第09讲 函数的概念及其表示（九大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第09讲 函数的概念及其表示 【人教A版2019】 模块一 函数的概念 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 4．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 5．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 【题型1 函数的概念的理解】 【例1】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【变式1.1】（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）下列图象中，不能作为函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知集合，，若，，则下列对应关系为上的一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高一上·山西大同·期中）下列关于，的关系中，是的函数的是（    ） A． B． C． D． 1 2 3 4 0 0 -6 1 【题型2 求函数的定义域】 【例2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）函数的定义域是（    ） A．R B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一上·陕西西安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高一上·河南漯河·阶段练习）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型3 求函数的值域】 【例3】（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知函数的定义域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高一上·江西·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【题型4 由函数的定义域或值域求参数】 【例4】（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一下·广东梅州·期中）已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【变式4.2】（24-25高一上·江苏常州·期中）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式4.3】（24-25高一上·四川广安·期中）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5 求函数值或由函数值求参】 【例5】（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）已知函数，且，则（   ） A．3 B．-3 C．17 D．-17 【变式5.1】（24-25高一上·陕西西安·期中）已知函数，则（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【变式5.2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 【变式5.3】（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）已知函数的定义域为，且，，则的值是（    ） A． B． C． D． 模块二 函数的相等 1．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数. 2．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 【题型6 判断两个函数是否相等】 【例6】（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式6.1】（24-25高一上·内蒙古包头·期中）下列各组中的两个函数是同一函数的是（    ） ①，；  ②，； ③，；         ④，． A．①② B．②③ C．③ D．③④ 【变式6.2】（24-25高一上·陕西渭南·期中）下列选项中表示同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式6.3】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）下列各组函数中，表示同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 模块三 函数的表示法 1．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 【题型7 函数的表示法】 【例7】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，下列图象能表示以为定义域，为值域的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）面积为的长方形的某边长度为，则该长方形的周长与的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高一上·广东佛山·期中）已知函数列表法表示如下，则下列说法正确的是（    ） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 3 A． B． C． D． 【变式7.3】（24-25高一上·全国·课后作业）某同学坐公交车去上学，出发一段时间后他妈妈发现他忘记带文具盒，于是开车去追，在公交换乘时追上他，把文具盒交给他后便开车回家，忽略两人见面的时间，以下哪个图象表示随着时间变化两人之间距离的变化（    ） A． B． C． D． 【题型8 函数解析式的求解】 【例8】（24-25高一上·全国·课后作业）若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高一上·云南文山·期中）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式8.2】（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【变式8.3】（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【题型9 分段函数】 【例9】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设，则的值为（    ） A．