第05讲 三角形的外角（1个知识点+7个题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

第05讲 三角形的外角 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点 三角形的外角】 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 【题型1 三角形的外角的定义】 【例1】如图，点在线段的延长线上，过点作射线交于点，则下列是的外角的是（    ）    A． B． C． D． 【变式1-1】下图中∠1是三角形一个外角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1-2】如图，点在的边上，点在延长线上，下列是的外角的是（    ）    A． B． C． D． 【变式1-3】如图所示，下列说法错误的是（    ） A．∠ACD是△ABC的一个内角； B．∠BAD是△ABD的一个内角； C．∠BEC是△ACE的一个外角； D．∠AOC是△ABD的一个外角； 【题型2 三角形的外角性质简单应用】 【例2】如图，在中，点E在的延长线上，过点E作，交于点D，交于点F，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】将一副三角板按如图方式放置，使，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，，，，则 ． 【题型3 利用三角形的外角性质比较角的大小】 【例3】如图，、和的大小关系是(     ).    A． B． C． D． 【变式3-1】如图，有下列结论：①；②；③； ④．其中，正确的是 （填序号）． 【变式3-2】如图所示，P是内一点，延长交于点D，连接． (1)、、的大小关系是： ＞ ＞ ； (2)若，，，嘉嘉想求的度数，请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成求解． 思路一 先利用三角形内角和求出的度数，再利用三角形内角和求出的度数． 思路二 先利用三角形外角求出的度数．再利用三角形外角求出的度数． 【题型4 三角形的外角性质与折叠问题】 【例4】如图，在中，，点，分别是，延长线上的一点，连接，，将沿折叠得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在中，，将沿着直线折叠，点在落点的位置，则的大小是 度．    【变式4-2】如图，在中，，D，E分别为，上一点，将，分别沿，折叠，点A、B恰好重合于点处．若，则 ．    【变式4-3】将的顶角A沿直线DE折叠（如图），点A的对应点为点，记为，为． (1)如图1，当点A的对应点落在内部时，试探求与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点A的对应点落在外部时，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明． 【题型5 三角形的外角性质与单角平分线】 【例5】如图，在中，是边上的高，是的平分线，，交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，的外角的平分线交的延长线于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，是的角平分线，B、C、E共线，则、、之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，在中，点和分别是，上一点，，的平分线交于点，是的外角，若，，，则，，三者间的数量关系是（    ）    A． B． C． D． 【题型6 三角形的外角性质与双角平分线】 【例6】在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【变式6-1】如图，，点，是射线，上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D．随点，的移动而变化 【变式6-2】如图，AB∥CD，的平分线和的平分线的反向延长交于点E，且，则 度． 【变式6-3】【数学模型】 “8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，交于点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①（对顶角相等）；②． 【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点． (1)如图2，，，则的度数是多少呢？ 易证， 请你完成后续的推理过程： ______ ，分别是，的平分线 ， ______ 又， ______度． (2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是： ______． 【类比应用】 (3)如图3，的平分线与的平分线交于点． 已知：，，则______．（用、表示） 【题型7 求多个角度度数的和】 【例7】如图， ． 【变式7-1】如图，已知，则为 ． 【变式7-2】用三种不同的方法求图中五角星形的度数． 【变式7-3】计算不规程图形中多个角的度数和：    (1)如图①所示是一个五角星，你能计算出的大小吗？ (2)在图②③④⑤中，上面的结论还成立吗？不必说明理由． （注：在图②中，相当于图①中的） 1．如图，点B，C分别在∠EAF的边AE，AF上，点D在线段AC上，则下列是△ABD的外角的是（　　） A．∠BCF B．∠CBE C．∠DBC D．∠BDF 2．如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 3．一副三角板如图放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，的平分线与的平分线交于点E，且，则=（   ） A． B． C． D． 5．如图，等于（   ） A． B． C． D． 6．已知：，点B、C在的两边上，点P为平面内一点，且，则 ． 7．如图．是的外角的平分线．，．则的度数是 度． 8．如图是可调躺椅示意图，与的交点为，，，，，为了舒适，需调整的大小，使，且、、保持不变，则应调整为 度． 9．如图，在中，，、分别平分，，、、分别在、、的延长线上，、分别平分，，、分别平分、，则 ． 10．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点F，若，且，则的度数为 ． 11．如图，已知，，，，求的度数． 12．