2025年九年级中考数学（培优辅差）基础知识专题训练四：三角形

2025年九年级中考数学（培优辅差）基础知识专题训练 专题四 三角形 基础点26 直线、线段、角的相关概念及计算 1.一般地，射击时要保证瞄准的目标在准星和缺口确定的直线上，这样才能击中目标，其中蕴含的数学原理是 ( ) A.两点确定一条直线 B.垂线段最短 C.直线的两端是无限延伸的 D.两点之间，线段最短 2.秦岭终南山公路隧道是我国自主设计、施工的世界最长的双洞单向公路隧道，隧道线形为直线，一度被誉为“天下第一隧”.建成后通行里程和行车时间都大大缩短.这其中的原理是 ( ) A.两点确定一条直线 B.垂线段最短 C.直线的两端是无限延伸的 D.两点之间，线段最短 3.如图，利用量角器测量角，则∠AOB 的度数为 ( ) A. 100° B. 90° C. 80° D. 70° 4.木匠师傅想要在一平面内的直线MN上找一点P，使得点 P到A点和B点的距离之和最短，下列选项中，点P到A点和B点的距离之和最短的是 ( ) 5.∠A 的补角为68.5°,则∠A 的度数是 ( ) A. 111°5' B. 111°30' C. 121°30' D. 21.5° 6.如图,∠AOC和∠BOD都是直角,∠AOD=63°,则∠BOC的度数是 . 7. 点A,B,C在同一条直线上,AB=6,BC=2,M为AB的中点,N为BC的中点，则MN的长为 . 8.如图，点A在射线OP上，OA=2，将OA绕点O按逆时针方向旋转40°得到OA',则点A'的位置可以表示为(2,40°),若点B也在射线OP上,OB=2OA,将OB绕点O按顺时针方向旋转120°得到OB'，则点 B'的位置可以表示为 . 基础点27 相交线与平行线 1.小明想利用三角尺验证直线m∥n，下列验证方式正确的是 ( ) 2.如图，某公司要在采矿区边缘CD上建一个矿石分拣站，再将分拣好的矿石装车运往A处的精炼厂.他们的做法是：过点A作AB⊥CD 于点B，并将矿石分拣站建在了 B处，这样做转运矿石所用时间最少，其数学原理是 ( ) A.过一点可以作无数直线 B.垂线段最短 C.过两点有且只有一条直线 D.两点之间线段最短 3.将一个含45°角的直角三角板如图放置，直线a∥b，若∠1=75°，则∠2的度数为 ( ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 4. 如图,直线AB 与直线 CD 交于点 O,OE⊥AB.若∠DOE=134°,则∠AOC的大小为 ( ) A. 34° B. 36° C. 44° D. 46° 5.汽车前照灯主要由灯泡、反光镜和配光镜三部分组成.如图，光源位于焦点处,光线经反射后平行地面射出,已知∠1=20°,∠3=56°,则∠2的度数为 ( ) A. 20° B. 26° C. 36° D. 76° 6.下面是小明同学完成的一道作业题，在※处填写的依据应是 ( ) 题目:如图,已知∠A+∠D=180°.求证:∠DCP=∠B. 证明:∵∠A+∠D=180°(已知), ∴AB∥CD(※), ∴∠DCP=∠B(两直线平行,同位角相等). A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.两直线平行，同旁内角互补 学科网（北京）股份有限公司 基础点28 定义、命题与定理 1.下列四个选项中不是命题的是 ( ) A.过直线外一点作直线的垂线 B.两直线平行，内错角相等 C.负数都小于零 D. 如果a=b,a=c,那么b=c 2.下列命题是真命题的是 ( ) A.如果 则x>0 B.三角形的外角大于任意一个内角 C.相等的两个角是对顶角 D.平行于同一条直线的两条直线平行 3.能说明命题“两锐角之和是钝角”是假命题的反例可以是 ( ) D. ∠A=50°,∠B=80° 4.如图，用反证法证明“若AB∥CD，则∠1=∠2”，应先假设 ( ) A. ∠1>∠2 B. ∠1<∠2 C. ∠1≠∠2 D. AB 不平行CD 5.老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是嘉琪给出的证明过程： 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是 ( ) 证明:如图,∵b⊥a, ∴∠1=90°. ∵c⊥a, ∴∠1=∠2, ∴b∥c. A.同位角相等，两直线平行 B. 在同一平面内,若b∥c,且b⊥a,则c⊥a C. 在同一平面内,若b⊥a,且c⊥a,则b∥c D.两直线平行，同位角相等 6.命题“负数的正整数次幂是负数”是 命题.