9 B．11 C．28 D．14 【变式9.1】（24-25高一上·山西太原·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式9.2】（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式9.3】（24-25高一上·江苏·期中）已知实数，函数若，则a的值为（    ） A．1 B． C． D．或 一、单选题 1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，则（   ） A．21 B． C． D．3 5．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）已知函数的定义域为，且，，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知，则的解析式为（    ）. A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）下列四个曲线中，可以作为函数图象的有（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·陕西西安·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 11．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 三、填空题 12．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数的值域为 . 13．（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知函数，则 ． 14．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域是 . 四、解答题 15．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）求下列函数的定义域. (1) (2) 16．（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）已知，． (1)求的定义域； (2)求，的值，的值域 17．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）根据下列条件，求函数的解析式. (1)已知函数是一次函数，若，求的解析式. (2)已知，求的解析式. 18．（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的定义域为，求实数的值； (3)若的定义域为，求实数的取值范围. 19．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 函数的概念及其表示 【人教A版2019】 模块一 函数的概念 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 4．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 5．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 【题型1 函数的概念的理解】 【例1】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【解题思路】根据函数的定义一一判断即可. 【解答过程】对于A，因为，但是没有意义，因此不符合题意，故A错误； 对于B，因为任意一个实数x的是一个确定的实数，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不符合函数的定义，故C错误； 对于D，因为集合A是自然数集，，但此时，所以y不是x的函数，故D错误. 故选：B. 【变式1.1】（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）下列图象中，不能作为函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数定义可得出结论. 【解答过程】根据函数的定义可知，C选项中存在一个对应两个值，不合乎函数的定义， ABD选项中，对于定义域内每一个值，都只有唯一的值与之对应，满足函数的定义. 故选：C. 【变式1.2】（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知集合，，若，，则下列对应关系为上的一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】依题意，A中的任意一个数，通过对应关系在B中都有唯一的数与之对应，据此逐项检验即可． 【解答过程】由函数的定义可知，要使应关系能构成从A到B的函数， 须满足：对集合A中的任意一个数，通过对应关系在集合B中都有唯一的数与之对应， 对于A选项，当时，，故不能构成函数； 对于B选项，当时，，故不能构成函数； 对于C选项，当时，，故不能构成函数； 对于D选项，集合A中的任意一个数，通过对应关系在集合B中都有唯一的数与之对应，故能构成函数. 故选：D． 【变式1.3】（24-25高一上·山西大同·期中）下列关于，的关系中，是的函数的是（    ） A． B． C． D． 1 2 3 4 0 0 -6 1 【解题思路】利用函数的定义逐项分析判断. 【解答过程】对于A，不等式的解集为，不是的函数，A不是； 对于B，当时，有两个与对应，不是的函数，B不是； 对于C，当时，有两个与对应，不是的函数，C不是； 对于D，对于的每一个值，都有唯一值与之对应，是的函数，D是. 故选：D. 【题型2 求函数的定义域】 【例2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）函数的定义域是（    ） A．R B． C． D． 【解题思路】利用具体函数定义域的求法求解即可. 【解答过程】根据题意，得到，解得且. 故定义域是. 故选：D. 【变式2.1】（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出函数的定义域，对于函数，可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域. 【解答过程】对于函数，有，可得， 故函数的定义域为， 对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故选：B. 