第二章 一元二次函数、方程和不等式综合检测卷（提高篇）-【暑假预科讲义】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程和不等式综合检测卷（提高篇） 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（5分）（24-25高一上·甘肃平凉·期末）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（5分）（24-25高一上·广东清远·期末）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．16 B．18 C．22 D．26 4．（5分）（24-25高一上·云南文山·期中）若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 5．（5分）（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 6．（5分）（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 7．（5分）（24-25高一上·云南昆明·期末）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金质量（    ） A．大于10克 B．小于10克 C．等于10克 D．当时，大于10克；当时，小于10克 8．（5分）（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知实数a，b，c满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（24-25高一上·四川眉山·期中）已知且，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为9 B．的最小值为6 C．的最大值为 D．的最小值为9 11．（6分）（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）设为实数，若，则的最大值是 ． 13．（5分）（24-25高一上·河北石家庄·期中）设表示，，中最大的数，设，且，则的最小值为 ． 14．（5分）（24-25高一上·福建福州·期中）若正实数、满足，不等式有解，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知实数满足： (1)，，求，的取值范围； (2)，，求的取值范围. 16．（15分）（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，关于x的一元二次不等式的解集为. (1)求b，c的值； (2)若为非负实数，解关于的不等式. 17．（15分）（24-25高一上·河北唐山·期中）已知，，且. (1)证明：. (2)求的最小值. 18．（17分）（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 19．（17分）（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知函数，． (1)当时，解不等式； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次函数、方程和不等式综合检测卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】解不等式，根据包含关系分析充分、必要条件. 【解答过程】由解得， 因为是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（5分）（24-25高一上·甘肃平凉·期末）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】举反例令可得A错误；由不等式的性质可得B错误；作差法可得C正确；举反例可得D错误. 【解答过程】对于A选项，当时不满足，故A错误； 对于B选项，由不等式性质知，两边同时乘以，可得，故B错误； 对于C选项，若，则，，，， 故，即，故C正确； 对于D选项，取，，可得，故D错误． 故选：C. 3．（5分）（24-25高一上·广东清远·期末）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．16 B．18 C．22 D．26 【解题思路】变形得到，，由基本不等式求出最小值. 【解答过程】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，此时的最小值为22． 故选：C. 4．（5分）（24-25高一上·云南文山·期中）若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】 依题意可得为关于的一元二次方程的两根且，利用韦达定理得到，再代入，解得即可. 【解答过程】因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以为关于的一元二次方程的两根且， 所以，所以， 则不等式即，因为， 所以，即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：B. 5．（5分）（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【解题思路】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【解答过程】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 6．（5分）（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【解题思路】将原不等式化为，按照与2的大小分类讨论解不等式，再结合解集中的整数个数建立不等式求解可得, 【解答过程】． 当时，不等式的解集为空集，不符合题意． 当时，不等式的解集为， 要使关于的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足解得． 当时，不等式的解集为， 要使关于的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足解得． 综上，实数的取值范围为. 故选：B. 7．（5分）（24-25高一上·云南昆明·期末）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金质量（    ） A．大于10克 B．小于10克 C．等于10克 D．当时，大于10克；当时，小于10克 【解题思路】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案. 【解答过程】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为， 所以，所以， 先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为. 