(填“真”或“假”) 7.命题“互为相反数的两个数和为0”的逆命题是 ，该逆命题是 命题.(填“真”或“假”). 8. 用一组a，b，c的值说明命题“若ac>bc，则a>b”是假命题，这组值可以是 学科网（北京）股份有限公司 基础点29 三角形的基本性质 1.一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可能为 ( ) A. 1 B. 7 C.9 D. 10 2. 如图,在△ABC中,∠A=70°,点D在BC的延长线上,∠ACD=110°,则∠B的度数是 ( ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 3.如图是一个由木棒制成的四边形工件，增加一条木棒，使其具有稳定性，则下列作法正确的是 ( ) 4.如图，已知△ABC，下面作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为 180°的是 ( ) 5. 如图,在△ABC中,∠A=56°,点D,E分别在边AB,AC上,将△ABC沿DE 折叠使点A 的对应点 F落在边 BC上,则∠1+∠2的度数为 . 6.如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一直线上(行李箱的滑轮高度忽略不计)，为了拉箱时的舒适度,现将∠ABD调整为75°,∠D 保持不变,则图②中∠ECF应 (填“增加”或“减少”) °. 7.如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛A在平面镜里的虚像B，蜡烛A 与像B 大小相等，到平面镜的距离也相等，故人眼感觉看到了真实的蜡烛.若∠CAB=25°，则∠DCA 的大小为 . 学科网（北京）股份有限公司 基础点30 三角形中的重要线段 1.(甘肃真题改编)如图，△ABC的顶点A，B在刻度尺上对应的刻度分别为2，7，D，E分别是AC,BC边的中点,连接DE,则DE的长为 ( ) A. 2cm C. 5cm D. 7 cm 2. (云南真题改编)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=4,AD平分∠BAC交BC于点D,BD=1,则△ACD 的面积为 ( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 10 3. (北师七年级习题改编)如图,在锐角△ABC中,AC=4,BC=6,AD,BE分别为△ABC的边BC,AC上的高线，则 的值为 ( ) A. B. C. D. 4.(河北真题改编)如图，将△ABC折叠，使点A，B重合，折痕为DE，连接BE.甲认为：能够比较∠A 与∠ABC的大小.乙认为：能够比较AC与BC的长短.下列判断正确的是 ( ) A.甲、乙的说法都正确 B.甲、乙的说法都不正确 C.甲的说法正确、乙的说法不正确 D.甲的说法不正确、乙的说法正确 5.(人教八年级习题改编)如图，在△ABC中，BD是中线，E是BD的中点，连接CE，若S△BCE=2,则 6.(沪科八年级习题改编)如图，△ABC 的边BC在数轴上，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D,E,点B与-3重合,点E与1重合,若△ABD 的周长为15,则△ABC的周长为 . 学科网（北京）股份有限公司 基础点31 全等三角形的判定 1.如图，两个三角形全等的是 ( ) A. ③④ B. ②③ C. ①② D. ①④ 2.如图，在 和 中，点B，E，A在一条直线上， CE=ED，只添加一个条件，能判定 的是 ( ) A. ∠B=∠CED B. ∠A=∠C C. BE=AD D. BC=AE 3.春天，赏花季到了，植物园计划将一块如图所示的三角形土地分成三部分，分别种植三种不同品种的郁金香，其中. .要使这三块土地的大小、形状都相同，可以通过作∠BAC的平分线交 BC于点 D，过点 D 作， 于点 E，下列结论正确的是 ( ) A.不能利用SAS 判定三个三角形全等 B.不能利用HL判定三个三角形全等 C.可以利用SSA判定三个三角形全等 D.可以利用AAS判定三个三角形全等 4.如图，点A，B，C，D在同一直线上， 求证：△ACE≌△BDF. 5.如图， 和 是等边三角形. H,I,J分别在边 EF,FG,EG上,求证:△EHJ≌△FIH. 学科网（北京）股份有限公司 6.