【变式2.2】（24-25高一上·陕西西安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得的范围为，求解的范围，再结合分母不为0即可得解． 【解答过程】由题意得，解得， 由，解得， 故函数的定义域是， 故选：B． 【变式2.3】（24-25高一上·河南漯河·阶段练习）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】结合复合函数的定义域，建立使各个式子有意义的不等式求解可得. 【解答过程】由有意义，可得，解得. 要使函数有意义， 则，解得. 对函数，定义域为自变量的取值范围， 其中集合为非空数集， 所以函数的定义域为. 故A错误，D正确. 故选：D. 【题型3 求函数的值域】 【例3】（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知函数的定义域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直接计算出所有函数值即可. 【解答过程】因为， 所以函数的值域为. 故选：D. 【变式3.1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用分离常数法求解. 【解答过程】因为函数的定义域为， ， 所以函数的值域为. 故选：D. 【变式3.2】（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据二次函数的性质即可得到值域. 【解答过程】， 因为，所以的值域为，即， 故选：A. 【变式3.3】（24-25高一上·江西·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出函数的定义域，将函数变形成，再结合二次函数值域求解. 【解答过程】函数中，，， 则 ， 而，因此， 所以函数的值域为. 故选：A. 【题型4 由函数的定义域或值域求参数】 【例4】（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将问题转化为不等式恒成立问题，分类讨论与两种情况，结合根的判别式得到不等式，从而得解. 【解答过程】因为的定义域为， 所以不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，满足题意； 当时，则，解得； 综上，，即的取值范围是. 故选：D. 【变式4.1】（24-25高一下·广东梅州·期中）已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【解题思路】首先利用二次函数最值求出，则得到其单调性，则，代入计算即可. 【解答过程】的对称轴为，则，解得， 则在上单调递增， 所以，即， 所以，为方程的两个根， 即为方程的两个根，所以. 故选：D. 【变式4.2】（24-25高一上·江苏常州·期中）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】由题意可知不等式的解集为R，分情况讨论，即可求解. 【解答过程】当时，不等式恒成立. 当时，恒成立； 当时，则需满足， 综合可得的取值范围是. 故选：C. 【变式4.3】（24-25高一上·四川广安·期中）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意由二次函数值域利用判别式即可求得实数m的取值范围. 【解答过程】因为函数的值域为， 所以能取遍所有大于或等于零的实数， 即方程在实数范围内有解． 所以，解得． 故选：B． 【题型5 求函数值或由函数值求参】 【例5】（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）已知函数，且，则（   ） A．3 B．-3 C．17 D．-17 【解题思路】赋值计算即可. 【解答过程】在中取可得，所以， 故选：A. 【变式5.1】（24-25高一上·陕西西安·期中）已知函数，则（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【解题思路】根据解析式求函数值即可. 【解答过程】由， 所以. 故选：D. 【变式5.2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 【解题思路】根据题意，再用计算即可. 【解答过程】令，解得，则，则． 故选：D. 【变式5.3】（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）已知函数的定义域为，且，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用赋值法依次求出即可. 【解答过程】在中，令，则， 令，则，即， 在中，令，则，则， 令，则，令，则. 故选：A. 模块二 函数的相等 1．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数. 2．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 【题型6 判断两个函数是否相等】 【例6】（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【解题思路】分别求出各个函数的定义域，根据定义域不同可判断A，B，D；化简解析式可判断C. 【解答过程】对于A，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，且， 所以与是同一函数，故C正确； 对于D，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故D错误. 故选：C. 【变式6.1】（24-25高一上·内蒙古包头·期中）下列各组中的两个函数是同一函数的是（    ） ①，；  ②，； ③，；         ④，． A．①② B．②③ C．③ D．③④ 【解题思路】根据函数相等的概念逐项判断即可. 【解答过程】对于①，函数定义域为，函数的定义域为， 这两个函数的定义域不同，故两个函数不是同一函数； 对于②，函数、的定义域都为， 所以两个函数的定义域相同对应关系不相同，故两个函数不是同一函数； 对于③，函数、的定义域均为， 所以两个函数的定义域相同对应关系相同，故两个函数是同一函数； 对于④，由，解得， 所以函数的定义域为， 函数的定义域为，这两个函数的定义域不相同，故两个函数不是同一函数. 故选：C. 【变式6.2】（24-25高一上·陕西渭南·期中）下列选项中表示同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【解题思路】通过定义域和解析式都相同来判断是否是同一函数即可. 【解答过程】对于A．的定义域为，而定义域为R．故二者不是同一函数； 对于B．的定义域为R，的定义域为，故二者不是同一函数； 对于C．