暑假作业14 相交线与平行线压轴题专练-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（北师大版2024）

完成时间： 月 日 天气： 作业14 相交线与平行线压轴题专练 1．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，与交于点，点在直线上，，，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解： ①正确； 过点作，， ， ， 设，，则， ， ②正确； ， ， 而 ③错误； ， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①②④． 故选：C． 2．（24-25七年级上·四川眉山·期末）已知直线，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（   ） ①如图1，若，，则； ②如图2，点在之间，当，，则； ③如图2，点在之间，当，，则； ④如图3，的角平分线交于，且，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：①过点P作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；①正确； ②点P作，过点Q作，则，， ∴， ∴，即， 同理：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，②正确； ③过点P作，过点Q作，则，， ∴， ∴，即， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴，即，③正确； ④过点P作，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴ 过点N作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，④正确． 综上，正确的有4个， 故选：D． 3．（24-25七年级上·山东枣庄·期末）如图，在同一平面内，，，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【详解】解：∵， ∴， 而， ∴， 即， ∴①正确； ， ∴②正确； ， 而， ∴③不正确； ∵E、O、F三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴④正确． ∴正确的结论有①②④． 故答案为：①②④． 4．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，射线在内部，射线在射线左侧，． (1)当时，试比较与的大小，并说明理由； (2)在（）的条件下，若，射线，分别平分与，求的度数； (3)若，，都在内部，过点作射线，使，试探究与的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3)或 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵射线，分别平分与， ∴，， ∴； （3）解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ①如图，当在左侧时， 设，则， ∴， ∴， ， ∴； ②如图，当在右侧时， 设，则， 同理可得，， ∴； 综上，或 ． 5．（24-25七年级上·广东广州·期末）以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即． (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则_____； (2)如图2，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置，使在内部，求与的数量关系； (3)直角三角板从边在射线上时，开始绕点顺时针以3度/秒的速度转动一周，同时射线绕点以1度/秒的速度先顺时针旋转到与射线重合，再绕点以相同速度逆时针旋转，随直角三角板的停止而停止．记旋转时间为秒，射线、形成的夹角（小于180度的角）为，射线、形成的夹角为，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)、或 【详解】（1）解：∵若直角三角板的一边放在射线上，，， ∴． 故答案为： （2）解：如图所示，在内部， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，当顺时针旋转时， ∵的速度为3度/秒，的速度为1度/秒， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 如图，当逆时针旋转，在上方时， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 如图，当逆时针旋转，在下方时， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 综上所述：、或. 6．（24-25七年级上·广东珠海·期末）【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、），在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，；在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 【拓展探索】 （3）爱动脑筋的小林改变和各个角的度数，其中，按如图4所示摆放并分别作的角平分线和的角平分线，把绕点旋转一周，请直接写出与、的数量关系． 【答案】（1）②③；④；（2）①；②；（3）或 【详解】解：（1）图①中； 图②中； 图③中， ∴； 图④中； ∴与相等的摆法是②③；与互补的摆法是④； （2）①∵平分， ∴， ∴； ②∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ； （3）当在内部时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ， 即此时； 当在外部，且、在上方时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ∴ ， 即此时； 当在外部，且在上方，在下方时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴ ， 即此时； 当在外部，且在下方，在下方时，如图所示： ∵平分， ∴， ∵平分， ∴ ， ∴ ， 即此时； 当在外部，且在下方，在上方时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ， 即此时； 综上分析可知：或． 7．（24-25七年级上·江西新余·期末）如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于且小于的角）． (1)如图1，为直线上一点，，直接写出图中所有互为垂角的角； (2)如果一个角的垂角等于其补角的，求这个角的度数； (3)如图2，为直线上一点，，将整个图形绕点逆时针旋转，直线旋转到，旋转到，作射线，使，求：当为何值时，与互为垂角． 【答案】(1)与，与，与，与 (2)这个角的度数为或度 (3)时，与互为垂角 【详解】（1）互为垂角的角有4对：与，与，与，与； （2）设这个角的度数为度，则其补角是度， ①当时，它的垂角是度，依题意有， ， 解得； ②当时，它的垂角是度，依题意有， ， 解得； 故这个角的度数为或度． （3）当时和重合，不符合题意．