如图，在 中,过点 C作AB 的垂线交AB 于点 D,E为 CD 上一点,连接AE,BE,若 求证： 7.如图， 是等腰直角三角形， ，D是斜边 BC 的中点，连接AD,E,F分别是AB,AC边上的点,连接EF,DE,DF,且 求证： 8.如图，点A，D，C，B在一条直线上， .有下列三个条件： 根据要求完成下列问题： (1)若选 (填“①”“②”或“③”),则可用“SSS”证明 (2)请你任选一个条件证明 学科网（北京）股份有限公司 基础点32 全等三角形的性质 1.如图，若△ABC≌△DEF，则下列结论不一定成立的是 ( ) A. AB=DE B. AB∥DE C. BE=CE D. ∠B=∠DEC 2. 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=28°,点D,E分别是边AB,BC上的点,连接DE,AE.若△ACE≌△ADE,则∠AED 的度数为 ( ) A. 28° B. 62° C. 59° D. 58° 3.如图,△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,其中B,C,E在同一直线上,连接BD,若BE=6,BC=4,则BD的长为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在正方形网格的格点(网格线的交点)上，若△ABC 和△ADE全等，且点E 也在正方形网格的格点上，则符合条件的点 E有 ( ) A.1个 B. 2个 C.3个 D. 4个 5. 如图,在△ABC中,D,E分别在边BC,AB上,连接AD,CE交于点F,且△ABD≌△CFD.若, 则四边形 BEFD 的面积为 . 6.新考法 条件开放如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别为AB,BC上的点,连接DE,DC,AE,给出四个条件:①AE⊥CD;②DE⊥AB;③AE平分∠BAC;④DE=CE.请你从中任选两个作为已知条件，其余作为结论，组成一个真命题，并进行验证. 学科网（北京）股份有限公司 基础点33 等腰(含等边)三角形的性质与判定 1.已知等腰三角形的周长是13，一腰长为5，则底边长为 ( ) A. 3 B. 4 C. 3或5 D. 3或4 2.如图,在△ABC中,点D,E在边BC上,且∠B=∠C=∠BAD=∠CAE,∠DAE=60°,则△ADE 的形状是 ( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.不等边三角形 3.如图，在等边△ABC中，等腰直角三角板按如图所示的方式摆放，则∠1的度数为 ( ) A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 4.如图，在三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D 处挂一重锤，让它自然下垂.如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认BC处于水平位置.这种做法依据的数学原理是 ( ) A.等腰三角形的“三线合一” B.等角对等边 C.三角形具有稳定性 D.等边对等角 5.如图,在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点D在BC上,连接AD.若 ,则AD的长为 . 6.如图,在等边△ABC中,BD⊥AC于点D,延长BC至点E,使得CE=CD,连接DE,若AB=2,则DE的长为 . 7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点 D.若 ,则AD 的长为 . 学科网（北京）股份有限公司 基础点34 直角三角形的性质与判定 1. 在△ABC中,三条边之比为7:24:25,则△ABC的形状是 ( ) A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 2. 正方形 ABCO与 Rt△DEO 的位置如图所示,已知∠AOD+∠COE=α,则∠DOC的度数为 ( ) A. 90°-α 3.如图，在7×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点(网格线的交点)上，若AD为△ABC的中线，则AD 的长为 ( ) B. 4.如图,在△ABC中,∠B=∠C=30°,AD⊥AB交BC于点D,若BC=6,则AD= . 5. 