第04讲 二次函数的应用（2大知识点+12大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假八升九数学衔接讲义（浙教版）

第04讲 二次函数的应用（2大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 图形问题 典型例题二 图形运动问题 典型例题三 拱桥问题 典型例题四 销售问题 典型例题五 投球问题 典型例题六 喷水问题 典型例题七 增长率问题 典型例题八 二次函数综合一一特殊三角形问题 典型例题九 二次函数综合一一特殊四边形 典型例题十 二次函数综合一一相似三角形问题 典型例题十一 二次函数综合一一周长问题 典型例题十二 二次函数综合一一面积问题 知识点01 二次函数的应用 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 知识点02 二次函数的应用最值与轨迹问题 1、最值问题 (最大值/最小值) 利润最大化： 总利润 = (售价 - 成本) × 销量。售价或销量通常是变量，且销量常随售价增加而减少（线性关系），总利润函数常为二次函数。求使利润最大的定价或产量。 成本最小化： 材料成本、运输成本、库存成本等组合优化问题中，总成本可能表示为某个变量的二次函数。 固定周长围最大面积： 如用一定长度的篱笆围矩形菜地、养鸡场等。设一边长为 x，另一边用周长表示，面积 S = x * (L/2 - x) 是二次函数。 固定表面积求最大体积： 如从矩形纸板四角剪去相同大小的正方形折成无盖盒子，求盒子最大容积。设剪去正方形边长为 x，则盒子容积 V = x(L-2x)(W-2x) 展开后是三次函数，但在特定约束下（如对称）可能转化为二次函数问题，或通过导数解决（高中）。 路径最值问题： 如几何中求线段和的最小值（常需利用对称性转化为两点间线段最短），有时涉及二次函数。 2、 抛物线轨迹问题 抛体运动： 投掷铅球、篮球投篮、炮弹发射等。已知初速度 v₀ 和发射角度 θ（或初始水平速度 v₀x、竖直速度 v₀y），建立高度 y 与水平距离 x 的函数关系 y = ax² + bx + c。 求最大高度（顶点纵坐标）。 求射程（落地点水平距离，令 y = 0 解二次方程）。 求达到某一高度时的水平距离。 判断是否能命中目标（特定点的坐标是否满足抛物线方程或在轨迹上）。 桥梁拱形、隧道顶部： 桥梁、隧道的纵截面轮廓是抛物线形。已知关键点坐标（如桥墩位置和高度、拱顶高度），建立抛物线方程，用于计算任意点的支撑高度、车辆通过高度限制判断等。 喷泉的水柱： 水从喷口喷出的路径近似抛物线。 【典型例题一 图形问题】 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图，把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体盒子（纸板厚度忽略不计）盒子底面积与剪去的小正方形边长之间的函数表达式是 （不需要写自变量取值范围）． 【例3】（2025·浙江·模拟预测）工人师傅要将如图所示的矩形分割成甲、乙、丙3块，用来填充不同材质的产品．已知，点分别在和上，，且．设． (1)设甲、乙两块材料的面积之和为，求与之间的函数解析式； (2)当取何值时，甲，乙两块材料的面积之和为? (3)丙部分面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【例4】（2025·浙江宁波·模拟预测）九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为15米)，现用长为34米栅栏（安装过程中不重叠、无损耗），围成中间隔有一道栅栏的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设矩形菜地垂直于墙的栅栏边AB长为x米，面积为S平方米． (1)直接写出S与x间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； (2)围成的菜地面积能达到81平方米吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，围成菜地的面积S最大？最大面积是多少平方米？ 1．（2025·浙江金华·模拟预测）如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论： ①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12． 其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，点是正方形的边上的一个动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，面积的最小值为 ． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，学校有一面长8米的墙，生物兴趣小组打算用总长16米的篱笆在墙前面的空地上围成两个矩形分别饲养小兔和小鸡，矩形一边靠墙． (1)要使小兔和小鸡活动区域总面积为21平方米，垂直于墙的边AB长为多少？ (2)若小鸡活动区域为正方形，设计方案使得小兔活动区域面积最大． 4．（2025·浙江湖州·模拟预测）新教材实施以来，各校积极推进跨学科项目学习实践活动，如图1是我县某校跨学科项目学习实践基地示意图，其外轮廓可以近似看成一条抛物线的一部分，经测量，，．如图2，李老师以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，取的中点，连接，过点作的垂线交抛物线于点，将基地划分为三个区域用于种植不同的蔬菜，测得． (1)请你利用以上信息求出抛物线的函数表达式． (2)为了保证种植前期幼苗的成活率，需要在抛物线上选取一点，安装一个遮阳网，请你利用所学知识确定点的位置，使遮阳网覆盖面面积最大，求出点的横坐标． 【典型例题二 图形运动问题】 【例1】 （24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图所示，直角三角形中，，且．设直线：截此三角形所得的阴影部分面积为，则与之间的函数关系的图象为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么经过（   ）秒，四边形的面积最小．    A．0.5 B．1.5 C．3 D．4 【例3】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 ． 【例4】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 1．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，是直角三角形，．点从点出发，沿方向以的速度向点运动到达点停止运动）；同时点从点出发，沿方向以的速度向点运动到达点停止运动；当其中一个动点到达终点时，则另一个动点也停止运动，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，矩形中，，动点P从点A出发，以的速度沿向终点D移动，设移动时间为．连接，以为一边作正方形连接，则的面积最小值为 ． 3．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，点P从点C开始沿向点B以的速度移动，点Q从A开始沿向点C以的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问： (1)出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于？ (2)出发多少时间时，的面积为？ (3)面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？ 4．（2025·浙江·模拟预测）如图①，在正方形中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，连接，．当到达点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为，，的面积为． (1)请直接写出与的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系图②中，画出函数的图象； (3)若（2）中函数的图象与直线有两个交点，求的取值范围． 【典型例题三 拱桥问题】 【例1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再上升，则水面的宽度是多少？（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·浙江温州·期末）杭州之门位于杭州奥体博览城，总高约310米，刷新杭州最新高度，同时也成为中国第一高H形双塔楼．双塔底部为跨度约62米，高度约34米的巨型抛物线结构（如图），则a的值最接近于（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，根据以上信息可知主桥拱最高点与其在水中的倒影点之间的距离为 米． 【例4】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部宽为，顶部距地面的高度为． (1)试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式； (2)一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为，那么这辆汽车能否顺利通过大门？ 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，以水平地面为x轴，垂直于水平地面且位于池塘中心的线为y轴建立平面直角坐标系，池塘的宽，池底最深处距离水平地面5 ，原来的水面宽24 ，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为（    ） A．1.2 B．1 C．0.8 D．0.6 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线、为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点B（即）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中正确的是 ． ①玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为；②直线的解析式为；③点P到杯口的距离为；③点P到点D的距离为． 3．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为8米，它两侧和是高为5.5米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为15米，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求桥拱所在抛物线的函数表达式； (2)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米．今用一大型运货汽车装载某大型设备，设备顶部宽为4米，与地面的距离均为7米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由． 4．（2025·浙江温州·模拟预测）某施工队要建设一个高速公路隧道，如图是工程师利用电脑软件制作的隧道横断面设计图的局部．以水平路面为轴建立平面直角坐标系（每个单位长度为米），隧道的拱顶形状为抛物线，且解析式为．    (1)求隧道底部路面的宽度； (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为米，该双车道能否同时并行两辆宽米、高米的车辆？请通过计算说明； (3)工程队在施工时，需要在隧道门口搭建一个矩形施工架，使点，在抛物线上．点，在地面线上（如图所示）．为了准备工程材料，需计算施工架三根钢杆，，的长度之和的最大值是多少，请你帮工程队计算一下． 【典型例题四 销售问题】 【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某商家代销一种产品，销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件产品下降1元时，日销售量增加2件．已知每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元，设每件产品售价为（元），商家每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下面的三个问题中都有两个变量： ①将一根长为的铁丝刚好围成一个矩形，矩形的面积y与矩形一条边长x； ②赵老师匀速从家走到学校所走的路程y和行走时间x； ③中秋节后，某超市月饼卖不出去，决定促销，月饼成本价为10元/kg，原价为30元/kg，此时日销量为10kg，当月饼单价每降价1元，每天可以多卖出10kg，月饼利润y与降价x；其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的（　　） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【例3】（24-25九年级上·全国·单元测试）小红把班级勤工助学挣得的班费元按一年期存入银行，已知年利率为，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本、利和为元，则与之间的函数关系式为 ． 【例4】（2025·广东河源·模拟预测）某服装大卖场以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量（件）与每件的销售价（元）之间的函数关系为． (1)当每天的销售量为件时，求销售这种服装的毛利润； (2)如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应如何定价？并求出最大毛利润． 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）弗里热是2024年巴黎夏季奥运会和残奥会的吉祥物．某特许经销店销售一种弗里热造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中x为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件．若该商店销售这种玩偶每天获得的利润为w元，则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江衢州·模拟预测）一种商品在原售价的基础上涨价销售，每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图1，日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图2．则日销售的最大利润为 元． 3．（2025·浙江温州·模拟预测）清明节是我国的传统节日．这天人们都会以扫墓献花等方式来缅怀逝者．八年级小宇同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着清明假期赚点零花钱，他以8元/束的价格从爸爸那里购入一批菊花，准备在清明节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种菊花日销售量（束）与销售单价（元）的对应值表： 销售单价/元 16 18 20 22 日销售量/束 24 20 16 12 小宇马上判断出与是一次函数关系．