在中，，平分，点在射线上，连接，点在的延长线上． (1)如图，． ①若，分别求和的度数； ②若直线与的一条边垂直，求的度数； (2)若平分，请直接写出的度数． 13．如图，点C、D分别在的边上运动（不与点O重合）．射线与射线分别在和内部，延长与交于点F． (1)若，分别是和的平分线，猜想：的度数是否随C，D的运动发生变化？请说明理由． (2)若，，，则 ．（用含α、n的代数式表示） 14．（1）如图，求出的度数． （2）如图，求出的度数． 15．中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点，令，． 初探： （1）如图1，若点P在线段上，且，则________； （2）如图2，若点P在线段上运动，则之间的关系为__________； （3）如图3，若点P在线段的延长线上运动，则之间的关系为__________． 再探： （4）如图4，若点P运动到的内部，写出此时之间的关系，并说明理由． （5）若点P运动到的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时之间的关系，并说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 三角形的外角 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点 三角形的外角】 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 【题型1 三角形的外角的定义】 【例1】如图，点在线段的延长线上，过点作射线交于点，则下列是的外角的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，据此即可求解． 【详解】解：根据三角形外角的定义可知： 是的外角， 故选：C． 【变式1-1】下图中∠1是三角形一个外角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，进行判断即可． 【详解】解：由三角形外角的定义，可知，D选项中的∠1是三角形一个外角，其他的都不符合题意； 故选D． 【变式1-2】如图，点在的边上，点在延长线上，下列是的外角的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的外角的定义得出即可． 【详解】解：的一个外角是， 故选：C． 【变式1-3】如图所示，下列说法错误的是（    ） A．∠ACD是△ABC的一个内角； B．∠BAD是△ABD的一个内角； C．∠BEC是△ACE的一个外角； D．∠AOC是△ABD的一个外角； 【答案】D 【分析】根据三角形内角、外角的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、∠ACD是△ABC的一个内角，说法正确； B、∠BAD是△ABD的一个内角，说法正确； C、∠BEC是△ACE的一个外角，说法正确； D、∠AOC是△AEO的一个外角，原说法错误； 故选：D． 【题型2 三角形的外角性质简单应用】 【例2】如图，在中，点E在的延长线上，过点E作，交于点D，交于点F，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质，根据，结合，，即可求解． 【详解】解：∵为的外角， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 【变式2-1】如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．首先求出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：将一副三角板按如图方式叠放，如图，、、、标记如下： 由题意知：，， ， ， 故选：C 【变式2-2】将一副三角板按如图方式放置，使，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板的认识，三角形的外角，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由题意可知，，，由，得到，再结合，得到答案． 【详解】解：设与，分别交于点，，如图所示： 由题意可知，，， ， ， 是的外角， ． 故选：D． 【变式2-3】如图，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．连接并延长至点，利用，，得，即，代入，，即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长至点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【题型3 利用三角形的外角性质比较角的大小】 【例3】如图，、和的大小关系是(     ).    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 【变式3-1】如图，有下列结论：①；②；③； ④．其中，正确的是 （填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系； 根据三角形的外角大于不相邻的内角，三角形的内角和定理即可求解； 【详解】解：①，故①错误； ②，故②正确； ③，故③正确； ④，则；故④正确； 故答案为：②③④ 【变式3-2】如图所示，P是内一点，延长交于点D，连接． (1)、、的大小关系是： ＞ ＞ ； (2)若，，，嘉嘉想求的度数，请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成求解． 思路一 先利用三角形内角和求出的度数，再利用三角形内角和求出的度数． 思路二 先利用三角形外角求出的度数．再利用三角形外角求出的度数． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理； （1）根据三角形外角的性质可得，，然后可得答案； （2）思路一：先在中利用三角形内角和定理求出的度数，再在中利用三角形内角和定理求出的度数； 思路二：先利用三角形外角的性质求出的度数，再利用三角形外角的性质求出的度数． 【详解】（1）解：∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：；；； （2）思路一：在中，， ∴， 在中，， ∴； 思路二：∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴． 