第10讲 函数的单调性和最值（七大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第10讲 函数的单调性和最值 【人教A版2019】 模块一 函数的单调性 1．函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)常见函数的单调性： 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(,0)和(0,)； a<0时，单调递增区间是(,0)和(0,). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(,m]，单调递增区间是[m,)； a<0时，单调递减区间是[m,)，单调递增区间是(,m]. (4)单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的 单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单 调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). (5)复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法： ①定义法； ②图象法； ③利用已知函数的单调性. (2)复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 【例1】（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一上·湖南·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【题型2 利用函数的单调性求参数】 【例2】（24-25高一上·广东·期中）若二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数的图像如图所示，若在上单调递减，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高一上·广东·期中）已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用函数的单调性比较大小】 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一上·江苏苏州·期中）设则（   ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【题型4 利用函数的单调性解不等式】 【例4】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一上·山西·期中）已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高一上·福建福州·期中）定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 模块二 函数的最值 1．函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)x∈1，都有f(x)≤M； (2)x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)x∈1，都有f(x)≥m； (2)x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 2．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 【题型5 求函数的最值或值域】 【例5】（23-24高一下·安徽滁州·期末）若，则（    ） A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为6 D．最小值为6 【变式5.1】（24-25高一上·湖南·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高一上·吉林白城·期中）设函数，当时，的最小值为，则的最大值为（   ） A． B． C．2 D．1 【变式5.3】（24-25高一上·重庆·期末）已知函数，记该函数在区间上的最大值与最小值的差值为，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【题型6 根据函数的最值求参数】 【例6】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 【变式6.1】（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高一上·浙江·期中）已知，若是的最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型7 函数图象的应用】 【例7】（24-25高一上·北京·期中）已知函数的部分图象如下图所示，则 （    ）    A．3 B． C．15 D．9 【变式7.1】（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）如图所示是函数的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（    ）    A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域内是增函数 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 【变式7.2】（24-25高一上·重庆渝北·期中）函数的图象如图所示（图象与正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（   ）    A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．当时，有三个不同的值与之对应 D．当，时， 【变式7.3】（24-25高一上·安徽马鞍山·阶段练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 一、单选题 1．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 2．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设函数在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖北随州·阶段练习）若函数与在上都单调递减，则在上（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．先减再增 D．先增再减 4．