第03讲 勾股定理的应用（1大知识点+12大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假七升八数学衔接讲义（北师大版）

第03讲 勾股定理的应用（1大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 求梯子滑落高度 典型例题二 求旗杆高度 典型例题三 求小鸟飞行距离 典型例题四 求大树折断前的高度 典型例题五 解决水杯中筷子问题 典型例题六 解决航海问题 典型例题七 求河宽 典型例题八 求台阶上地毯长度 典型例题九 判断汽车是否超速 典型例题十 判断是否受台风影响 典型例题十一 选址使到两地距离相等 典型例题十二 求最短路径 知识点01 勾股定理的应用 勾股定理的作用 1、已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2、用于解决带有平方关系的证明问题； 3． 与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用． 【典型例题一 求梯子滑落高度】 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）某小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意得，，在中利用勾股定理求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：由题意得：，， 在中，， ， 在中，． 故选：D． 【例2】 （24-25八年级上·山东青岛·期末）学习了“勾股定理”之后，小明同学为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为；（）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③若小明同学想使风筝沿方向下降，则他应该往回收线 ． 【答案】2 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，利用勾股定理求得、是解答的关键．设风筝下降到点M处，连接，利用勾股定理分别求得、，即可求解． 【详解】解：如图，设风筝下降到点M处，连接，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：2． 【例3】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，某校八年级（1）班的小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图1），进行了如下操作： ①牵线放风筝的小明手抓线的地方与地面的距离为1.5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③测得小明手抓线的地方与风筝的水平距离的长为8米．         (1)求风筝的垂直高度； (2)如图2，小明想让风筝沿方向下降9米到点M处，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为米； (2)他应该往回收线7米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，准确运用勾股定理是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出来的长，然后加上小明的身高即可； （2）先根据降低的高度求出的长，然后根据勾股定理求出的长，然后用风筝线长减去的长即可求出结果． 【详解】（1）在中米，米 由勾股定理得，（米） （米）． ∴风筝的垂直高度为米； （2）∵米， ∴， 在中 由勾股定理得，（米） （米）． 他应该往回收线7米． 1．（24-25八年级上·河南开封·阶段练习）如图，两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米，则当滑块A向下滑13厘米时，滑块B向右滑动了（   ） A．9厘米 B．24厘米 C．12厘米 D．15厘米 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，善于观察题目的信息，灵活运用勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再求出下滑后的，利用勾股定理求出下滑后的，继而求出滑块B滑动的距离． 【详解】解：依题意得：， 设滑动后点A、B的对应位置是， 由勾股定理得，(厘米)， 当滑块A向下滑13厘米时，(厘米)， ∴(厘米)， ∴滑块B滑动的距离为：(厘米)， 故选：A． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 米．    【答案】2.7 【分析】在中，根据勾股定理求出的长，再在中，求出的长，最后由进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，   ， 根据题意得：， 在中，米，米， 米， 在中，米，米， 米， 米， 小巷的宽度为2.7米， 故答案为：2.7． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型． 3．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）已知某消防车的云梯最大能伸长25米，在一次救援中，消防车云梯伸到最长25米，它的底部与建筑物之间的水平距离米，云梯底部与地面的距离米． (1)求此时云梯顶端C离地面的高度为多少米； (2)若云梯顶端需要伸到距离地面17的处，则消防车需要向建筑物方向移动多少米到达处？ 【答案】(1)此时云梯顶端离地面的高度为9米 (2)4米 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． （1）在中， 利用勾股定理求解即可； （2）先求出，在中，由勾股定理求出，然后求出的长即可求解． 【详解】（1）解：为长方形， 在中，由勾股定理   答：此时云梯顶端离地面的高度为9米 （2）解：，   在中，由勾股定理    答：消防车需要向建筑物方向移动4米到达B处． 4．（24-25八年级上·山西太原·期中）校训对师生的行为规范有指导意义，它向所有师生指明了努力的方向．校训往往设置在学校最为醒目的地方，使每一个师生经常性地看到它，受其潜移默化的心理脉冲．如图，山西省实验中学有一处教学楼高，其上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点处？（结果保留根号）    【答案】工程车向教学楼方向行驶米，长的云梯刚好接触到的顶部点处 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算方法是解题的关键． 根据题意，过点作交于点，在中，由勾股定理可求出的长，在中，由勾股定理可求出的长，根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点，    由题意得：，， 在中，由勾股定理得： ， 设， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ． 答：工程车向教学楼方向行驶米，长的云梯刚好接触到的顶部点处． 【典型例题二 求旗杆高度】 【例1】（24-25八年级上·河北张家口·阶段练习）如图，已知地面上A，B在一条直线上，米，当无人机从A处竖直上升30米时，无人机到B处的距离为（    ） A．60米 B．50米 C．45米 D．40米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意得米，，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： 依题意，米，， ∴（米）， 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·辽宁本溪·阶段练习）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”．设秋千的绳索长为尺，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程、数学常识以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．本题直接利用勾股定理，即可得出关于 \(x\) 的一元二次方程． 【详解】解：依题意得, 即． 故答案为：． 【例3】（24-25八年级上·安徽宿州·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的时节，八（1）班有位同学在学完勾股定理后，为计算风筝的垂直高度，不考虑风等影响，放出去的风筝线是直的．进行了如下测量： ①测得水平距离的长为； ②根据手中剩余的线计算出放出去的风筝线为 ③该同学身高1.6m (1)求风筝的垂直高度 (2)如果该同学想让风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴在中，由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； （2）解：由题意得，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线8米． 1．（24-25八年级上·广东茂名·期中）如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（   ）（假设绳子是直的） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理，求出和的长是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：在中，，，， ， 此人以的速度收绳，后船移动到点的位置， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即船向岸边移动了， 故选：A． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 ． 【答案】2.6米 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解决问题的关键．过点作于点，可得，，，再根据勾股定理求解即可 【详解】解：如图，过点作于点， 则米，米， 米， （米． 所以此时牵狗绳的长为2.6米． 故答案为：2.6米． 3．（24-25八年级上·河南焦作·期中）《西江月》中描述：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千在静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将秋千往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 【答案】秋千绳索的长为尺 【分析】本题考查的是勾股定理的应用；设秋千绳索的长为尺，结合题意可得，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设秋千绳索的长为尺， 根据题意，得，， ， 在中，， 所以，， 解得，， 所以，秋千绳索的长为尺． 4．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）图①是某学校的篮球架实物图，其侧面示意图如图②所示．“综合与实践”小组开展了测量篮板的长度的实践活动，在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下方案： 课题 测量篮板的长度 成员 组长：×××  组员：×××××× 工具 竹竿、皮尺、计算器等 测量示意图 如图，垂直地面于点C，线段，表示同一根竹竿，第一次将竹竿的一个端点与点A重合，另一端点落在地面的点D处，第二次将竹竿的一个端点与点B重合，另一端点落在地面的点E处 测量数据 竹竿的长度 的长度 的长度 根据表格中的方案和测量数据，请你帮助该“综合与实践”小组求出篮板的长度． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出、的长是解题的关键． 在中，由勾股定理求出的长，再在中，由勾股定理得求出的长，即可得出答案． 【详解】解：在中，由勾股定理，得． 在中，由勾股定理，得． ， 答：学校篮板的长度为． 【典型例题三 求小鸟飞行距离】 【例1】（24-25八年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高 的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示， 依题意， ∴， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，某自动感应门的正上方处A装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.7米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则 米．    【答案】1.5/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用；过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）． 在中， 由勾股定理得到（米），    故答案为：1.5． 【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇． 