请你根据以上信息，将小宇完成下列问题： (1)求关于的函数解析式．（不必写自变量的取值范围） (2)当销售单价为多少元时，小宇获得的日销售利润最大？最大利润是多少？ (3)爸爸要求小宇日销售利润不低于168元，并且要为消费者考虑，问销售单价至少应定为多少元？ 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第天生产的产品数量为件，与满足关系式为：． (1)小强第___________天生产的产品数量为200件？ (2)设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； (3)设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 【典型例题五 投球问题】 【例1】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系是．有下列结论：①这名男生铅球推出的水平距离为；②铅球到达最高点时的高度为；③当铅球的高度为，推出的水平距离为或．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）图1是一张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式．图2中，发球机从中线的端点的正上方处的点发球，乒乓球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点，其高度为，以为原点，所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系．记图2中球的落点为点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·浙江湖州·模拟预测）如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为轴，过最高点且垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．则该标枪运动轨迹的函数关系式为：，已知运动员出手点距离最高点的水平距离为，则该运动员投掷标枪的水平距离为 ． 【例4】（2025·浙江温州·模拟预测）某科技创新兴趣小组制作了一种投石器，如图1，为检验投石器的性能，进行如下操作：如图2，将投石竿点端拉至水平地面处，放手后投石竿绕支点旋转，从点处把石头甩出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，以水平地面为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系，如图3．已知米，抛物线顶点的坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了检验投石器的性能，在点的正前方2米米处设置了一个长为0.5米，内壁高为0.6米，外壁高为0.8米的目标箱（其中垂直轴）．兴趣小组为了把石头投入目标箱，可以垫高投石器或在轴正方向移动投石器（假设每次都以相同的角度和力度投石），当垫高投石器时，设垫高的高度为米，求的取值范围（取值范围不取端点）． 1．（2025·浙江温州·模拟预测）有一斜坡，斜坡上点处有一棵树，．如图建立平面直角坐标系，从点处抛出一个小球，恰好经过树的顶端，落地点为．小球距离水平地面的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①这棵树的高度； ②小球运动的最大高度为； ③小球运动时的高度低于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图是王明正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，B，C三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，第一个台阶到x轴距离．从点A处向右，上方沿抛物线发出一个带光的点P．当点P落在台阶上时，落点的坐标是 ． 3．（2025·浙江衢州·模拟预测）一个小球从地面竖直向上抛，其运动关系式：（不计空气阻力），其中是物体距离地面的高度，是初速度，是重力加速度（取），是抛出后所经历的时间，用发射器（发射器的高度忽略不计）将小球以的初速度从地面竖直向上抛． (1)当小球的高度为时，求时间的值； (2)小球的高度能达到吗？请作出判断，并说明理由； (3)若在抛出之后将另一个完全相同的小球以相同的速度从地面竖直向上抛，这两个小球在某一时刻的高度均为，求两次抛球的时间差． 4．（2025·浙江·模拟预测）【综合与实践】为迎接全市青少年乒乓球赛，学校体育队利用乒乓球发球器进行训练，数学兴趣小组对乒乓球发球器的发球过程进行了记录和分析． 【主题】乒乓球发球器的发球有效性的研究 【问题背景】球台长约2.8米，发球器位于球台一侧的边缘，从点处发球，球网位于球台中点距发球器约1.4米处，的高度约为0.15米． 【建立模型】设球距离球台一侧的边缘的水平距离为（单位：米），球距离台面的竖直高度为（单位：米），发球轨迹可视为一条抛物线． 任务一：当发球点距台面高度为0.525米，兴趣小组利用频闪仪测量得到，当球距离球台一侧的边缘的水平距离为1米时，乒乓球飞行到最大高度为0.625米． （1）求此时与的关系式； （2）判断此次发球是否有效（球是否越过球网且落在对方台面内）； 任务二：不改变发球器的发球速度和方向（即抛物线开口大小和对称轴不变），发球器的高度调整到一定范围时，发球有效．设，求的取值范围．（结果精确到0.01米） 【典型例题六 喷水问题】 【例1】（24-25九年级上·浙江·期中）巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管最大喷水高度为3米，此时喷水水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，这是一个简易桶装水的取水装置和其出水示意图，从出水口处喷出的水流可抽象为抛物线，点是水流与水杯底部的接触点．若水流运动的高度（单位：厘米）与水平距离（单位：厘米）近似满足函数关系式，则该抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为 ． 【例4】（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线．当水流距离地面时，距喷灌嘴的水平距离为，水流落地点距喷灌嘴的水平距离． (1)求水流所在抛物线的函数表达式； (2)为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑． ①若雕塑的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到； ②若在距喷灌嘴水平距离为处有一高度为的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？ 1．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，某数学小组发现滨江生态公园有一座假山的局部（阴影部分）的主视图呈现抛物线形状，以点O为原点建立平面直角坐标系（坐标系上1个单位长度表示），假山轮廓所在的抛物线的解析式为，其中垂直于水平地面，在点B处安装一喷水口，若向上喷出的水柱恰好为抛物线，落水点恰好为点C．下列说法不一定正确的是（   ） A．假山上的点B到水平地面的距离为 B．水平方向上的长度为 C． D．抛物线与的对称轴相同 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）大型客机是我国首次按照国际通行适航标准自行研制，具有自主知识产权的喷气式干线客机，如图在某次大型客机过水门仪式中，两条水柱从两辆消防车、中斜向上射出，形似抛物线，以两车所连水平直线的中点为坐标原点，平行于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当两辆消防车喷射口位置的水平距离为米时，“水门”最高点距离喷射口的竖直高度为 米 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在水池中心点处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点在同一水平面．安装师傅进行了调试，记录了三次数据：第一次，喷头高时，水柱落点距点；第二次，喷头高时，水柱落点距点．第三次，喷头高时，水柱落点距点． (1)根据上述数据，求该抛物线表达式中的值； (2)若记第一次调试时，抛物线形水柱距离水平面的最大高度为，记第二次调试时，抛物线形水柱距离水面的最大高度为，在某次调试中，抛物线形水柱距离水面的最大高度为，若，则喷头的高度为___________． 4．（2025·浙江绍兴·模拟预测）项目式学习 项目主题：无人机喷洒农药研究． 项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性． 驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济． 建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点为无人机的摄像头，是喷药口，，在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷药口点和点到点的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为． （1）试确定点A所在抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度． （3）如图4，在直线上再增加2个喷药口和，在左侧，在右侧，且，当无人机上升到距地面的高度为时，直接写出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长． 【典型例题七 增长率问题】 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）一台机器原价为100万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y与x之间的函数关系为（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·浙江湖州·期末）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是，降价后的价格为元，原价为元，则y与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）由于制药技术的提高，某种疫苗的成本下降了很多，因此医院对该疫苗进行了两次降价，设平均降价率为x，已知该疫苗的原价为462元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为 ． 【例4】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（    ） A．1.2 B． C． D． 2．（2024·浙江衢州·模拟预测）某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x(x＞0)，十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 4．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）： 温度/℃ …… －4 －2 0 2 4 4.5 …… 植物每天高度增长量/mm …… 41 49 49 41 25 19.75 …… 这些数据说明：植物每天高度增长量关于温度的函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种． （1）你认为是哪一种函数，并求出它的函数关系式； （2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？ （3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请直接写出结果． 【典型例题八 二次函数综合一一特殊三角形问题】 【例1】 （2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为P．下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点，当时，则m的取值范围是；⑤当是直角三角形时，符合条件的a值有3个．其中正确结论的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例2】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【例3】（24-25九年级上·浙江舟山·期中）如图，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，所得新拋物线的顶点为D，并与y轴交于点A，对称轴与函数的图象的交点为，若新抛物线存在点P使以D为底的等腰三角形，则点P的坐标为 ． 【例4】（2025·浙江衢州·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，．点是该抛物线上一动点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，若点在第一象限，点在的延长线上，当时，求点的坐标： (3)如图2，若点在第四象限，直线与交于点，过点作轴交于点，当是等腰三角形时，求线段的长． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，抛物线经过等腰直角三角形的两个顶点A，B，点A在y轴上，则的值为(   ) A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴的负半轴交于点B，点B坐标为，如果点P在轴上，且是等腰三角形，则P的坐标为 ． 3．（2025·浙江舟山·模拟预测）如图，抛物线（a、c为常数，）与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一个动点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求点P的坐标． 4．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值． (3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标 【典型例题九 二次函数综合一一特殊四边形】 【例1】 （2024九年级·全国·竞赛）已知同一个平面直角坐标系中有三点、、，其中，如果二次函数的图象上有一点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点的个数有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点A，B，C．且B点为其顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为A点，则平移后抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，边长为8的正方形的中心在直角坐标系的原点O，轴，以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分．