（24-25高一上·福建泉州·期中）当时，下列函数的最小值不为4的有（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数满足，在上单调递减，，则的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·重庆·阶段练习）定义在上的函数，满足对任意，且，都有. 已知，则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则下列不正确的是（   ） A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 10．（24-25高一上·山西太原·阶段练习）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，的定义域为且，下列选项可判断为单调函数的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）定义，设，则（    ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的最大值为 . 13．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为 . 14．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数的定义域是且，当时，，且，满足不等式的的取值范围为 . 四、解答题 15．（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 16．（24-25高一上·广东肇庆·期中）已知函数，且，. (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 17．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知函数与在区间上都是增函数． (1)若求k的值； (2)求实数k的取值范围． 18．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数是定义在区间上的增函数，满足． (1)求和的值 (2)解关于的不等式． 19．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知函数，且，. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性并用单调性的定义证明你的判断； (3)若不等式恒成立，求的取值范围. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 函数的单调性和最值 【人教A版2019】 模块一 函数的单调性 1．函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)常见函数的单调性： 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(,0)和(0,)； a<0时，单调递增区间是(,0)和(0,). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(,m]，单调递增区间是[m,)； a<0时，单调递减区间是[m,)，单调递增区间是(,m]. (4)单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的 单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单 调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). (5)复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法： ①定义法； ②图象法； ③利用已知函数的单调性. (2)复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 【例1】（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】用函数单调性定义可判断得结果. 【解答过程】选项A：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为减函数，故A正确； 选项B：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故B错误； 选项C：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故C错误； 选项D：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故D错误； 故选：A. 【变式1.1】（24-25高一上·湖南·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出函数定义域，由复合函数单调性可知，只需求解在内的单调递增区间，结合开口方向和对称轴，得到答案. 【解答过程】由题意得，解得，故的定义域为， 由于在上单调递减，由复合函数单调性可知， 故只需求解在内的单调递增区间， 开口向下，对称轴为，故即为所求. 故选：B. 【变式1.2】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用分段函数以及二次函数的单调性求解. 【解答过程】当时，， 则在单调递减，单调递增， 当时， 则在单调递增， 所以的减区间为， 故选：B. 【变式1.3】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【解题思路】根据正比例函数、反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质、定义逐一判断即可. 【解答过程】函数在区间上均单调递增，因此当时，单调递增，A正确，B错误； 令，任取， 则， 当时，，，故在区间内单调递减； 当时，，故在上单调递增，C错误，D错误． 故选：A. 【题型2 利用函数的单调性求参数】 【例2】（24-25高一上·广东·期中）若二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据二次函数的图象和性质求解即可. 【解答过程】二次函数是开口向上，对称轴为的抛物线， 若在区间上单调递增，则，解得， 故选：A. 【变式2.1】（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数的图像如图所示，若在上单调递减，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据函数图象得到不等式组，解出即可. 【解答过程】由图可知在，上单调递减， 则或， 得或. 故选：B. 【变式2.2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复合函数单调性，结合定义域讨论可得. 