第06讲 角度计算七大几何模型（7个知识点+7个题型+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

第06讲 角度计算七大几何模型 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 第二步：练 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 8字模型】 【结论】如图，AC与BD相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D. 【证明】在△ABO中，∠A＋∠B＋∠AOB=180°.在△CDO中，∠C+∠D＋∠COD=180°. ∵∠AOB=∠COD，∴∠A＋∠B=∠C+∠D. 【知识点2 飞镖模型】 【结论】如图所示，已知四边形ABDC，则∠BDC=∠A+∠B+∠C. 【证明】如图,延长BD交AC于点E. ∠BEC是△ABE的外角，∵∠BEC=∠A+∠B.又∵∠BDC是△CDE的外角， ∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C. 【知识点3 A字模型】 【结论】如图所示，∠DAE的两边上各有一点B，C，连接BC，则∠DBC+∠ECB=180°+∠A. 【证明】∴∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC. 又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBC＋∠ECB=∠A＋∠ACB＋∠ABC＋∠A=180°＋∠A. 【知识点4 老鹰抓小鸡模型】 【结论】如图所示，∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE. 【证明】如图，连接AF. ∵∠DBF是△ABF的外角，∠FCE是△ACF的外角，∴∠FCE=∠CAF+∠CFA， ∴∠DBF＋∠FCE=∠BAF＋∠BFA+∠CAF+∠CFA=∠BAC+∠BFC， 即∠BAC+∠BFC=∠DBF＋∠FCE. 【知识点5 双内角平分线模型】 【结论】如图所示，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BDC =90°+∠A. 【证明】 设∠ABD=∠DBC=c，∠ACD=∠BCD=y. 由△ABC的内角和为180°,得∠A＋2x＋2y=180°.① 由△BDC的内角和为180°,得∠BDC＋x＋y=180°.② 由②得x＋y=180°-∠BDC.③ 把③代入①,得∠A＋2(180°-∠BDC)=180°，即2∠BDC=180°＋∠A， 即∠BDC =90°+∠A. 【知识点6 双外角平分线模型】 【结论】如图所示，∠ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，则∠BDC=90°- ∠A. 【证明】设∠EBD=∠CBD=x，∠BCD=∠FCD=y. 由△BCD的内角和为180°,得x＋y＋∠BDC=180°.① 易得2x＋2y=180°＋∠A.② 由①得x+y=180°-∠BDC.③ 把③代人②,得2(180°-∠BDC)=180°+∠A， 即2∠BDC=180°-∠A， 即∠BDC=90°- ∠A. 【知识点7 内外角平分线模型】 【结论】如图所示，∠ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，则∠D=∠A. 【证明】设∠ABD=∠DBC=x，∠ACD=∠ECD=y. 由外角定理得2y=∠A+2x ，① y=∠D+x.② 把②代人①,得2(∠D+x)=xA+2x , 即∠D=∠A. 【题型1 8字模型】 【例1】如图1，线段相交于点，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： (1)在图1中，证明：； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：_____个； (3)图2中，当度，度时，求的度数． (4)图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 【分析】（1）利用三角形的内角和定理与对顶角相等可得结论； （2）由交点有点，再分类确定即可得到答案； （3）由（1）可得， ，再两式相加，结合角平分线的定义可得，再把，代入计算即可得到答案； （4）由（1）可得，，再两式相加，结合角平分线的定义可得． 【详解】（1）证明：∵， 又∵， ∴； （2）交点有点， 以为交点的8字形有1个，为与， 以为交点的8字形有4个，为与，与，与，与， 以为交点的8字形有1个，为与， 所以，“8字形”图形共有6个． 故答案为：6； （3）由（1）可得，①， ②， ∵和的平分线和相交于点， ∴，， 由①+②，得， 即， 又∵，， ∴， ∴； （4）关系：． 理由：由（1）得①， ② ， ∵和的平分线和相交于点， ∴，， 由①＋②，得， ∴． 【变式1-1】如图，是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为 ． 【答案】208° 【分析】首先求出∠F+∠B＝∠D+∠EGD，然后证明出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，最后结合题干∠D＝28°求出∠A+∠B+∠C+∠F的度数． 【详解】解：∵如图可知∠BED＝∠F+∠B，∠CGE＝∠C+∠A， 又∵∠BED＝∠D+∠EGD， ∴∠F+∠B＝∠D+∠EGD， 又∵∠CGE+∠EGD＝180°， ∴∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°， 又∵∠D＝28°， ∴∠A+∠B+∠C+∠F＝180°+28°＝208°． 故答案为208°． 【变式1-2】如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP= ，然后利用三角形外角的性质即可得解； （2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解． 