如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点E在边BC上,将 沿AE折叠,点B 恰好落在斜边AC上的点 F处,若AB=3,BC=4,则△CEF的周长为 . 6.在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点P是△ABC内一点,且它到各边的距离相等，则点 P 到AB 的距离为 . 7. 如图,在△ABC 中,AB=5,AC=8,∠C=30°,点 D 在边 BC 上,且AB=AD,则 CD 的长是 . 学科网（北京）股份有限公司 基础点35 平行线分线段成比例(含比例的性质) 1.已知 则下列等式正确的是 ( ) B. 3a=4b 其中 D. 4a-3b=0 2.如图，直线 若DF=9,则EF 的长为 ( ) A. 9 B. 5 C. 4 D. 3 3.如图，点D，E，F分别在△ABC的三边上，若 则 的值为 ( ) A. B. C. D. 1 4.(江西真题改编)如图，A，B均在方格纸的格点上.在方格纸内另取格点C，D，连接CD，交线段AB 于点 P.若要使点 P 把线段AB 分成1：2的两条线段，则下列正确的是 ( ) 5.已知C 为线段AB的黄金分割点，AC>BC，若AB=2，则AC的长为 . 6. 新考法 跨地理等高线 小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示(注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内)，A，C两点均在相应的等高线上，且A，B，C三点在同一直线上，若 则点 B 的位置在 ( ) A. B₁处 B. B₂处 C. B₁与B₂之间 D. B₂与C之间 学科网（北京）股份有限公司 基础点 36 相似三角形的判定 1.在学习了相似三角形的知识后，小明想要得到与如图所示的△ABC相似的三角形.于是他用剪刀沿着图中与边BC平行的虚线将△ABC剪开，则他判定剪下的三角形与△ABC相似的直接依据是 ( ) A.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 B.两角分别相等的两个三角形相似 C.三边成比例的两个三角形相似 D.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 2.如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点(网格线的交点)上，连接AD，BC交于点 E，则 ( ) A. 1:3 B. 1:9 C. 3:1 D. 9:1 3.(江苏真题改编)如图所示的网格是由边长为1的小方格组成，△ABC的顶点均在小方格的顶点上，则选项中四个阴影的三角形与△ABC 相似的是 ( ) 4.如图所示是中国象棋棋盘的一部分(各个小正方形的边长均相等)，根据“马走日”的规则，即“马”的行走规则是“日”字，可以跳到“日”字对角线的位置.“马”应该落在下列哪个位置处，能使“马”“炮”“兵”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“车”“相”所在位置的格点构成的三角形相似 ( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5. 如图,在△ABC中,AB=6,AC=12,D,E分别是边AB,AC上的点,且CE=2AD,连接DE,当AD的长为 时,以点A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似. 学科网（北京）股份有限公司 基础点37 相似三角形的性质 1. 已知△ABC∽△A₁B₁C₁,且 若△ABC的周长为8,则△A₁B₁C₁的周长是 ( ) A. 10 B. 15 C. 20 D.50 2.若两个相似三角形面积的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是 ( ) A. 1:2 B. 1:4 C. 1:8 D. 1:16 3.幻灯机是教师常用的教具之一，它能把精致的图片投到银幕上，如图，在△ABC与△DEF中，下列结论一定正确的是 ( ) A. ∠BCA=∠EDF B. ∠ABC=∠DEF C. AC=EF D. DE=2AB 4.