则图中阴影部分的面积是 ． 【例4】（2024·浙江·模拟预测）如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，二次函数表达式为，若该函数的图象与四边形的边有交点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例2】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是 ． 【例3】（24-25九年级上·浙江衢州·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线和线段，其中点，点，点是抛物线与轴的交点，点是抛物线的顶点． (1)求直线的解析式； (2)点在抛物线上，且与点关于对称轴对称，连接，，，射线交轴于点，连接，，四边形是否能构成平行四边形？如果能，请求的值；如果不能，说明理由； (3)若抛物线与线段只有一个交点，结合函数图象，求的取值范围． 【例4】（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点． (1)求点，点的坐标； (2)抛物线与抛物线关于原点成中心对称，求抛物线的表达式； (3)已知的对应点为，的对应点为，的对应点为，以，，，，，六个点中的4个点为顶点构造四边形，请写出形状为菱形的四边形，并求出面积最大的菱形面积． 【典型例题十 二次函数综合一一相似三角形问题】 【例1】（2025·浙江金华·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点的距离，始终等于它到定直线：的距离（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．其中原点O为的中点，．如图2所示，已知过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A、B、C．若，，则a的值为 ． 【例3】（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，已知抛物线经过点，，交轴于另一点，其顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）为轴上一点，若与相似，直接写出点的坐标． 【例4】（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，抛物线交x轴正半轴于点C，连结，． (1)求点C的坐标和直线的表达式； (2)设抛物线分别交边，延长线于点D，E． ①若与相似，求抛物线表达式； ②若是等腰三角形，则a的值为______（请直接写出答案即可）． 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图：已知抛物线与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，抛物线的顶点为点P． (1)拋物线L的对称轴为___________，点C的坐标为___________． (2)若，求抛物线的表达式． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的抛物线的对称轴为，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)已知轴上的动点，连接，若与相似，求点的坐标． 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图1，抛物线与x轴正半轴交于点A，点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段绕点A逆时针旋转，点B刚好与点C重合，点B的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，以点B为圆心，以1为半径画圆，若点Q为上的一个动点，连接，求的最小值． 4．（2025·浙江·模拟预测）已知抛物线． (1)如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点恰好在x轴上，求抛物线的对称轴及a的值； (2)如图2，抛物线的图象记为“G”，与y轴交于点，过点的直线与（1）中的图象“W”交于P，C两点，与图象“G”交于点D． ①当时，求的值； ②当时，请用合适的式子表示（用含的式子表示）． 【典型例题十一 二次函数综合一一周长问题】 【例1】（2025九年级上·浙江杭州·专题练习）已知抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线和抛物线于A、B两点，过点A作轴交抛物线于点C，过点B作轴交抛物线于点D．则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【例3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，抛物线 与直线交与点A与点B，点P是线段AB上的动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为 ． 【例4】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)连结，求的面积． (2)若抛物线上一点，满足的面积是的面积的一半，求点坐标． (3)若抛物线的对称轴上有一动点，求出当最小时点的坐标． 1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（    ）    A． B． C．或 D．或 2．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图（1），在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间之间的函数关系图象如图（2）所示（点为曲线部分的最低点），则的值为 ． 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知：直线经过点，抛物线与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D，抛物线与交y轴于点E． (1)求点B，点C的坐标（用含字母a的代数式表示）； (2)连接，求线段的最小值； (3)当直线恰好经过点E时，求a的值． 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）自古以来，放风筝便是春天不可或缺的乐趣之一．如图是某同学设计的一只风筝的平面示意图，其外轮廓为三角形，中间有一个抛物线形的装饰图案，抛物线的顶点为，抛物线与三角形的一边相交于、两点（点与点关于抛物线的对称轴对称），以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知，点到的距离为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知点的坐标为，该同学准备在抛物线上取两点、（点与点关于抛物线的对称轴对称），与抛物线对称轴的交点为，点在点的上方，沿和缝制两条装饰线条，请你计算与长度之和的最大值． 【典型例题十二 二次函数综合一一面积问题】 【例1】（2025·广东揭阳·模拟预测）如图，两抛物线的函数解析式分别为和，则阴影部分面积为（   ） A． B．2 C．1 D． 【例2】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，且．点在抛物线上，的面积为4．将该抛物线向右平移4个单位，再向下平移2个单位后，点的对应点为，抛物线与轴交于，两点，则的面积是（   ） A．2 B．4 C． D． 【例3】 （24-25九年级上·山东济宁·期末）如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【例4】（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图，开口向下的抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点的横坐标为1． (1)求该拋物线所对应的函数解析式； (2)连接，，，求四边形的面积． 1．（2025·安徽宣城·模拟预测）如图，为线段上一点，，，，，，记和的面积分别为，．设，，则关于的函数图象为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，抛物线与x轴的另一个交点为A，现将抛物线向右平移个单位长度，所得抛物线与x轴交于C，D，与原抛物线交于点P，设的面积为S，则S可用含m的式子表示为 3．（2025·吉林松原·模拟预测）如图①所示，是等边三角形，，矩形的边，．点，，在一条直线上．如图②，将矩形沿向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，． 设，矩形与重叠部分的面积为． (1)当点落在上时，________； (2)当点落在上时，________； (3)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (4)当时，直接写出的取值范围． 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）对于二次函数，当自变量时，函数y的最大值为． (1)求二次函数的解析式． (2)如图，二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，P，Q是A与C之间的二次函数图象上的两个动点，轴交直线于点M，轴交直线于点N，轴于点E，轴于点D，，求当P，Q两点不重合时，线段的长． (3)在（2）的条件下，连接，求的面积的最大值． 1．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）一个小球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）和弹起的最高高度（米）分别是（   ） A．1，4 B．2，5 C．5，10 D．10，20 2．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 设每天的总利润为W（元），则W与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在边长为的菱形中，，点，同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，当其中一点到达点时，两点都随即停止运动．设运动时间为，的面积为，则下列能大致反映与之间关系的函数图象是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江金华·模拟预测）一个小球从地面上一点处以一定的方向弹出，落在斜坡上的点处，小球的飞行路线可以用二次函数表示，斜坡所在直线可以用表示，它们的图象如图所示，当小球飞行的水平距离为时，其飞行高度达到最大值（不考虑空气阻力等因素）． 有下列结论： ①，； ②小球在斜坡上的降落点距地面的高度为； ③若小球飞行高度与飞行时间满足关系式，则． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）一个8人小组参加集体跳长绳比赛，其中2人负责摇绳．站立的位置相距，剩余6人跳绳，他们都站在同一直线上．如图所示，当绳子摇到最高处时，绳子的形状近似于一条抛物线，摇绳的手距离地面都是，绳子的最高点距离地面．根据平时训练的情况，当绳子摇到最高处时，这6名学生头顶离地高度（单位：m）的范围如表所示． 学生 A B C D E F 头顶离地高度的范围 1.51～1.72 1.36～1.64 1.68～1.84 1.56～1.75 1.36～1.64 1.56～1.75 将此次比赛中这6名学生站立的队列长度记为（单位：m），若比赛中绳子都不会碰到他们的头顶，根据表一的数据可求的范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是．那么小球到达最大高度的时间是 7．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，，抛物线与轴交于点． （1）点的坐标为 ； （2）当时，点是抛物线在第一象限上的一动点，连接，，，若随的增大而增大，则的取值范围是 ． 8．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛（如图所示），那么物体离地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系为：．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间t为 秒． 9．（2025·浙江舟山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为 ． 10．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知抛物线过点，顶点为D．若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值为 ． 11．（2025·浙江温州·模拟预测）某服装大卖场以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量（件）与每件的销售价（元）之间的函数关系为． (1)当每天的销售量为件时，求销售这种服装的毛利润； (2)如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应如何定价？并求出最大毛利润． 12．（2025·浙江衢州·模拟预测）如图1是我们生活中常见的一只碗，图2是从正面看到的碗的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口的垂直平分线对称，且碗底与碗口平行，、均在抛物线上，，，已知，，，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式（、为常数）．    (1)求、的值和点的坐标； (2)若碗中装入一定量的水，水面，且与之间的距离为，求水面的宽度．  13．（2025·浙江杭州·模拟预测）汽车行驶在高速公路上遇到意外情况时，紧急停车需要经历反应（反应时间为秒）和制动两个过程，反应距离和制动距离分别记为和（单位：），停车距离为．（参考数据：） 汽车在反应过程保持原速度匀速运动，制动过程中的路程与行驶速度关系如下表所示： 原速度x（） 0 20 40 60 80 … 制动距离（） 0 2 8 18 32 … (1)将表格中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，并求出与x的函数关系式； (2)当行驶速度为时，求刹车距离S； (3)疲劳驾驶会导致司机制动反应时间增加，反应时间为正常时间的3倍，当疲劳驾驶停车距离比正常情况下增加时，求汽车原速度为多少． 14．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于C点，对称轴直线． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，直线与抛物线，x轴分别交于点M，N，于点D，点E在坐标平面内，若以M，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标； (3)如图2，若过（2）中点D的直线与抛物线交于P、Q两点（点P在点Q左侧），过Q点的直线与抛物线交于点R，探究直线是否经过某个定点？