故分两种情况： ①当时，，， ， ， ， ， 解得：或195 ， ； ②当时，， ，，， ， 解得或115， ， 或115舍去． 综上所述，时，与互为垂角． 8．（24-25七年级上·吉林长春·期末）点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)若射线平分，如图1，若，求的度数． 请把下列解题过程补充完整： ，（已知）， ____________． 平分（已知）， ____________（角平分线定义）． （已知）， ____________． (2)在（1）的前提下，若，求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图2，反向延长，得到直线，若，平分，现将三角板以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒，当平分时，请直接写出t的值． 【答案】(1)（或），，，，， (2) (3)或 【详解】（1）解：将解题过程补充完整如下： ，（已知）， ， 平分（已知）， （角平分线定义）， （已知）， ， 故答案为：（或），，，，，； （2）解：，， ， 平分， ， ， ； （3）解：，平分， ， 当平分时，分两种情况讨论： ①平分， 此时，， 由题意可得：， 解得：； ②平分， 此时，， ， 由题意可得：， 解得：； 综上，当平分时，或． 9．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）综合与实践 如图，O为直线上的一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，将三角板的一边与射线重合，此时______． (2)如图2，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，使得是平分线，求的度数． (3)如图3，将三角板持续绕点O逆时针旋转至内部，使得，求的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据即得； （2）由角平分线得，根据即得； （3）根据，，得，根据得，由即得 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是的角平分线， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25七年级上·北京怀柔·期末）已知：如图1，在直线上取一点O，以点O为端点作射线，，分别作平分，平分，令，． (1)如图2，若与重合，其中，，则________； (2)如图3，B，C为直线同侧的点，，是钝角， ①依题意，在图3中画出射线及的平分线； ②求的度数（用含α的式子表示）； (3)当，都是锐角时，直接写出的角度（若不是确定角度则用含α，β的代数式表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或或180°或 【详解】（1）解：由题意，，， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为： （2）①由题意，画图如下， ②∵，平分， ∴， ∴, ∵,平分， ∴, ∴ （3）如图，当，在直线同侧时， 由题意，，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ 当，在直线异侧，且时，如图， 同理可求，∴， ∴ ； 当，在直线异侧，且时，如图， 同理可求，∴， ∴ ； 当，在直线异侧，且时，共线，，为对顶角的角平分线，则 综上，的角度为或或或 11．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）已知在同一平面内，，平分，平分． (1)如图1，当射线和射线重合时， ①__________，②__________，③图1中的余角是__________； (2)如图2，当射线在内部时，与互补，求的度数； (3)已知射线和在的外部，若，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)60，90，60 (2) (3)或或或，理由见解析 【详解】（1）解：，，平分，平分， ，， ，的余角是， 故答案为：60，90，60； （2）解：、分别平分、且、， ，， 与互补，即：， ， ， ， ， ，即. （3）解：由（2）知：， 如图，，，则 ， 射线在内部或内部 , 在与内部 a）射线在内部 i）如图①射线在内部，且射线在内部： ii）如图②射线在内部，且射线在内部： b）射线在内部 i）如图③射线在内部： ii）如图④射线在内部，且射线在内部： ， ， 综上，可得或或或． 12．（24-25七年级上·北京房山·期末）已知，从的顶点出发，在的内部作一条射线，若射线将分得的两个角中有一个角与相加和为，则称射线是的“角余分线”． 例如：如图，，射线在的内部，，，所以射线是的“角余分线”． (1)若，射线在的内部，且，则射线________（填“是”或“不是”）的“角余分线”； (2)若射线是的“角余分线”，且射线平分，则________； (3)已知，射线在的内部，射线是的角平分线，射线是的“角余分线”，若射线是的“角余分线”，请直接写出的度数． 【答案】(1)是(2)(3)或或 【详解】（1）解：∵，射线在的内部，且， ∴ ∴ ∴射线是的“角余分线”； 故答案为：是． （2）解：∵射线平分，设 ∴ 又∵射线是的“角余分线”， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． （3）解：∵射线是的角平分线， ∴， 设， 则 ∵射线是的“角余分线”， ∴或 ∴，即①；或即②； ∵射线是的角余分线， ∴或 ∴③或，即④ 当，时（即①③成立），如图所示 ∴ 解得： ∴； 当，时（即①④成立），如图所示， ∴ 解得： ∴； 当，时（即②③成立），如图所示 ∴ 解得： ∴； 当，时（即②④成立），如图所示 ∴ 解得： ∴； ∵， ∴，则在的外部，不是的角余分线，不合题意，舍去 综上所述，或或 13．（24-25七年级上·北京海淀·期末）设，，分别是、的角平分线，记．如果，互补，或者，互补，则称，是一对“分补角”． (1)如图，，在内，．分别作，的角平分线，则______，，______一对“分补角”（填“是”或“不是”）； (2)若，，且，是一对“分补角”，求的值； (3)如图，．若和是一对“分补角”，直接写出的所有可能值． 【答案】(1)，不是(2)(3)或或或 【详解】（1）解：如图，∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，不是一对“分补角”， 故答案为：，不是； （2）解：∵，、是一对“分补角”， ∴不可能在内部， 如图，∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，是一对“分补角”， ∴， 即， 解得； （3）解：当在内部时，如图， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 当时，， ∴； 当时，； 当在外部时， ①当为钝角时，如图， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当为锐角时，如图， 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴； 综上，的可能值为或或或． 14．