第04课 圆的面积-2025年新六年级数学暑假自学课（北师大版）

第04课 圆的面积 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）理解圆的面积的含义，经历圆的面积计算公式的推导过程。 （2）掌握圆的面积计算公式。 （3）掌握圆的面积计算公式，并能灵活运用圆的面积计算公式计算圆的面积。 （4）理解把圆转变成三角形时圆的面积计算公式的推导过程。 2、重难点。 重点：圆的面积计算公式，灵活运用圆的面积计算公式解决问题。 难点：理解圆的面积计算公式的推导过程以及把圆转变成三角形时圆的面积计算公式的推导过 程。 模块二 预习引导 一、圆的面积定义 定义：圆的面积是指圆所占据的平面区域的大小，即圆内部所有点构成的区域。 符号表示：通常用字母 S 表示圆的面积。 二、圆的面积公式推导 推导方法：通过将圆等分成若干个小扇形，拼成一个近似的长方形。 长方形的长：近似于圆周长的一半，即 πr。 长方形的宽：近似于圆的半径 r。 面积公式：长方形的面积 = 长 × 宽 =πr×r=πr2 。 结论：圆的面积公式为 S=πr2。 三、圆环的面积 定义：圆环是由两个同心圆（圆心相同，半径不同）之间的区域。 计算公式：圆环的面积 = 外圆面积 − 内圆面积 =πR2 −πr2 =π(R2 −r2 )（其中 R 为外圆半径，r 为内圆半径）。 四、组合图形的面积 定义：由圆与其他图形（如长方形、正方形、三角形等）组合而成的图形。 计算方法：将组合图形分解为基本图形，分别计算各部分的面积，再相加或相减。 示例： 半圆与长方形的组合：计算半圆的面积 + 长方形的面积。 圆与三角形的组合：计算圆的面积 + 或 − 三角形的面积。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．小红读课外书得知：魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法。刘徽形容他的“割圆术”说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。下面说法错误的是（    ）。 A．在圆内割出的正八边形周长比正方形周长大。 B．在圆内割出的正多边形边数为10000时，这个多边形周长就可能与圆周长相等。 C．在圆内割出的正多边形边数越多，周长越接近圆周长。 D．在圆内割出的正多边形边数越多，面积越接近圆面积。 【答案】B 【分析】根据割圆术可知，圆内割的正多边形的边数越多，那么正多边形的面积或周长就会越接近圆。据此解题。 【详解】A．在圆内割出的正八边形周长比割出的正方形更接近圆的周长，那么它的周长更大。原说法正确； B．在圆内割出的正多边形边数为10000时，这个多边形的周长很接近圆的周长，但是不和圆的周长相等。原说法错误； C．在圆内割出的正多边形边数越多，周长越接近圆周长。原说法正确； D．在圆内割出的正多边形边数越多，面积越接近圆面积。原说法正确。 故答案为：B 2．下面每个正方形的边长都相等，下面左图阴影部分的面积与下面右边图（    ）阴影部分的面积相等。 A．① B．② C．③ 【答案】C 【分析】分析题目，左边阴影部分的面积等于正方形的面积减去一个以正方形的边长为直径的圆的面积；①的阴影面积等于一个以正方形的边长为直径的圆的面积；②的阴影面积等于正方形的面积减去2个以正方形的边长为底，正方形边长的一半为高的三角形的面积；③的阴影面积等于正方形的面积减去一个以正方形的边长为直径的圆的面积，据此解答。 【详解】根据分析可知：给出的图形的阴影面积等于正方形的面积减去以正方形的边长为直径的圆的面积；图③的阴影面积也等于正方形的面积减去以正方形的边长为直径的圆的面积。 故答案为：C 3．在一个公园里，有一个直径为10米的圆形花坛。园丁们计划在花坛周围铺设一条宽1米的石子路。石子路的面积是多少平方米？（    ） A．28.26平方米 B．34.54平方米 C．15.7平方米 D．31.4平方米 【答案】B 【分析】求石子路的面积，就是求圆环的面积，外圆的半径为花坛的半径＋石子路的宽；内圆的半径为花坛的半径；根据圆环的面积公式：面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），代入数据，即可解答。 