如图，在△ABC中，BC=2AB，BD平分∠ABC,在BD 的延长线上取一点E，使得BD=DE，连接CE，若AD=2，则CE的长为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 已知△ABC的三边长分别为4 cm,5cm,6cm,△DEF的一边长为2cm，当△ABC∽△DEF时,△DEF的另两边长可以是 ( ) A. cm,3cm B. 2cm,3cm C. cm,2cm D. 3cm,4 cm 6.如图，四边形ABCD为正方形，延长CB至点E，使得CB=2BE，连接AE，过点 C作CH⊥AE于点H，则 的值为 . 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,BC=4,AC=6，D为AB边上一点，且∠BCD=45°，E为BC的中点，过点E作EF⊥BC交CD 于点F，则DF的长为 . 学科网（北京）股份有限公司 基础点38 锐角三角函数的相关计算 1. tan 30°的值为 ( ) B. D. 2.已知在△ABC中,∠B=90°,D是AC的中点,连接BD,若 则BC的长为 ( ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 3.在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=3BC,则 cos C= ( ) C. D. 3 4.在△ABC中，∠A，∠B 都是锐角，且 则△ABC的形状是 ( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形 5.如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以点B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点 C，画射线OC，则cos∠AOC的值为 ( ) A. 6.如图，△ABC的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点(网格线的交点)上，则 sin C 的值为 ( ) 7.中国古代数学家赵爽设计的“弦图”蕴含了许多丰富的数学知识.如图，在由四个全等的直角三角形(△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)和中间一个小正方形 EFGH 拼成的大正方形ABCD中，若 则大正方形的面积为 ( ) A. 9 B. 12 C. 16 D. 25 8.在△ABC中， 则 tanA 的值为 . 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 基础点26 直线、线段、角的相关概念及计算 1. A 2. D 3. C 4. A 5. B 6. 63° 【解析】∵ ∠AOC 和∠BOD 都是直角,∴∠AOD+∠DOC=∠BOC+∠DOC=90°,∴∠BOC=∠AOD=63°. 7. 2或4 【解析】∵AB=6,BC=2,M 为AB的中点,N为BC的中点， 当点 C 在点B左侧时,MN=BM-BN=3-1=2;当点 C 在点 B 右侧时,MN=BM+BN=3+1=4,综上所述，MN的长为2或4. 8. (4,240°) 【解析】∵OA=2,OB=2OA,∴OB=4,∵将OB 绕点O 按顺时针方向旋转120°得到 OB',即将 OB绕点O 按逆时针方向旋转240°得到 OB'，∴点 B'的位置可以表示为(4,240°). 基础点27 相交线与平行线 1. A 【解析】观察选项，A选项中，∵内错角(两直角)相等,∴m∥n,B,C,D选项不能得到m∥n. 2. B 3. D 【解析】如解图,∠BDC=∠1=75°,∵a∥b,∠DBC=45°,∴∠DBC+∠2=105°,∴∠2=60°. 4. C 【解析】∵OE⊥AB,∴∠BOE=90°,∵∠DOE=134°,∴∠BOD=134°-90=44°,∴∠AOC=∠BOD=44°. 5. C 【解析】如解图，由题意得，射出的光线均平行于地面,∴∠4=∠3=56°,∵∠1=20°,∠1+∠2=∠4,∴∠2=∠4-∠1=36°. 6. C 【解析】观察题图，∠A 和∠D 为同旁内角(同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角),∵∠A+∠D=180°,∴根据平行线的判定依据：同旁内角互补，两直线平行，得AB∥CD. 基础点28 定义、命题与定理 1. A 2. D 3. A 4. C 【解析】假设∠1≠∠2,如解图,过点O作直线A'B',使∠EOB'=∠2，根据同位角相等，两直线平行可得A'B'∥CD,∵AB∥CD,且AB,A'B'均过点O,与平行公理“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾,∴假设不成立,∴∠1=∠2. 