若经过某定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由． 15．（2025·浙江杭州·模拟预测）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．琪琪家计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为8米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，建立如图1所示的平面直角坐标系，已知骨架的一端固定在离地面4米的墙体A处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为2米，且点离地面的高度为4.25米． (1)求该抛物解析式，并写出点坐标； (2)为了大棚顶部更加稳固，琪琪爸爸计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，，分别交于点、．且（在左侧）．当、间的水平距离为3米时，求的长； (3)为了节约成本，支架调整为线段，组成，如图3所示，直接写出求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次函数的应用（2大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 图形问题 典型例题二 图形运动问题 典型例题三 拱桥问题 典型例题四 销售问题 典型例题五 投球问题 典型例题六 喷水问题 典型例题七 增长率问题 典型例题八 二次函数综合一一特殊三角形问题 典型例题九 二次函数综合一一特殊四边形 典型例题十 二次函数综合一一相似三角形问题 典型例题十一 二次函数综合一一周长问题 典型例题十二 二次函数综合一一面积问题 知识点01 二次函数的应用 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 知识点02 二次函数的应用最值与轨迹问题 1、最值问题 (最大值/最小值) 利润最大化： 总利润 = (售价 - 成本) × 销量。售价或销量通常是变量，且销量常随售价增加而减少（线性关系），总利润函数常为二次函数。求使利润最大的定价或产量。 成本最小化： 材料成本、运输成本、库存成本等组合优化问题中，总成本可能表示为某个变量的二次函数。 固定周长围最大面积： 如用一定长度的篱笆围矩形菜地、养鸡场等。设一边长为 x，另一边用周长表示，面积 S = x * (L/2 - x) 是二次函数。 固定表面积求最大体积： 如从矩形纸板四角剪去相同大小的正方形折成无盖盒子，求盒子最大容积。设剪去正方形边长为 x，则盒子容积 V = x(L-2x)(W-2x) 展开后是三次函数，但在特定约束下（如对称）可能转化为二次函数问题，或通过导数解决（高中）。 路径最值问题： 如几何中求线段和的最小值（常需利用对称性转化为两点间线段最短），有时涉及二次函数。 2、 抛物线轨迹问题 抛体运动： 投掷铅球、篮球投篮、炮弹发射等。已知初速度 v₀ 和发射角度 θ（或初始水平速度 v₀x、竖直速度 v₀y），建立高度 y 与水平距离 x 的函数关系 y = ax² + bx + c。 求最大高度（顶点纵坐标）。 求射程（落地点水平距离，令 y = 0 解二次方程）。 求达到某一高度时的水平距离。 判断是否能命中目标（特定点的坐标是否满足抛物线方程或在轨迹上）。 桥梁拱形、隧道顶部： 桥梁、隧道的纵截面轮廓是抛物线形。已知关键点坐标（如桥墩位置和高度、拱顶高度），建立抛物线方程，用于计算任意点的支撑高度、车辆通过高度限制判断等。 喷泉的水柱： 水从喷口喷出的路径近似抛物线。 【典型例题一 图形问题】 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键．设，花圃面积为，根据题意得，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，花圃面积为，则， 根据题意，， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为32， 故这个花圃的最大面积是， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图，把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体盒子（纸板厚度忽略不计）盒子底面积与剪去的小正方形边长之间的函数表达式是 （不需要写自变量取值范围）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，由剪去小正方形的边长，可得出折叠成的盒子的底面长为，宽为，利用矩形的面积公式，可得出S关于x的函数关系式 【详解】解：∵剪去小正方形的边长为， ∴折叠成的盒子的底面长为，宽为， 根据题意得：． 故答案为：． 【例3】（2025·浙江·模拟预测）工人师傅要将如图所示的矩形分割成甲、乙、丙3块，用来填充不同材质的产品．已知，点分别在和上，，且．设． (1)设甲、乙两块材料的面积之和为，求与之间的函数解析式； (2)当取何值时，甲，乙两块材料的面积之和为? (3)丙部分面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，甲，乙两块材料的面积之和为 (3)存在，丙部分面积的最大值为 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数解析式的计算，最值的计算方法是关键． （1）根据题意，，则，，由此即可求解； （2）由（1）知，，将代入即可求解； （3）根据题意，根据最值的计算，当时，取得最大值，最大值为，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴与之间的函数解析式为； （2）解：由（1）知，， ∵将代入，得， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，甲，乙两块材料的面积之和为； （3）解：存在，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴丙部分面积的最大值为． 【例4】（2025·浙江宁波·模拟预测）九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为15米)，现用长为34米栅栏（安装过程中不重叠、无损耗），围成中间隔有一道栅栏的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设矩形菜地垂直于墙的栅栏边AB长为x米，面积为S平方米． (1)直接写出S与x间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； (2)围成的菜地面积能达到81平方米吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，围成菜地的面积S最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2)能， (3)时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得该图形的长为米，然后根据面积公式可进行求解； （2）由题意易得，然后进行求解方程即可； （3）由题意易得，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：依题意得：，整理得：， 解得：； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴当时，围成的菜地面积为81平方米． （3）解：∵墙的最大可用长度为15米， ∴，即， 解得， 根据题意得：， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为105， ∴时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米． 1．（2025·浙江金华·模拟预测）如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论： ①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12． 其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象和性质，观察图2，得出当时，函数值最大，根据题意确定a的值，并可求出二次函数解析式，即可做出正确判断． 【详解】解：由图2可知，函数图象最高点为，经过原点， 设二次函数解析式为， 代入，得： 解得， ∴， 由此判断：①矩形最大面积是4平方米，说法错误； ②二次函数解析式为，说法正确； ③矩形面积最大时，，说法错误； ④当时，矩形面积取最大值， ∴， ∴，说法正确． 所以，说法正确的是②④，共2个， 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，点是正方形的边上的一个动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的应用、正方形性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题关键，过点F作交延长线于点H，先证，设，用含a的式子表示，再根据二次函数性质求最值即可． 【详解】解：过点F作交延长线于点H， ， 在正方形中，， ， ， 四边形是直角梯形， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 面积的最小值为， 故答案为：． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，学校有一面长8米的墙，生物兴趣小组打算用总长16米的篱笆在墙前面的空地上围成两个矩形分别饲养小兔和小鸡，矩形一边靠墙． (1)要使小兔和小鸡活动区域总面积为21平方米，垂直于墙的边AB长为多少？ (2)若小鸡活动区域为正方形，设计方案使得小兔活动区域面积最大． 【答案】(1)3米 (2)见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程和二次函数在几何图形面积问题中的应用．解题关键在于根据几何图形的边长关系设未知数，利用面积公式建立方程或函数表达式，同时要注意结合实际条件（如墙长对边长的限制）来确定未知数的取值范围，进而求解问题． （1）本题通过设未知数来建立方程求解．设，由于篱笆总长为，且边有段（两个矩形），所以平行于墙的边长为．根据矩形面积公式长宽，总面积为平方米，得到方程．求解方程得到两个根， ．又因为墙长米，即，解这个不等式得到，所以舍去，确定． （2）同样先设，因为小鸡活动区域为正方形，所以 ，根据矩形面积公式得到小兔活动区域面积矩形 ，这是一个二次函数．对于二次函数（），当时，图象开口向下，在对称轴处取得最大值．这里，对称轴为 ，且由墙长限制，即，在这个范围内，随的增大而减小，所以当时，取得最大值 ，进而得出米，米时，小兔活动区域面积最大． 【详解】（1）解：设，根据题意得， 解得，， ∵，， ∴ 答：垂直于墙的边长为3米． （2）解：设，则，根据题意得， ， 当时，随的增大而减小 ∵，， ∴当时，最大 答：当米，米时，小兔活动区域面积最大． 4．（2025·浙江湖州·模拟预测）新教材实施以来，各校积极推进跨学科项目学习实践活动，如图1是我县某校跨学科项目学习实践基地示意图，其外轮廓可以近似看成一条抛物线的一部分，经测量，，．如图2，李老师以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，取的中点，连接，过点作的垂线交抛物线于点，将基地划分为三个区域用于种植不同的蔬菜，测得． (1)请你利用以上信息求出抛物线的函数表达式． (2)为了保证种植前期幼苗的成活率，需要在抛物线上选取一点，安装一个遮阳网，请你利用所学知识确定点的位置，使遮阳网覆盖面面积最大，求出点的横坐标． 【答案】(1) (2)点横坐标为5 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意可得，，据此利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，求出直线解析式为，设，则，可得，再由，得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，， ∵点是中点， ∴，且， ∴， 设二次函数解析式为，把点代入得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴交于点， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设，则 ∴ ， ∵， 当时，的面积最大，则点横坐标为5． 【典型例题二 图形运动问题】 【例1】 （24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图所示，直角三角形中，，且．设直线：截此三角形所得的阴影部分面积为，则与之间的函数关系的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了动点问题的函数图象，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 由题意得到三角形为等腰直角三角形，进而确定出三角形为等腰直角三角形，表示出与的函数解析式，画出大致图象即可． 【详解】解： Rt中，， 为等腰直角三角形， 直线， 为等腰直角三角形，即， ， 画出大致图象，如图所示， 故选B． 【例2】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么经过（   ）秒，四边形的面积最小．    A．0.5 B．1.5 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的最值，将问题转化成方便求的值是本题的关键． 求四边形的面积最小即求面积最大，设时间为，用含有的式子表示面积，求最大值即可． 【详解】解：面积为定值， 当面积最大时，四边形的面积最小， 设时间为秒， 则，， ， ， 当时，面积最大，此时四边形的面积最小． 故选：B． 【例3】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用配方法即可求出四边形的面积最小值． 【详解】解：在中，，，， ， 设运动时间为，则，， 当时，四边形的面积取最小值，最小值为． 故答案为：15． 【例4】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 【答案】(1) (2)3秒 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、二次函数的性质． （1）利用三角形的面积公式求解即可； （2）把代入（1）的函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，；． ∴， ， ∴S关于t的函数解析式为； （2）解：当时，， 整理得，即， 解得或（舍去）， 答：3秒时，的面积等于． 1．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，是直角三角形，．点从点出发，沿方向以的速度向点运动到达点停止运动）；同时点从点出发，沿方向以的速度向点运动到达点停止运动；当其中一个动点到达终点时，则另一个动点也停止运动，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查动点问题中三角形面积的最值求解，解题的关键是用含时间的表达式表示出的底和高，进而得出面积表达式，再根据二次函数性质求最值．