【答案】鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设的长为，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】如答图， 设点D处为树顶，鹰向点B处扑去才能正好抓住蛇，由题意，得， 设的长为，则， 解得． 答：鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇． 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．如图，根据题意得：，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ， 一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞， 故选：B． 2．（24-25八年级上·辽宁营口·期末）如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为 ． 【答案】5m 【分析】由题意根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC=AC，设BC=AC=xm，根据勾股定理求出x的值即可． 【详解】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等， ∴BC=AC， 设BC=AC=xm， 则OC=（9-x）m， 在Rt△BOC中， ∵OB2+OC2=BC2， ∴32+（9-x）2=x2， 解得x=5． 故答案为：5m． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高，两杆相距．现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？ 【答案】和 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．由题意可得：，，那么，代入数据，解方程即可． 【详解】解：由题意可得：，， 则， 故， 解得：， 则（m）， 答：两杆底部距小鱼E处的距离分别是和． 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 【典型例题四 求大树折断前的高度】 【例1】（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，在一次强台风中，一棵大树在离地面3米处折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为4米，则这棵树折断前的高度为（   ） A．8米 B．6米 C．5米 D．3米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可得米，米，，由勾股定理求出米，即可得解． 【详解】解：由题意可得：米，米，， 由勾股定理可得：米， ∴这棵大树在折断前的高度为米， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·福建南平·阶段练习）如图所示，一棵大树折断后倒在地上，则大树没折断前的高度的是 ；    【答案】米 【分析】由可求，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， （米）； 故答案：米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握定理是解题的关键． 【例3】（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，大树在折断之前高多少米？ 【答案】 【分析】先根据大树离地面部分、折断部分及地面正好构成直角三角形利用勾股定理求出折断部分的长，进而可得出结论． 【详解】解：根据题意：大树离地面部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，且折断部分是斜边， ∴折断部分的长度为：（米）， ∴大树在折断之前高为：（米）， 答：大树在折断之前高米 【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用，解答此题的关键是熟练掌握勾股定理． 1．（2025·重庆大渡口·模拟预测）《九章算术》是我国古代数学名著，记载着“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”意思是：一根笔直生长的竹子，高一丈（一丈=10尺），因虫害有病，一阵风吹来将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度是多少尺?设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可； 【详解】设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得到：； 故选A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而应用勾股定理解题． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面高度是 .尺。 【答案】3.2 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10x）尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10x）尺， 根据勾股定理得：x2+62=（10x）2． 解得：x=3.2； 答：折断处离地面的高度是3.2尺． 故答案为：3.2. 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 3．（24-25八年级上·重庆奉节·阶段练习）如图，车高，货车卸货时后面支架弯折落在地面处，经过测量，求弯折点B与地面的距离．    【答案】0.9米 【分析】此题考查了勾股定理在实际生活中的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 设，则，在中利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， 答：弯折点与地面的距离为0.9米． 4．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为．    (1)求旗杆在距地面多高处折断（即求的长度）． (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部米处是否有被砸伤的风险？ 【答案】(1) (2)有危险，见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用， （1）根据题意，，结合，代入计算即可． （2）根据，，得到，求得，根据勾股定理求出的长，比较后判断即可． 【详解】（1）根据题意，，， ∵， ∴， 解得， 故的长度为3米． （2）根据(1)得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 且， ∴， 故有危险． 【典型例题五 解决水杯中筷子问题】 【例1】（2025·四川成都·模拟预测）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，是一个有盖的盒子，长宽高如图中标注，若在盒中放一根细棒，则细棒的最大长度是 ． 【答案】17 【分析】在，根据勾股定理求得，中，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：依题意，在中，， 在中，， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【例3】（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，有一个长方形水池，它的长是米，池中央长了一棵芦苇，露出水面米，将芦苇拽至池边，它的顶端刚好与水面一样平，求水有多深？芦苇有多长？ 【答案】水深米，芦苇的长度是米 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为米，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设水深米，则芦苇有米， 由勾股定理得：， 解得：， 则：（米）， 答：水深米，芦苇的长度是米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 1．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是，高是，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，当吸管底部在点时吸管在罐内部分最短，当吸管底部在点时吸管在罐内部分最长，此时利用勾股定理在中求出即可． 【详解】解：如图，    当吸管底部在底面圆心时吸管在罐内部分最短， 此时吸管的长度就是圆柱形的高，即， ， 当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分最长， 吸管长度， 此时， 所以． 故选：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键． 2．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见解析），连接，不妨设，利用勾股定理可得，，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，不妨设， 由题意得：，，，，， ∴在中，， ∴在中，， ∵将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为， ∴此吸管的总长度为， 故答案为：16． 3．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸（丈、尺是长度单位，1丈10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B恰好到达池边的水面D处，问水的深度是多少？ 【答案】12尺 【分析】设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，根据勾股定理列方程，解出h即可． 【详解】解：设水深为h尺，则芦苇长为(h + 1)尺，根据勾股定理列方程，解出h即可． 设水深为h尺，则芦苇长为(h+ 1)尺， 根据勾股定理，得(h+ 1)2-h2=52解得h = 12， ∴水深为12尺， 故答案是： 12尺． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练根据勾股定理列出方程是解题的关键． 4．（24-25八年级上·浙江台州·期末）现代电视屏幕尺寸的设计，主要追求以下目标：一是更符合人体工程学要求（宽与长的比接近与0.618）；二是设计适当的长宽比使屏幕的面积尽可能大现行的电视机屏幕有“宽屏”和“普屏”两种制式，宽屏的长宽比为；普屏的长宽比为． （1）哪种屏幕更适合人体工程学要求？请说明理由． （2）一般地，电视屏幕的“几寸”指的是这个屏幕的长方形的对角线长有多少英寸，1英寸，小明家想买80寸的宽屏电视机（边框宽都为），并嵌入到墙中．则需要预留的长方形位置的长、宽各多少？（最后结果保留到整数，，） （3）在相同尺寸的电视机屏幕中，宽屏的屏幕面积大还是普屏的屏幕面积大？请说明理由． 【答案】（1）宽屏更适合人体工程学要求，理由见解析；（2）需要预留的长方形位置的长为178cm，宽为101cm；（3）普屏的屏幕面积大，理由见解析 【分析】（1）根据人体工程学要求求出宽与长的比与0.618比较大小即可 （2）根据勾股定理先求出80寸的宽屏电视机的长和宽，再分别加2即可 （3）分别求出宽屏的屏幕面积和普屏的屏幕面积比较大小即可 【详解】解：（1）宽屏更适合人体工程学要求，理由如下： ∵宽屏的长宽比为； ∴宽屏的宽与长的比为； ∴0.5625-0.618=-0.0555 ∵普屏的长宽比为． ∴普屏的宽与长的比为 ∴0.75-0.618=0.132 ∴宽屏更适合人体工程学要求 （2）∵宽屏的长宽比为； ∴设长为16xcm，则宽为9xcm(x>0)， ∵电视机屏幕为80寸， ∴（16x）2+（9x）2=(802， ∴ ∴， ∴长为16，宽为9x= ∴需要预留的长方形位置的长为：176+2=178cm,宽为：99+2=101cm （3）普屏的屏幕面积大，理由如下： 设相同尺寸为a寸，宽屏电视的长宽分别为16m和9m， 普屏电视的长宽分别为4n和3n ∴， ∴， ∴宽屏的屏幕面积= 普屏的屏幕面积= ∵ ∴普屏的屏幕面积大 【点睛】本题考查了勾股定理的应用以及长方形的面积，读懂题意，根据已知条件得出所需内容是解题的关键 【典型例题六 解决航海问题】 【例1】（2025·广西贵港·模拟预测）如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表，以点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理．根据题意得出及、后即可根据勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接，数轴交点为， 由题意得，同心圆平均分成十二等分，则每三等分即为， ， 又个单位长度代表， ，， 根据勾股定理可得， 中，． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西的方向航行6海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西的方向航行8海里，这时两轮船相距 海里． 【答案】10 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．