22.3 实际问题与二次函数 第3课时 课件- 2025-2026学年九年级数学人教版上册

实际问题与二次函数第 3 课时 建立适当坐标系解决实际问题 第二十二章　二次函数 22.3 1 探究与应用 课堂小结与检测 探究与应用 问题情境 图22-3-6中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m.水面下降1 m,水面宽度增加多少? 请按下面提供的方法画图建立坐标系, 求出函数解析式并解决问题. 活动　能正确建立坐标系,并运用二次函数的图象、性质解决 拱桥类实际问题 图22-3-6 返回目录 3 方法一:以水面所在直线为x轴,抛物线的对称轴与水面的交点为原点建立直角坐标系. 图22-3-6 解:方法一:如图①所示. 由题意,设抛物线的解析式为y=ax2+b. ∵当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m, ∴C(0,2),B(2,0). 返回目录 将(0,2),(2,0)代入y=ax2+b,得 解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2+2. 当水面下降1 m时,水面的纵坐标为-1. 令y=-1, 则-1=-x2+2, 返回目录 解得x=±, ∴此时水面宽度为-(-)=2(m), ∴水面下降1 m,水面宽度增加(2-4)m. 返回目录 方法二:以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立直角坐标系. 图22-3-6 方法二:如图②所示. 由题意,设抛物线的解析式为y=ax2. 由抛物线经过点(2,-2),得-2=a×22, 解得a=-, ∴y=-x2. 返回目录 当水面下降1 m时,水面的纵坐标为-3. 令y=-3,则-x2=-3, 解得x=±, ∴此时水面宽度为-(-)=2(m), ∴水面下降1 m,水面宽度增加(2-4)m. 返回目录 方法三:以抛物线与水面的左侧交点为原点,水面所在直线为x轴建立直角坐标系. 图22-3-6 方法三:如图③所示. 由题意知,抛物线与x轴的交点为(0,0),(4,0), 其顶点坐标为(2,2). 设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+2. 将(0,0)代入,得4a+2=0, 解得a=-, 返回目录 ∴抛物线的解析式为y=-(x-2)2+2,即y=-x2+2x. 当水面下降1 m时,水面的纵坐标为-1. 令y=-1,则-x2+2x=-1, 解得x1=2+,x2=2-, ∴此时水面宽度为(2+)-(2-)=2(m), ∴水面下降1 m,水面宽度增加(2-4)m. 返回目录 比较上面的三种方法,你觉得哪种方法更简便? 比较上面的三种方法,方法二更简便. 返回目录 同一个问题中,建立平面直角坐标系的方法有多种,建立适当的平面直角坐标系能简化求解过程.通常以已知点所在的位置为原点建立平面直角坐标系,以方便求解为原则. 作 比较 返回目录 12 (教材补充例题)如图22-3-7①,悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索,其形状可近似地看作抛物线,水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m, 主悬钢索最低点离桥面的 高度为0.5 m. 理解应用 例 图22-3-7 返回目录 (1)若以桥面所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图②所示,求这条抛物线的解析式; 图22-3-7 解:(1)由题意,得抛物线的顶点坐标为(0,0.5). 设抛物线的解析式为y=ax2+0.5. 将(450,81.5)代入,得81.5=a·4502+0.5, 解得a=, ∴这条抛物线的解析式为y=x2+0.5(-450≤x≤450). 返回目录 (2)分别计算与桥两端主塔的距离为100 m,50 m处垂直钢索的长. 图22-3-7 (2)当x=450-100=350时,y=×3502+0.5=49.5; 当x=450-50=400时,y=×4002+0.5=64.5. 故与桥两端主塔的距离为 100 m,50 m处垂直钢索的 长分别为49.5 m,64.5 m. 返回目录 利用二次函数解决拱桥类问题的步骤 (1)建立恰当的平面直角坐标系; (2)把实际问题中的相关数量转化成点的坐标; (3)利用待定系数法确定二次函数的解析式; (4)利用函数解析式,由一个量求得另一个量,或由一个量的取值范围求得另一个量的取值范围,并用所得的结果来描述实际问题. 建 模型 返回目录 16 | 认知逻辑 | 课堂小结与检测 实际问题 (桥梁、隧道) 构造 二次函数模型 解决实际问题 有坐标系 没有坐标系 根据题意设合适的解析式 把已知数据转换为点的坐标代入解析式，求出解析式 建立合适的坐标系 根据自己建立的坐标系设合适的解析式 把已知数据转换为点的坐标代入解析式，求出解析式 返回目录 17 | 课堂检测 | 1.小明以二次函数y=2x2-4x+8的图象为灵感设计了一款杯子,如图22-3-8为杯子的设计稿.若AB=4,DE=3,则杯子的高CE为 (　　) A.14 B.11 C.6 D.3 图22-3-8 B 返回目录 2.如图22-3-9所示是一学生推铅球时铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数图象,则铅球推出的水平距离是　　　　m.  图22-3-9 10 返回目录 3.如图22-3-10①,“东方之门”通过简单的几何曲线处理,将传统文化与现代建筑融为一体,最大程度地传承了苏州的历史文化.如图②,“门”的内侧曲线呈抛物线形,已知其底部宽度为80 m, 高度为200 m.求离地面150 m处的 水平宽度(即CD的长)为多少米. 图22-3-10 返回目录 解:以底部AB所在的直线为x轴,以线段AB的垂直 平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图, ∴A(-40,0),B(40,0),E(0,200). 设抛物线的解析式为y=a(x+40)(x-40). 将(0,200)代入,得200=a(0+40)(0-40), 解得a=-, 图22-3-10 y x E O A B 返回目录 ∴抛物线的解析式为y=-(x+40)(x-40)=-x2+200. 将y=150代入,得-x2+200=150, 解得x=±20,∴C(-20,150),D(20,150), ∴CD=40,即离地面150 m处的水平宽度 (即CD的长)为40 m. 图22-3-10 y x E O A B 返回目录 $$