【详解】解：（1）∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF= ， ∵， ∴， ∴； （2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA， ∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP， ∠C+∠CBP=∠P+∠PDF， ∴∠A+∠C=2∠P， ∵∠A=42°，∠C=38°， ∴∠P=（38°+42°）=40°． 【变式1-3】【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D； 【简单应用】 （2）如图2， AP、CP分别平分∠BAD． ∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由． 【拓展延伸】 （4） ①在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： （用α、β表示∠P）； ②在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， 猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论．                   【答案】（1）见解析；（2）36°；（3）26°，理由见解析；（4）①∠P=②∠P= 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明； （2）直接利用（1）中的结论两次，两式相加，然后根据角平分线的性质求解即可； （3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题． （4）①同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题． ②同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题． 【详解】（1）在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°． 在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°． ∵∠AEB=∠CED， ∴∠A+∠B=∠C+∠D； （2）由（1）得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P， ∴∠1+∠B+∠4+∠D =∠3+∠P+∠2+∠P． ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°， ∴∠P=36°． （3）∠P=26°，理由是：如图3： ∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3． ∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB =∠B+∠4， ∴∠P+∠1=∠B+∠4． ∵∠P+（180°﹣∠2）=∠D+（180°﹣∠3）， ∴2∠P=∠B+∠D， ∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°． （4）①设∠CAP=m，∠CDP=n，则∠CAB=3m，，∠CDB=3n， ∴∠PAB=2m，∠PDB=2n． ∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB， ∵∠C=α，∠B=β， ∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n， ∴α－∠P = n－m，∠P－β=2n－2m=2（n－m）， ∴2α+β=3∠P ∴∠P=． 故答案为：∠P=． ②设∠BAP=x，∠PCE=y，则∠PAO=x，∠PCB=y． ∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D， ∴x+∠P=180°－y+∠D，∠B+2x=180°－2y+∠D， ∴∠P=． 故答案为：∠P=． 【题型2 飞镖模型】 【例2】如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将∠BCD （填“增大”或“减小”） °． 【答案】 增大 10 【分析】利用三角形的外角性质先求得∠ABE+∠ADE=30°，根据角平分线的定义得到∠ABC+∠ADC=60°，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图，连接AE并延长，连接AC并延长， ∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠BAD+∠ADE=100°， ∵∠BAD＝70°， ∴∠ABE+∠ADE=30°， ∵BE，DE分别是∠ABC、∠ADC平分线， ∴∠ABC+∠ADC=2（∠ABE+∠ADE）=60°， 同上可得，∠BCD=∠BAD+∠ABC+∠ADC=130°，130°-120°=10°， ∴∠BCD增大了10°． 故答案为：增大，10． 【变式2-1】在社会实践手工课上，小茗同学设计了如上图这样一个零件，如果，那么 ．    【答案】70 【分析】延长、，交于点G，连接，根据三角形内角和定理和四边形的内角和为即可求解． 【详解】解：延长、，交于点G，连接，如图，    ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：70． 【变式2-2】如图，若，则 ． 【答案】230° 【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论． 【详解】解：如图 ∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C， ∴∠E+∠D+∠C=115°， ∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B， ∴∠A+∠B+∠F=115°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°， 故答案为：230°． 【变式2-3】如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，求的度数； ③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2)①；②；③ 【分析】（1）首先连接并延长，然后根据外角的性质，即可判断出； （2）①由（1）可得，然后根据，，即可求出的值；②由（1）可得，再根据，求出的值；然后根据，即可求出的度数；③设，，结合已知可得，，再根据（1）可得，，即可判断出的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接并延长． 