先设运动时间为秒，分别表示出、的长度，再根据三角形面积公式得出面积关于的表达式，最后求该表达式的最大值． 【详解】解：点从到运动时间为秒，点从到运动时间为秒， 其中一个动点到达终点，另一个动点也停止运动， ． 已知点速度为，点速度为， 设运动时间为秒，则， ． ， ，且， 当时，有最大值，最大值为． 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，矩形中，，动点P从点A出发，以的速度沿向终点D移动，设移动时间为．连接，以为一边作正方形连接，则的面积最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用三角形的面积公式求二次函数的解析式，勾股定理的运用等知识，由题意得：，，根据三角形面积公式可得的面积y与t的关系式，由图得：，代入可得结论． 【详解】解：设的面积为， 由题意得：，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 当t为时，的面积最小，且最小值为． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，点P从点C开始沿向点B以的速度移动，点Q从A开始沿向点C以的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问： (1)出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于？ (2)出发多少时间时，的面积为？ (3)面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？ 【答案】(1)2秒 (2)当出发秒或秒时，的面积为 (3)是，最大面积为，此时运动时间3秒 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）利用勾股定理列出方程进行求解即可； （2）利用面积公式，列出方程进行求解即可； （3）利用面积列出二次函数解析式，利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， 由题意，得：， ∴， 由勾股定理，得：， 解得：或（不合题意，舍去）； 答：出发2秒时间时，点P，Q之间的距离等于 （2）由题意得：， 解得：或； 答：当出发秒或秒时，的面积为； （3）有最大值： ， ∴当时，面积最大为． 4．（2025·浙江·模拟预测）如图①，在正方形中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，连接，．当到达点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为，，的面积为． (1)请直接写出与的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系图②中，画出函数的图象； (3)若（2）中函数的图象与直线有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)当时，函数的图象与直线有两个交点 【分析】本题考查动点函数图象问题，二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合思想是解题的关键． （1）分两种情况，当时，点P在上，当时，点P在上，根据三角形面积公式分别列式即可； （2）根据（1）中所得解析式描点连线可得函数图象； （3）找出临界点：当直线经过点和时，直线与的图象只有一个交点，分别求出b的值，即可求解． 【详解】（1）解：①解：由题意知，，， 当时，点P在上， ， 当时，点P在上，， ， 综上可得：； （2）解：根据（1）中解析式列表得： x 2 4 5 6 8 y 8 16 15 12 0 作图如下： （3）如图，当过点时，， 此时与的图象只有一个交点， 当过点时，， 此时与的图象只有一个交点， 当时，与的图象有2个交点； 故． 【典型例题三 拱桥问题】 【例1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再上升，则水面的宽度是多少？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点， 则：O为原点，，， 设函数解析式为，把A点坐标代入得， ∴抛物线解析式为， 当水面上升，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离， 把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴此时的水面宽度为， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·浙江温州·期末）杭州之门位于杭州奥体博览城，总高约310米，刷新杭州最新高度，同时也成为中国第一高H形双塔楼．双塔底部为跨度约62米，高度约34米的巨型抛物线结构（如图），则a的值最接近于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立平面直角坐标系，利用待定系数法求得a的值，即可判断． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，双塔底部所在直线为x轴，过最高点C且垂直于x轴所在直线为y轴，则抛物线顶点为； ∵双塔底部为跨度约62米， ∴， 把A、B、C三点坐标分别代入中， 得：，解得： ∴，而接近， 故选：A． 【例3】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，根据以上信息可知主桥拱最高点与其在水中的倒影点之间的距离为 米． 【答案】20 【分析】本题考查了二次函数的运用，根据桥拱在水面的跨度约为米，则，且主桥拱所在抛物线可以表示为，代入计算即可求解的值，将解析式化简为顶点式，根据顶点坐标，对称的性质，两点之间距离的计算方法即可求解． 【详解】解：主桥拱所在抛物线可以表示为，桥拱在水面的跨度约为米，则， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴倒影点的坐标为， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为（米）， 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部宽为，顶部距地面的高度为． (1)试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式； (2)一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为，那么这辆汽车能否顺利通过大门？ 【答案】(1) (2)这辆汽车能够通过大门 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式及点的坐标、二次函数图象的性质，根据题意求出二次函数的解析式是解答此题的关键． （1）先过的中点作的垂直平分线建立直角坐标系，得出点、、的坐标，用待定系数法即可求出过此三点的抛物线解析式 （2）根据题意，判断点或点与抛物线的关系即可． 【详解】（1）解：如图，过的中点作的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点，，的坐标分别为 ，，． 设抛物线的表达式为． 将点代入得 ，解得， 故此抛物线的表达式为； （2）货物顶点距地面，装货宽度为， 只要判断点或点与抛物线的位置关系即可． 将代入抛物线，得， 点和点都在抛物线内． 这辆汽车能够通过大门． 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，以水平地面为x轴，垂直于水平地面且位于池塘中心的线为y轴建立平面直角坐标系，池塘的宽，池底最深处距离水平地面5 ，原来的水面宽24 ，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为（    ） A．1.2 B．1 C．0.8 D．0.6 【答案】C 【分析】本题考查抛物线的实际应用，根据图象可以设出池底所在抛物线的解析式为，再把代入解析式求出解析式，再把代入解析式即可判断． 【详解】解：由图象可得，抛物线顶点坐标为，且过， ∴设出池底所在抛物线的解析式为， 把代入解析式可得， 解得， ∴， 当时，， 此时最深处到水面的距离为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线、为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点B（即）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中正确的是 ． ①玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为；②直线的解析式为；③点P到杯口的距离为；③点P到点D的距离为． 【答案】①②④ 【分析】由题意可知，，，，，利用待定系数法求出玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式，可判断①结论；令直线与轴的交点为，证明是等腰直角三角形，得到，再利用待定系数法求出直线的解析式，可判断②结论；联立直线和抛物线，求出，可判断③④结论． 【详解】解：由题意可知，，，，， 设玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为， ，解得：， 玻璃水杯轮轮廓所在抛物线的解析式为，①结论正确； 令直线与轴的交点为， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为，②结论正确； 联立，解得：或（舍）， ， 点P到杯口的距离为，③结论错误； 点P到点D的距离为，③结论正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了坐标与图形，二次函数的应用，二次函数与一次函数的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，解一元二次方程等，勾股定理知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 3．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为8米，它两侧和是高为5.5米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为15米，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求桥拱所在抛物线的函数表达式； (2)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米．今用一大型运货汽车装载某大型设备，设备顶部宽为4米，与地面的距离均为7米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由． 【答案】(1) (2)大型货车可以从桥下区域安全通过，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）在抛物线解析式中，令，得到的函数值与米，进行比较即可判断． 【详解】（1）解：由题意可知桥拱所在抛物线的顶点坐标为， 设桥拱所在抛物线的函数表达式为 ，， ． 将点的坐标代入中， 得， 解得． 桥拱所在抛物线的函数表达式为； （2）解：该大型货车可以从桥下区域安全通过．理由如下： 当时，． 该大型货车可以从桥下区域安全通过． 4．（2025·浙江温州·模拟预测）某施工队要建设一个高速公路隧道，如图是工程师利用电脑软件制作的隧道横断面设计图的局部．以水平路面为轴建立平面直角坐标系（每个单位长度为米），隧道的拱顶形状为抛物线，且解析式为．    (1)求隧道底部路面的宽度； (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为米，该双车道能否同时并行两辆宽米、高米的车辆？请通过计算说明； (3)工程队在施工时，需要在隧道门口搭建一个矩形施工架，使点，在抛物线上．点，在地面线上（如图所示）．为了准备工程材料，需计算施工架三根钢杆，，的长度之和的最大值是多少，请你帮工程队计算一下． 【答案】(1)米； (2)不能同时并行两辆宽米、高米的车辆，计算见解析； (3)三根木杆，，的长度和的最大值是米． 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由当时，求出，，抛物线与轴的交点为和，从而求出路面的宽度； （）当时，，从而求解； （）由四边形是矩形，则，，，，设米，则米，（米），设，然后代入得出，最后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点为和， ∴路面的宽度为米； （2）解：该双车道不能同时并行两辆宽米、高米的车辆，理由如下： 当时，， ∴不能同时并行两辆宽米、高米的车辆； （3）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， 设米，则米，（米）， 设， 则 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为（米）， 答：三根木杆，，的长度和的最大值是米． 【典型例题四 销售问题】 【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某商家代销一种产品，销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件产品下降1元时，日销售量增加2件．已知每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元，设每件产品售价为（元），商家每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确列出函数解析式是解题关键．先求出日销售量为件，再根据利润（售价支付厂家和其他的费用）日销售量即可得． 【详解】解：设每件产品售价为（元），则日销售量为件， ∵每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元， ∴， 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下面的三个问题中都有两个变量： ①将一根长为的铁丝刚好围成一个矩形，矩形的面积y与矩形一条边长x； ②赵老师匀速从家走到学校所走的路程y和行走时间x； ③中秋节后，某超市月饼卖不出去，决定促销，月饼成本价为10元/kg，原价为30元/kg，此时日销量为10kg，当月饼单价每降价1元，每天可以多卖出10kg，月饼利润y与降价x；其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的（　　） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】①将一根长为的铁丝刚好围成一个矩形，求出矩形的面积与矩形一条边长之间的函数关系式即可得出答案；②赵老师爬香山时，路程一定，则所花的时间和平均速度成反比，不是二次函数，即可得出答案；③求出月饼利润与降价之间的函数关系式，即可得出答案．本题主要考查了求函数关系式，二次函数图象，根据题意求出相应的函数解析式，是解题的关键． 