：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【例5-4】（2025·上海徐汇·一模）在矩形中连接，过点D作的垂线交于E，于F． (1)证明：； (2)若，，连接，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值、利用矩形的性质证明、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质． （1）由矩形的性质得，再由垂直得，由角的等量代换推出，即可得出结论； （2）先证明得，进而得，再由平行得，，最后由可得答案． 【详解】（1）证明：∵是矩形， ∴， ∵于点E， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， 由（1）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值舍去）， ∵是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5-1】（24-25九年级上·上海·期中）在中，都是锐角，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据特殊角三角函数值求角的度数、绝对值非负性 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值的非负性，三角形内角和定理等知识．熟练掌握特殊角的三角函数值，绝对值的非负性，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意得，，即，由都是锐角，可得，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∵都是锐角， ∴， ∴， 故选：D． 【变式5-2】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的网格中，点、、都在格点上，那么的正切值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与网格问题、求角的正切值 【分析】本题主要考查了解直角三角形，通过连接构造出直角三角形及熟知正切的定义是解答本题的关键． 根据所给网格，连接得出与垂直，再结合正切的定义即可解决问题． 【详解】解：连接，如图所示： 则， 设小正方形网格的边长为， 则由勾股定理得：，， 在中， ， 故选：D． 【变式5-3】（2025·上海嘉定·一模）如图，在直角梯形中，，，如果对角线，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求证同角三角函数关系式、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了三角函数的比值关系，平行线的性质，熟悉掌握角三角函数的比值关系是解题的关键． 利用角的等量代换和三角函数的比值关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式5-4】（2025·上海徐汇·模拟预测）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形，连接，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据正方形的性质求线段长、求角的正切值、用七巧板拼图形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，解题的关键是掌握以上知识点．设等腰直角的直角边为，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设等腰直角的直角边为，则，小正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作的延长线于点，则，， 由图（）可得，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 【变式5-5】（24-25九年级下·上海·阶段练习）如果一个四边形存在一条对角线把它分割成两个相似比不为的相似三角形，那么称这个四边形为“相似分割四边形”，已知一个梯形是“相似分割四边形”，且这个梯形有两条边相等，最大边是最小边的倍，那么该梯形最小内角的余弦值是 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求角的余弦值 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角函数，解题的关键是掌握相关知识．假设，，，得到，推出，，得到，过点作于点，根据，即可求解． 【详解】解：假设，，， 则， ，即，， ， 过点作于点，则， 该梯形最小内角的余弦值为， 故答案为：． 【变式5-6】（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，，，将△绕点旋转到的位置，其中点与点对应，点与点对应．如果图中阴影部分的面积为5，那么的正切值是 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、求角的正切值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】设与的交点为M，作于N，根据旋转的性质，利用勾股定理求得，由图中阴影部分的面积为5求得，然后通过证得，求得，进一步求得，从而求得得到． 【详解】解：设与的交点为，作于， 在△中，，，， ，， 图中阴影部分的面积为5， ， ， ， ， ，， △△， ，即 ， ， ， ，即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，解直角三角形等，熟知旋转的性质是解题的关键． 【变式5-7】（2025·上海徐汇·二模）如图，梯形中，，，，，那么的值是 ． 【答案】/ 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、求角的正弦值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是梯形是性质、解直角三角形、平行四边形的判定和性质．过点C作，交的延长线于E，根据平行四边形的性质求出，根据勾股定理求出，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：如图，过点C作，交的延长线于E， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-8】（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，在矩形中，E，F是边上两点，且，连接，，与相交于点G，连接．若，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】求角的正弦值、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，正弦函数等；过作，为垂足，由线段的长度得，由等腰三角形的性质得，由勾股定理得，由正弦函数的定义即可求解；掌握矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理，正弦函数进行求解是解题的关键． 