根据外角的性质，可得，， 又∵，， ∴， 故答案为：； （2）①由（1）可得， ∵，， ∴； ②由（1）可得， ∴， ∴， ∴； ③设，， 则，， 则，， 解得， 所以， 即的度数为． 【题型3 A字模型】 【例3】如图，将一个三角形剪去一个角后，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和定理的应用；根据三角形的外角的性质可得，由三角形内角和为180°，得度数． 【详解】解：如图所示    ． 故选：B． 【变式3-1】如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】根据平角的定义求出，再利用三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：如图 ，， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-2】探索归纳： (1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则______； (2)如图2，已知中，，剪去后成四边形，则______； (3)如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想与的关系是______； (4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用三角形的外角定理及直角三角形的性质求解； （2）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解； （3）根据（1）、（2）中思路即可求解； （4）根据折叠对应角相等，得到，，进而求出，，最后利用即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： 在中，由外角性质可知： ， ， ∴， ∵为直角三角形，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：如图所示： 在中，由外角性质可知： ，， ∵， ∴ ． （3）解：由（1）、（2）中思路，由三角形外角性质可知： ，， ∴ ， ∴与的关系是：， 故答案为：． （4）解：与的关系为：，理由如下： 如图， ∵是由折叠得到的， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴与的关系． 【题型4 老鹰抓小鸡模型】 【例4】把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质． （1）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题； （2）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题． 【详解】（1）解：． 证明：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 【变式4-1】如图，三角形纸片中，，，将纸片的角折叠，使点落在内，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形折叠中的角度问题，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点求得是解题的关键．延长，交于点，连接，利用三角形外角的定义可知，，从而得到，再根据三角形内角和求得，即可求得答案． 【详解】解：延长，交于点，连接，如图， 则， ，， ， 中，，， ， ， ， ． 故选：C． 【变式4-2】如图，在中，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D．60° 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、翻折变换等知识点，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 由折叠的性质得到，由三角形外角性质可得、，易得，则，即，然后求解即可． 【详解】解：如图所示： 由折叠的性质得：， 根据外角性质得：，， ∴， ∴，即． ∵ ∴． 故选：A． 【变式4-3】如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则∠A与∠1+∠2之间有始终不变的关系是（　　） A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2 C．3A=∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2） 【答案】B 【分析】本题问的是关于角的问题，当然与折叠中的角是有关系的，∠1与∠AED的2倍和∠2与∠ADE的2倍都组成平角，结合△AED的内角和为180°可求出答案． 【详解】∵△ABC纸片沿DE折叠， ∴∠1+2∠AED=180°,∠2+2∠ADE=180°， ∴∠AED= (180°−∠1),∠ADE= (180°−∠2)， ∴∠AED+∠ADE= (180°−∠1)+ (180°−∠2)=180°− (∠1+∠2) 在△ADE中,∠A=180°−(∠AED+∠ADE)=180°−[180°− (∠1+∠2)]= (∠1+∠2) 则2∠A=∠1+∠2，故选择B项. 【题型5 双内角平分线模型】 【例5】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度数． （2）当∠A为多少度时，∠BPC＝3∠A？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据角平分线的定义，求得，，再根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据（1）的方法求得，再结合条件∠BPC＝3∠A，解方程即可求得∠A． 【详解】（1）平分，平分， ， ∠ABC+∠ACB＝130°， ， ， （2）平分，平分， ， ， ， ， ∠BPC＝3∠A ， ． 