【解答过程】若，则当时，函数单调递增， 又，函数在上单调递减， 若，则当时，函数单调递减， 只有时，才有可能使函数在上单调递减， ，解得 综上，实数的取值范围是 故选：A. 【变式2.3】（24-25高一上·广东·期中）已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值，得到不等式组，解得即可. 【解答过程】因为函数是上的增函数， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B. 【题型3 利用函数的单调性比较大小】 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据增函数的定义求解即可. 【解答过程】因为在上是增函数，且， 所以. 故选：. 【变式3.1】（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意确定对称轴为，进而确定函数单调性，由单调性即可判断. 【解答过程】由已知得函数的图象关于直线对称， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以．又，所以． 因为，所以． 故，即． 故选：D. 【变式3.2】（24-25高一上·江苏苏州·期中）设则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】构造函数，利用函数单调性比较大小. 【解答过程】设，当时，，则在单调递减， 所以在单调递减，所以，即. 故选：B. 【变式3.3】（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据得到，，然后根据单调性比较大小即可. 【解答过程】因为，所以，， 因为在上单调递减，所以. 故选：A. 【题型4 利用函数的单调性解不等式】 【例4】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的定义域与单调性将原不等式化为，从而可得答案. 【解答过程】因为函数是定义在上的增函数， 由，得， 解得，即， 故选：B. 【变式4.1】（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依题意根据函数单调性定义可得在上单调递增，原不等式等价于，即可解出. 【解答过程】由，得， 令，则，因此函数在上单调递增， 由，得， 由，得， 即，则，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 【变式4.2】（24-25高一上·山西·期中）已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用函数的单调性，再求解不等式. 【解答过程】因为，且， 令，得； 又因为， 所以即 因为在为增函数. 所以解得或. 即不等式的解集为 故选：A. 【变式4.3】（24-25高一上·福建福州·期中）定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，构造函数，变形给定不等式确定函数在上的单调性，进而求解不等式. 【解答过程】令，则，， 对，且，都有， 则，整理得， 所以函数在上单调递减， 不等式，因此， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 模块二 函数的最值 1．函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)x∈1，都有f(x)≤M； (2)x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)x∈1，都有f(x)≥m； (2)x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 2．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 【题型5 求函数的最值或值域】 【例5】（23-24高一下·安徽滁州·期末）若，则（    ） A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为6 D．最小值为6 【解题思路】先用定义法证明函数在单调递增，在单调递减，从而即可求出函数最大值. 【解答过程】任取， 则 ， 因为，所以，，故， 所以即， 所以在单调递增；同理可证在单调递减， 所以. 故选：A. 【变式5.1】（24-25高一上·湖南·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用函数的单调性求解. 【解答过程】由得，所以的定义域为． 因为与在上均为增函数， 所以在上为增函数， 所以，即函数的值域为. 故选：A. 【变式5.2】（24-25高一上·吉林白城·期中）设函数，当时，的最小值为，则的最大值为（   ） A． B． C．2 D．1 【解题思路】根据一次函数的单调性以及最值来求得正确答案. 【解答过程】， 当时，单调递减，在上的最小值为； 当时，，； 当时，单调递增，在上的最小值为， 因此 可得当时，取得最大值为1． 故选：D. 【变式5.3】（24-25高一上·重庆·期末）已知函数，记该函数在区间上的最大值与最小值的差值为，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【解题思路】根据的单调区间，分、、和讨论即可. 【解答过程】因为在单调递减，在单调递增， 若，即 时，则在上单调递减， 所以，此时的最小值为1． 若，即 ，则在上单调递增， 所以，此时的最小值为． 若且，即， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，此时的最小值为． 若且，即 ，则在上单调递减， 在上单调递增，所以，此时的最小值为． 综上，的最小值为． 故选：D. 【题型6 根据函数的最值求参数】 【例6】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 【解题思路】分、和三种情况讨论，研究其单调性，根据最大值建立方程求解即可. 【解答过程】因为，所以当时，在上单调递减， 则，解得 ，与矛盾，不符合题意； 当时，根据对勾函数单调性可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 所以，解得 ，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得 ，与矛盾，不符合题意； 综上所述， . 故选：D. 【变式6.1】（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对反比例型函数分离常数，由时的最小值为得到n，求出m范围. 【解答过程】由， 因为在上的最小值为， 所以时，， 所以， 易知反比例型函数在单调递减. 所以在处取到的最小值为， 即 ， 所以. 故选：D. 【变式6.2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由对勾函数的单调性可得，分，，三种情况讨论即可. 