【详解】解：过作，为垂足， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 同理可求：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式5-9】（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）如图，点M是正方形边上一点，连接，作于点E，于点F，连接．已知，四边形的面积为24，则的正弦值为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、求角的正弦值、因式分解法解一元二次方程、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、一元二次方程的应用、求角的正弦值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正方形的性质得到，，通过证明得到，，设，利用列出方程，解出的值，在中利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， 设， ，， ， ， 解得：，（舍去负值）， ， ， ， 在中，． 故答案为：． 【变式5-10】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，已知在四边形中，，，点E、F分别在线段、上．如果，，那么 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值、等边对等角、用勾股定理解三角形 【分析】连过作于，交于点H，设与相交于点O，证明，即可得，设，则，由勾股定理可得，最后求出的值即可． 【详解】解：如图，过作于，交于点H，设与相交于点O， ，， ， ， ， 又． ． ， 设，则， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题． 【变式5-11】（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，在矩形纸片中，，，点E是边上的点，连接，将沿翻折，使点B落在处；点F是边上的点，连接，将沿翻折，使点C恰好落在线段上，记作点，连接．如果，那么 ． 【答案】/ 【知识点】矩形与折叠问题、求角的正切值、因式分解法解一元二次方程、用勾股定理解三角形 【分析】连接，设，先判断，再利用勾股定理通过进行等量代换列出关于x的方程，然后解方程求得x值，进而可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， 设，则， 由折叠性质得，，，，， ∴，则， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，又， ∴，即， 解得，， 当时，，，则，不满足题意，舍去； 当时，，，则，满足题意， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠性质、勾股定理、解直角三角形，一元二次方程的解法，也考查学生图形分析能力和逻辑推理能力．本题中根据折叠性质得到，利用勾股定理求解是解答的关键． 【变式5-12】（24-25九年级上·上海·期中）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于C，点D在边上，，与交于点F，连接，如果，，那么 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、三角函数综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】如图，过点C作于点M，过点E作于点N，利用特殊角的三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，解答即可． 【详解】解：如图，过点C作于点M，过点E作于点N， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，熟练掌握特殊角的三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【变式5-13】（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在的网格图形中，的顶点、、都在格点上．请按要求完成下列问题： (1)　　；　　； (2)请仅用无刻度的直尺在线段上求作一点，使（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）． 【答案】(1)4， (2)作图见解析 【知识点】求角的正弦值、相似三角形的判定与性质综合、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，设计三角形面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定定理． （1）由正方形面积减去三个直角三角形面积可求，过A作于D，用面积法可求的长，在中可得； （2）取格点E，F，连接交于P，由可知，从而，即可得，故P是满足条件的点． 【详解】（1）解：由图可得：， 过作于，如图： ， ， ， 故答案为：4，； （2）解：如图： 点即为所求点． 【变式5-14】（24-25九年级下·上海青浦·阶段练习）如图，在中，点、在边、上，且，，，点为的中点，射线交边于点． (1)求证：． (2)如果，求的余弦值． (3)当是等腰三角形时，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3)或或 【知识点】求角的余弦值、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）取中点，连接，由菱形的判定方法得四边形是菱形，由菱形的性质及直角三角形的特征即可得证； （2）交于，由可判定，由全等三角形的性质得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得， 同理可证，由勾股定理得，，即可求解； （3）①当时，②当时，取的中点，连接，由勾股定理得，，由三角形的中位线及相似三角形的性质得，可求，即可求解；③当时，设，由勾股定理得，，即可求解． 【详解】（1）证明：取中点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ； （2）解：交于， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， 故的余弦值为； （3）解：①当时，； ②当时，取的中点，连接， ， ， ， ， ， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ③当时， 设， ， ， 由②得， ， ， ， 解得：，（舍去）， ； 综上所述：的长为或或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，菱形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，三角形中位线定理，直角三角形的特征，三角函数，勾股定理等；掌握全等三角形的判定及性质，菱形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，三角形中位线定理，并能熟练利用三角函数，勾股定理进行求解是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海·期中）已知在中，，那么的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求角的正弦值 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦、余弦、正切是解题的关键．