【变式5-1】如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的角平分线BE和CF相交于点O，∠A＝60°，则∠BOC的大小为（　　） A．110° B．120° C．130° D．150° 【答案】B 【分析】由角平分线求出，然后在△ABC中，由∠A=60°即可求出∠ABC+∠ACB=120°，最后在△OBC中由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠OBC＝，， ∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝(∠ABC+∠ACB) ∵∠A＝60°， ∴∠OBC+∠OCB＝(180°﹣60°)＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣(∠OBC+∠OCB) ＝180°﹣60° ＝120°． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握角平分线的性质及三角形内角和定理是解决本题的关键． 【变式5-2】如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 【答案】C 【分析】连接先求解 再求解 可得 再利用角平分线的定义可得： 从而可得： 再利用三角形的内角和定理可得的大小. 【详解】解：连接 平分，平分， 故选： 【变式5-3】已知中，，在图（1）中、的角平分线交于点，则计算可得；    （1）在图（2）中，设、的两条三等分角线分别对应交于、，得到则 ； （2）在图（3）中请你猜想，当、同时n等分时，条等分角线分别对应交于、 ，则 （用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义及三等分线，n等分线的定义． （1）根据三角形的内角和等于得出，再由、的两条三等分角线分别对应交于得出的度数，进而可得出结论； （2）根据n等分的定义求出的度数，在中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解． 【详解】解：（1）在中，， ， 和分别是的三等分线， ； ． 故答案为：； （2）∵和分别是的n等分线， ； ． 故答案为：． 【题型6 双外角平分线模型】 【例6】如图，和是的外角，和分别是和的角平分线，延长和交于点．设，，则与之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角性质，角平分线的定义，对顶角的性质，三角形内角和定理，由三角形外角性质可得，，由角平分线定义得，，进而得，，再根据三角形内角和定理可得，即可得到，进而即可求解，掌握三角形外角性质是解题的关键． 【详解】解：由三角形外角性质可得，，， ∵和分别是和的角平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 【变式6-1】在中，的平分线与的平分线相交于点P．的外角平分线与的外角平分线相交于点Q，当，则 °； 【答案】115 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 由三角形内角和定理得 ，根据角平分线定义得，则，再根据三角形外角性质得，则 ，由此得，则，然后根据的平分线与的平分线相交于点．得 ，据此可得的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ， ， 由三角形外角性质得：， ， ， ， ∵的平分线与的平分线相交于点， ， ， ， 故答案为：115． 【变式6-2】如图，，分别是和的角平分线，交点是，，分别是和的角平分线，交点是，，在上，，在上，若，那么 ．    【答案】/69度 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理用表示和, 得到和的关系,得到答案. 【详解】解：∵分别是和的平分线， , 同理， 故答案为:. 【变式6-3】如图，，分别是的外角，的角平分线；，分别是，的角平分线；，分别是，的角平分线．当（　　）时，． A．45° B．50° C．60° D．120° 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义得出，根据平角为可得，从而得出，同理可得，然后根据两直线平行同旁内角互补得出，代入整理得出，最后根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】 ，分别是的外角，的角平分线 ， ，分别是，的角平分线 ， 同理，由于、分别是、的角平分线 ， 假设，根据两直线平行，同旁内角互补得 即 整理得， 故选C． 【题型7 内外角平分线模型】 【例7】如图，点D为边的延长线上一点，若，，的角平分线与的角平分线交于点M，则 度． 【答案】30 【分析】本题考查了三角形的外角定理，与角平分线有关的计算．解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，以及角平分线的定义． 先根据，，求出，进而得出，最后根据三角形的外角定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：30． 【变式7-1】如图，，、、分别平分、和．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】证明，由三角形外角得，且，得出，再由平行线的判定即可判断出①是否正确；由，得出，再由平分，所以，，进而可判断出②是否正确；假设平分，推出与题干不符的结论，进而可判断出③是否正确，由，利用角的关系得，进而可判断出④是否正确； 【详解】解：①∵平分的外角， ∴， ∵，且， ∴， ∴，故①正确； ②由（1）可知， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③若平分， ∴， ∵， ∴， ∴，与题干条件矛盾．故③错误. ④在中，， ∵平分的外角， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①②④ 【变式7-2】如图，点分别在上运动（不与重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．