期末复习压轴题解答题提升训练-2024-2025学年北师大版数学七年级下册

期末复习压轴题解答题提升训练 2024—2025学年北师大版数学七年级下册 1．在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边在的右侧作等腰直角，． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求的长度； (2)连接，交直线于点， ①如图2，当点运动到的延长线上时，求证：； ②点在运动过程中，若，请直接写出的长． 2．如图1是一个长为、宽为的长方形（）．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，直接写出代数式之间的关系： ． (2)若，则 ． (3)若，求的值． (4)如图，在长方形中，，点M和点N分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，求图中阴影部分的面积． 3．综合与探究 如图，，点，分别在直线，上． (1)如图1，是直线，之间一点，连接，．试说明． (2)如图2，是直线，之间一点，连接，．若，，求的度数． (3)如图3，平分，平分，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 4．数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片（其中种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长分别为、的长方形），并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． (1)观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系：__________； (2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要号卡片 _____张，号卡片 _____  张，号卡片 _____张； (3)解答问题：若，，则的值为 _____； (4)根据（）中得出的等量关系，解决如下问题，已知，求的值； (5)两个正方形，如图摆放，边长分别为，．若，，则图中阴影部分面积的和为 _____． 5．【问题情境】 如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过点P作，通过平行线性质来求的度数． （1）按小明的思路，求出的度数； 【问题迁移】 （2）如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与α、β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与α、β之间的数量关系． 6．如图，直线，直线分别交，于点，，直角三角板如图放置，，直线. (1)求的度数. (2)将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，得到三角板，旋转的时间为秒. ①当三角板的一边与直线平行时，求的值； ②三角板绕点旋转的同时，直线绕点以每秒的速度逆时针旋转到，若，求的值. 7．在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动． (1)【问题初探】 如图1，两直线，和直角三角形，其中，，，若，则的度数为______________； (2)【实践探究】 如图2，创新小组的同学把直线向上平移，发现是一个定值，这个定值是________________； 为了说明理由，同学们根据“过拐点作平行线”的思路，很快想到辅助线的作法，过点作，请你在图2中补全辅助线并完成关于这个定值的证明过程． (3)【拓展延伸】 如图3，，点在上，，，设，请直接用含的代数式表示． 8．如图，某市四条路围成的矩形地块内有两座底座均为正方形的古建筑（两个正方形有两条边在同一条直线上），为保护古建筑，规划部门准备将这两座古建筑用一个正方形金属栅栏围起来，并对地块的其余部分进行绿化，且想要使正方形金属栅栏的使用量最少．已知矩形地块的长为，宽为，两座古建筑底座正方形的边长分别为和． (1)请在图中画出符合要求的正方形栅栏的位置，并用多项式表示该正方形的面积． (2)请用多项式表示绿地的面积；当，时，求绿地的面积． 9．（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 10．【问题探究】 （1）如图①，，E为，之间一点，连接，．则与，之间有怎样的数量关系，并说明理由； 【灵活应用】 （2）如图②，，若，，求的度数．    11．我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式进行变形，如：，． (1)根据以上变形填空：已知；，则 ； (2)若，，求的值； (3)如图，正方形、的边长分别为x，y，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 12．如图，已知． (1)直线与有怎样的位置关系？请说明理由；（将下列推理过程补充完整） 解：（1）与的位置关系是① ． 理由如下：，（已知） ② （③ ） ， ④ ， （⑤ ） (2)若，求的度数． 13．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)根据用两种不同的方法表示图2中正方形的面积，直接写出一个因式分解的等式_______． (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张． (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，求和的值． ②已知，求． (4)如图3，用三张边长为x的正方形纸片，五张长为x，宽为1的长方形纸片和两张边长为1的正方形纸片．试一试，能否把这些纸片拼成一个长方形，若能，求出新长方形的长和宽． 14．如图1，点分别在直线和上，，射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为秒． (1)①的度数为___________（用的代数式表示）； ②当射线经过点时，此时的度数为____________． (2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在转动过程中，若射线与射线交于点，过点作交直线于点，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 15．