根据锐角三角函数正弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，， ∴． 故选：D． 2．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在中，，那么边的长是（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【知识点】已知正弦值求边长 【分析】本题考查了正弦的定义，根据正弦三角函数的定义可得． 【详解】解：∵在中，， ∴ 故选：C． 3．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求角的余弦值 【分析】根据直角三角形中余弦的定义，即可求解， 本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是：熟练掌握锐角三角函数的定义． 【详解】解：根据三角函数可得：， 故选：B． 4．（24-25九年级下·上海浦东新·阶段练习）已知在中，，则的长为（   ） A．1 B．9 C． D． 【答案】C 【知识点】已知正弦值求边长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了正弦，勾股定理．熟练掌握正弦，勾股定理是解题的关键．由题意知，，求出的值，然后由勾股定理求线段长即可． 【详解】解：如图：    ∵， ∴， ∵ 解得，， 由勾股定理得，， 故选：C． 5．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，那么的正切值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【知识点】求角的正切值、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了求一角的正切，网格中证明三角形是直角三角形，勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，根据网格的特点，找到点所在网格的顶点，连接，通过勾股定理的逆定理判断是直角三角形，进而根据正切的定义求得的值． 【详解】解：如图，连接， 根据网格的特点可知： ， ， 是直角三角形， ， ， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了求特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键．代入特殊角的三角函数值计算即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如果，那么锐角 度． 【答案】60 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据特殊角的三角函数值，即可解答． 【详解】解：∵ ∴锐角度， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海静安·期中）如果是边长为10的菱形的一个锐角，，那么这个菱形的面积是 ． 【答案】80 【知识点】利用菱形的性质求面积、已知正弦值求边长 【分析】本题考查了锐角三角函数、菱形的性质，掌握正弦的定义是解题的关键．先画出符合题意的菱形，作交于点，利用正弦的定义求出，再利用菱形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，菱形的边长为10，，作交于点， 在中，， ， 菱形的面积． 故答案为：80． 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，直角三角形斜边上的中线和边上的中线互相垂直，则的正弦值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、等边对等角、求角的正弦值、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】如图，记的交点为，设，则，由是直角三角形斜边上的中线可知，则，证明，则，，即，可求，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，记的交点为，设，则， 由题意知，， ∴， ∵是直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，或（舍去）， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，勾股定理，正弦，正切等知识．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，勾股定理，正弦，正切是解题的关键． 10．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，直线交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线上，若点N在第二象限内，则的正切值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合、公式法解一元二次方程、求角的正切值 【分析】过作于，过作于，设的坐标是，利用已知条件和勾股定理以及三角形的面积公式、角的锐角三角函数值求出的坐标即可得到的值． 【详解】解：过作于，过作于， ∵在直线上， ∴设的坐标是， 则， ， ∴当时，，当时，， ， 即， 在中，由勾股定理得：， ∵在中，由三角形的面积公式得：， ， ， ∵在中，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（舍去）， 即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，二次根式，解一元二次方程，解直角三角形等知识点的运用，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，题目比较典型，综合性比较强． 11．（24-25九年级上·上海·期中）如图，将矩形绕点C顺时针旋转，点A、B、D分别落在点、、处，如果，，那么的正切值是 ． 【答案】7 【知识点】求角的正切值、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，三角函数，旋转的性质，解题的关键是正确的作出辅助线，综合运用以上知识；连接，延长交于E，证明四边形是矩形，根据矩形的性质分别求出，，再根据正切的定义求值即可． 【详解】解：如图，连接，延长交于E， 将矩形绕点C顺时针旋转， ，，，， 四边形是矩形， ，，， ，， 的正切值为， 故答案为：7． 12．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在Rt中，，将折叠，使点落在边上的点处，为折痕．