根据题意可得，，再根据勾股定理可得的长，即可得两轮船的距离． 【详解】解：如图，    根据题意可知：，， ∴（海里）． ∴两轮船相距10海里． 故答案为：10． 【例3】（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以20海里／时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，2小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若B，C两岛相距50海里，求乙船的航行速度． 【答案】乙船的航行速度是15海里／时． 【分析】本题考查了方位角，勾股定理，解题的关键是得出，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：∵甲船沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行， ∴． 在中，（海里），海里， ∴（海里）， ∴乙船的航行速度是（海里／时）． 答：乙船的航行速度是15海里／时． 1．（24-25八年级上·山西·阶段练习）已知，如图，一轮船以 16海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12 海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港小时后，则两船相距（     ） A．15海里 B．20海里 C．35海里 D．40海里 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，方位角问题，根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，求得两艘船行驶的距离．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ， 小时后，两艘船分别行驶了海里，海里， 根据勾股定理得：（海里）． 故选：A 2．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，一艘船从A处向北偏西的方向行驶5海里到B处，再从B处向正东方向行驶8海里到C处，此时这艘船与出发点A处相距 海里．    【答案】7 【分析】根据直角三角形的三角函数得出，，进而得出，利用勾股定理得出即可． 【详解】解：如图： ， ， ，海里， 海里，海里， （海里）， （海里）， 故答案为：7．    【点睛】此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数得出，解答． 3．（24-25八年级上·河南三门峡·期中）如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时． (1)求港口A到海岛B的距离； (2)B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2)乙船 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答此题的关键是构造直角三角形，利用解直角三角形的相关知识解答． （1）作于点D，构造两个直角三角形并解直角三角形，用表示出和，利用和之间的关系列出方程求解； （2）分别求得两船看见灯塔的时间，然后比较即可． 【详解】（1）解：过点B作于点D， 在中，，设，则， 在中，， 则，， 由得， 解得， ， 答：港口A到海岛B的距离为海里； （2）解：甲船看见灯塔所用时间：小时， 乙船看见灯塔所用时间：小时， 所以乙船先看见灯塔． 4．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，港口A在港口B的南偏西方向处，一艘渔船从港口A出发，以的速度沿着北偏东的方向前进，后，一艘快艇从B出发，以的速度沿着北偏西的方向前进．设快艇出发． (1)当渔船、快艇到各自出发地的距离相等时，可得方程 ； (2)当快艇出现在渔船的正北方时，求x的值．（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列一元一成方程、解直角三角形、一元一成方程的应用等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形、运用解直角三角形解决实际问题成为解题的关键． （1）先分别表示出渔船、快艇的路程，然后根据各自出发地的距离相等列出方程即可； （2）先根据题意作出辅助线、构造直角三角形可得，，．在中解直角三角形可得，在中，解直角三角形可得，然后根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：设快艇出发，则渔船从港口A出发后的路程为，后，一艘快艇从B出发的路程为， 所以当渔船、快艇到各自出发地的距离相等时，可得方程． （2）解：设快艇出现在渔船的正北方时，快艇和渔船所在地点分别是C，D，按照如图的方式构造相应辅助线． 由题意得，，． 在中，， ， ． 在中，， ， ． 在中，， ， ． ，， ，解得． 【典型例题七 求河宽】 【例1】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意，得，，， 在中，， ∴， 解得， 即河的宽度是15米， 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，已知感应器离地面的高度为米，一名学生站在处被感应到，感应门会自动打开，这名学生身高为米，头顶离感应器的距离为米，这名学生从进入感应区到进门，需行进 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作于E，则米，，得到米，由勾股定理得出米，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于E，则米，， 米， 米， 米， 在中， 由勾股定理得：米， 米， 即这名学生从进入感应区到进门，需行进米， 故答案为：． 【例3】（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得，．求A，B两点间的距离？ 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理问题成为解题的关键． 根据题意直接运用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：在中，. 根据勾股定理得：． 答：A,B两点间的距离为． 1．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）游泳员小明横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲达到点B60米，结果他在水中实际游了100米，这条河宽为(      )． A．80米 B．100米 C．72米 D．112米 【答案】A 【分析】实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答． 【详解】根据图中数据，运用勾股定理求得AB=m， 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解这在几何的计算问题中是经常用到的，请同学们熟记并且能熟练地运用它. 2．（2025·山东淄博·模拟预测）如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm． 【答案】50 【详解】如图,设圆心为O, 连接AO，CO， ∵直线l是它的对称轴， ∴CM=30，AN=40， ∵CM ²+OM ²=AN ²+ON ²， ∴30 ²+OM ²=40 ²+(70−OM) ²， 解得：OM=40， ∴OC==50， ∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm. 故答案为50. 3．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，，，．线段是一条水渠，且点在边上，已知水渠的造价为130元，问：当水渠的造价最低时，长为多少米？最低造价是多少元？    【答案】长为米，最低造价是6000元 【分析】根据“垂线段最短”可得，当时，最短，用等面积法求解即可．再乘以单价，即可得出造价． 【详解】解：根据题意可得：当时，最短， ∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∵， ∴，即， 解得：， ∴最低造价（元）， 答：长为米，最低造价是6000元． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握“垂线段最短”，勾股定理的内容，会用等面积法求直角三角形斜边上的高． 4．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知________（填“”“”“”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)男孩需向右移动的距离为米 【分析】（1）由绳长始终保持不变即可求解； （2）由勾股定理求出、的长，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变， ， （2）解：连接，则点、、三点共线， 在中，（米， （米， 在中，（米， ， （米， 男孩需向右移动的距离为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出、的长是解题的关键． 【典型例题八 求台阶上地毯长度】 【例1】（24-25八年级上·广西河池·期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 当地毯铺满楼梯时，其长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯所需长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在一个高米，长米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是知道求地毯长度即求在直角三角形中，已知，，根据勾股定理即可求得的值，根据题意求地毯长度即求得即可． 【详解】解：将水平地毯下移，竖直地毯右移即可发现：地毯长度为直角三角形的两直角边之和，即， 根据勾股定理可得米， 故地毯长度为米， 故答案为：． 【例3】（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为； (2)元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长度是解题的关键． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， ∴地毯的面积为， 每平方米地毯25元， 需要花费（元）； 答：需要花费元地毯才能铺满所有台阶． 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平面展开最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力，将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答，解题的关键是能将侧面展开成长方形，从而用勾股定理求解． 【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的边长， ∴长为米；宽为米． 于是最短路径为：米． 故选：B．    2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由出发，在盒子表面上爬到点，已知，，，这只蚂蚁爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】将长方体盒子按不同方式展开，得到不同的长方形，求出不同长方形的对角线，最短者即为正确答案． 【详解】解：由题意， 如图所示， 得； 如图所示， 得， 如图3所示， ， ∴蚂蚁爬行的最短路程是10． 故答案为：10. 【解答】本题考查了勾股定理的应用，根据题意将长方体盒子展开为平面图形，根据勾股定理求出最短路程进行比较是解题关键． 3．（24-25八年级上·山东东营·期中）如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示，    ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是13． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示为一棱长为3cm的正方体，把所有的面分成3×3个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至右侧面点B处，最少要花几秒钟？ 【答案】2.5秒 【详解】分析:将立体图形展开成平面图形,然后根据两点之间线段距离最短,利用根据勾股定理进行求解把此正方体的点A所在的面展开,然后在平面内,利用勾股定理求点A和B点间的线段长,即可得到蚂蚁爬行的最短距离,在直角三角形中,一条直角边长等于5,另一条直角边长等于2,利用勾股定理可求得． 详解:（1）展开底面右面由勾股定理得AB=cm, （2）展开前面右面由勾股定理得AB= 所以最短路径长为5cm,用时最少:5÷2=2.5秒． 点睛: 本题考查了勾股定理的拓展应用,“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 【典型例题九 判断汽车是否超速】 【例1】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是 米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是 秒． 