如图1，点在直线上，点在直线上，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在上有一点，连接． ①当时，与存在怎样的数量关系？并说明理由； ②当时，请直接写出与之间存在的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)①见解析②或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，即可得到； （2）①作，交的延长线于点，先证明，得到，再证明，即可得到结论； ②当在线段上时，由①得，，得到，求出，得到；当点在延长线上时，作于点,求出，得到． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 等腰直角， 在和中， ， ； （2）①证明：如图，作，交的延长线于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ②解：当在线段上时， 由①得，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 当点在延长线上时， 如图，作于点,同①得,, ,,, , , ,即, , , , , ; 综上所述的长为或． 2．(1) (2)20 (3)7 (4)17 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式，掌握完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用是解题的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据完全平方公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可； （4）设，则，，由得，然后利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）由可得， 故答案为：； （2）解：∵， ∴； 故答案为：20； （3）解：∵， ∴ ； （4）解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即． ∴图中阴影部分的面积为17． 3．(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）过点作，根据平行线的性质可得，，即可得出结论； （2）由（1）可得，代入数据，即可求解． （3）根据角平分线以及平角的定义可得，，由（1）可得，，进而得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：∵ ∴ ∵， 由（1）可得 （3）解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴， 由（1）可得， ∴ 即． 4．(1) (2)，， (3) (4) (5) 【分析】（）用两种方法表示出大正方形的面积，即可得出三者的关系； （）计算，再根据三个纸片的面积可求解； （）根据（）所得等量关系计算即可求解； （）设，，可得，，即得，进而根据等量关系解答即可求解； （）根据图形得到，即得，利用平方差公式求出即可求解； 本题考查了多项式乘多项式与图形面积，完全平方公式的几何背景及其应用，平方差公式，理解题意，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：由图知，大正方形的面积为，又可以为， ， 故答案为：； （2）解：， 种纸片的面积为，种纸片的面积为，种纸片的面积为， 需种纸片张，种纸片张，种纸片张， 故答案为：，，； （3）解：，， ， 或， 故答案为：； （4）解：设，，则，， ， ∵， ， ； （5）解：由题意和图形知，， ∴， ， ， ， ∴阴影部分的面积和为， 故答案为：． 5．（1）；（2），见解析；（3）当点P在的延长线上时，；当点P在线段上时， 【分析】（1）利用平行线的性质，同旁内角互补，求出，度数，利用，进行求解即可； （2）过点作，得，得到，，进而得到； （3）分点在的延长线上，和在线段上，两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）， 理由如下：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）如图所示，当在的延长线时，由（2）可知，， ， 如图所示，当在线段上时，由（2）可知，， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． 6．(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）设与交于点，根据平行线的性质，即可求解； （2）①根据，只有一种情形，根据题意列出方程，解方程，即可求解； ②，根据，或建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图，设与交于点， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ （2）解：①如图1，， 只有一种情形， 则'， ， 。 ②如图2，此时。， ， ， 。 如图3，此时 ， ， 。 综上，若，则的值为或。 7．(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质求角度的计算是关键． （1）根据平角得到，根据两直线平行，同旁内角互补得到，即可求解； （2）如图所示，过点作，则，可得，，由，即可求解； （3）如图所示，过点作，过点作，则，可得，，，根据，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，证明如下， 证明：如图所示，过点作，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点作，过点作，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．