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）已知：点在直线上，点都在直线上（点在点的左侧），连接，，平分，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为线段上一动点，连接，且始终满足． ①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数； ②在点的运动过程中，与的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】(1)见解析(2)①或；②是定值， 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①如下图，当点可以在点的右侧， ∵， ∴， 又∵， ∴， 设， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴； 当点可以在点的左侧， 同理，可得， 综上，的度数为或； ②，理由如下： 如图，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（23-24七年级上·山东济南·期末）【阅读探究】 （1）如图1，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数． 解：过点作， 所以______， 因为， 所以， 所以______， 因为， 所以． （2）从上面的推理过程中，我们发现平行线可将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系为________． 【方法应用】 （3）如图2，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数． 【应用拓展】 （4）如图3，分别是上的点，点在两平行线之间，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间），若，则的度数为________（用含的式子表示）． 【答案】 （1），（2）（3）（4） 【详解】解：（1）过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）过点作， ∴， ∵ ， ∴，    ∴， ∴， ∴； （3）过点作，如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∵，， ∴． （4）∵、分别是和的平分线， ∴，， 过点作，如图3所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴． 16．（21-22七年级下·河北衡水·期末）【发现】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC． (1)当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB与CD的位置关系是______； 当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB与CD的位置关系是______； 当∠EAC+∠ACE＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由； (2)【探究】如图2，AB∥CD，M是AE上一点，∠AEC＝90°保持不变，移动顶点E，使CE平分∠MCD，∠BAE与∠MCD存在怎样的数量关系？并说明理由， (3)【拓展】如图3，AB∥CD，P为线段AC上一定点，Q为直线CD上一动点，且点Q不与点C重合．直接写出∠CPQ+∠CQP与∠BAC的数量关系． 【答案】(1)AB∥CD；AB∥CD；AB∥CD，理由见解析 (2)∠BAE+∠MCD＝90°，理由见解析 (3)∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180° 【详解】（1）解：当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB∥CD，理由如下： ∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE， ∵∠EAC＝∠ACE＝45°， ∴∠BAC＝∠ACD＝90°， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∴AB∥CD， 故答案为：AB∥CD； 当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB∥CD，理由如下： ∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE， ∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40° ∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∴AB∥CD， 故答案为：AB∥CD； 当∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，理由如下： ∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE， ∵∠EAC+∠ACE＝90°， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∴AB∥CD； （2）解：∠BAE+∠MCD＝90°，理由如下： 过点E作EF∥AB，如图所示， ∵AB∥CD， ∴EF∥AB∥CD， ∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE， ∵∠AEC＝90°， ∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°， ∵CE平分∠MCD， ∴∠ECD＝∠MCD， ∴∠BAE+∠MCD＝90°； （3）解：分两种情况分类讨论， 第一种情况如图，当点Q在射线CD上运动时，∠BAC＝∠PQC+∠QPC， 理由：过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴EP∥AB∥CD， ∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ， ∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC ∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC； 第二种情况如图，当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°， 理由：∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠PCQ， ∵∠PQC+∠QPC +∠PCQ＝180°， ∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°， 综上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°． 17．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；（结果可用含的式子表示） (3)如图3，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】(1)(2)(3)的度数为或 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 18．