5. C 【解析】由最后结论b∥c可知，证明的是两条直线平行.又∵由b⊥a,且c⊥a得到的∠1=∠2,∴该真命题已知是b⊥a,且c⊥a,故选C. 6. 假 7.若两个数的和为0，则这两个数互为相反数，真 8. - 3,-2,-1(答案不唯一) 【解析】∵(-3)×(-1)>(-2)×(-1),而-3<-2,∴命题“若 ac> bc,则a>b”是假命题.(答案不唯一) 基础点29 三角形的基本性质 1. B 2. B 3. D 4. D 【解析】如解图①,∵l∥ AB,∴∠1=∠A,∠2=∠B,∴∠A+∠ACB+∠B=∠1+∠ACB+∠2=180°,∴△ABC的内角和为180°，A 选项不符合题意；如解图②，∵l∥AB,∴∠3=∠B,∠A+∠ACB+∠3=180°,∴∠A+∠ACB+∠B=180°,∴ △ABC的内角和为 180°,B选项不符合题意;如解图③,∵l∥AC,∴ ∠4=∠C,∠5=∠A,∴∠ABC+∠C+∠A=∠ABC+∠4+∠5=180°,∴△ABC的内角和为180°，C选项不符合题意；由l∥BC 只能将∠B，∠C转化到小三角形中，无法证明三角形的内角和为180°、∴ D 选项符合题意. 5. 112° 【解析】在△ABC 中,∠A=56°,∴ ∠B+∠C=124°,由折叠的性质得∠DFE=∠A=56°,∴ ∠DFB+∠EFC=124°,∵ ∠1+∠B+∠DFB+∠2+∠C+∠EFC=360°,∴∠1+∠2=112°. 6. 增加,20 【解析】∵ ∠ABD=75°,∴∠BCD=∠ABD-∠D=75°-35°=40°,∴∠ECF=180°-∠ECB-∠BCD= ∵题图②中∠ECF=30°,50°-30°=20°,∴图中∠ECF应增加20°. 7. 50° 【解析】由题意,得AC=BC,∴∠B=∠CAB=25°,∵∠DCA 是△ABC的外角,∴∠DCA=∠CAB+∠B=25° 基础点30 三角形中的重要线段 1. B 【解析】由题意得AB=7-2=5cm,∵D,E分别是AC,BC边的中点,∴DE 是△ABC的中位线,.∴ 2. A 【解析】如解图,过点 D作DH⊥AC于点 H,∵AD平分∠BAC,∠B=90°,∴DH=DB=1,∴S△AC= AC·DH 3. C 【解析】∵AD,BE分别为△ABC的边BC,AC上的高线,∴ 4. A 【解析】∵ DE垂直平分AB,∴AE=BE,∠A=∠ABE,∴∠A<∠ABC;∵BE+CE>BC,∴AE+CE>BC,∴AC>BC,∴甲、乙的说法都正确. 5. 4 【解析】∵ E 是 BD 的中点, ∵BD是△ABC的中线,∴ 6. 23 【解析】∵ED垂直平分BC,∴DB=DC,BE=CE,∵点B与-3重合,点E与1重合,∴CE=BE=4,∴ BC=8,∵△ABD的周长为15,∴AB+AD+BD=AB=AD=CD=AB+AC=15、∴△ABC的周长为AB+AC+BC=15+8=23. 基础点31 全等三角形的判定 1. C 【解析】由题图①，②可知，两个三角形长度为2cm的边和长度为3cm的边对应相等，以及它们的夹角都是40°，利用边角边(SAS)可以判定两个三角形全等. 2. D 【解析】∵∠C=∠AED,CE=ED,∴当添加 BC=AE时,可根据“SAS”判定△CBE≌△EAD. 3. D 【解析】∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠BAC=60°,∵∠BAC的平分线交 BC 于点 D,DE⊥AB,∴ ∠CAD=∠EAD=30°,CD=ED,∠AED=∠BED=90°,∴∠CAD=∠EAD=∠B=30°,∠AED=∠BED=∠C=90°,∴AD=BD,AE=BE=AC,在△ACD,△AED 和△BED中,利用SAS，HL，AAS均可以判定三个三角形全等，不能用SSA作为判定依据，∴A，B，C选项错误，D选项正确. 4. 证明:∵AB=CD, ∴AB+BC=CD+BC, ∴AC=BD, 在△ACE 和△BDF中, ∴△ACE≌△BDF(SSS). 5. 证明:∵△EFG是等边三角形, ∴∠E=∠F=60°, ∴∠EHJ+∠EJH=120°, ∵△HJI是等边三角形， ∴∠JHI=60°,HJ=IH, ∴∠EHJ+∠FHI=120°, ∴∠EJH=∠FHI, 在△EHJ 和△FIH中, ∴△EHJ≌△FIH(AAS). 6. 