(1)画图见解析，该正方形的面积为； (2)，绿地的面积为． 【分析】本题考查了作图一应用与设计作图、单项式乘多项式、多项式乘多项式，完全平方公式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （）根据题意结合正方形的判定画图即可，然后根据正方形的面积公式计算即可； （）用大矩形的面积减去正方形围栏的面积求出多项式表示绿地的面积，然后将，的值代入计算即可. 【详解】（1）解：如图，正方形即为所求； 该正方形的面积为； （2）解：绿地的面积为： ， 当，时，绿地的面积为， ∴绿地的面积为． 9．（1）证明见解析  （2）；证明见解析  （3）；理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用 AAS 等判定定理证明全等，进而推导边的关系和面积关系。 （1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出，，的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 10．（1），理由见解析；（2） 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定． （1）过点作，首先证明出，然后根据平行线的性质求解即可； （2）首先求出，然后求出，然后根据求解即可． 【详解】解：（1）． 理由如下：如答图，过点作．    又， ， ，． 又， ． （2），， ． 又， ． 同（1）可知， ． 11．(1)3； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，完全平方公式的几何背景，梯形的面积公式，熟练掌握题干中的公式变式是解题的关键． 利用：解答即可； 利用解答即可； 利用梯形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， 故答案为：3； （2）解：，，， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴图中阴影部分的面积， 故答案为：． 12．(1)①；②；③两直线平行，同位角相等；④；⑤内错角相等，两直线平行 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，垂线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据已有的过程，结合垂线的定义，平行线的判定与性质进行补充，即可作答． （2）由（1）得，得，因为，整理得，根据，得，，然后结合两直线平行，内错角相等，即可作答． 【详解】（1）证明：与的位置关系是． 理由如下：，（已知） （两直线平行，同位角相等） ， ， （内错角相等，两直线平行） （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∵， 由①②联立解得：， ∵， ∴． 13．(1) (2)3；10；8 (3)①，15  ② (4)能；长，宽 【分析】本题考查拼图与整式的乘法，乘法公式和因式分解，数形结合是解题的关键. （1）阴影部分是两个正方形的和，也可看作外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，两种方法计算的面积是相等的，即可得出答案； （2）利用多项式乘法展开即可得到答案； （3）①利用和计算即可； ②设，，利用求出，再利用求出，最后把还原后求解即可. （4）拼成图形，即可得到答案. 【详解】（1）解：阴影部分是两个正方形，面积为：， 阴影部分的面积等于外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，即， ∵两种方法计算的面积是相等的， ∴， 即 故答案为：， （2）∵ ， ∴要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片3张，类卡片10张，类卡片8张． 故答案为：3；10；8 （3）①根据（1）题可得， ∵,， ∴， ∴， ； ②设，， ∵， ∴， 又∵， ∵ ∴， ∴， 由，得 ∴， 即， 整理，得，即 ∴. ∴ （4）如图， 则能把这些纸片拼成一个长方形，新长方形的长为，宽为． 14．(1)①；② (2)存在，t值为秒或秒． (3)与的数量关系发生变化，理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． （1）①根据旋转角度等于旋转速度乘以时间，列式即可；②由，得，则，求解得，即可求解． （2）分三种情况：当射线与射线的反向延长线相交于G，且时 ；当射线与射线相交于G，且时；当射线与射线相交于G，且时；分别求解即可． （3）当时，射线与射线交于点，求得，即可得出结论． 【详解】（1）解：①如图， ∵射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转， ∴ 故答案为：； ②如图： ∵ ∴ ∴， 解得：， ∴ ∴ 故答案为：． （2）解：当射线与射线的反向延长线相交于G，且时 ，如图， ∵ ∴ ∵， ∴ 解得：； 当射线与射线相交于G，且时，如图， ∵，， ∴ 解得：（不符合题意，舍去）； 当射线与射线相交于G，且时，如图， ∵ ∴ 解得：； 综上，存在，射线与射线所在直线的夹角为，t值为秒或秒． （3）解：与的数量关系要发生变化． 理由：当时，射线与射线交于点，如图， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴与的数量关系要随着t的发生而变化． 15．(1)，理由见解析 (2)①．见解析，② 【分析】此题考查了平行线的性质和判定、角的和差等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是关键． （1）过点G作，则，再证明，得到，即可证明结论； （2）①证明，由即可得到结论；②证明，由即可得到结论． 【详解】（1）解：， 理由如下：如图，过点G作， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴； （2）①， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴； ② ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$