【题型4 三角形的外角性质与折叠问题】 【例4】如图，在中，，点，分别是，延长线上的一点，连接，，将沿折叠得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是折叠性质、外角性质，几何图形中角度计算问题，解题关键是熟练掌握折叠性质． 由折叠性质可得，，，再由外角性质推得即可得解． 【详解】解：由折叠性质可得，，， 点，分别是，延长线上的一点， ， 、分别是、的外角， ，， ， 即， ． 故选：． 【变式4-1】如图，在中，，将沿着直线折叠，点在落点的位置，则的大小是 度．    【答案】80 【分析】此题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，根据折叠得到，，利用得到，，根据三角形内角和定理得到，再利用外角性质得到，由此求出的度数． 【详解】解：如图，    由折叠得，， ∵， ∴， ∴，得， ∴， ∵，即， ∴， ∵, ∴ ∴ 故答案为80． 【变式4-2】如图，在中，，D，E分别为，上一点，将，分别沿，折叠，点A、B恰好重合于点处．若，则 ．    【答案】/127度 【分析】由折叠性质结合三角形外角的性质分析计算． 【详解】解：由折叠性质可得，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】将的顶角A沿直线DE折叠（如图），点A的对应点为点，记为，为． (1)如图1，当点A的对应点落在内部时，试探求与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点A的对应点落在外部时，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，证明见解析 【分析】此题主要考查折叠的性质、三角形外角的性质，掌握折叠前后图形对应角度相等和三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和是解题的关键． （1）利用三角形两次外角定理得出结论； （2）由三角形外角定理，再由折叠可得即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由见解析： 如图1，连接，    是的外角， ． 同理，． ． 由折叠性质得． ． （2），证明如下： 如图2，连接，    是的外角， ． 同理，． ． 由折叠性质得． ， ． 【题型5 三角形的外角性质与单角平分线】 【例5】如图，在中，是边上的高，是的平分线，，交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的有关计算，三角形的外角性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由直角三角形锐角互余以及角平分线得到，再由三角形的外角性质得到，即可求解． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故选：C． 【变式5-1】如图，的外角的平分线交的延长线于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的性质，关键在于能够巧妙的运用三角形外角的性质及角平分线的定义求解． 先根据邻补角的定义求得的度数，再利用角平分线的定义求得的度数，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．可知的度数即为的值． 【详解】解： ． ． 平分． ． 是的外角． ． 故选：B． 【变式5-2】如图，是的角平分线，B、C、E共线，则、、之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的定义，三角形的外角的性质，先设，利用外角可得，，再进一步可得结论． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴设， ∴，， ∴， ∴， 故选C 【变式5-3】如图，在中，点和分别是，上一点，，的平分线交于点，是的外角，若，，，则，，三者间的数量关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的性质、平行线的性质，根据三角形外角的性质可知，根据角平分线的性质可知，根据平行线的性质可知，利用三角形外角的性质可知，整理可得：． 【详解】解： 是的平分线， ， 是的外角， ， ， ， ， ， 又是的外角， ， ， 整理得：． 故选：D ． 【题型6 三角形的外角性质与双角平分线】 【例6】在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键； 由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④； 【详解】解：，的平分线交于点， ，， ， ， 故①正确，符合题意； 平分， ， ，， ， ， 故②正确，符合题意； 如图， ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 故③错误，不符合题意； ， ， ， ， 故④正确，符合题意； 综上正确的有：①②④； 故选：C 【变式6-1】如图，，点，是射线，上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D．随点，的移动而变化 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角性质和角平分线定义的应用．根据角平分线定义得出，，根据三角形外角性质得出，求出，即可求出答案． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式6-2】如图，AB∥CD，的平分线和的平分线的反向延长交于点E，且，则 度． 【答案】28 【分析】延长DC，交BG于M，设BG、EC交于点N，设，利用平行线的性质及外角的性质可得①，利用角平分线的定义和三角形的内角和定理可得②，再由①②整理得出③，结合已知条件即可求解． 【详解】 延长DC，交BG于M，设BG、EC交于点N， 设， ， ABCD， ， ，即①， 的平分线和的平分线的反向延长交于点E， ， ， 在和中，， ，即②， 联立①②，可整理得③， ④， 联立③④，可整理得， ， 故答案为：28． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点并准确作出辅助线是解题的关键． 【变式6-3】【数学模型】 “8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，交于点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①（对顶角相等）；②． 