【答案】 80 12 【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可． 【详解】解：作于， ，m， m， 即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m． 如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点， ， ， 在中，m， m， 重型运输卡车的速度为36千米时米秒， 重型运输卡车经过的时间（秒， 故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒． 故答案为：80，12． 【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【例2】（24-25八年级上·广西贵港·期中）已知某高速路段限速（即）．如图，汽车在车速检测仪A正前方30米的处，过了后到处，测得．请通过计算判断汽车是否超速． 【答案】没有超速 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为数学问题成为解题的关键． 由勾股定理可得，再根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断即可解答． 【详解】解：汽车没有超速，理由如下： 依题意，由勾股定理可得：，，， ． ∴， ∴． ∴汽车没有超速． 【例3】（24-25八年级上·广东东莞·期中）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米． (1)请求出观测点C到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)观测点C到公路的距离为米 (2)此车没有超速，理由见解析 【分析】此题主要考查了度的角所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． （1）过点C作于H，先求出的长，再用勾股定理求解即可； （2）先求出的长，再求出的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点C作于H， 在中， ， ． 米 （米） （米） 即观测点C到公路的距离为（米）． （2）解：米， 米 米 ∴车速为（米/秒） 千米/小时米/秒， ∴此车没有超速． 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米． (1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离； (2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)新路长度是120米 (2)该车没有超速，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，勾股定理表示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解． （1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度； （2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】（1）解：过点作，交于点D．即是新路． ， ， 在中，， 由勾股定理得， ， ， ∴新路长度是120米． （2）解：该车没有超速．理由如下： 在中，， 由勾股定理得， ， ， ， ∵该车经过区间用时16秒， ∴该车的速度为， ， ∴该车没有超速． 2．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路的一侧有一报亭A，报亭A到公路的距离为600米，且宣讲车P周围1 000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿方向行驶．    (1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由； (2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？ 【答案】(1)报亭的人能听到广播宣传，理由见解析 (2)报亭的人总共能听到8分钟的广播宣传 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，垂线段最短： （1）根据垂线段最短，结合600米米即可得到结论； （2）如图，假设当宣讲车P行驶到点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P行驶过点时，报亭的人开始听不到广播宣传，连接．利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据时间等于路程除以速度即可得到答案． 【详解】（1）解：报亭的人能听到广播宣传，理由如下： ∵600米米， ∴报亭的人能听到广播宣传． （2）解：如图，假设当宣讲车P行驶到点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P行驶过点时，报亭的人开始听不到广播宣传，连接． 由题意得，米，米，，    由勾股定理得米，米， ∴米． ∵ (分)， ∴报亭的人总共能听到8分钟的广播宣传． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）校车安全是近几年社会关注的热点问题之一，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验．如图所示，现在笔直的公路旁取一点，在公路上确定点，，使得，，再在上确定点，使得，测得米，已知本路段对校车限速是千米/时，若测得某校车从到匀速行驶用时秒．（参考数据：） (1)求点D到线段AB的距离（结果保留整数）； (2)利用（1）中的结果，请通过计算判断这辆车在本路段是否超速？ 【答案】(1)到线段的距离为米 (2)这辆车在本路段未超速 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理的应用． （1）过作于E，根据直角三角形两锐角互余求得，根据直角三角形中，角所对的边是斜边的一半可得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求得的值； （2）根据直角三角形两锐角互余求得，，推得平分，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得，求得的值，根据直角三角形中，角所对的边是斜边的一半可得的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求得的值；即可判断是否超速． 【详解】（1）解：过作于E，如图： 则， ∵， ∴， 在中，， ∴（米）， 故到线段的距离为米． （2）解：∵，，， ∴，，， 则， 即平分， ∵，， ∴（米）， 则（米）， 在中，，， ∴（米）， 故（米）， 车速为（米/秒） 米/秒千米/时千米/时． 故这辆车在本路段未超速． 4．（24-25八年级上·河南开封·期末）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条高速公路上沿直线行驶，某时刻刚好行驶到路对面处车速检测仪的正前方的处，如图，过了大巴车到达处，此时测得大巴车与处车速检测仪的距离为． (1)求的长； (2)通过计算说明大巴车是否超速？ 【答案】(1)； (2)超速了． 【分析】（）利用勾股定理即可求解； （）求出大巴车的速度即可判断求解； 本题考查了勾股定理的实际应用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，，，， ∴， ∴的长为； （2）解：， ∵， ∴大巴车超速了． 【典型例题十 判断是否受台风影响】 【例1】（24-25八年级上·江西九江·期中）如图，铁路和公路在点处交会，公路上点距离点是，与这条铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间是（    ） A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒 【答案】A 【分析】过点A作，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则，，根据勾股定理求出求出的长，进而得到的长，即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点A作，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则，， ∵公路上点距离点是，与这条铁路的距离是， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∵， ∴A处受噪音影响的时间为：． 故选：A 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 【答案】70 【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案． 【详解】解：如图，设米， ∵，米， ∴（米）， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒）， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【例3】（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)持续小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）过点作，利用勾股定理求出，再利用等面积法得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （3）假设当，时，正好影响港口，利用勾股定理得出，，再得出的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港受台风影响； （2）解：如图，假设当，时，正好影响港口， ∴，， ∴， ∵台风的速度为千米/小时， ∴（小时）， 答：海港受台风影响的时间会持续小时． 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 【答案】B 【分析】本题考查的是点勾股定理的应用，过点作，利用直角三角形的性质求出的长与相比较，发现受到影响，然后过点作，求出的长即可得出受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点作，米， ，米， 米， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时米， 米，米， 由勾股定理得：米，米，即米， 火车在铁路上沿方向以20米秒的速度行驶， 影响时间应是：秒． 故选：B．    2．（24-25八年级上·河南濮阳·阶段练习）如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以36千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为 秒． 【答案】32 【分析】如图，首先过点作，求出最短距离的长度，然后在上取点，使得，根据勾股定理得出的长度，即可求出的长度，然后计算出时间即可． 【详解】解：如图，过点作， 米， 米米， 在上取点，使得，当火车在上时，处受噪音影响， 米， 由勾股定理得米，米， 即米， 36千米/时10米/秒， 处受噪音影响的时间为：秒， 故答案为：32． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，有一台环卫车沿公路由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线上两点A，B的距离分别为和，又，环卫车周围以内为受噪声影响区域． (1)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (2)若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 【答案】(1)学校C会受噪声影响．理由见解析 (2)环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟． 【分析】本题主要考查的是勾股定理在实际生活中的运用，正确作出辅助线、构造出直角三角形是解题的关键． （1）如图，过点C作于D，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，进而得出学校C是否会受噪声影响； （2）利用勾股定理得出，进而得到的长，进而得出环卫车噪声影响该学校持续的时间． 【详解】（1）解：学校C会受噪声影响．理由如下： 如图，过点C作于D， ∵， ∴． ∴是直角三角形． ∴， ∴，解得：米． ∵环卫车周围以内为受噪声影响区域， ∴学校C会受噪声影响． （2）解：如图：当时，在上行驶时，正好影响学校C， ∵，同理， ∴， ∵环卫车的行驶速度为每分钟50米， ∴（分钟）， ∴环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由． 