证明:∵CD⊥AB, ∴∠ADC=∠BDC=90°, 在 Rt△ADC 和Rt△EDB中, ∴ Rt△ADC≌Rt△EDB(HL). 7. 证明:∵△ABC是等腰直角三角形,AB=AC, ∴∠BAC=90°,∠C=∠B=45°. ∵D为BC的中点, ∴AD⊥BC,AD=BD=DC,AD平分∠BAC, ∴∠DAF=∠BAD=45°=∠B,∠ADC=90°. ∵DE⊥DF, ∴∠EDF=90°, ∴∠ADF+∠FDC=∠FDC+∠BDE=90°, ∴∠ADF=∠BDE. 在△BDE 和△ADF中 ∴△BDE≌△ADF(ASA). 8. 解:(1)①; (2)选择条件③, 证明:∵CE∥DF, ∴∠ACE=∠BDF, 在△AEC 和△BFD中, ∴△AEC≌△BFD(SAS).(答案不唯一) 基础点32 全等三角形的性质 1. C 2. C 【解析】∵△ACE≌△ADE,∴∠AEC=∠AED,∠ADE=∠BDE=∠C=90°,∵∠CED=∠B+∠BDE=118°,∴ 3. A 【解析】∵ △ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE = 90°,∴ AB =AC,AD =AE,∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE,∴ △ABD≌△ACE,∴BD=CE=BE-BC=2. 4. B 【解析】如解图，由全等的性质可得，符合条件的点E有2个. 5. 6 【解析】∵ 6.解：选择①③作为条件，②④作为结论， 证明:∵AE⊥CD,AE平分∠BAC, ∴∠DAE=∠CAE,AD=AC, ∵AE=AE,∴△ADE≌△ACE(SAS), ∴DE=CE,∠ADE=∠ACE=90°, ∴DE⊥AB. 一题多解 解法二：选择①④作为条件，②③作为结论， 证明:∵AE⊥CD,DE=CE, ∴∠AED=∠AEC, ∵AE=AE,∴△ADE≌△ACE(SAS), ∴∠ADE=∠ACE=90°,∠DAE=∠CAE, ∴DE⊥AB,AE平分∠BAC. 解法三：选择③④作为条件，①②作为结论， 证明:∵AE平分∠BAC,DE=CE,∠ACB=90°, ∴∠ADE=90°,∴DE⊥AB, ∵AE=AE,∴Rt△ADE≌Rt△ACE(HL), .. AD=AC,∴AE⊥CD.(答案不唯一) 基础点33 等腰(含等边)三角形的性质与判定 1. A 【解析】等腰三角形中，周长为13，∵腰长为5(易错点：当等腰三角形的腰长确定时，则底边长只有一种结果，当等腰三角形给出的边长不明确是底边还是腰长时,需要分情况讨论),∴底边长为13-5×2=3. 2. B 【解析】∵ ∠B=∠C=∠BAD =∠CAE,∠ADE=∠BAD+∠B,∠AED=∠CAE+∠C,∴ ∠ADE=∠AED,∵∠DAE=60°,∴△ADE是等边三角形. 3. D 【解析】如解图,∵ △ABC 是等边三角形,∴∠B=60°,根据题意,得∠3=45°,∴∠1=∠2=180°-45°-60°=75°. 4. A 5. 2 【解析】如解图,过点A作AE⊥BC于点E,∵AB=l ∴ DE=BD-BE=2,在Rt△ABE中, =4,在Rt△AED中, 6. 【解析】∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC=2,∠ACB =∠ABC=60°.∵ BD⊥AC,∴ ∠ADB =90°,∠ABD=∠CBD=30°,AD=CD=1,∴在Rt△ABD 中,BD= √AB²-AD² = . ∵ CE = CD,∴ ∠E = ∠CDE =∠ACB=30°,∴∠E=∠CBD,∴DE=DB= 7. 1 【解析】∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,∴∠C= ∵BD 平分∠ABC,∴ =∠A+∠ABD=72°=∠C,∴AD=BD,BD=BC,∴AD=BC=1. 基础点34 直角三角形的性质与判定 1. D 【解析】∵△ABC的三条边之比为7:24:25,∴可设△ABC的三条边分别为7a,24a,25a,· =(25a)²,∴ △ABC为直角三角形. 2. C 【解析】∵四边形ABCO 是正方形,△DEO 是直角三角形,∠DOE=90°,∴ ∠AOC=90°,∠AOD+∠DOC+∠DOC+∠COE=180°.∵∠AOD+∠COE=α,∴2∠DOC 3. D 【解析】∵ 点 A,B,C 均在网格格点上,∴AB = C为直角三角形,∠BAC=90°,∵AD为△ABC的中线,∴ 4. 2 【解析】∵在 Rt△ABD中,∠B=30°,∠BAD=90°,∴∠ADB=60°,∴2AD=BD.