【详解】解：①矩形一条边长为x，则另外一条边长为，则矩形的面积为：， ∴矩形的面积y是矩形一条边长为x的二次函数，且二次函数的开口向下，抛物线过原点O，因此变量与变量之间的函数关系可以用图示的图像表示， 故①符合题意； ②赵老师匀速从家走到学校所走的路程y和行走时间x，设速度为m，则 ∴y是x的一次函数，不是二次函数，因此变量与变量之间的函数关系不可以用图示的图像表示， 故②不符合题意； ③根据题意，得，不过原点， ③不符合题意；综上分析可知，变量与变量之间的函数关系可以用图示的图像表示的是①，故A正确． 故选：A． 【例3】（24-25九年级上·全国·单元测试）小红把班级勤工助学挣得的班费元按一年期存入银行，已知年利率为，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本、利和为元，则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键在于找到本息和的等量关系，要注意的是第二年的本金为第一年的本息和． 根据题意可得一年到期后本、利和为，两年到期后本、利和为：，即可与之间的函数关系式． 【详解】解：根据题意可得一年到期后本、利和为：元， ∵第二年的本金为第一年的本息和， ∴两年到期后本、利和为：元， ∵两年到期后，本、利和为元， ∴， 故答案为：． 【例4】（2025·广东河源·模拟预测）某服装大卖场以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量（件）与每件的销售价（元）之间的函数关系为． (1)当每天的销售量为件时，求销售这种服装的毛利润； (2)如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应如何定价？并求出最大毛利润． 【答案】(1)当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元 (2)如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应定价为元，最大毛利润为元． 【分析】本题主要考查了求一次函数的自变量的值，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （1）根据求出的值，进而根据销量乘以每件服装的利润，即可求解； （2）设销售利润为，根据题意，列出二次函数解析式，根据二次函数的性质求得最值，即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， 元， 答：当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元； （2）设销售利润为，根据题意得出 ∵, ∴当时，利润最大，最大为： 答：如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应定价为元，最大毛利润为元． 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）弗里热是2024年巴黎夏季奥运会和残奥会的吉祥物．某特许经销店销售一种弗里热造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中x为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件．若该商店销售这种玩偶每天获得的利润为w元，则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用．根据给定的数据,利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式，利用销售这种玩偶每天的利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式． 【详解】解：设每天的销售量（件）与每件售价（元）函数关系式为：， 由题意可知：， 解得：， 与之间的函数关系式为：； 根据题意得： 故选：C 2．（2025·浙江衢州·模拟预测）一种商品在原售价的基础上涨价销售，每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图1，日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图2．则日销售的最大利润为 元． 【答案】2450 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求一次函数解析式，读懂题意，正确列出函数解析式是解题的关键；先求出每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系，再求出日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系，根据日销售利润等于日销售数量与每件利润的积，得到二次函数，由二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】解：设每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系为， 由图1知，函数图象过点， 把这两点坐标分别代入上述解析式中，得：， 解得， ∴； 设日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系为， 由图2知，函数图象过点， 把这两点坐标分别代入上述解析式中，得：， 解得：， ∴； 设日销售利润为w，则， 即， ∵， ∴当时，有最大利润，且最大利润为2450元； 故答案为：2450． 3．（2025·浙江温州·模拟预测）清明节是我国的传统节日．这天人们都会以扫墓献花等方式来缅怀逝者．八年级小宇同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着清明假期赚点零花钱，他以8元/束的价格从爸爸那里购入一批菊花，准备在清明节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种菊花日销售量（束）与销售单价（元）的对应值表： 销售单价/元 16 18 20 22 日销售量/束 24 20 16 12 小宇马上判断出与是一次函数关系．请你根据以上信息，将小宇完成下列问题： (1)求关于的函数解析式．（不必写自变量的取值范围） (2)当销售单价为多少元时，小宇获得的日销售利润最大？最大利润是多少？ (3)爸爸要求小宇日销售利润不低于168元，并且要为消费者考虑，问销售单价至少应定为多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价为18元/束时小宇获得的日销售利润最大，为200元 (3)销售单价至少应定为14元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数在销售问题中的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设与的函数关系式为，利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为元，表示出w，然后根据题意得到，求出，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）令，求出，，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）设与的函数关系式为 将，代入得 解得 与的函数关系式为 （2）设日销售利润为元，则 由题意得，解得 ，抛物线开口向下 当时有最大值， 答：当销售单价为18元/束时小宇获得的日销售利润最大，为200元． （3）令，则 解得：， 要求日销利润不低于168元 根据二次函数的图象和性质知 又要为消费者考虑 销售单价至少应定为14元． 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第天生产的产品数量为件，与满足关系式为：． (1)小强第___________天生产的产品数量为200件？ (2)设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； (3)设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 【答案】(1)小强第10天生产的产品数量为200件 (2)与之间的函数关系式为： (3)①第14天时，利润最大，最大值为576元；②第15天每件产品至少应提价0.5元 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式． （1）把代入，解方程即可求得； （2）根据图象求得成本与x之间的关系即可； （3）①然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到w与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；②根据①得出，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可 【详解】（1）由题意可知，生产的产品数量为200件时，， 故：，解得： 答：小强第10天生产的产品数量为200件． （2）由图象得，①当时，． ②当时，设， 由题意可得， 解得：， ． 综上可得，与之间的函数关系式为：； （3）①当时，， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为：（元）； 当时，， ， 随的增大而增大， 故当时，有最大值为（元）． 当时， ． 当时，有最大值，最大值为576（元） 综上可知，第14天时，利润最大，最大值为576元． ②由①可知，， 设第15天提价元，则第15天的利润为：， 由题意得：， 解得：， 答：第15天每件产品至少应提价0.5元． 【典型例题五 投球问题】 【例1】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系是．有下列结论：①这名男生铅球推出的水平距离为；②铅球到达最高点时的高度为；③当铅球的高度为，推出的水平距离为或．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确． 【详解】解：将代入， 得， 解得，， ∴这名男生铅球推出的水平距离为， 故①正确，符合题意； ∵， ∴铅球到达最高点时的高度为， 故②错误，不符合题意； 当时，， 解得，， 故③错误，不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）图1是一张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式．图2中，发球机从中线的端点的正上方处的点发球，乒乓球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点，其高度为，以为原点，所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系．记图2中球的落点为点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值的方法是关键． 根据题意，，顶点坐标，设二次函数解析式为，运用待定系数法可得二次函数解析式为，根据函数值得到自变量的值，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，顶点坐标， ∴设二次函数解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， 故选：A ． 【例3】（2025·浙江湖州·模拟预测）如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为轴，过最高点且垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．则该标枪运动轨迹的函数关系式为：，已知运动员出手点距离最高点的水平距离为，则该运动员投掷标枪的水平距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，将代入，得出，结合题意，即可求解． 【详解】解：将代入， ， 解得：（舍去） 又∵运动员出手点距离最高点的水平距离为， ∴该运动员投掷标枪的水平距离为米 故答案为：． 【例4】（2025·浙江温州·模拟预测）某科技创新兴趣小组制作了一种投石器，如图1，为检验投石器的性能，进行如下操作：如图2，将投石竿点端拉至水平地面处，放手后投石竿绕支点旋转，从点处把石头甩出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，以水平地面为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系，如图3．已知米，抛物线顶点的坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了检验投石器的性能，在点的正前方2米米处设置了一个长为0.5米，内壁高为0.6米，外壁高为0.8米的目标箱（其中垂直轴）．兴趣小组为了把石头投入目标箱，可以垫高投石器或在轴正方向移动投石器（假设每次都以相同的角度和力度投石），当垫高投石器时，设垫高的高度为米，求的取值范围（取值范围不取端点）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确进行计算是解题关键． （1）根据题意设抛物线的解析式为，代入数据求解即可； （2）设垫高后的抛物线解析式为，分别把和把代入式子，进行求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， ∵米， 把点代入可得， 解得：， 所以抛物线的解析式为； （2）解：设垫高后的抛物线为， ∵在点的正前方2米米处设置了一个长为0.5米，内壁高为0.6米，外壁高为0.8米的目标箱， ∴把代入，可得 解得， 把代入，可得， 解得， ∴， 1．（2025·浙江温州·模拟预测）有一斜坡，斜坡上点处有一棵树，．如图建立平面直角坐标系，从点处抛出一个小球，恰好经过树的顶端，落地点为．小球距离水平地面的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①这棵树的高度； ②小球运动的最大高度为； ③小球运动时的高度低于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，相似三角形的判定和性质等知识，求出函数解析式是关键．求出函数解析式，延长交于点B，则轴于点E，作于点D，证明，则，得到，，求出，即可得到，即可判断①正确；由，，抛物线开口向下，即可判断②正确； 当时，，当时，，，即可判断③正确． 【详解】解：把代入得到， ， 解得，， ∴， 延长交于点B，则轴于点E，作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴点和点的横坐标为， 当时，， ∴， ∴ 故①正确； ∵，，抛物线开口向下， ∴当时，的最大值为， 即小球运动的最大高度为； 故②正确； 当时，， 当时，， ∵ ∴小球运动时的高度低于运动时的高度． 故③正确； 综上可知，正确结论为①②③， 故选：D 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图是王明正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，B，C三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，第一个台阶到x轴距离．从点A处向右，上方沿抛物线发出一个带光的点P．