【解答过程】因为，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，， 函数的最大值，所以，舍去； 当时，，符合题意； 当时，， 则或， 解得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：. 【变式6.3】（24-25高一上·浙江·期中）已知，若是的最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由是函数的最小值，结合二次函数的性质知在，上单调递减，从而可得，再由分段函数的性质知，从而求实数的取值范围． 【解答过程】解：是函数的最小值， 在，上单调递减， ， 当时，在处有最小值， 即， 故， 即， 解得，， 综上所述，， 故实数的取值范围是，， 故选：B． 【题型7 函数图象的应用】 【例7】（24-25高一上·北京·期中）已知函数的部分图象如下图所示，则 （    ）    A．3 B． C．15 D．9 【解题思路】令，结合图象可知且，从而求得，，的值，即可求解. 【解答过程】令，所以， 由图可知方程的两个根为和，则， 又由图象可知，所以，则， 所以，解得， 所以， 所以，， 所以. 故选：. 【变式7.1】（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）如图所示是函数的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（    ）    A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域内是增函数 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 【解题思路】根据的取值范围可以得到函数的定义域和值域，判断AB两个选项；对于分段函数来讲，在每一段上都是增函数，在定义域内不一定是增函数，根据图象可以判断C；在范围内取，可以排除D. 【解答过程】A选项，函数在上没有定义，定义域应为，故A错误； B选项，值域是的取值范围，由图象可以看出值域为，故B正确； C选项，在定义域内取0和1，，而， 应该是在和上是增函数，故C错误； D选项，当时，，且由图象可知存在使得， 所以有两个自变量与对应， 正确的说法是“对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应”，故D错误. 故选：B. 【变式7.2】（24-25高一上·重庆渝北·期中）函数的图象如图所示（图象与正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（   ）    A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．当时，有三个不同的值与之对应 D．当，时， 【解题思路】利用图象可判断ABC选项的正误，由图象可得出函数在上的单调性，可判断D选项的正误. 【解答过程】对于A：由图象可知：函数在没有图象，故定义域不是，故A错误； 对于B：由图象可知函数的值域为，故B错误； 对于C：由图象可知，当时，有2个不同的值与之对应，故C错误； 对于D：由图象可知函数在上单调递减， 所以，当、时，不妨设，则，则，故D正确. 故选：D. 【变式7.3】（24-25高一上·安徽马鞍山·阶段练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 【解题思路】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果. 【解答过程】A选项，由函数图象可得，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A正确； B选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故B错； C选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故C错； D选项，由图象可得，为使直线与函数的图象有交点，只需，故D错. 故选：A. 一、单选题 1．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 【解题思路】利用函数的单调性求解即可. 【解答过程】因为在上单调递减， 所以当时取得最小值，， 故选：B. 2．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设函数在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】在本题中先求出函数的对称轴，再根据函数在区间上具有单调性，分类讨论，确定对称轴与区间的位置关系来求解的取值范围. 【解答过程】对于函数，可得对称轴为. 因为函数在区间上具有单调性，所以对称轴不在区间内. 当时，即，函数在区间上单调递增. 当时，即，函数在区间上单调递减. 所以的取值范围是或. 故选：D. 3．（24-25高一上·湖北随州·阶段练习）若函数与在上都单调递减，则在上（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．先减再增 D．先增再减 【解题思路】根据常见函数的性质，先判断出的符号，然后由二次函数的开口方向，对称轴范围进行判断. 【解答过程】根据正比例函数，反比例函数性质，若函数与在上都单调递减， 则，于是二次函数开口向下，对称轴， 于是在上单调递减. 故选：B. 4．（24-25高一上·福建泉州·期中）当时，下列函数的最小值不为4的有（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据基本不等式可得选项A、B错误；利用函数的单调性可得选项C正确、选项D错误. 【解答过程】A．， 取等号时，即，所以函数的最小值为，故不符合题意； B．， 取等号时，即，所以函数的最小值为，故不符合题意； C．根据对勾函数的单调性可知：在上单调递增， 所以函数最小值为：，故符合题意； D．因为在为单调增函数，所以函数的最小值为，故不符合题意. 故选：C． 5．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数满足，在上单调递减，，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意可知函数关于直线对称，进而分析单调性和符号，根据符号解不等式即可. 【解答过程】因为，可知函数关于直线对称， 又因为在上单调递减，， 则在上单调递增，， 可知当时，；当时，； 若，可得或，解得或， 所以的解集是. 故选：D. 6．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件可得，再利用单调性比较大小即得. 【解答过程】依题意，，由在上单调递减，，得， 所以. 故选：C. 7．