, 的定义域以及对应关系、值域都相同，故二者为同一函数； 对于D．的值域为，的值域为R．故二者不是同一函数． 故选:C． 【变式6.3】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）下列各组函数中，表示同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】由定义域和对应关系逐项判断即可； 【解答过程】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故A错误； 对于B，定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；故B错误； 对于C：的定义域均为，且，定义域和对应关系均相同，是同一函数，故C正确； 对于D：的定义域均为，且，对应关系不同，不是同一函数，故D错误； 故选：C. 模块三 函数的表示法 1．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 【题型7 函数的表示法】 【例7】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，下列图象能表示以为定义域，为值域的函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】观察选项ACD中函数的值域即可排除，观察分析选项B中函数的定义域与值域，从而得解. 【解答过程】A是函数的图象，值域为，与题干函数的值域为不符，故A错误； B是函数的图象，定义域为，值域为，故B正确； C是函数的图象，值域为，与题干函数的值域为不符，故C错误； D是函数的图象，值域为，与题干函数的值域为不符，故D错误. 故选：B. 【变式7.1】（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）面积为的长方形的某边长度为，则该长方形的周长与的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件长方形的一边长度为，则另一边长为，且，从而得到周长与的函数关系. 【解答过程】由条件长方形的一边长度为，且面积为. 则另一边长为，且. 所以该长方形的周长. 故选：C. 【变式7.2】（24-25高一上·广东佛山·期中）已知函数列表法表示如下，则下列说法正确的是（    ） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 3 A． B． C． D． 【解题思路】结合表格中的数据，代入即可得到正确答案. 【解答过程】由表格得，，，， 则，， ，， 因此，只有C选项正确. 故选：C. 【变式7.3】（24-25高一上·全国·课后作业）某同学坐公交车去上学，出发一段时间后他妈妈发现他忘记带文具盒，于是开车去追，在公交换乘时追上他，把文具盒交给他后便开车回家，忽略两人见面的时间，以下哪个图象表示随着时间变化两人之间距离的变化（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知条件进行分析，结合图象来确定正确答案. 【解答过程】设公交车行驶速度为，开车的速度为， 则该同学出门后到他妈妈发现他忘带文具盒这段时间两人之间的距离以的速度增大， 从妈妈出发到追上他这段时间两人之间的距离以的速度减小； 分别后两人之间的距离以的速度增大，C正确． 故选：C. 【题型8 函数解析式的求解】 【例8】（24-25高一上·全国·课后作业）若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答. 【解答过程】设，由题设有， 解得，所以． 故选：B． 【变式8.1】（24-25高一上·云南文山·期中）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用换元法求解即可. 【解答过程】令，则， 所以， 所以. 故选：D. 【变式8.2】（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【解答过程】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式8.3】（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用配凑法求出函数解析式. 【解答过程】依题意，，显然， 所以. 故选：B. 【题型9 分段函数】 【例9】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设，则的值为（    ） A．9 B．11 C．28 D．14 【解题思路】由，结合函数解析式可得，再由解析式求求结论. 【解答过程】因为，， 所以， 又，故，， 所以. 故选：B. 【变式9.1】（24-25高一上·山西太原·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由对分段函数的定义域的理解可得. 【解答过程】由， 得函数的定义域为. 故选：C. 【变式9.2】（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由分段函数的概念直接代入解析式计算即可. 【解答过程】因为，， 所以. 故选：B. 【变式9.3】（24-25高一上·江苏·期中）已知实数，函数若，则a的值为（    ） A．1 B． C． D．或 【解题思路】对a分类讨论判断出，在分段函数的区间段，代入求出函数值，解方程求出 【解答过程】解：①当时，，， 由， 得， 解得，不满足，故舍去; ②当时，，， 由， 得， 解得满足， 故 故选：B. 一、单选题 1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据偶次根式、分式有意义的条件列不等式，求解即可. 【解答过程】由题意得，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：D. 2．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出两个函数定义域以及化简对应关系，若两个函数定义域和对应关系都相同，则这两个函数相同，从而得到结果. 【解答过程】对A，的定义域为，的定义域为，故A错误； 对B，和的定义域均为，且，故B正确； 对C，的定义域为，的定义域为，故C错误； 对D，和的定义域均为，但，对应关系明显不同，故D错误. 故选：B. 3．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用分离常数法求解. 【解答过程】因为函数的定义域为， ， 所以函数的值域为. 故选：D. 4．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，则（   ） A．