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知点均为定点，直线，点为射线上一个动点（点不与点A重合），连接． (1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数． (2)点为直线下方的动点，连接，使得平分， ①如图2，当点在线段上时，连接，若平分，探究与之间的数量关系，并证明； ②如图3，当点在直线的下方运动时（点在射线上），射线平分，点在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；②或 【详解】（1）解：过点P作． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①，证明如下： 设，， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， 过点P作，过点M作， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点P在线段上时，过点P作，而，则， 设，设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当点P在线段延长线上时， 过点P作，则，设，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 综上：的度数为或． 19．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）问题情境：如图1，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究． (1)观察猜想：小明猜想，他过点作，如图2，请帮他完成证明过程． (2)深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明． (3)问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，，，，，，，并连接，，，，，．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图4）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，，，则________°． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)127 【详解】（1）证明：如图2：过点作， ∵， ∴， ∴ ∴． （2）证明：如图2：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． （3）解：如图3：过点C作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由（1）的结论可知， 故答案为：127． 20．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）已知直线，在三角形纸板中，． (1)将三角形按如图1放置，点和点分别在直线上，若，则__________； (2)将三角形按图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，．试求之间的数量关系； (3)在图2中，若，将三角形绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为秒．当三角形的一条直角边分别与平行时，求出相应的值（直接写出答案）． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【详解】（1）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：； （3）解：∵，， ∴， 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度为：， ∴； 综上所述：的值为：或或或． 21．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）【习题再现】（1）苏科版初中数学教材七上第194第10题：如图1，，点在，之间．写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【迁移思考】（2）小明在完成第10题的探究后，对该页的第5题又作了探究与变式思考： ①如图2，在长方体盒底部有一面平面镜，点处有一个光源，光线的入射角等于反射角，法线与平面镜垂直，即，垂足为，入射光线经过镜面发射后，恰好经过点．小明认为，图中，请帮小明说明理由； ②如图3，在长方体盒子里放置4块平面镜，其中，若光线从上的处射出，在平面镜上经点反射后，到达上的点，其传播路径为请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析 （2）①理由见解析；②，理由见解析 【详解】解：（1），，之间的数量关系是：，理由如下： 过点E作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）①理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵光线的入射角等于反射角， ∴， ∴； ②与的数量关系是：，理由如下： 由①的结论得：，， ∴， ∵， 由（1）的结论得：，， ∴． 22．（24-25八年级上·河南郑州·期末）综合与实践 学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，李凯和张芳将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，其中，，． (1)操作判断 若，则________；若，则________； (2)性质探究 由（1）猜想与的数量关系，并证明你的猜想； (3)拓展应用 当，且点在直线的上方时，这两个三角尺存在一组边互相平行，请直接写出所有可能的度数（不必说明理由）． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3)，，，， 【详解】（1）解： ∵， ∴， 若， 则； 若， 则． 故答案为：，． （2）解：．理由： ∵， ∴． （3）解：如图1：当时，， ∵， ∴； 如图2：当时，； 如图3：当时，， ∴； 如图4：当时，， ∴； 如图5所示：当时， 过点C作， 则， ∴， ∴， ∴． 综上，，，，及． 23．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图2，过点作， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 由对顶角相等得：， 由（2）可知， ， 所以的度数为． 24．（22-23七年级下·广东深圳·期中）【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： （1）如图1所示，已知，点E为，之间一点，连接，，得到．请猜想与，之间的数量关系，并证明； （2）如图2所示，已知，点E为，之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数； 【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分与的平分线相交于点G，请直接写出与之间的数量关系 ； 【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件去掉，提出了以下问题： 已知与不平行，如图4，点M在上，点N在上，连接，且同时平分和，请直接写出，，之间的数量关系 ． 【答案】（1），证明见解析 （2） 类比迁移： 变式挑战： 【详解】问题提出： （1）猜想：， 证明：过E点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）如图2，作，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵和的平分线相交于F， ∴，， ∴， ∴； 类比迁移： ．