【答案】(1)监测点A与监测点B之间的距离为 (2)海港C会受到此次台风的影响，台风影响该海港8小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理求出即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响；若受影响，利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：在中，，， ， 答：监测点与监测点之间的距离为； （2）解：海港受台风影响， 理由：，， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港会受到此次台风的影响， 以为圆心，长为半径画弧，交于，， 则时，正好影响港口， 在中，， ， 台风的速度为， ． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 【典型例题十一 选址使到两地距离相等】 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（    ）．    A．4 B．5 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是本题的关键． 根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， 所以：， 解得：． 所以，的长是． 所以，． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一个牧童在小河的南400m的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西800m北700m处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是 【答案】1700m 【分析】先作A关于MN的对称点，连接A′B，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则从A延AP到P再延PB到B，此时AP＋BP＝A′B， 在Rt△A′DB中， 由勾股定理求得A′B＝＝＝1700m， 答：他要完成这件事情所走的最短路程是1700m． 故答案为1700m． 【点睛】本题考查的是勾股定理和轴对称在实际生活中的运用，需要同学们联系实际，题目是一道比较典型的题目，难度适中． 【例3】（24-25八年级上·河南南阳·期末）为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路m上修建一个天然气站E，同时向D，C两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做饭．已知如图：D到道路m的距离，C到道路m的距离，A，B两地距离．气站E应建在道路m的什么位置，使得C，D两居民区到气站E的距离相等？ (1)请你设计出气站E的位置（在图中用尺规作图作出符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹）； (2)计算出气站E到A处的距离． 【答案】(1)见解析； (2)气站E距离A处． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． （1）由，可知点E在线段的垂直平分线上，即可得答案； （2）设，，得，，再利用解答即可． 【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求． （2）解：设， ∵， 又∵ ∴ 解得 ∴气站E距离A处． 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点知道校车自点处沿轴向原点方向匀速驶来，去截汽车．若点的坐标为，点的坐标为，则小蓓最快截住汽车的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理在实际生活中的运用，根据题意画出图形的能力．在点小蓓与汽车相遇，则小蓓的行进路线为，设，在中，为斜边，已知，，即可求，且，根据的等量关系可以求得，即可求相遇点的坐标．找到并且根据其求点坐标是解题的关键． 【详解】解：如图，设在点小蓓与汽车相遇，且设，过点轴， ∴，， ∵的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， ，在中， ∴， 解得：， ∴点坐标为． 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期末）某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24 m，AB离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度CD为18 m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17 m，则 m． 【答案】10 【分析】连接OA，OB，OM，即为圆弧的半径，则根据勾股定理和已知条件，可得，圆弧的半径是，则有，即可得出半径为13，利用，即可求出MH，则可求出MN. 【详解】解：如图示：连接OA，OB，OM，并且CD交AB、MN与G、H两点， 根据对称性，有 ，， ∴， 设圆弧的半径是，即：， ∴， 由勾股定理可得：，即：， 解之得：， ∴, 由勾股定理可得：，即：， 解之得：， ∴ 故答案为：10. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能熟练构造出直角三角形是解题的关键. 3．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，铁路上有、两点（看作直线上两点）相距千米，、为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得、两村到煤栈的距离相等． 设煤栈应建在距点千米处的点处，如图，则千米．      (1)（______）千米； (2)煤栈应建在距点多少千米处？ 【答案】(1) (2)千米处 【分析】（）连接，则，由勾股定理可得，解之即可求解； （）根据（）的结果即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接，则， ∵，， ∴， ∵千米， ∴千米， ∵， ∴， 解得， ∴千米， 故答案为：； （2）解：由（）得，千米， ∴煤栈应建在距点千米处． 4．（24-25八年级上·河北承德·期末）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 【答案】探索求证：见解析；问题解决：千米；延伸扩展： 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 【典型例题十二 求最短路径】 【例1】（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，正方体的棱长长为3，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，展开后利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，根据题意可知最短距离为，，， 根据勾股定理得：， 蚂蚁爬行的最短距离为， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·广西贵港·期中）如图，一个圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线的长为 ．（杯壁厚度不计） 【答案】13 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开，轴对称距离最短，勾股定理．将杯子侧面展开，作点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即最短，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于的对称点， ∴为矩形， 根据题意得，，， ∴， 连接，则即为最短距离， ． 故答案为：13． 【例3】（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是______； (2)应用二：解决实际问题． 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1) (2)绳索的长为 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握最短路的计算，勾股定理的计算方法是关键． （1）根据题意可得圆柱底面圆的周长为，由展开图可得即为最短路径，由勾股定理即可求解； （2）根据题意得到四边形是矩形，如图所示，过点作，四边形，是矩形，则，，设，则，在中由勾股定理得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：圆柱的底面半径为， ∴圆柱底面圆的周长为， 如图所示，即为最短路径，，， ∴， ∴最短的路线长是， 故答案为：； （2）解：根据题意，， ∴四边形是矩形， ∴， 如图所示，过点作， ∴， ∴四边形，是矩形， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴绳索的长为． 1．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．22米 D．24米 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于，再根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图是其侧面展开图： （米），（米），（米）， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为（米）． 故选：B． 2．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，护城河在处直角转弯，宽度保持4米，从往处，经过两座桥：，．设护城河是东西—南北方向，，在东西方向上相距64米，南北方向距84米，恰当地架桥可使，，的路程最短．则这个最短距离是 米． 【答案】108 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，将点向下平移至点，使的长等于河宽，将点向右平移至点，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点，；过点作于点D，过点作于点，可证明四边形和四边形都是平行四边形，得到，则当四点共线时，有最小值，即此时，，的路程最短，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示， 将点向下平移至点，使的长等于河宽，将点向右平移至点，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点，；过点作于点D，过点作于点，则四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴当四点共线时，有最小值，即此时，，的路程最短， ∵，在东西方向上相距64米，南北方向距84米，且河宽为4米， ∴点G与点F的东西距离为米，南北距离为米， ∴点G与点F的距离为米， ∴这个最短距离是米， 故答案为：108． 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）已知圆锥的底面半径为，高，现有一只蚂蚁从底边上一点A出发，在侧面上爬行一周后又回到A点． (1)求圆锥的全面积； (2)求蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求圆锥全面积，勾股定理，弧长公式， 对于（1），先根据勾股定理求出圆锥的母线，再根据得出答案； 对于（2），先根据弧长公式求出圆心角，可知该三角形是直角三角形，结合两点之间线段最短，再根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）解：∵． ∴在中，由勾股定理，得母线， ∴； （2）解：设扇形的圆心角为．由（1）知，， 而圆锥的侧面展开后的扇形的弧长为， ∴， 解得，即是等腰直角三角形． 在中，由勾股定理，得， ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 4．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【实践发现】数学兴趣小组在研究蚂蚁在圆柱侧面爬行问题时，发现蚂蚁沿圆柱侧面从一点爬到另一点的最短路径问题与圆柱的展开图有关． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：测量圆柱的底面半径，测得圆柱底面半径是2厘米； 第二步：测量圆柱的高，测得圆柱的高为4厘米； 第三步：如图，假设蚂蚁在圆柱侧面从点A爬到点B，研究其最短路径情况． 【问题解决】设蚂蚁爬行的最短路径长度为厘米，通过计算即可求得最短路径长度． (1)根据题意知圆柱底面半径厘米，圆柱的侧面展开后是一个长方形（取3），其中一条直角边（圆柱侧面展开后长方形的高）为　　　厘米，另一条直角边（底面圆周长的一半）为　　　厘米； (2)在展开图中，蚂蚁的最短路径是连接的线段长，请你计算蚂蚁从点爬到点的最短路程． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查圆柱侧面展开图与勾股定理的应用，解题的关键是将圆柱侧面展开，把立体图形上的最短路径问题转化为平面图形中直角三角形的斜边求解问题． （1）先根据圆柱的相关数据求出侧面展开图长方形的两条直角边的长度， （2）利用勾股定理求出展开图中连接A、B两点线段的长度，即蚂蚁爬行的最短路程． 【详解】（1）解：已知圆柱的高为4厘米，圆柱侧面展开后长方形的高就等于圆柱的高，所以其中一条直角边为4厘米， 已知圆柱底面半径厘米，取3，根据圆的周长公式，则底面圆周长的一半为厘米，即另一条直角边为6厘米， 故答案为：，； （2）解：（厘米）， 答：蚂蚁从点爬到点的最短路程厘米． 