知道下列哪个条件①；②；③；④的值，不能求大小的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查三角形外角的性质与内角和定理，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得，可判断③，再利用三角形外角的性质得到，等量代换可判断②，根据三角形内角和定理及等量代换可判断①和④，即可求解． 【详解】解：∵是的平分线，的反向延长线交的平分线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴③能求出的大小； ∵， ∴， ∴②能求出的大小； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴①能求出的大小，④不能求出的大小； 故选：D． 【变式7-3】如图，在中，，的内角与外角的平分线相交于点，得到；与的平分线相交于点，得到；……按此规律继续下去，与的平分线相交于点，要使的度数为整数，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和，三角形的外角定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和是解题的关键．先根据外角和定理得出，再根据题意总结出规律，即可得到答案． 【详解】解：是的一个外角， ， 的内角与外角的平分线相交于点，得到；与的平分线相交于点， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， 的度数为整数，， 的最大值为． 故选B． 1．如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答． 【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40° ∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140° ∵在△DBC中，∠BDC=90° ∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90° ∴40°-90°=50° 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键． 2．如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，由题意平分，平分，推出，，设，设，，用含和的代数式表示和即可解决问题． 【详解】解：如图： 平分，平分， ，， 设，，， 由外角的性质得： ， ， ，解得， ， ．     故选：C． 3．如图，已知，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形内角和定理．连接．设与交于点，由三角形内角定理求出．再由三角形内角和定理和对顶角相等即可求出． 【详解】如图，连接．设与交于点， ，． ，， ， 故选：C． 4．小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形外角的性质，三角形内角和定理，对顶角，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 根据三角形的外角的性质分别表示出和，计算即可． 【详解】解：如图，    ∵，， ∵， ∴， ∵ ， 故选：B． 5．在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处．有以下四个结论： ①如图1，当点落在BC边上时，； ②如图2，当点落在△ABC内部时，； ③如图3，当点落在△ABC上方时，； ④当时，或，其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和及平行线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．由折叠的性质及三角形外角的性质、三角形内角和可判断①②③；分点落在△ABC上方与下方两种情况，由平行线的性质、折叠的性质、三角形外角的性质与三角形内角和即可判断④． 【详解】解：当点落在BC边上时， 由折叠性质得：， 则， ， 故①正确； 当点落在△ABC内部时， 由折叠性质得：， 又， ， ， ； 故②正确； 当点落在△ABC上方时， 由折叠性质得：， 又， ， ， ； 即； 故③正确； 当时， 若点在下方，如图， ， ； 由折叠性质得：， 即； 而， ， ， 即； 若点在上方，如图， ， ； 由折叠性质得：， ， 综上，或； 故④正确． 故选：D． 6．如图，在中，点D、E分别在边、上，如果，那么的大小为 ． 【答案】/240度 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，补角的计算，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形内角和的性质可得，再根据平角的定义，即可求得答案． 【详解】 ， ． 故答案为：． 7．如图，，都是的角平分线，且交于点，，，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线，利用角平分线的定义结合三角形内角和定理找出的度数是解题的关键．根据角平分线的定义可得出、，结合三角形内角和可得出，由三角形的三条角平分线交于一点，可得出平分，进而可得出的度数，此题得解． 【详解】解：平分，平分，，， ，， ． 的三条角平分线交于一点， 平分， ． 故答案为：． 8．如图，四边形中，与的角平分线相交于点P，若，则 °．    【答案】13 【分析】延长交于点D，与交于点E，根据三角形外角性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：延长交于点D，与交于点E，    根据三角形的外角的性质， ，， ∵与的角平分线相交于点P， ∴， ∴， 根据三角形的内角和定理， ， ∴， ∴， ∵， 所以， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了角的平分线计算，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握外角性质和角的平分线的意义是解题的关键． 9．如图， 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角可得外围六个角的和等于三个三角形的内角和减去一个三角形的内角和，由此即可求解． 