【详解】花坛半径：10÷2＝5（米） 外圆半径：5＋1＝6（米） 石子路面积： 3.14×（62－52） ＝3.14×（36－25） ＝3.14×11 ＝34.54（平方米） 在一个公园里，有一个直径为10米的圆形花坛。园丁们计划在花坛周围铺设一条宽1米的石子路。石子路的面积是34.54平方米。 故答案为：B 4．教室黑板上方挂的钟表秒针长10厘米，分针长7厘米。秒针1分钟扫过的面积比分针60分钟扫过的面积多（    ）平方厘米。 A．9.42 B．18.84 C．153.86 D．160.14 【答案】D 【分析】秒针1分钟走一圈，分针60分钟走一圈，秒针走一圈比分针走一圈多扫过的面是个圆环，秒针和分针的长分别是大圆和小圆的半径，根据圆环面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），列式计算即可。 【详解】3.14×（102－72） ＝3.14×（100－49） ＝3.14×51 ＝160.14（平方厘米） 秒针1分钟扫过的面积比分针60分钟扫过的面积多160.14平方厘米。 故答案为：D 5．如图，阴影部分的环宽正好等于小圆的半径，阴影部分的面积是大圆面积的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，阴影部分的环宽正好等于小圆的半径，设小圆的半径是1，则环宽也是1，那么大圆的半径是1＋1＝2； 根据圆的面积公式S＝πr2，圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），分别求出大圆的面积和阴影部分的面积； 再用阴影部分的面积除以大圆的面积，求出阴影部分的面积是大圆面积的几分之几。 【详解】设小圆的半径是1，则环宽也是1； 大圆半径：1＋1＝2 大圆面积：π×22＝4π 阴影部分的面积： π×（22－12） ＝π×（4－1） ＝3π 3π÷4π＝ 所以，阴影部分的面积是大圆面积的。 故答案为：D 6．下图是励家小学校园门口“禁止驶入”的交通标志，标志中有一个长60cm、宽12cm的白色长方形，其余部分是蓝色。计算这个交通标志中蓝色部分的面积，下面列式正确的是（    ）。 A． B．（80÷2）2×3.14－60×12 C． D．802×3.14－60×12 【答案】B 【分析】观察图形可知，这个交通标志中蓝色部分的面积＝直径为80cm圆的面积－白色长方形的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，长方形的面积公式S＝ab，据此列式。 【详解】（80÷2）2×3.14－60×12 ＝402×3.14－720 ＝1600×3.14－720 ＝5024－720 ＝4304（cm2） 这个交通标志中蓝色部分的面积是4304cm2。 下面列式正确的是（80÷2）2×3.14－60×12。 故答案为：B 二、填空题 7．如图，圆中三个小正方形（涂色部分）A、B、C的边长分别是2厘米、3厘米、4厘米。最大正方形的面积是( )平方厘米，圆的面积是( )平方厘米。 【答案】 81 127.17 【分析】据图可知，最大正方形的边长等于三个小正方形的边长之和，即（2＋3＋4），根据正方形的面积＝边长×边长求出最大正方形的面积；最大正方形的一条对角线把正方形分成两个完全相同的等腰三角形，等腰三角形的底是圆的直径，即2r，高是圆的半径，即r，根据三角形的面积＝底×高÷2可知正方形的面积可以表示为：2r×r÷2×2＝2r2，据此用最大正方形的面积除以2即可求出r2，最后根据圆的面积＝πr2列式求出圆的面积即可。 【详解】（2＋3＋4）×（2＋3＋4） ＝9×9 ＝81（平方厘米） 81÷2×3.14 ＝40.5×3.14 ＝127.17（平方厘米） 因此，最大正方形的面积是81平方厘米，圆的面积是127.17平方厘米。 【点睛】本题的关键是找到r2与圆中最大正方形的面积关系，从而可以通过不求出半径即可求出圆的面积。 8．如图，长方形里有一个最大的半圆，这个长方形的周长是( )cm，阴影部分的面积是( )cm2。 【答案】 18 3.87 【分析】观察图形可知，长方形里有一个最大的半圆，则半圆的直径等于长方形的长； 根据长方形的周长公式C＝2（a＋b），求出这个长方形的周长； 根据长方形的面积公式S＝ab，半圆的面积公式S＝πr2÷2，分别求出长方形、半圆的面积，再相减，即是阴影部分的面积。 