1．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，一梯子斜竖在垂直于地面的墙上，若，，则梯子的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，由题意可得，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∵，， ∴由勾股定理可得：， 故选：A． 2．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，将一根长的木棒置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，若木棒露在水杯外部的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 如图，由勾股定理得，，则，此时吸管露在杯子外面的长度最短，由题意知，吸管露在杯子外面的长度最长为，即，然后作答即可． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，， ∴，此时吸管露在杯子外面的长度最短， 由题意知，当吸管竖直放置时，吸管露在杯子外面的长度最长为， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（   ） A．13尺 B．12尺 C．24尺 D．26尺 【答案】A 【分析】本题考查正确勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题是学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设芦苇长为尺，水深尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设芦苇长为尺，水深尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 即芦苇的长度13尺． 故选：A． 4．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在观测站处测得船和灯塔分别位于正东方向和北偏东方向，灯塔位于船的北偏东方向海里处，若船向正东航行，则船离灯塔的最近距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．4海里 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 作于D，则船A离灯塔B的最近距离是的长．作于E．解直角，求出．解直角，求出，那么．再解直角，得出． 【详解】解：如图， 作于D，则船A离灯塔B的最近距离是的长．作于E． ，． 在直角中， ，， . . ，， ． 在直角中， ，， ． ． 在直角中， ，， ． 故选：A． 5．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图是一个房间的立体图形，其中，，，点M在棱上，且，N是的中点，已知壁虎要沿着墙壁，地面从点M爬行到N，则它需要爬行的最短路程为（   ）． A． B． C． D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用平面展开图有两种情况需要比较，画出图形利用勾股定理求出的长，然后作比较即可． 【详解】解：将长方体侧面展开如图所示， ，， ， 是中点， ， ， ； 如图，过点作于点， 则，， ， ， ， 它需要爬行的最短路程为， 故选：D． 6．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，一架米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物米，如果梯子的顶部滑下米，那么梯子的底部向外滑出 米（其中梯子从位置滑到位置） 【答案】0.8 【分析】本题考查的了勾股定理的实际应用，找出题目中隐含的直角三角形是解题的关键．先求梯子原先顶部的高度，然后求出梯子下滑后顶部的高度，最后利用勾股定理求出下滑后梯子底部到建筑物的距离即可解答本题． 【详解】解：在中， 根据勾股定理，可求得： ， 现在梯子的顶部滑下0.4米，即（米）， 在中，（米）， （米）， 梯子的底部向外滑出的距离为（米）， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，一轮船从港口O出发以32海里/时的速度向北偏西方向航行，另一轮船同时从港口O出发以24海里/时的速度向南偏西方向航行，航行1小时后，两船相距 海里． 【答案】40 【分析】本题考查了方位角和勾股定理的应用，准确理解题意是解题的关键．先根据方位角的定义得出，继而求出，再根据题意得出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，连接， 由题意得，， ∴， ∵一轮船从港口O出发以32海里/时的速度向北偏西方向航行，另一轮船同时从港口O出发以24海里/时的速度向南偏西方向航行，航行1小时， ∴， ∴（海里）， 故答案为：40． 8．（24-25八年级上·浙江台州·期中）某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长 米． 【答案】1000 【分析】延长700米和400米的两边，交于点C，分析得出，再分别求出和，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，延长700米和400米的两边，交于点C， 由题意可得：， 由图中数据可得：， ， ∴米， 故答案为：1000． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形． 9．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在 时间段内做预防工作． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解答的关键．根据勾股定理求得的长，进而分别求得台风开始影响到台风结束影响时的时间，然后可求解． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∵距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，且台风速度为， ∴台风开始影响点D的时刻为（时）， 台风结束影响点D的时间为（时）， 故台风开始影响到台风结束影响，则他们要在时间段内做预防工作， 故答案为：． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ． 【答案】100 【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，此时最短；为直角的斜边，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，蚂蚁沿着的路线爬行时路程最短． 则， 根据题意：，， ∴， ∴， ∴最短路线长为， 故答案为：． 11．（2025·四川成都·模拟预测）如图，一棵被大风吹折的大树在B处断裂，树梢着地．经测量，折断部分AB与地面的夹角∠BAC＝30°，树干BC在某一时刻阳光下的影长CD＝6米，而在同时刻身高1.5米的人的影子长为2米．求大树未折断前的高度． 【答案】13.5米 【分析】用比例式求得AB的长度，然后在中求出BC的长，两者相加即可求出未折断前大树的高度． 【详解】解：依题意得, 则BC＝4.5（米）． 在Rt△ACB中，AB＝2BC＝9（米） 所以 4.5+9＝13.5（米） 答：大树未折断前的高度约为13.5米． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确构造直角三角形． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是某小区两面直立的墙壁之间的安全通道的示意图，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置（点B）不动，将梯子斜靠在右墙，梯子顶端到地面的距离为1.5米．求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽． 【答案】小巷的宽度为2.7米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用．先在中，利用勾股定理求出梯子的长度，再在中，利用勾股定理求出的长，即可得到答案. 【详解】解：在中， ∵，米，米， ∴． ∴（米）． 在中， ∵，米，， ∴， ∴． ∵， ∴米． ∴米． 答：小巷的宽度为2.7米． 13．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，是一段笔直的公路，由于某些原因限制，公路上的段行人可直接到达，段行人无法直接到达，王莹想测量这段公路的总长度，于是她在公路一侧的地面上取点D，经测量得知，于点C，米，米，米，请你求出这段公路的总长度． 【答案】150米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵，米，米， ∴米， 又米， ∴米， ∴这段公路的总长度为150米． 14．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．    (1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？ (2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)见解析，80米 (2)超速，见解析 【分析】（1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度； （2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】（1）过点A作，交l于点D．    ，        在中，， 由勾股定理得 ，     新路长度是80米． （2）该车超速     在中，， 由勾股定理得 ，    该车经过区间用时 ∴该车的速度为   该车超速． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解． 15．（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是厘米；（3）蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由题意得：，， ， 故答案为：； （2）将圆柱体侧面展开，如下图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：，， ， 底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 勾股定理的应用（1大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 求梯子滑落高度 典型例题二 求旗杆高度 典型例题三 求小鸟飞行距离 典型例题四 求大树折断前的高度 典型例题五 解决水杯中筷子问题 典型例题六 解决航海问题 典型例题七 求河宽 典型例题八 求台阶上地毯长度 典型例题九 判断汽车是否超速 典型例题十 判断是否受台风影响 典型例题十一 选址使到两地距离相等 典型例题十二 求最短路径 知识点01 勾股定理的应用 勾股定理的作用 1、已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2、用于解决带有平方关系的证明问题； 3． 与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用． 【典型例题一 求梯子滑落高度】 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）某小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【例2】 （24-25八年级上·山东青岛·期末）学习了“勾股定理”之后，小明同学为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为；（）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③若小明同学想使风筝沿方向下降，则他应该往回收线 ． 【例3】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，某校八年级（1）班的小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图1），进行了如下操作： ①牵线放风筝的小明手抓线的地方与地面的距离为1.5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③测得小明手抓线的地方与风筝的水平距离的长为8米．         (1)求风筝的垂直高度； (2)如图2，小明想让风筝沿方向下降9米到点M处，则他应该往回收线多少米？ 1．（24-25八年级上·河南开封·阶段练习）如图，两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米，则当滑块A向下滑13厘米时，滑块B向右滑动了（   ） A．9厘米 B．24厘米 C．12厘米 D．15厘米 2．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 米．    3．