由杠杆的平衡原理：，．解得，， 则. 下面比较与10的大小： 因为， 因为，所以，即， 所以这样可知称出的黄金质量大于. 故选：A. 8．（5分）（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用基本不等式进行代换，从而求出答案. 【解答过程】由，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以，解得或， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知实数a，b，c满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】应用作差法判断A、B、D，根据不等式的性质判断C. 【解答过程】A：，又， 所以，则，即，对； B：，且，而符号不定， 所以符号不定，错； C：由题设，若，则，错； D：，则，对. 故选：AD. 10．（6分）（24-25高一上·四川眉山·期中）已知且，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为9 B．的最小值为6 C．的最大值为 D．的最小值为9 【解题思路】根据基本不等式以及函数关系，可得答案. 【解答过程】对于A，由，则，当且仅当时等号成立， 整理可得，解得，即，故A正确； 对于B，由，则，当且仅当时等号成立， 整理可得，解得，故B正确； 对于C，由，当时，整理可得， 由，则，即，解得， 所以，故C错误； 对于D，由，当时，整理可得， 由，则，即，解得， 则， 当且仅当等号成立，故D错误. 故选：AB. 11．（6分）（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【解题思路】由题意可知，故A正确；由韦达定理可知，，结合即可求解不等式，从而验证B；由B选项分析可知，故C错误；由B选项分析可知不等式等价于，解不等式即可验证D. 【解答过程】因为关于的不等式的解集为或， 所以，故A正确； 由题意，方程 的根为，4， 则，， 所以，，所以，故C错误； 不等式，等价于，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 不等式等价于， 即为，解得或， 所以不等式的解集为或，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）设为实数，若，则的最大值是 ． 【解题思路】根据基本不等式的应用求解即可. 【解答过程】 ， ，当且仅当时，等号成立， 可得， 时取最大值， 故的最大值为. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高一上·河北石家庄·期中）设表示，，中最大的数，设，且，则的最小值为 ． 【解题思路】利用换元法可得，进而根据不等式的性质求解. 【解答过程】令其中， 所以， 因为，则，即， ， 则,故,则， 当且仅当且时等号成立， 如取时可满足等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一上·福建福州·期中）若正实数、满足，不等式有解，则的取值范围是 ． 【解题思路】利用基本不等式可求出的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解答过程】由已知可得， 所以 ， 当且仅当时，即当时取等号， 因为不等式有解，则有，即， 即，解得或， 所以的取值范围， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知实数满足： (1)，，求，的取值范围； (2)，，求的取值范围. 【解题思路】（1）根据同向不等式的可加性及同向不等式的可乘性即可求解范围； （2）利用待定系数法，结合不等式的性质即可求解. 【解答过程】（1）因为所以又因为，所以； 因为所以，又因为，所以; （2）令， 则，解得， 又因为，,所以， 所以. 16．（15分）（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，关于x的一元二次不等式的解集为. (1)求b，c的值； (2)若为非负实数，解关于的不等式. 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解以及根与系数关系求得. （2）对进行分类讨论，由此求得不等式的解集. 【解答过程】（1）因为不等式的解集为， 所以和是方程的两个根. 根据韦达定理，可得，. 解得，. （2）由（1）知，，则不等式为，即. 当时，不等式化为，解得. 当时，，不等式的解为. 当时，不等式化为，即，此时不等式无解. 当时，，不等式的解为. 综上所得，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为空集； 当时，解集为. 17．（15分）（24-25高一上·河北唐山·期中）已知，，且. (1)证明：. (2)求的最小值. 【解题思路】（1）由基本不等式即可直接求证； （2）由乘“1”法即可求解. 【解答过程】（1）证明：由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立. 因为，，且，所以，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以. 故，当且仅当时，等号成立. （2）解：因为，所以. 因为，，所以，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，所以， 则，即的最小值是16. 18．（17分）（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【解题思路】（1）由作差法证明； （2）由糖水不等式变形证明． 【解答过程】（1）， 因为，所以， 所以，即． （2）因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 又， 所以 所以原不等式成立． 19．（17分）（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知函数，． (1)当时，解不等式； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）利用十字相乘的方法解二次不等式即可； （2）利用参变分离的方法解恒成立问题，其中最值可由均值不等式求得； （3）将问题转化为，分类讨论求出，再解范围即可. 【解答过程】（1）当时，即， 所以，所以，所以或， 所以不等式的解集为或. （2）“对任意，都有恒成立”等价于“对任意，都有恒成立”， 因为时，（当且仅当时等号成立）， 所以即， 所以实数的取值范围是. （3）因为对，，使得不等式成立， 所以不等式， 因为， 所以在单调递增， 所以. 因为， 所以当，即时，在单调递增， 所以， 则成立，故； 当，即时，， 由得，所以； 当，即时，， 由得，所以. 综上所述，实数的取值范围是. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$