【详解】6÷2＝3（cm） （6＋3）×2 ＝9×2 ＝18（cm） 6×3－3.14×32÷2 ＝18－3.14×9÷2 ＝18－14.13 ＝3.87（cm2） 长方形的周长是18cm，阴影部分的面积是3.87cm2。 9．一个钟表，分针长40厘米，一个小时分针的尖端走了 厘米，分针扫过的面积是 平方厘米。 【答案】 251.2 5024 【分析】钟面上分针转一圈是1小时，经过一小时，分针的针尖走过的路程等于半径为40厘米的圆的周长，分针扫过的面积是等于半径为40厘米的圆的面积，根据圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】2×3.14×40＝251.2（厘米） 3.14×402 ＝3.14×1600 ＝5024（平方厘米） 一个小时分针的尖端走了251.2厘米，分针扫过的面积是5024平方厘米。 10．显微镜是科学实验中常用的一种仪器。一个显微镜物镜镜头是一个周长为37.68毫米的圆形，这个镜头的直径是( )毫米；要给这个镜头制作一个圆形防护盖，防护盖半径比镜头半径大2毫米，防护盖的面积是( )平方毫米。 【答案】 12 200.96 【分析】圆的周长公式：C＝πd，据此用37.68除以π可以求出镜头的直径；根据题意，用镜头的直径除以2求出它的半径，再加上2可以求出防护盖的半径，然后根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数据计算即可求出防护盖的面积。 【详解】37.68÷3.14＝12（毫米） 12÷2＋2 ＝6＋2 ＝8（毫米） 3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方毫米） 则这个镜头的直径是12毫米；防护盖的面积是200.96平方毫米。 三、解答题 11．杨万里的《荷亭倚栏》中，“水面圆纹乱相入，玻璃盆旋玉连环”描述了水面上的圆形波纹交错纷乱，如同玻璃盆中旋转的玉连环。在长9米，宽6米的长方形小池中，形成一个最大的圆形波纹，这个圆形波纹的面积是多少平方米？ 【答案】28.26平方米 【分析】圆形波纹的最大直径为6米，则半径为6÷2＝3（米），根据圆的面积＝×半径的平方解答即可。 【详解】6÷2＝3（米） 3.14× ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：这个圆形波纹的面积是28.26平方米。 12．乐乐很喜欢用圆规来绘制一些图案，这天她用圆规在方格纸上画了一片“花瓣儿”。已知小方格纸的边长是10厘米，请你算算看： （1）这片“花瓣儿”的周长是多少厘米？ （2）求这片“花瓣儿”的面积。 【答案】（1）62.8厘米；（2）114平方厘米 【分析】（1）看图可知，花瓣的周长是由两个半径是10厘米的四分之一圆的弧长，以及一个半径是（10×2）厘米的四分之一圆的弧长。圆周长＝2πr，据此先求出半径是10厘米圆的周长，再除以4乘2，求出两个半径是10厘米的四分之一圆的弧长。再根据圆周长公式求出半径是（10×2）厘米圆的周长，再除以4，求出半径是（10×2）厘米的四分之一圆的弧长。将这两部分相加，即可求出这片“花瓣儿”的周长。 （2）如图：连接大正方形左下角和右上角的顶点，画出一条对角线。根据画好的图可知，这片花瓣在对角线上方的部分是可以剪拼到左下方的。圆面积＝πr2，据此求出半径是（10×2）厘米圆的面积。将圆面积除以4，求出四分之一圆的面积。三角形面积＝底×高÷2，据此求出三角形的面积。将四分之一圆的面积减去三角形的面积，即可求出花瓣的面积。 【详解】（1）2×3.14×10÷4×2＋2×3.14×（10×2）÷4 ＝2×3.14×10÷4×2＋2×3.14×20÷4 ＝62.8÷4×2＋125.6÷4 ＝31.4＋31.4 ＝62.8（厘米） 答：这片“花瓣儿”的周长是62.8厘米。 （2）如图： 10×2＝20（厘米） 3.14×202÷4－20×20÷2 ＝3.14×400÷4－20×20÷2 ＝314－200 ＝114（平方厘米） 答：这片“花瓣儿”的面积是114平方厘米。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04课 圆的面积 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）理解圆的面积的含义，经历圆的面积计算公式的推导过程。 （2）掌握圆的面积计算公式。 （3）掌握圆的面积计算公式，并能灵活运用圆的面积计算公式计算圆的面积。 （4）理解把圆转变成三角形时圆的面积计算公式的推导过程。 2、重难点。 重点：圆的面积计算公式，灵活运用圆的面积计算公式解决问题。 难点：理解圆的面积计算公式的推导过程以及把圆转变成三角形时圆的面积计算公式的推导过 程。 模块二 预习引导 一、圆的面积定义 定义：圆的面积是指圆所占据的平面区域的大小，即圆内部所有点构成的区域。 符号表示：通常用字母 S 表示圆的面积。 二、圆的面积公式推导 推导方法：通过将圆等分成若干个小扇形，拼成一个近似的长方形。 长方形的长：近似于圆周长的一半，即 πr。 长方形的宽：近似于圆的半径 r。 面积公式：长方形的面积 = 长 × 宽 =πr×r=πr2 。 结论：圆的面积公式为 S=πr2。 三、圆环的面积 定义：圆环是由两个同心圆（圆心相同，半径不同）之间的区域。 计算公式：圆环的面积 = 外圆面积 − 内圆面积 =πR2 −πr2 =π(R2 −r2 )（其中 R 为外圆半径，r 为内圆半径）。 四、组合图形的面积 定义：由圆与其他图形（如长方形、正方形、三角形等）组合而成的图形。 计算方法：将组合图形分解为基本图形，分别计算各部分的面积，再相加或相减。 示例： 半圆与长方形的组合：计算半圆的面积 + 长方形的面积。 圆与三角形的组合：计算圆的面积 + 或 − 三角形的面积。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．小红读课外书得知：魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法。刘徽形容他的“割圆术”说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。下面说法错误的是（    ）。 A．在圆内割出的正八边形周长比正方形周长大。 B．在圆内割出的正多边形边数为10000时，这个多边形周长就可能与圆周长相等。 C．在圆内割出的正多边形边数越多，周长越接近圆周长。 D．在圆内割出的正多边形边数越多，面积越接近圆面积。 2．下面每个正方形的边长都相等，下面左图阴影部分的面积与下面右边图（    ）阴影部分的面积相等。 A．① B．② C．③ 3．在一个公园里，有一个直径为10米的圆形花坛。园丁们计划在花坛周围铺设一条宽1米的石子路。石子路的面积是多少平方米？（    ） A．28.26平方米 B．34.54平方米 C．15.7平方米 D．31.4平方米 4．教室黑板上方挂的钟表秒针长10厘米，分针长7厘米。秒针1分钟扫过的面积比分针60分钟扫过的面积多（    ）平方厘米。 A．9.42 B．18.84 C．153.86 D．160.14 5．如图，阴影部分的环宽正好等于小圆的半径，阴影部分的面积是大圆面积的（    ）。 A． B． C． D． 6．下图是励家小学校园门口“禁止驶入”的交通标志，标志中有一个长60cm、宽12cm的白色长方形，其余部分是蓝色。计算这个交通标志中蓝色部分的面积，下面列式正确的是（    ）。 A． B．（80÷2）2×3.14－60×12 C． D．802×3.14－60×12 二、填空题 7．如图，圆中三个小正方形（涂色部分）A、B、C的边长分别是2厘米、3厘米、4厘米。最大正方形的面积是( )平方厘米，圆的面积是( )平方厘米。 8．如图，长方形里有一个最大的半圆，这个长方形的周长是( )cm，阴影部分的面积是( )cm2。 9．一个钟表，分针长40厘米，一个小时分针的尖端走了 厘米，分针扫过的面积是 平方厘米。 10．显微镜是科学实验中常用的一种仪器。一个显微镜物镜镜头是一个周长为37.68毫米的圆形，这个镜头的直径是( )毫米；要给这个镜头制作一个圆形防护盖，防护盖半径比镜头半径大2毫米，防护盖的面积是( )平方毫米。 三、解答题 11．杨万里的《荷亭倚栏》中，“水面圆纹乱相入，玻璃盆旋玉连环”描述了水面上的圆形波纹交错纷乱，如同玻璃盆中旋转的玉连环。在长9米，宽6米的长方形小池中，形成一个最大的圆形波纹，这个圆形波纹的面积是多少平方米？ 12．乐乐很喜欢用圆规来绘制一些图案，这天她用圆规在方格纸上画了一片“花瓣儿”。已知小方格纸的边长是10厘米，请你算算看： （1）这片“花瓣儿”的周长是多少厘米？ （2）求这片“花瓣儿”的面积。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$