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）已知某消防车的云梯最大能伸长25米，在一次救援中，消防车云梯伸到最长25米，它的底部与建筑物之间的水平距离米，云梯底部与地面的距离米． (1)求此时云梯顶端C离地面的高度为多少米； (2)若云梯顶端需要伸到距离地面17的处，则消防车需要向建筑物方向移动多少米到达处？ 4．（24-25八年级上·山西太原·期中）校训对师生的行为规范有指导意义，它向所有师生指明了努力的方向．校训往往设置在学校最为醒目的地方，使每一个师生经常性地看到它，受其潜移默化的心理脉冲．如图，山西省实验中学有一处教学楼高，其上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点处？（结果保留根号）    【典型例题二 求旗杆高度】 【例1】（24-25八年级上·河北张家口·阶段练习）如图，已知地面上A，B在一条直线上，米，当无人机从A处竖直上升30米时，无人机到B处的距离为（    ） A．60米 B．50米 C．45米 D．40米 【例2】（24-25八年级上·辽宁本溪·阶段练习）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”．设秋千的绳索长为尺，根据题意可列方程为 ． 【例3】（24-25八年级上·安徽宿州·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的时节，八（1）班有位同学在学完勾股定理后，为计算风筝的垂直高度，不考虑风等影响，放出去的风筝线是直的．进行了如下测量： ①测得水平距离的长为； ②根据手中剩余的线计算出放出去的风筝线为 ③该同学身高1.6m (1)求风筝的垂直高度 (2)如果该同学想让风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少米？ 1．（24-25八年级上·广东茂名·期中）如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（   ）（假设绳子是直的） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 ． 3．（24-25八年级上·河南焦作·期中）《西江月》中描述：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千在静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将秋千往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 4．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）图①是某学校的篮球架实物图，其侧面示意图如图②所示．“综合与实践”小组开展了测量篮板的长度的实践活动，在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下方案： 课题 测量篮板的长度 成员 组长：×××  组员：×××××× 工具 竹竿、皮尺、计算器等 测量示意图 如图，垂直地面于点C，线段，表示同一根竹竿，第一次将竹竿的一个端点与点A重合，另一端点落在地面的点D处，第二次将竹竿的一个端点与点B重合，另一端点落在地面的点E处 测量数据 竹竿的长度 的长度 的长度 根据表格中的方案和测量数据，请你帮助该“综合与实践”小组求出篮板的长度． 【典型例题三 求小鸟飞行距离】 【例1】（24-25八年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高 的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，某自动感应门的正上方处A装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.7米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则 米．    【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇． 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁营口·期末）如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为 ． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高，两杆相距．现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？ 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【典型例题四 求大树折断前的高度】 【例1】（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，在一次强台风中，一棵大树在离地面3米处折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为4米，则这棵树折断前的高度为（   ） A．8米 B．6米 C．5米 D．3米 【例2】（24-25八年级上·福建南平·阶段练习）如图所示，一棵大树折断后倒在地上，则大树没折断前的高度的是 ；    【例3】（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，大树在折断之前高多少米？ 1．（2025·重庆大渡口·模拟预测）《九章算术》是我国古代数学名著，记载着“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”意思是：一根笔直生长的竹子，高一丈（一丈=10尺），因虫害有病，一阵风吹来将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度是多少尺?设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面高度是 .尺。 3．（24-25八年级上·重庆奉节·阶段练习）如图，车高，货车卸货时后面支架弯折落在地面处，经过测量，求弯折点B与地面的距离．    4．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为．    (1)求旗杆在距地面多高处折断（即求的长度）． (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部米处是否有被砸伤的风险？ 【典型例题五 解决水杯中筷子问题】 【例1】（2025·四川成都·模拟预测）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【例2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，是一个有盖的盒子，长宽高如图中标注，若在盒中放一根细棒，则细棒的最大长度是 ． 【例3】（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，有一个长方形水池，它的长是米，池中央长了一棵芦苇，露出水面米，将芦苇拽至池边，它的顶端刚好与水面一样平，求水有多深？芦苇有多长？ 1．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是，高是，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为 ． 3．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸（丈、尺是长度单位，1丈10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B恰好到达池边的水面D处，问水的深度是多少？ 4．（24-25八年级上·浙江台州·期末）现代电视屏幕尺寸的设计，主要追求以下目标：一是更符合人体工程学要求（宽与长的比接近与0.618）；二是设计适当的长宽比使屏幕的面积尽可能大现行的电视机屏幕有“宽屏”和“普屏”两种制式，宽屏的长宽比为；普屏的长宽比为． （1）哪种屏幕更适合人体工程学要求？请说明理由． （2）一般地，电视屏幕的“几寸”指的是这个屏幕的长方形的对角线长有多少英寸，1英寸，小明家想买80寸的宽屏电视机（边框宽都为），并嵌入到墙中．则需要预留的长方形位置的长、宽各多少？（最后结果保留到整数，，） （3）在相同尺寸的电视机屏幕中，宽屏的屏幕面积大还是普屏的屏幕面积大？请说明理由． 【典型例题六 解决航海问题】 【例1】（2025·广西贵港·模拟预测）如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表，以点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西的方向航行6海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西的方向航行8海里，这时两轮船相距 海里． 【例3】（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以20海里／时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，2小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若B，C两岛相距50海里，求乙船的航行速度． 1．（24-25八年级上·山西·阶段练习）已知，如图，一轮船以 16海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12 海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港小时后，则两船相距（     ） A．15海里 B．20海里 C．35海里 D．40海里 2．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，一艘船从A处向北偏西的方向行驶5海里到B处，再从B处向正东方向行驶8海里到C处，此时这艘船与出发点A处相距 海里．    3．（24-25八年级上·河南三门峡·期中）如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时． (1)求港口A到海岛B的距离； (2)B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？（结果保留一位小数） 4．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，港口A在港口B的南偏西方向处，一艘渔船从港口A出发，以的速度沿着北偏东的方向前进，后，一艘快艇从B出发，以的速度沿着北偏西的方向前进．设快艇出发． (1)当渔船、快艇到各自出发地的距离相等时，可得方程 ； (2)当快艇出现在渔船的正北方时，求x的值．（参考数据：，，，） 【典型例题七 求河宽】 【例1】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 【例2】（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，已知感应器离地面的高度为米，一名学生站在处被感应到，感应门会自动打开，这名学生身高为米，头顶离感应器的距离为米，这名学生从进入感应区到进门，需行进 米． 【例3】（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得，．求A，B两点间的距离？ 1．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）游泳员小明横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲达到点B60米，结果他在水中实际游了100米，这条河宽为(      )． A．80米 B．100米 C．72米 D．112米 2．（2025·山东淄博·模拟预测）如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm． 3．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，，，．线段是一条水渠，且点在边上，已知水渠的造价为130元，问：当水渠的造价最低时，长为多少米？最低造价是多少元？    4．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知________（填“”“”“”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 【典型例题八 求台阶上地毯长度】 【例1】（24-25八年级上·广西河池·期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在一个高米，长米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米． 【例3】（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由出发，在盒子表面上爬到点，已知，，，这只蚂蚁爬行的最短路程是 ． 3．（24-25八年级上·山东东营·期中）如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？ 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示为一棱长为3cm的正方体，把所有的面分成3×3个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至右侧面点B处，最少要花几秒钟？ 