当点P落在台阶上时，落点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，先求出点I左边和右边端点的坐标，求出当，时的y值，比较即可． 【详解】 由题意得：点I左边端点的坐标为，右边端点的坐标为 对于抛物线，当时，，当时，， 当时，解得或5， ∴点P在台阶I上，落点的坐标是 故答案为：． 3．（2025·浙江衢州·模拟预测）一个小球从地面竖直向上抛，其运动关系式：（不计空气阻力），其中是物体距离地面的高度，是初速度，是重力加速度（取），是抛出后所经历的时间，用发射器（发射器的高度忽略不计）将小球以的初速度从地面竖直向上抛． (1)当小球的高度为时，求时间的值； (2)小球的高度能达到吗？请作出判断，并说明理由； (3)若在抛出之后将另一个完全相同的小球以相同的速度从地面竖直向上抛，这两个小球在某一时刻的高度均为，求两次抛球的时间差． 【答案】(1)小球的高度为时，所用时间为或 (2)不能，理由见解析 (3)两次抛球的时间差为 【分析】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的应用． （1）把，，代入所给关系式求出二次函数解析式，再把代入解析式求t的值即可； （2）把代入函数解析式得到关于t的一元二次方程，由判别式判定方程是否有解即可； （3）把代入函数解析式得到关于t的一元二次方程，求出方程的两个根，两根之差即为所求． 【详解】（1）解：把，代入得，， 当时，，即， 解得，， 答：小球的高度为时，所用时间为或； （2）解：小球的高度不能达到，理由如下： 把代入得，， ， ， 无实数解， 小球的高度不能达到； （3）解：由题意得：， ． 解得：，， ， 答：两次抛球的时间差为． 4．（2025·浙江·模拟预测）【综合与实践】为迎接全市青少年乒乓球赛，学校体育队利用乒乓球发球器进行训练，数学兴趣小组对乒乓球发球器的发球过程进行了记录和分析． 【主题】乒乓球发球器的发球有效性的研究 【问题背景】球台长约2.8米，发球器位于球台一侧的边缘，从点处发球，球网位于球台中点距发球器约1.4米处，的高度约为0.15米． 【建立模型】设球距离球台一侧的边缘的水平距离为（单位：米），球距离台面的竖直高度为（单位：米），发球轨迹可视为一条抛物线． 任务一：当发球点距台面高度为0.525米，兴趣小组利用频闪仪测量得到，当球距离球台一侧的边缘的水平距离为1米时，乒乓球飞行到最大高度为0.625米． （1）求此时与的关系式； （2）判断此次发球是否有效（球是否越过球网且落在对方台面内）； 任务二：不改变发球器的发球速度和方向（即抛物线开口大小和对称轴不变），发球器的高度调整到一定范围时，发球有效．设，求的取值范围．（结果精确到0.01米） 【答案】任务一：（1）（2）球过网但出界，发球无效．任务二： 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： 任务一：（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可；（2）求出时的函数值，以及时的自变量的值，进行判断即可； 任务二：设出新的解析式，求出临界点时的值，进行判断即可． 【详解】解：任务一：（1）由题意，抛物线的顶点坐标为，过点， ∴设与的关系式为． 当时，， ， ． （2）过网判断：当时， ，过网有效； 落点判断：解方程，解得（舍），， 3.5米米，出界． 综上所述，球过网但出界，发球无效． 任务二：设调整后解析式为， 当时，， ∴， ∴ 擦网：当时，， ， 落点末端：当时， ， ． 【典型例题六 喷水问题】 【例1】（24-25九年级上·浙江·期中）巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管最大喷水高度为3米，此时喷水水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．根据二次函数的图象性质进行解答即可． 【详解】解：根据图象知： 抛物线开口向下，顶点， ∴排除B、D选项． 把点代入选项A、C检验，该点满足选项C． 故选：C． 【例2】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，这是一个简易桶装水的取水装置和其出水示意图，从出水口处喷出的水流可抽象为抛物线，点是水流与水杯底部的接触点．若水流运动的高度（单位：厘米）与水平距离（单位：厘米）近似满足函数关系式，则该抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的应用，把点、代入已知函数关系式，运用待定系数法求解，再化为顶点式即可 【详解】解：把点、代入， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为； ∴顶点坐标为， 故选A． 【例3】（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为 ． 【答案】22 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，令，求出得到，由对称性可知，，据此可得答案． 【详解】解：在中，当时，或（舍去）， ∴， 由对称性可知，， ∴， 故答案为：22． 【例4】（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线．当水流距离地面时，距喷灌嘴的水平距离为，水流落地点距喷灌嘴的水平距离． (1)求水流所在抛物线的函数表达式； (2)为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑． ①若雕塑的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到； ②若在距喷灌嘴水平距离为处有一高度为的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？ 【答案】(1) (2)①高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到；②不会． 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）利用待定系数法，将点，代入抛物线解析式求解即可； （2）①令，求出对应的自变量取值，即可求解；②令，求出对应的函数值，再进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，水流所在抛物线经过点，， 将其分别代入得： ，解得， 水流所在抛物线的函数表达式为：； （2）解：①令，则， 解得，， 高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到； ②令，则， ， 不会被水流直接喷到． 1．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，某数学小组发现滨江生态公园有一座假山的局部（阴影部分）的主视图呈现抛物线形状，以点O为原点建立平面直角坐标系（坐标系上1个单位长度表示），假山轮廓所在的抛物线的解析式为，其中垂直于水平地面，在点B处安装一喷水口，若向上喷出的水柱恰好为抛物线，落水点恰好为点C．下列说法不一定正确的是（   ） A．假山上的点B到水平地面的距离为 B．水平方向上的长度为 C． D．抛物线与的对称轴相同 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． 由假山所在抛物线的函数解析式为，分别令，，求出对应的，即可判断选项A、B，由，即可判断选项C，根据与的图象可判断D选项． 【详解】解：由假山所在抛物线的函数解析式为， 当时，，故假山上的点B到水平地面的距离为； 当时，或（舍去），故水平方向上的长度为，可知选项A、B正确； 由题意得，解得：，可知选项C正确； 由题图可知，喷出的水柱呈现的抛物线与的对称轴相同，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）大型客机是我国首次按照国际通行适航标准自行研制，具有自主知识产权的喷气式干线客机，如图在某次大型客机过水门仪式中，两条水柱从两辆消防车、中斜向上射出，形似抛物线，以两车所连水平直线的中点为坐标原点，平行于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当两辆消防车喷射口位置的水平距离为米时，“水门”最高点距离喷射口的竖直高度为 米 【答案】25 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．依据题意，把点的横坐标代入解析式可得点的纵坐标，即点的纵坐标，用29.23减去点的纵坐标即可． 【详解】解：， 将代入可得． ， （米． 故答案为：25 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在水池中心点处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点在同一水平面．安装师傅进行了调试，记录了三次数据：第一次，喷头高时，水柱落点距点；第二次，喷头高时，水柱落点距点．第三次，喷头高时，水柱落点距点． (1)根据上述数据，求该抛物线表达式中的值； (2)若记第一次调试时，抛物线形水柱距离水平面的最大高度为，记第二次调试时，抛物线形水柱距离水面的最大高度为，在某次调试中，抛物线形水柱距离水面的最大高度为，若，则喷头的高度为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键： （1）根据上下平移不改变a、b的值利用待定系数法求解即可； （2）分别求出第一次调试和第二次调试时的解析式，进而确定的值，进而确定d的值，则可求出抛物线形水柱距离水面的最大高度为时的解析式，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，故a、b的值不发生变化， ∵第一次，喷头高时，水柱落点距点；第二次，喷头高时，水柱落点距点．第三次，喷头高时，水柱落点距点， ∴， ∴； （2）解：由（1）得第一次调试时的解析式为，第二次调试时的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线形水柱距离水面的最大高度为的这次调试时的解析式为， 在中，当时，， ∴喷头的高度为． 4．（2025·浙江绍兴·模拟预测）项目式学习 项目主题：无人机喷洒农药研究． 项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性． 驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济． 建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点为无人机的摄像头，是喷药口，，在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷药口点和点到点的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为． （1）试确定点A所在抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度． （3）如图4，在直线上再增加2个喷药口和，在左侧，在右侧，且，当无人机上升到距地面的高度为时，直接写出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，包括根据点坐标求二次函数表达式、利用函数性质解决高度和距离问题；解题关键是通过建立平面直角坐标系，准确找出各点坐标并代入二次函数表达式进行求解． （1）首先根据喷药口A、B到O距离相等且长度，确定A点在x轴上的坐标；由抛物线与y轴交点特征确定C点坐标．设抛物线的一般式，将C点坐标代入得到c的值， 再利用抛物线对称轴为y轴这一性质得出b的值，最后把A点坐标及已得的b、c值代入一般式，求出a的值，进而确定抛物线的函数表达式； （2）以摄像头为原点建立平面直角坐标系，且明确喷药抛物线函数表达式不变． 由于田埂宽度为1且关于y轴对称，设田埂边缘在x轴正半轴点的坐标，将其代入已知抛物线表达式，求出该点纵坐标，此纵坐标即为调整高度时无人机摄像头距地面高度， 用无人机初始高度减去调整高度时摄像头距地面高度，得到无人机应下降的高度． （3）根据已知条件求出M的坐标．设所在抛物线表达式为，根据无人机相对高度对应的点坐标代入，求出表达式．求出与x轴交点的坐标，由于覆盖区域关于y轴对称，用求出的横坐标距离乘以2，得到喷洒农药覆盖区域宽度． 【详解】解：（1），点与点到点的距离相等， ， 点的坐标为． ， 点的坐标为． 设点所在抛物线的函数表达式为， 将点代入得． 解得． 点所在抛物线的函数表达式为． （2）以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系， 喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变． ，由题可知点和点关于轴对称， 可以设点的坐标为． 将点代入， 得． 点的坐标为． 此时无人机摄像头距离地面的高度为． ． 答∶ 无人机应该下降的高度为． （3） ∵，点坐标为， ∴点坐标为 ． ∵所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同， 设所在抛物线表达式为 ∵无人机高度为， ∵抛物线是从点（相对高度）， ∴代入到中，得 ． 解得， ． ， 关于y轴对称， ， 长 【典型例题七 增长率问题】 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）一台机器原价为100万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y与x之间的函数关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，需注意两年后的价位是在一年后的价位的基础上降价的．原价为100万元，一年后的价格是万元，两年后的价格是为：万元，则函数解析式求得． 【详解】解：由题意得，，即． 故选：A 【例2】（24-25九年级上·浙江湖州·期末）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是，降价后的价格为元，原价为元，则y与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平均每次降价的百分率是x，，第一次降价后的价格为，第二次降价的价格为，根据题意列出函数关系式即可求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率是x，，降价后的价格为y元，原价为a元， 则y与x之间的函数关系式为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 【例3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）由于制药技术的提高，某种疫苗的成本下降了很多，因此医院对该疫苗进行了两次降价，设平均降价率为x，已知该疫苗的原价为462元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．原价为462元，第一次降价后的价格是元，第二次降价后的价格为元，则函数解析式即可求得． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可得： y与x之间的函数关系为：． 故答案为． 【例4】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【答案】(1) (2)当时，今年的总产值为万元． 