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】作出函数的图象，由图象得到的单调递增区间，根据条件列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围. 【解答过程】作出函数的图象，如下图， 要使函数在上单调递增， 则或，解得或， ∴实数的取值范围为． 故选：A． 8．（24-25高一上·重庆·阶段练习）定义在上的函数，满足对任意，且，都有. 已知，则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 【解题思路】不妨设，则由，可得，构造函数，从而可得出函数的单调性，再根据函数的单调性解不等式即可. 【解答过程】由题意，不妨设， 则由，可得， 则， 所以， 令，则， 所以函数在上单调递减， 由，得， 由，得， 因为函数的定义域为，所以， 所以，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则下列不正确的是（   ） A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 【解题思路】根据函数的定义判断. 【解答过程】由已知，因此，A错； 不是单调增函数，例如且，B错； 定义域是，C错； 值域是，D正确 故选：ABC． 10．（24-25高一上·山西太原·阶段练习）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，的定义域为且，下列选项可判断为单调函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】A选项，由函数单调性定义得在上单调递减；B选项，变形得到，故，在上单调递增；C选项，变形得到，在上单调递增，D选项，易得或，不是单调函数. 【解答过程】A选项，，有， 由函数单调性定义得在上单调递减，A正确； B选项，， 因为，故，故， 由函数单调性定义得在上单调递增，B正确； C选项，，故， 由函数单调性定义得在上单调递增，C正确； D选项，由题意得或，不是单调函数，D错误. 故选：ABC. 11．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）定义，设，则（    ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 【解题思路】作出函数图象，根据图象逐项判断即可. 【解答过程】作出函数的图象，如图所示： 对于A，根据图象，可得无最大值，也无最小值，故A错误； 对于B，由图可知当，的最大值为，可得B正确； 对于C，由解得，并结合图象可得不等式的解集为，可得C正确； 对于D，由图可得，的单调递增区间为，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的最大值为 . 【解题思路】先求得题设函数的定义域，再分析得其单调性，从而得解. 【解答过程】对于，有，解得， 所以的定义域为， 又在上都是单调递增函数， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最大值，为. 故答案为：. 13．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为 . 【解题思路】由分段函数在上单调递增可得函数在每一段为增函数，且左侧的最大值小于等于右侧的最小值. 【解答过程】由题意得，在上单调递增，∴. 当时，，对称轴为直线， 要使在上单调递增，则， ∵在上单调递增，∴，解得， ∴实数a的取值范围为. 故答案为：. 14．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数的定义域是且，当时，，且，满足不等式的的取值范围为 . 【解题思路】利用函数的单调性定义得到在递减，然后将不等式，转化为求解. 【解答过程】解：， 任取，则， 因为时，，所以， ， 故， 所以，因此在递减， 不等式，即， ， 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【解题思路】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【解答过程】（1），且， 则 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 16．（24-25高一上·广东肇庆·期中）已知函数，且，. (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【解题思路】（1）由，代入直接可求； （2）根据函数单调性的定义证明单调性. 【解答过程】（1）因为， 所以，解得. （2）由（1）知：，在上的单调递减， 证明如下： 在上任取，且， ， ∵， ∴，，， ∴， ∴，在上的单调递减. 17．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知函数与在区间上都是增函数． (1)若求k的值； (2)求实数k的取值范围． 【解题思路】（1）由已知可得，进而可得，求解即可； （2）利用二次函数的单调性和反例函数的单调性可求得实数k的取值范围. 【解答过程】（1）因为，所以， 又，所以， 又所以，所以， 解得或（舍去），所以； （2）对于函数，它是二次函数，开口向下，对称轴为， 因为在区间上是增函数，所以， 对于函数，它是反比例函数向左平移2个单位得到的， 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增； 由在区间上是增函数，所以， 综上所述：实数k的取值范围为． 18．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数是定义在区间上的增函数，满足． (1)求和的值 (2)解关于的不等式． 【解题思路】（1）利用赋值法直接求解即可； （2）转化不等式，根据函数单调性直接求解. 【解答过程】（1）由题知，是定义在区间上的增函数， 且， 令，则，， 令，则， 即，. （2）因为是定义在区间上的增函数， 且，， 所以，等价于， 所以，解得， 即该不等式解集为. 19．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知函数，且，. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性并用单调性的定义证明你的判断； (3)若不等式恒成立，求的取值范围. 【解题思路】（1）由已知可得，计算即可求得的解析式； （2）函数在上单调递增，利用单调性的定义即可证明； （3）求得，利用单调性可得，求解即可. 【解答过程】（1）因为函数，且，， 所以，解得，所以； （2）函数在上单调递增，理由如下： ，且， ， 因为，，所以，， 所以，所以，所以， 所以在上的单调递增； （3）由（1）可得，解得，解得或， 所以， 又因为，由，可得， 由（2）可知在上的单调递增； 所以，解得或， 所以的取值范围为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$