∵∠C=30°,∴∠CAD=60°-30°=30°,∴∠C=∠CAD,∴AD=DC,∵BC=BD+CD=3CD=6,∴CD=AD=2. 5. 6 【解析】∵ 在 Rt△ABC 中,AB=3,BC=4,∠ABC=90°,∴由勾股定理得AC=5.由折叠的性质得AF=AB=3,EF=BE,∴CF=AC-AF=2,∴△CEF的周长为 CE+EF+CF=CE+BE+CF=BC+CF=4+2=6. 6. 2 【解析】如解图,连接PA,PB,PC,设点P到各边的距离为x,∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∴AB=√AC²+BC²=10，由题意得 BC,即3x+4x+5x=24,解得x=2,∴点P到AB的距离为2. 【解析】如解图,过点A作AE⊥BC于点E,∵AB=AD,AE⊥BD,∴BE=DE,在 Rt△AEC中,AC=8, 4，由勾股定理得 基础点35 平行线分线段成比例(含比例的性质) 1. D 【解析】。 (其中 2. B 【解析】∵ 3. A 【解析】∵ 4. A 【解析】A选项中 ∴点P 把线段AB分成1：2的两条线段；B选项中AC∥BD,BD=AC,∴AP=HC/O₂=1,∴.点 P 把线段AB 分成1:1的两条线段；C选项中 。点 P把线段AB分成3：2的两条线段；D选项中分别过点A，B作BD的垂线，分别交 CD于点 E，F，易求得 点P把线段AB分成5：2的两条线段. 6. B 【解析】由题意得 ∴点 B的位置在B₂处. 基础点36 相似三角形的判定 1. A 【解析】∵虚线与边 BC平行，∴根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得，剪下的三角形与△ABC相似. 2. D 【解析】∵CD∥AB,∴△ABE∽△DCE,由题图,得 3. D 【解析】由勾股定理得 A选项中三角形的三边之比为 不符合题意；B选项中三基础分点练 角形的三边之比为1：3： ，不符合题意；C选项中三 角形的三边之比为 不符合题意；D选项中 三角形的三边之比为 符合题意. 4. B 【解析】设每个小正方形边长均为1，则“帅”“车”“相”所在位置的格点构成的三角形三边的长分别为4，2,2 ，“兵”“炮”之间的距离为1，“炮”与②之间的距离为 ，“兵”与②之间的距离为 ，∴“马”应该落在②的位置. 5. 3 或 【解析】设AD=t,则CE=2t,∴AE=AC-CE=12-2t.①当△ADE∽△ABC时, 即 =3,即AD=3;②当△ADE∽△ACB时,∴ 即 即 综上所述，AD 的长为3或 基础点37 相似三角形的性质 1. C 【解析】∵△ABC∽△A₁B₁C₁,BCB₁= ,△ABC的周长为8,. 2. A 3. B 【解析】由题意可得,△ABC∽△DEF,∵△ABC与△DEF角度和边长不确定，∴A，C选项错误，B选项正确，∵相似比不确定，∴D 选项错误. 4. C 【解析】∵ BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBE,∵BD=DE,∴BE=2BD,∵ BC=2AB,,∴ABCB=BDE= ,∴△ABD∽△CBE,∴ADE=4B= ,∵AD=2,∴CE=4. △DEF的三边之比为4：5：6，当最短边为2cm时，另两边长为 cm,3cm;当较长边为2cm时,另两边长为 当最长边为2cm时，另两边长为 cm, 故A选项符合题意. 【解析】∵ 四边形 ABCD 为正方形,CH⊥AE,∴∠ABE=∠CHE=90°,AB=BC,设BE=a,则AB=BC=2a,∴EC=BE+BC=a+2a=3a,在Rt△ABE中,由勾股定理得 ,又∵∠E 为△AEB与△CEH的公共角,∴ 【解析】如解图①，延长EF 交AB 于点 G，由题意得EG∥AC,∵E为BC的中点, ，在Rt△CEF 中,CF= CE=2 .∵EG∥AC,..△FDG∽ 即 解得 一题多解：如解图②,过点 B 作 BH⊥BC交 CD 的延长线于点H,∵∠BCD=45°,∴BH=BC=4,CH=4 ,∵E为BC的中点,∴CF=FH=2 .∵AC∥BH,∴△ACD∽ 即 解得 基础点38 锐角三角函数的相关计算 1. C 2. C 3. C 4. C 5. A 6. A 【解析】如解图,过点B 作 BD⊥AC于点 D,则CD= 7. D 【解析】∵在 Rt△ABF中, 4,∴AB=5,∴大正方形的面积为25. 8. 【解析】∵在△ABC 中, 设BC=3a,则AB=5a,由勾股定理得 学科网（北京）股份有限公司 $$