理由如下： 如图3，过E作，过G作， ∵， ∴， ∴，，， ∵平分与的平分线相交于点G， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； 变式挑战： ，理由如下： 如图4，延长，，交于点P， 过M作射线，过E作，过P作，过N作， ∴，，， ∴， 同理得， ∴， ∵同时平分和， ∴，， ∴， 即． 故答案为：． 25．（24-25七年级下·全国·期末）如图，某段铁路两旁安置了，两盏可旋转探照灯．已知，，为上两点，连接， ，平分交于点，为上一点，连接． (1)__________； (2)如图，为上一点，连接．当，时，试说明：； (3)探照灯，射出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线从出发以每秒 的速度逆时针转动，探照灯射出的光线从出发以每秒 的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相平行或垂直时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)或或或或． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：，当时，则，如图， ∵， ∴， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴； 当时，则，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若转射线后回旋， 当时，则，如图，    ∵， ． ， ． ． 当时，则，如图， 由题意得，， ， ∴， ∴ ∴； 当时，，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或或或或． 26．（21-22七年级下·北京·期中）如图，已知，E、F分别在、上，点G在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图1，若，则的度数为 ； ②如图2，在的下方有一点Q，平分，平分，求的度数； (2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；②(2) 【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作， ， ， ∴ ， ， 同理可得: ， ∵， ∴， ∵平分平分； ， ∴． 故答案为：． ②如图，过点Q作， ∵平分平分， ，， 设， ∵，， ， ∵， ， ， ， ， 由（1）可知， ∴． （2）解：如图，在的上方有一点O，若平分，线段的延长线平分， 设H为线段的延长线上一点，则，， 设，,， 如图，过点O作，则， ，， ， ， 由（1）可知：， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴． 27．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【问题情境】在数学课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动． 已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是与之间任意一点，连按、．直线，直线l分别交、于M、N两点． 【探索发现】（1）如图1，求证：； 【深入探究】（2）如图2，求证：； 【拓广探索】（3）如图3，平分，平分，过点F作的垂线交于点H，连接，，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）证明：直线， ， ∵， ， ∴； （2）证明：延长交于点 P，过点P作交于点 Q， ，， ， 直线， ∴， ； （3）解：设， ， 平分， ， ， ， ， ， 过点作， ， ， 平分， ， 过点作， ， ∵，， ∴， ∴， ， ， ∴． 28．（23-24六年级下·山东济南·期末）如图，已知． (1)感知与探究： 如图1，已知请求出的度数； (2)问题迁移： 如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展： 在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． 【答案】(1)(2)，(3) 【详解】（1）如图，过点C作， 则， ∴， ∴， ∴． （2）．理由如下： 如图，过点F作，过点C作， 则， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①②可得，即． （3）由（2）知，， ∵， ∴． 故答案为：． 29．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知分别在上． (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），若F在之间，平分，若，求与的数量关系； (3)如图（3），射线从开始，绕M点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕N点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于P，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间t秒的值． 【答案】(1)详见解析(2)(3)或10或14 【详解】（1）解：如图，过E作， ∴，① 又， ∴， ∴．② ①②得，， ∴． （2）解：如图， 设，则，设，则， 由(1)可知 同理可得 又， ∴， 则， 由，得， 由，得, 将，代入，得． （3）解：将直线的点M平移与直线的N点重合，如图， 根据题意得，，，则， ∵直线与直线相交所夹的锐角为， ∴， ∴，解得， 根据题意得，， ∵直线与直线相交所夹的锐角为， ∴， ∴，即，解得， 根据题意得，， ∵直线与直线相交所夹的锐角为， ∴， ∴，即，解得， 故满足题意得或10或14． 试卷第2页，共68页 68 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$ 完成时间： 月 日 天气： 作业14 相交线与平行线压轴题专练 1．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，与交于点，点在直线上，，，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·四川眉山·期末）已知直线，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（   ） ①如图1，若，，则； ②如图2，点在之间，当，，则； ③如图2，点在之间，当，，则； ④如图3，的角平分线交于，且，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级上·山东枣庄·期末）如图，在同一平面内，，，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（填序号） 4．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，射线在内部，射线在射线左侧，． (1)当时，试比较与的大小，并说明理由； (2)在（）的条件下，若，射线，分别平分与，求的度数； (3)若，，都在内部，过点作射线，使，试探究与的数量关系． 5．