21 B． C． D．3 【解题思路】根据分段函数解析式计算可得. 【解答过程】因为， 所以. 故选：A. 5．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求． 【解答过程】在中，，∴， ∴的定义域是， 故在中，解得， ∴的定义域是. 故选：A. 6．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【解答过程】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 7．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）已知函数的定义域为，且，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用赋值法依次求出即可. 【解答过程】在中，令，则， 令，则，即， 在中，令，则，则， 令，则，令，则. 故选：A. 8．（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知，则的解析式为（    ）. A． B． C． D． 【解题思路】令，求得可得的解析式，再求即可. 【解答过程】令，解得 所以， 则， . 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）下列四个曲线中，可以作为函数图象的有（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由函数的定义，对于任何一个 ，都有唯一的 与之对应，即可判断. 【解答过程】根据函数的定义，在选项A、C、D中的图象中， 对于任何一个 ，都有唯一的 与之对应，所以可以作为函数图象， 选项B中，当 时，有2个 与之对应，不能作为函数图象. 故选：ACD. 10．（24-25高一上·陕西西安·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】逐项判断两函数的定义域与对应关系是否相同即可． 【解答过程】对于A，函数的定义域为，由，可得， 所以定义域为，但， 两函数定义域相同，对应关系不相同，不是同一函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，由，可得， 所以定义域为，但， 两函数定义域相同，对应关系相同，是同一函数，故B正确； 对于C，两个函数的定义域都为，且，， 两函数定义域，对应关系相同，是同一函数，故C正确； 对于D，两个函数的定义域都为，且，， 两函数定义域，对应关系相同，是同一函数，故D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【解题思路】对于A求抽象函数的定义域，由得即可判断，对于B判断是否是同一个函数只需判断定义域和对应关系即可，对于C由得，即即可判断，对于D消元法求函数解析式可判断. 【解答过程】对于A：由的定义域为，则，所以函数的定义域为，故A正确； 对于B：函数的定义域为，函数的定义域为，故B错误； 对于C：由，所以，函数的值域为，故C正确； 对于D：由，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数的值域为 . 【解题思路】求出函数的定义域，分离常数，结合反比例函数的值域即可得解. 【解答过程】函数的定义域为，， 而，则， 所以函数的值域是. 故答案为：. 13．（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知函数，则 ． 【解题思路】利用分段函数解析式先求，再求的值. 【解答过程】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 14．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域是 . 【解题思路】由求解即可. 【解答过程】由题意可得：， 解得：， 所以定义域是， 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）求下列函数的定义域. (1) (2) 【解题思路】（1）由解析式有意义可知，，联立求解即可； （2）由解析式有意义可知，，联立求解即可； 【解答过程】（1）解：由得且， 所以函数的定义域为； （2）由，得， 即且， 所以函数的定义域是. 16．（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）已知，． (1)求的定义域； (2)求，的值，的值域 【解题思路】（1）要使该函数有意义，只需满足，即可求得结果； （2）直接代入求值即可，求值域时，根据解析式的范围直接求解即可. 【解答过程】（1）因为， 所以，解得，且， 所以该函数的定义域为：且. （2）由知，， ， ， ，即的值域为. 17．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）根据下列条件，求函数的解析式. (1)已知函数是一次函数，若，求的解析式. (2)已知，求的解析式. 【解题思路】（1）利用待定系数法，设，求出即可； （2）利用换元法，令则，求出即可 【解答过程】（1）是一次函数，∴设（k） ，∴， ∴或或； （2）令，则， ， . 18．（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的定义域为，求实数的值； (3)若的定义域为，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）配方求解值域； （2）得到-2和1是方程的两个根，由韦达定理求解； （3）考虑，和时，结合开口方向和根的判别式得到不等式，求出实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，， 所以的值域为. （2）因为的定义域为， 所以-2和1是方程的两个根， 故，解得，检验符合，故,. （3）当时，，定义域为，符合题意； 当时，，定义域不为，不符合题意； 当时，由题意，在上恒成立， 令，解得， 综上所述，实数的取值范围. 19．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）根据的范围，分别将代入对应解析式即可求解. （2）对参数进行分类讨论，解方程求解即可. （3）对参数进行分类讨论，解不等式求解即可. 【解答过程】（1）依题意，，而, 所以. （2）当时，，解得，不合题意； 当时，，即，而，则； 当时，，解得，符合题意， 所以当时，或. （3）由，得或或， 解得或或或, 所以实数的取值范围是. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$