【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点． (1)如图2，，，则的度数是多少呢？ 易证， 请你完成后续的推理过程： ______ ，分别是，的平分线 ， ______ 又， ______度． (2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是： ______． 【类比应用】 (3)如图3，的平分线与的平分线交于点． 已知：，，则______．（用、表示） 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，掌握角平分线的性质和等量代换是解题的关键． （1）由题意易得，，然后再两式相加后，再根据角平分线的定义进行化简，最后将、代入计算即可； （2）利用（1）的相关结论即可解答； （3）如图3，延长交于点F，由三角形外角的性质，可得，又由角平分线的性质可得，再代入进行化简可得,最后将、代入即可解答． 【详解】（1）解：如图2，∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ， ∴ 故答案为：，，； （2）解：由（1）可得，即 故答案为； （3）解：如图3，延长交于F， ∵， ∴， ∵平分，平分, ∴， ∵， ∴ ， ∵，， ∴． 故答案为． 【题型7 求多个角度度数的和】 【例7】如图， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解； ∵， ∴． 故答案为：． 【变式7-1】如图，已知，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，由三角形外角性质得，，，即得，进而即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由三角形外角性质可得，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-2】用三种不同的方法求图中五角星形的度数． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质； 解法一：如图①，证明，．结合，即可得到答案； 解法二：如图②，作射线，同理可得：，结合，可得，再结合三角形的内角和定理可得答案； 解法三：如图③，连接，证明，结合，进一步可得答案． 【详解】解法一：如图①， ，分别是，的外角， ，． 在中，， ． 即．   解法二：如图②，作射线， 同理可得：， ∵， ∴， 又， ．   解法三：如图③，连接， 在中，， 在中，， ， ． 在中，， ， ， 即． 【变式7-3】计算不规程图形中多个角的度数和：    (1)如图①所示是一个五角星，你能计算出的大小吗？ (2)在图②③④⑤中，上面的结论还成立吗？不必说明理由． （注：在图②中，相当于图①中的） 【答案】(1) (2)成立 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角和定理． （1）根据三角形外角和定理将五个角转化到一个三角形内，可得答案； （2）仿照（1），解答②，再连接，标注和的交点为F，根据三角形内角和定理解答③，再仿照③解答④⑤即可． 【详解】（1）解：如图11-3-12①所示， ∵，， ∴． （2）解：图②成立， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， 图②成立； 如图③，连接，标注和的交点为F，    ∵，，且， ∴． ∵， ∴． 图③成立； 如图④，连接，标注和的交点为F，    ∵，，且， ∴． ∵， ∴， 图④成立； 如图⑤，连接，标注和的交点为F，    ∵，，且， ∴． ∵， ∴． 图⑤成立． 1．如图，点B，C分别在∠EAF的边AE，AF上，点D在线段AC上，则下列是△ABD的外角的是（　　） A．∠BCF B．∠CBE C．∠DBC D．∠BDF 【答案】D 【分析】三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角． 【详解】解：△ABD的一个外角是∠BDF， 故选：D． 2．如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查邻补角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 先根据邻补角性质求得，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．一副三角板如图放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质，对顶角相等，三角形内角和定理等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键．如图，由题意知，，由三角形外角的性质得到，求出，由对顶角的定义得到，再根据三角形内角和定理得到，最后由对顶角的定义即可得到结果． 【详解】解：如图，由题意知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4．如图，的平分线与的平分线交于点E，且，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是关键． 过点F作，由得，，即可解答． 【详解】解：过点F作，如图 ∴， ∵，的平分线与的平分线交于点E ∴，，， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选B． 5．如图，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由三角形外角的性质得到，，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图， ，， ， 故选：C． 6．已知：，点B、C在的两边上，点P为平面内一点，且，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形的内角和与三角形的外角性质，全面分类、熟练掌握三角形的内角和与三角形的外角性质是解题的关键； 分三种情况：当点P在的内部时，当点P在的外部时，若点P在上方，当点P在的外部时，若点P在下方，分别画出图形，利用三角形的内角和与三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：当点P在的内部时，如图，延长交于点D， 则， ∴； 当点P在的外部时，若点P在上方，如图，设交于点E， ∵， ∴， ∴； 当点P在的外部时，若点P在下方，如图，设交于点E， ∵， ∴， ∴； 综上： 或或； 故答案为：或或． 