（24-25七年级上·广东广州·期末）以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即． (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则_____； (2)如图2，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置，使在内部，求与的数量关系； (3)直角三角板从边在射线上时，开始绕点顺时针以3度/秒的速度转动一周，同时射线绕点以1度/秒的速度先顺时针旋转到与射线重合，再绕点以相同速度逆时针旋转，随直角三角板的停止而停止．记旋转时间为秒，射线、形成的夹角（小于180度的角）为，射线、形成的夹角为，当时，求的值． 6．（24-25七年级上·广东珠海·期末）【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、），在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，；在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 【拓展探索】 （3）爱动脑筋的小林改变和各个角的度数，其中，按如图4所示摆放并分别作的角平分线和的角平分线，把绕点旋转一周，请直接写出与、的数量关系． 7．（24-25七年级上·江西新余·期末）如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于且小于的角）． (1)如图1，为直线上一点，，直接写出图中所有互为垂角的角； (2)如果一个角的垂角等于其补角的，求这个角的度数； (3)如图2，为直线上一点，，将整个图形绕点逆时针旋转，直线旋转到，旋转到，作射线，使，求：当为何值时，与互为垂角． 8．（24-25七年级上·吉林长春·期末）点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)若射线平分，如图1，若，求的度数． 请把下列解题过程补充完整： ，（已知）， ____________． 平分（已知）， ____________（角平分线定义）． （已知）， ____________． (2)在（1）的前提下，若，求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图2，反向延长，得到直线，若，平分，现将三角板以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒，当平分时，请直接写出t的值． 9．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）综合与实践 如图，O为直线上的一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，将三角板的一边与射线重合，此时______． (2)如图2，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，使得是平分线，求的度数． (3)如图3，将三角板持续绕点O逆时针旋转至内部，使得，求的度数． 10．（24-25七年级上·北京怀柔·期末）已知：如图1，在直线上取一点O，以点O为端点作射线，，分别作平分，平分，令，． (1)如图2，若与重合，其中，，则________； (2)如图3，B，C为直线同侧的点，，是钝角， ①依题意，在图3中画出射线及的平分线； ②求的度数（用含α的式子表示）； (3)当，都是锐角时，直接写出的角度（若不是确定角度则用含α，β的代数式表示）． 11．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）已知在同一平面内，，平分，平分． (1)如图1，当射线和射线重合时， ①__________，②__________，③图1中的余角是__________； (2)如图2，当射线在内部时，与互补，求的度数； (3)已知射线和在的外部，若，请写出与的数量关系，并说明理由． 12．（24-25七年级上·北京房山·期末）已知，从的顶点出发，在的内部作一条射线，若射线将分得的两个角中有一个角与相加和为，则称射线是的“角余分线”． 例如：如图，，射线在的内部，，，所以射线是的“角余分线”． (1)若，射线在的内部，且，则射线________（填“是”或“不是”）的“角余分线”； (2)若射线是的“角余分线”，且射线平分，则________； (3)已知，射线在的内部，射线是的角平分线，射线是的“角余分线”，若射线是的“角余分线”，请直接写出的度数． 13．（24-25七年级上·北京海淀·期末）设，，分别是、的角平分线，记．如果，互补，或者，互补，则称，是一对“分补角”． (1)如图，，在内，．分别作，的角平分线，则______，，______一对“分补角”（填“是”或“不是”）； (2)若，，且，是一对“分补角”，求的值； (3)如图，．若和是一对“分补角”，直接写出的所有可能值． 14．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）已知：点在直线上，点都在直线上（点在点的左侧），连接，，平分，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为线段上一动点，连接，且始终满足． ①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数； ②在点的运动过程中，与的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若不是，说明理由． 15．（23-24七年级上·山东济南·期末）【阅读探究】 （1）如图1，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数． 解：过点作， 所以______， 因为， 所以， 所以______， 因为， 所以． （2）从上面的推理过程中，我们发现平行线可将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系为________． 【方法应用】 （3）如图2，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数． 【应用拓展】 （4）如图3，分别是上的点，点在两平行线之间，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间），若，则的度数为________（用含的式子表示）． 16．（21-22七年级下·河北衡水·期末）【发现】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC． (1)当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB与CD的位置关系是______； 当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB与CD的位置关系是______； 当∠EAC+∠ACE＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由； (2)【探究】如图2，AB∥CD，M是AE上一点，∠AEC＝90°保持不变，移动顶点E，使CE平分∠MCD，∠BAE与∠MCD存在怎样的数量关系？并说明理由， (3)【拓展】如图3，AB∥CD，P为线段AC上一定点，Q为直线CD上一动点，且点Q不与点C重合．直接写出∠CPQ+∠CQP与∠BAC的数量关系． 17．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；（结果可用含的式子表示） (3)如图3，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 18．