【详解】解：如图： 由三角形内角和定理可得： ， ， , ， 又∵，，， ∴， ∵， ， , ∴ 故答案为：． 10．如图，在中，是边上的高，，分别是和的角平分线，它们相交于点，．求的度数．    【答案】． 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，以及余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确求出，从而求出答案． 根据角平分线的性质，由，得到，然后得到，由余角的性质，即可求出答案． 【详解】解：，分别是和的角平分线， ，． ， ， ． 是边上的高 ， ． 11．（1）如图1，这是一个五角星，求的度数． （2）如图2，如果点B向右移动到上，直接写出的度数． （3）如图3，当点B向右移动到的另一侧时，直接写出的度数． （4）如图4，求的度数． 【答案】（1）    （2）    （3）    （4） 【分析】本题考查的是三角形内角和定理及三角形内角与外角的关系，解答此类题目时利用三角形内角与外角的关系把多个角划到同一个三角形中，再利用三角形内角和定理解答即可． （1）先根据三角形外角的性质得出，，再由三角形内角和定理即可得出结论； （2）先根据三角形外角的性质得出，，再由三角形内角和定理即可得出结论； （3）延长交于点，再根据三角形外角的性质得出，，再由三角形内角和定理即可得出结论； （4）连接，利用三角形内角和定理结合四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）如图， 是的外角， ． 是的外角， ． ， ； （2）如图， 是的外角， ． 是的外角， ． ， ； （3）如图，延长交于点， 是的外角， ． 是的外角， ， ， ； （4）如图，连接， 则， ∴ ． 12．我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，，相交于点，连接，得到“8”字图形． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索与、间的关系； (3)如图3，点为延长线上一点，、分别是、的四等分线，且，，的延长线与交于点，请探索与、的关系．（直接写结论） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键； （1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，结合（1）的结论可得； （3）运用（1）和（2）的结论即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1， ，， ． （2）解：如图2， 和的平分线相交于点， ，， 由（1）可得：，， ， ． （3）由（1）得：， ， ， 设与的交点为点，则， 两式相减可得：， ， ， ， ， 即． 13．【探究】如图①，试说明； 【应用】 （1）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； （2）如图③，，，求的度数． 【答案】探究：见解析；应用：（1）；（2） 【分析】本题侧重考查三角形的外角性质及三角形内角和定理． 探究：连结，并延长，如图所示，先由外角的性质得①，②，再由①②即可得出结论； 应用：（1）先由三角形的内角和求出，得到，再由探究的结论得到，代入求值即可； （2）连结，由探究可知，，即可得到 ， 【详解】探究： 证明：连结，并延长，如图所示， 是的外角， ①， 是的外角， ②， ①②，得 ， 即； 应用： 解：（1），， ， ， 由探究可知； （2）连结，如图所示． 由探究可知③， ④， ③④，得 ， ． 14．中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点．令，，． (1)若点P在线段上，如图1所示，且，求的度数． (2)若点P在边上运动，如图2所示，则，，之间有何关系？猜想并说明理由． (3)若点P运动到边的延长线上，如图3所示，交于点M，，，之间的关系为__________． 【答案】(1)的度数为； (2) (3) 【分析】（1）由题意知，，，由，可得，整理得，，将代入，计算求解即可； （2）由（1）可知，； （3）由题意知，，，由，可得，整理即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∵， ∴，整理得，， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：，理由如下： 由（1）可知，； （3）解：由题意知，，， ∵， ∴，整理得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，四边形内角和．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 15．如图①，在 中，与的平分线相交于点P． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系． (3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数是或或或 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练掌握知识点及运用分类讨论思想是解题的关键． （1）在中，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，，求出，再在中，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据三角形外角性质得出，，求出，根据角平分线的定义得出，，求出，根据三角形内角和定理求出即可； （3）根据角平分线的定义得出，，根据三角形外角性质得出，求出，求出，分为四种情况：①，②，③，④，再求出答案即可． 【详解】（1）， ， 点是和的角平分线的交点， ，， ， ； （2），， ， 点是和的角平分线的交点， ，， ， ； （3）延长得射线， 为的外角的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， ， ， 即， ， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么分为四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，； ④，则，， 综合上述，的度数是或或或． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 角度计算七大几何模型 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 第二步：练 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 8字模型】 【结论】如图，AC与BD相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D. 【证明】在△ABO中，∠A＋∠B＋∠AOB=180°.在△CDO中，∠C+∠D＋∠COD=180°. ∵∠AOB=∠COD，∴∠A＋∠B=∠C+∠D. 【知识点2 飞镖模型】 【结论】如图所示，已知四边形ABDC，则∠BDC=∠A+∠B+∠C. 【证明】如图,延长BD交AC于点E. ∠BEC是△ABE的外角，∵∠BEC=∠A+∠B.又∵∠BDC是△CDE的外角， ∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C. 【知识点3 A字模型】 【结论】如图所示，∠DAE的两边上各有一点B，C，连接BC，则∠DBC+∠ECB=180°+∠A. 【证明】∴∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC. 又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBC＋∠ECB=∠A＋∠ACB＋∠ABC＋∠A=180°＋∠A. 【知识点4 老鹰抓小鸡模型】 【结论】如图所示，∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE. 【证明】如图，连接AF. ∵∠DBF是△ABF的外角，∠FCE是△ACF的外角，∴∠FCE=∠CAF+∠CFA， ∴∠DBF＋∠FCE=∠BAF＋∠BFA+∠CAF+∠CFA=∠BAC+∠BFC， 即∠BAC+∠BFC=∠DBF＋∠FCE. 【知识点5 双内角平分线模型】 【结论】如图所示，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BDC =90°+∠A. 【证明】 设∠ABD=∠DBC=c，∠ACD=∠BCD=y. 由△ABC的内角和为180°,得∠A＋2x＋2y=180°.① 由△BDC的内角和为180°,得∠BDC＋x＋y=180°.② 由②得x＋y=180°-∠BDC.③ 把③代入①,得∠A＋2(180°-∠BDC)=180°，即2∠BDC=180°＋∠A， 即∠BDC =90°+∠A. 【知识点6 双外角平分线模型】 【结论】如图所示，∠ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，则∠BDC=90°- ∠A. 【证明】设∠EBD=∠CBD=x，∠BCD=∠FCD=y. 由△BCD的内角和为180°,得x＋y＋∠BDC=180°.① 易得2x＋2y=180°＋∠A.② 由①得x+y=180°-∠BDC.③ 把③代人②,得2(180°-∠BDC)=180°+∠A， 即2∠BDC=180°-∠A， 即∠BDC=90°- ∠A. 【知识点7 内外角平分线模型】 【结论】如图所示，∠ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，则∠D=∠A. 【证明】设∠ABD=∠DBC=x，∠ACD=∠ECD=y. 由外角定理得2y=∠A+2x ，① y=∠D+x.② 把②代人①,得2(∠D+x)=xA+2x , 即∠D=∠A. 【题型1 8字模型】 【例1】如图1，线段相交于点，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： (1)在图1中，证明：； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：_____个； (3)图2中，当度，度时，求的度数． (4)图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 【变式1-1】如图，是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为 ． 【变式1-2】如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【变式1-3】【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D； 【简单应用】 （2）如图2， AP、CP分别平分∠BAD． ∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由． 【拓展延伸】 （4） ①在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： （用α、β表示∠P）； ②在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， 猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论．                   【题型2 飞镖模型】 【例2】如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将∠BCD （填“增大”或“减小”） °． 【变式2-1】在社会实践手工课上，小茗同学设计了如上图这样一个零件，如果，那么 ．    【变式2-2】如图，若，则 ． 【变式2-3】如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，求的度数； ③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数． 【题型3 A字模型】 【例3】如图，将一个三角形剪去一个角后，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【变式3-1】如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 【变式3-2】探索归纳： (1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则______； (2)如图2，已知中，，剪去后成四边形，则______； (3)如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想与的关系是______； (4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究与的关系，并说明理由． 