7．如图．是的外角的平分线．，．则的度数是 度． 【答案】75 【分析】本题主要查了三角形外角的性质．先根据角平分线的定义可得，然后根据三角形外角的性质解答，即可． 【详解】解：∵是的外角的平分线，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：75 8．如图是可调躺椅示意图，与的交点为，，，，，为了舒适，需调整的大小，使，且、、保持不变，则应调整为 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关键．连接，并延长至点，由内角和定理可得，由三角形外角的性质可得，求出的度数即可． 【详解】解：如图，连接，并延长至点， 在中，，， ， ， ，， ， ，， ， ， 应调整为． 故答案为：． 9．如图，在中，，、分别平分，，、、分别在、、的延长线上，、分别平分，，、分别平分、，则 ． 【答案】/44度 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和，三角形外角的性质， 先根据角平分线的定义得，进而求出，再根据角平分线的定义得，即可求出，接下来得出，然后根据角平分线的定义得，最后根据得出答案． 【详解】解：∵分别平分， ∴． ∵， 即， ∴． ∵分别平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵分别平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点F，若，且，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形外角性质，三角形内角和定理，折叠性质，平行线性质；由两直线平行同位角相等可得，由折叠性质可得，，再根据三角形外角性质可得，再根据折叠的性质即可得出最后结果． 【详解】解：如图： ， ， 将纸片沿折叠，使点A落在点处， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 11．如图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形外角性质、平行线性质、三角形内角和定理等知识点，弄清楚角之间的关系是解题的关键， 由三角形内角和定理以及已知条件可得，再根据平行线的性质可得，易得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】证明：，，， ， ∵， （两直线平行，内错角相等） ， ， （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 12．在中，，平分，点在射线上，连接，点在的延长线上． (1)如图，． ①若，分别求和的度数； ②若直线与的一条边垂直，求的度数； (2)若平分，请直接写出的度数． 【答案】(1)①，；②的度数为，或 (2)的度数为． 【分析】（1）①根据三角形外角的性质可以求出，根据角平分线的定义可以求出，根据平行线的性质可得；②若直线与△的一条边垂直，则要分当时、当时、当时三种情况分类讨论； （2）根据三角形外角的性质和角平分线的定义可知，再利用三角形外角等于与它不相邻的两内角之和可以求出结果． 【详解】（1）解：①，， ； 平分， ， ， ； ②， ， 当时，如下图所示，； 当时，如图，， ； 当时，如图， ． 综上，当直线与△的一条边垂直时，的度数为，或； （2）解：， 平分， ， ， 即的度数为． 13．如图，点C、D分别在的边上运动（不与点O重合）．射线与射线分别在和内部，延长与交于点F． (1)若，分别是和的平分线，猜想：的度数是否随C，D的运动发生变化？请说明理由． (2)若，，，则 ．（用含α、n的代数式表示） 【答案】(1)的度数不变， (2) 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义． （1）依据是的外角，即可得到，再根据分别是和的平分线，可得，，再根据是的外角，即可得到，进而得到的度数不变； （2）利用（1）中的方法进行计算即可得到的度数． 【详解】（1）解：的度数不变． 是的外角， ， 分别是和的平分线， ，， 是的外角， ， 的度数不变． （2）如图，是的外角， ， ，，且是的外角， ； 故答案为：． 14．（1）如图，求出的度数． （2）如图，求出的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了三角形外角的性质、多边形的外角和定理、四边形的内角和定理等知识． （1）根据三角形外角的性质得到，，再用多边形外角和定理即可求解； （2）根据三角形外角的性质得到，再用四边形内角和为即可求解． 【详解】解：（1）∵是的外角， ∴， 同理， ∵三角形的外角和为， ∴， （2）∵是的外角，是的外角， ∴， ∵四边形内角和为， ∴ 15．中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点，令，． 初探： （1）如图1，若点P在线段上，且，则________； （2）如图2，若点P在线段上运动，则之间的关系为__________； （3）如图3，若点P在线段的延长线上运动，则之间的关系为__________． 再探： （4）如图4，若点P运动到的内部，写出此时之间的关系，并说明理由． （5）若点P运动到的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）130 （2） （3） （4），理由见解析 （5）或，图见解析，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，对顶角相等等，熟知三角形外角的性质是解题的关键． （1）如图1所示，连接，证明即可得到答案； （2）只需要证明即可得到答案； （3）利用三角形外角的性质求解即可； （4）利用三角形外角的性质求解即可； （5）根据题意画出图形，利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图1所示，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴ 故答案为：； （3）解：设与交于F， ∵，， ∴， 故答案为：； （4）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴； （5）解：如图5-1所示， ∵， ∴ 如图5-2所示， ∵， ∴ 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$