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知点均为定点，直线，点为射线上一个动点（点不与点A重合），连接． (1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数． (2)点为直线下方的动点，连接，使得平分， ①如图2，当点在线段上时，连接，若平分，探究与之间的数量关系，并证明； ②如图3，当点在直线的下方运动时（点在射线上），射线平分，点在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数． 19．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）问题情境：如图1，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究． (1)观察猜想：小明猜想，他过点作，如图2，请帮他完成证明过程． (2)深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明． (3)问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，，，，，，，并连接，，，，，．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图4）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，，，则________°． 20．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）已知直线，在三角形纸板中，． (1)将三角形按如图1放置，点和点分别在直线上，若，则__________； (2)将三角形按图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，．试求之间的数量关系； (3)在图2中，若，将三角形绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为秒．当三角形的一条直角边分别与平行时，求出相应的值（直接写出答案）． 21．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）【习题再现】（1）苏科版初中数学教材七上第194第10题：如图1，，点在，之间．写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【迁移思考】（2）小明在完成第10题的探究后，对该页的第5题又作了探究与变式思考： ①如图2，在长方体盒底部有一面平面镜，点处有一个光源，光线的入射角等于反射角，法线与平面镜垂直，即，垂足为，入射光线经过镜面发射后，恰好经过点．小明认为，图中，请帮小明说明理由； ②如图3，在长方体盒子里放置4块平面镜，其中，若光线从上的处射出，在平面镜上经点反射后，到达上的点，其传播路径为请判断与的数量关系，并说明理由． 22．（24-25八年级上·河南郑州·期末）综合与实践 学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，李凯和张芳将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，其中，，． (1)操作判断 若，则________；若，则________； (2)性质探究 由（1）猜想与的数量关系，并证明你的猜想； (3)拓展应用 当，且点在直线的上方时，这两个三角尺存在一组边互相平行，请直接写出所有可能的度数（不必说明理由）． 23．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 24．（22-23七年级下·广东深圳·期中）【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： （1）如图1所示，已知，点E为，之间一点，连接，，得到．请猜想与，之间的数量关系，并证明； （2）如图2所示，已知，点E为，之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数； 【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分与的平分线相交于点G，请直接写出与之间的数量关系 ； 【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件去掉，提出了以下问题： 已知与不平行，如图4，点M在上，点N在上，连接，且同时平分和，请直接写出，，之间的数量关系 ． 25．（24-25七年级下·全国·期末）如图，某段铁路两旁安置了，两盏可旋转探照灯．已知，，为上两点，连接， ，平分交于点，为上一点，连接． (1)__________； (2)如图，为上一点，连接．当，时，试说明：； (3)探照灯，射出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线从出发以每秒 的速度逆时针转动，探照灯射出的光线从出发以每秒 的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相平行或垂直时，请直接写出此时的值．    26．（21-22七年级下·北京·期中）如图，已知，E、F分别在、上，点G在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图1，若，则的度数为 ； ②如图2，在的下方有一点Q，平分，平分，求的度数； (2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 27．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【问题情境】在数学课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动． 已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是与之间任意一点，连按、．直线，直线l分别交、于M、N两点． 【探索发现】（1）如图1，求证：； 【深入探究】（2）如图2，求证：； 【拓广探索】（3）如图3，平分，平分，过点F作的垂线交于点H，连接，，，求的度数． 28．（23-24六年级下·山东济南·期末）如图，已知． (1)感知与探究： 如图1，已知请求出的度数； (2)问题迁移： 如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展： 在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． 29．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知分别在上． (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），若F在之间，平分，若，求与的数量关系； (3)如图（3），射线从开始，绕M点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕N点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于P，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间t秒的值． 试卷第2页，共68页 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$