若 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、求角的正弦值、折叠问题 【分析】设，则，由等边对等角，折叠的性质可得，，由，可求，根据，求解作答即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形内角和定理，正弦等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形内角和定理，正弦是解题的关键． 三、解答题 13．（2025·上海奉贤·三模）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、分母有理化、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及负整数指数幂、特殊角的三角形函数值、化简绝对值、分母有理化，根据相关运算法则正确求解即可． 【详解】解： ． 14．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、分数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算、分数指数幂、零指数幂、实数的混合运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．代入特殊角的三角函数值，再利用二次根式、分数指数幂、绝对值、零指数幂的性质化简，再合并即可． 【详解】解： ． 15．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与正比例函数的图象相交于横坐标为2的点A，平移直线，使它经过点，与y轴交于点C． (1)求平移后直线的表达式； (2)求的余切值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求角的正切值、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】（1）根据点在反比例函数图象上可求出点的坐标，进而可求出正比例函数表达式，据平移的性质可设直线的函数解析式为，根据点的坐标利用待定系数法即可求出值，此题得解； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标，从而得出的值，再根据余切的定义即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标为． 在的图象上， ，解得：． 由平移得：设直线的函数解析式为， 点的坐标为， ， 解得：， 平移后直线的表达式． （2）解：如图，当时，， 点的坐标为， ． ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数的平移问题，待定系数法求函数解析式以及解直角三角形，根据点的坐标利用待定系数法求出直线的解析式是解题的关键． 16．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，为边上的中线，点是的边上的一点，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的余弦值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角函数综合、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据等腰三角形的性质可得，即，由，得，推出，得到，即可证明； （2）根据题意可推出，，进而求出，根据，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：在中，，为边上的中线， ，即， ， ， 又， ， ， ； （2）解：在中，，，为边上的中线， ，， ， ， ， ． 17．（24-25九年级下·上海·阶段练习）平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，点在直线l上，点B在双曲线上． (1)求直线l与双曲线的表达式； (2)联结，若直线和直线l平行，求的值． 【答案】(1)直线l的解析式为；双曲线解析式为， (2) 【知识点】求角的余弦值、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数和反比例综合，解题关键是根据函数图像上点的特征求出解析式或交点坐标． （1）根据点在直线l：，由待定系数法即可求出，进而把点代入解析式求出； （2）根据直线和直线l平行可得直线解析式为，进而求出点，由求出即可解得； 【详解】（1）解：∵直线l：与x轴交于点， ∴，解得， ∴直线l的解析式为， 把点代入解析式得 ，解得：， ∴双曲线解析式为； （2）解：如图， ∵，直线l的解析式为， ∴直线解析式为：， 联立直线和反比例函数解析式得：， 解得：，不合题意，舍去， ∴点， ∵， ∴轴，，， ∴， ∴， ∴ 18．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知矩形中，，，是上一点，将沿直线翻折，使点落在点处，连接，直线与射线相交于点F． (1)如图1，当在边上，若时，求的长； (2)若射线交的延长线于，设，，求与的函数解析式，并写出的取值范围； (3)①如图2，直线与边交于点，若与相似，求的正切值； ②如图3，当直线与的延长线相交于点时，若，求的长． 【答案】(1) (2)， (3)①；②10 【知识点】矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、求角的正切值 【分析】（1）根据矩形性质和，推出四边形为平行四边形，得到，得到，，由翻折性质得到，，得到，得到； （2）根据， ，得到，得到 ，推出 ， x的取值范围是； （3）①连接，根据翻折性质得到，，根据，，得到，推出，得到；②连接, , ，分别过A，H作于点M, 交延长线于点N，得到，由折叠性质得到，，根据，得到，得到，得到，推出四边形为矩形，得到，得到，由折叠性质得到，得到，得到，根据勾股定理得到，即得． 【详解】（1）如图，∵在矩形中，，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，， 由翻折知，，， ∴， ∴, ∵， ∴； （2）∵在矩形中，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 解得，， ∴x的取值范围是； （3）①如图，设交于点M，连接，由折叠知，，，    ∵ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴ ②如图，连接, , ，分别过A，H作于点M, 交延长线于点N，则，    由折叠知，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 由（2）知垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形折叠，矩形的判定和性质，折叠性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，求正切，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$