【典型例题九 判断汽车是否超速】 【例1】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是 米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是 秒． 【例2】（24-25八年级上·广西贵港·期中）已知某高速路段限速（即）．如图，汽车在车速检测仪A正前方30米的处，过了后到处，测得．请通过计算判断汽车是否超速． 【例3】（24-25八年级上·广东东莞·期中）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米． (1)请求出观测点C到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，） 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米． (1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离； (2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由． 2．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路的一侧有一报亭A，报亭A到公路的距离为600米，且宣讲车P周围1 000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿方向行驶．    (1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由； (2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？ 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）校车安全是近几年社会关注的热点问题之一，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验．如图所示，现在笔直的公路旁取一点，在公路上确定点，，使得，，再在上确定点，使得，测得米，已知本路段对校车限速是千米/时，若测得某校车从到匀速行驶用时秒．（参考数据：） (1)求点D到线段AB的距离（结果保留整数）； (2)利用（1）中的结果，请通过计算判断这辆车在本路段是否超速？ 4．（24-25八年级上·河南开封·期末）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条高速公路上沿直线行驶，某时刻刚好行驶到路对面处车速检测仪的正前方的处，如图，过了大巴车到达处，此时测得大巴车与处车速检测仪的距离为． (1)求的长； (2)通过计算说明大巴车是否超速？ 【典型例题十 判断是否受台风影响】 【例1】（24-25八年级上·江西九江·期中）如图，铁路和公路在点处交会，公路上点距离点是，与这条铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间是（    ） A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒 【例2】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 【例3】（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 2．（24-25八年级上·河南濮阳·阶段练习）如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以36千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为 秒． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，有一台环卫车沿公路由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线上两点A，B的距离分别为和，又，环卫车周围以内为受噪声影响区域． (1)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (2)若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由． 【典型例题十一 选址使到两地距离相等】 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（    ）．    A．4 B．5 C．6 D． 【例2】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一个牧童在小河的南400m的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西800m北700m处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是 【例3】（24-25八年级上·河南南阳·期末）为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路m上修建一个天然气站E，同时向D，C两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做饭．已知如图：D到道路m的距离，C到道路m的距离，A，B两地距离．气站E应建在道路m的什么位置，使得C，D两居民区到气站E的距离相等？ (1)请你设计出气站E的位置（在图中用尺规作图作出符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹）； (2)计算出气站E到A处的距离． 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点知道校车自点处沿轴向原点方向匀速驶来，去截汽车．若点的坐标为，点的坐标为，则小蓓最快截住汽车的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期末）某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24 m，AB离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度CD为18 m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17 m，则 m． 3．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，铁路上有、两点（看作直线上两点）相距千米，、为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得、两村到煤栈的距离相等． 设煤栈应建在距点千米处的点处，如图，则千米．      (1)（______）千米； (2)煤栈应建在距点多少千米处？ 4．（24-25八年级上·河北承德·期末）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 【典型例题十二 求最短路径】 【例1】（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，正方体的棱长长为3，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·广西贵港·期中）如图，一个圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线的长为 ．（杯壁厚度不计） 【例3】（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是______； (2)应用二：解决实际问题． 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 1．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．22米 D．24米 2．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，护城河在处直角转弯，宽度保持4米，从往处，经过两座桥：，．设护城河是东西—南北方向，，在东西方向上相距64米，南北方向距84米，恰当地架桥可使，，的路程最短．则这个最短距离是 米． 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）已知圆锥的底面半径为，高，现有一只蚂蚁从底边上一点A出发，在侧面上爬行一周后又回到A点． (1)求圆锥的全面积； (2)求蚂蚁爬行的最短距离． 4．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【实践发现】数学兴趣小组在研究蚂蚁在圆柱侧面爬行问题时，发现蚂蚁沿圆柱侧面从一点爬到另一点的最短路径问题与圆柱的展开图有关． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：测量圆柱的底面半径，测得圆柱底面半径是2厘米； 第二步：测量圆柱的高，测得圆柱的高为4厘米； 第三步：如图，假设蚂蚁在圆柱侧面从点A爬到点B，研究其最短路径情况． 【问题解决】设蚂蚁爬行的最短路径长度为厘米，通过计算即可求得最短路径长度． (1)根据题意知圆柱底面半径厘米，圆柱的侧面展开后是一个长方形（取3），其中一条直角边（圆柱侧面展开后长方形的高）为　　　厘米，另一条直角边（底面圆周长的一半）为　　　厘米； (2)在展开图中，蚂蚁的最短路径是连接的线段长，请你计算蚂蚁从点爬到点的最短路程． 1．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，一梯子斜竖在垂直于地面的墙上，若，，则梯子的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，将一根长的木棒置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，若木棒露在水杯外部的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（   ） A．13尺 B．12尺 C．24尺 D．26尺 4．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在观测站处测得船和灯塔分别位于正东方向和北偏东方向，灯塔位于船的北偏东方向海里处，若船向正东航行，则船离灯塔的最近距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．4海里 5．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图是一个房间的立体图形，其中，，，点M在棱上，且，N是的中点，已知壁虎要沿着墙壁，地面从点M爬行到N，则它需要爬行的最短路程为（   ）． A． B． C． D．10 6．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，一架米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物米，如果梯子的顶部滑下米，那么梯子的底部向外滑出 米（其中梯子从位置滑到位置） 7．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，一轮船从港口O出发以32海里/时的速度向北偏西方向航行，另一轮船同时从港口O出发以24海里/时的速度向南偏西方向航行，航行1小时后，两船相距 海里． 8．（24-25八年级上·浙江台州·期中）某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长 米． 9．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在 时间段内做预防工作． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ． 11．（2025·四川成都·模拟预测）如图，一棵被大风吹折的大树在B处断裂，树梢着地．经测量，折断部分AB与地面的夹角∠BAC＝30°，树干BC在某一时刻阳光下的影长CD＝6米，而在同时刻身高1.5米的人的影子长为2米．求大树未折断前的高度． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是某小区两面直立的墙壁之间的安全通道的示意图，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置（点B）不动，将梯子斜靠在右墙，梯子顶端到地面的距离为1.5米．求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽． 13．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，是一段笔直的公路，由于某些原因限制，公路上的段行人可直接到达，段行人无法直接到达，王莹想测量这段公路的总长度，于是她在公路一侧的地面上取点D，经测量得知，于点C，米，米，米，请你求出这段公路的总长度． 14．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．    (1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？ (2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由．         15．（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 学科网（北京）股份有限公司 $$