【题型4 老鹰抓小鸡模型】 【例4】把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【变式4-1】如图，三角形纸片中，，，将纸片的角折叠，使点落在内，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在中，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D．60° 【变式4-3】如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则∠A与∠1+∠2之间有始终不变的关系是（　　） A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2 C．3A=∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2） 【题型5 双内角平分线模型】 【例5】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度数． （2）当∠A为多少度时，∠BPC＝3∠A？ 【变式5-1】如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的角平分线BE和CF相交于点O，∠A＝60°，则∠BOC的大小为（　　） A．110° B．120° C．130° D．150° 【变式5-2】如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 【变式5-3】已知中，，在图（1）中、的角平分线交于点，则计算可得；    （1）在图（2）中，设、的两条三等分角线分别对应交于、，得到则 ； （2）在图（3）中请你猜想，当、同时n等分时，条等分角线分别对应交于、 ，则 （用含n的代数式表示）． 【题型6 双外角平分线模型】 【例6】如图，和是的外角，和分别是和的角平分线，延长和交于点．设，，则与之间的数量关系为 ． 【变式6-1】在中，的平分线与的平分线相交于点P．的外角平分线与的外角平分线相交于点Q，当，则 °； 【变式6-2】如图，，分别是和的角平分线，交点是，，分别是和的角平分线，交点是，，在上，，在上，若，那么 ．    【变式6-3】如图，，分别是的外角，的角平分线；，分别是，的角平分线；，分别是，的角平分线．当（　　）时，． A．45° B．50° C．60° D．120° 【题型7 内外角平分线模型】 【例7】如图，点D为边的延长线上一点，若，，的角平分线与的角平分线交于点M，则 度． 【变式7-1】如图，，、、分别平分、和．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论有 ．（填序号） 【变式7-2】如图，点分别在上运动（不与重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．知道下列哪个条件①；②；③；④的值，不能求大小的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式7-3】如图，在中，，的内角与外角的平分线相交于点，得到；与的平分线相交于点，得到；……按此规律继续下去，与的平分线相交于点，要使的度数为整数，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 2．如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为(　　) A． B． C． D． 3．如图，已知，则等于（　　） A． B． C． D． 4．小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，则等于（　　）    A． B． C． D． 5．在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处．有以下四个结论： ①如图1，当点落在BC边上时，； ②如图2，当点落在△ABC内部时，； ③如图3，当点落在△ABC上方时，； ④当时，或，其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在中，点D、E分别在边、上，如果，那么的大小为 ． 7．如图，，都是的角平分线，且交于点，，，则的度数为 ． 8．如图，四边形中，与的角平分线相交于点P，若，则 °．    9．如图， 度． 10．如图，在中，是边上的高，，分别是和的角平分线，它们相交于点，．求的度数．    11．（1）如图1，这是一个五角星，求的度数． （2）如图2，如果点B向右移动到上，直接写出的度数． （3）如图3，当点B向右移动到的另一侧时，直接写出的度数． （4）如图4，求的度数． 12．我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，，相交于点，连接，得到“8”字图形． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索与、间的关系； (3)如图3，点为延长线上一点，、分别是、的四等分线，且，，的延长线与交于点，请探索与、的关系．（直接写结论） 13．【探究】如图①，试说明； 【应用】 （1）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； （2）如图③，，，求的度数． 14．中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点．令，，． (1)若点P在线段上，如图1所示，且，求的度数． (2)若点P在边上运动，如图2所示，则，，之间有何关系？猜想并说明理由． (3)若点P运动到边的延长线上，如图3所示，交于点M，，，之间的关系为__________． 15．如图①，在 中，与的平分线相交于点P． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系． (3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$