【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式； （2）代入，求出y值即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：； （2）当时，， 答：当时，今年的总产值为万元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有． 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（    ） A．1.2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据该公式第一个月及第三个月单车的投放量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 所以该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（2024·浙江衢州·模拟预测）某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x(x＞0)，十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是 ． 【答案】y=10（x+1）2 【详解】根据题意，把十月份的看作单位1，进而可得十二月邮件数为：y=10（x+1）2，所以y关于x的函数解析式是y=10（x+1）2． 故答案为y=10（x+1）2 【点睛】本题考查了根据题意列出一次函数的解析式，关键是找准等量关系． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 4．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）： 温度/℃ …… －4 －2 0 2 4 4.5 …… 植物每天高度增长量/mm …… 41 49 49 41 25 19.75 …… 这些数据说明：植物每天高度增长量关于温度的函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种． （1）你认为是哪一种函数，并求出它的函数关系式； （2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？ （3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请直接写出结果． 【答案】（1）；（2）－1℃；（3）． 【详解】解：（1）选择二次函数，设， 得，解得 ∴关于的函数关系式是． （2）由（1），得， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为50． 即当温度为－1℃时，这种植物每天高度增长量最大． （3）由题意得：y＞25， 即：-x2-2x+49＞25， ∴． 【典型例题八 二次函数综合一一特殊三角形问题】 【例1】 （2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为P．下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点，当时，则m的取值范围是；⑤当是直角三角形时，符合条件的a值有3个．其中正确结论的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】把解析式化为交点式可得解析式为，则，由抛物线开口向下，得到，据此可判断①②；可求出，，然后作差可得，据此可判断③；当时，，解不等式即可判断④求出，则，， ，再分分别为直角三角形，利用勾股定理建立方程求出的值即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点， ∴抛物线解析式为， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴，故①正确； ∵，且， ∴，故②正确； ， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线上有两点， ∴当时，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 在中，当时，，当时，， ∴， ∵， ∵，， ， 当时，则，解得或（舍去）； 当时，则，解得或（舍去）； 当时，则，此时方程无解； 综上所述，当是直角三角形时，符合条件的a值有2个，故⑤错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，过M点作于H点，如图，先确定，设，易得为等腰直角三角形，所以，则或，利用M点纵坐标的表示方法得到即或，然后分别解方程求出m，从而得到M点的坐标． 【详解】解：过M点作于H点，如图， 当时，， ∴， 设， ∴是以为直角的等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴或， 即或， 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 综上所述，M点的坐标为或． 故选：C． 【例3】（24-25九年级上·浙江舟山·期中）如图，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，所得新拋物线的顶点为D，并与y轴交于点A，对称轴与函数的图象的交点为，若新抛物线存在点P使以D为底的等腰三角形，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判定等，求得关键点的坐标是解题的重点． 利用平移规律求得平移后的函数解析式，即可求得的坐标，基本求得点的坐标，由等腰三角形的性质可知点的纵坐标为 2 ，代入新的函数解析式即可求解． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移 2 个单位长度，得到，即， ， 把代入得， ， ， 若新抛物线存在点使以为底的等腰三角形，则点的纵坐标为 2 ， 把代入，解得：， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 【例4】（2025·浙江衢州·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，．点是该抛物线上一动点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，若点在第一象限，点在的延长线上，当时，求点的坐标： (3)如图2，若点在第四象限，直线与交于点，过点作轴交于点，当是等腰三角形时，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）根据待定系数法解答即可； （2）先利用勾股定理的逆定理判断，继而可得，在轴上取点，连接，易得是等腰直角三角形，可得，进一步可推出，可得，然后利用待定系数法分别求出直线与的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可； （3）设直线交y轴于点，如图，由题意可得为等腰三角形，则也为等腰三角形，设，求出直线和直线的解析式后，再解方程组求出点的坐标，然后分三种情况求出的值，再求出直线的解析式，进而可求出点的坐标和点的坐标，问题可求解． 【详解】（1）解：已知抛物线与轴交于点，，设抛物线的交点式为， 把代入，可得：即，解得， 所以抛物线的表达式为． （2）解：如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在轴上取点，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把点代入，可得， ∴直线的解析式为， 解方程组，得或，， ∵点在第一象限， ∴点的坐标是． （3）解：设直线交y轴于点，如图， 轴， ，， 若为等腰三角形，则也为等腰三角形， ，， 直线的解析式为， 设， ， 直线的解析式为， 解方程组，得， 点的坐标是， ，，， 当时，，解得：（舍去正值）， 此时直线的解析式为， 解方程组，得或， 点的坐标是，此时点的坐标是， ， 当时，，解得或（舍）或（舍）， 此时直线的解析式为， 解方程组，得或， 点的坐标是，此时点的坐标是， ； 当时，，解得或（舍去）， 此时直线的解析式为， 解方程组，得或， 点的坐标是，此时点的坐标是， ； 综上，或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，抛物线经过等腰直角三角形的两个顶点A，B，点A在y轴上，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的综合应用，过点作于点，得到点坐标为，将点代入解析式进行求解即可．解题的关键是求得点的坐标． 【详解】解：∵，当时，， ∴， ∴， 过点作于点， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴； 故选C． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴的负半轴交于点B，点B坐标为，如果点P在轴上，且是等腰三角形，则P的坐标为 ． 【答案】、、、． 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的关系，等腰三角形的性质与分类讨论思想，正确运用等腰三角形两腰相等的性质列出方程是关键步骤； 令，即可得到点A的坐标，然后根据点的坐标，得，；若是等腰三角形，且点在轴上，故点的位置有三种情况，由等腰三角形的性质分别求得即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于点A，与轴的负半轴交于点B，点B坐标为， ∴， ∴，， 在中，， 因为是等腰三角形， 所以：①如图1，当时，，点的坐标为， ②如图2，当时，点的坐标为或， ③如图，3，当时，设点的坐标为，根据题意， , , ∴， 解得． 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为，或，． 3．（2025·浙江舟山·模拟预测）如图，抛物线（a、c为常数，）与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一个动点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或． 【分析】本题考查用待定系数法解抛物线的解析式、抛物线与坐标轴的交点、求直线的解析式、直线与抛物线的交点、等腰三角形的性质、二元一次方程组的解法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． （1）将点A，B代入抛物线解析式中，转化为解二元一次方程组，解方程组，即可解答； （2）求出点C的坐标，可判断出是等腰直角三角形．由是以为底边的等腰三角形，可知，连接，即平分．      过点P作轴于点D，轴于点E，则． 设点P的坐标为，则，求出m值，即可解答． 【详解】（1）解：将代入， 得                              解得 该抛物线的函数表达式为． （2）当时，，则点C的坐标为， 是等腰直角三角形．                         由是以为底边的等腰三角形，可知，连接， 点P，O在线段的垂直平分线上，则，即平分．      过点P作轴于点D，轴于点E，则． 设点P的坐标为，则， ，                                解得， 点P的坐标为或． 4．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值． (3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标 【答案】(1) (2)2 (3)或或 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、二次函数的图象与性质、两点坐标距离公式等知识，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）先求得点B坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先由待定系数法可得直线的函数解析式为为，而D是中点，有，过点P作轴交于点Q，设，则，即得，则，由二次函数性质可得面积的最大值是2； （3）设，分当时、当时、当时三种情况，结合两点坐标距离公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的面积为8， ∴，解得， ∴， 将，代入得： ，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线为，将代入得：，解得， 直线为， ，，D是中点， ， 过点P作轴交于点Q，如图： 设，则， ， ， ，， 时，有最大值，最大值为2； 即面积的最大值是2； （3）解：由得抛物线的对称轴为直线， 根据题意，设， ∴，，， 若是等腰三角形，分三种情况： 当时，， 则，解得，不合题意，舍去； 当时，， 则，解得，此时； 当时，， 则，解得或， 此时或， 综上，满足条件的点P的坐标为或或． 【典型例题九 二次函数综合一一特殊四边形】 【例1】 （2024九年级·全国·竞赛）已知同一个平面直角坐标系中有三点、、，其中，如果二次函数的图象上有一点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点的个数有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质与判定，可分为平行四边形，平行四边形以及平行四边形来进行讨论分析．首先根据图形以及其余三点的坐标，将点的坐标用含有的代数式表示出来，再代入函数即可求出． 【详解】①若平行四边形为 过点作于点，同理作 同理： 是平行四边形 （AAS） 同理可得： 则点， 将点代入二次函数中，得到： 解得（舍），或 点； 同理可得：②若平行四边形为，则点， ， 解得（舍），或点； 同理可得：③若平行四边形为，则点， ， 解得（舍），或点， 故满足条件的点共有个． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等的三角形的判定等，解题的关键在于分类讨论． 【例2】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点A，B，C．且B点为其顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为A点，则平移后抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、二次函数的性质，根据二次函数的表达式求出点B的坐标为，根据正方形的性质可以求出点A的坐标，进而求出点A的坐标，进而求解． 【详解】解：当时，，故B点坐标为， 过点A作于D， ∵四边形是正方形， ∴上等腰直角三角形， ∴， ∴A点坐标为， ∵二次函数的图象经过正方形的顶点A， ∴， 解得， ∴A点坐标为， ∵平移后的抛物线顶点为点， ∴平移后抛物线的表达式为． 故选：B． 【例3】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，边长为8的正方形的中心在直角坐标系的原点O，轴，以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分．则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与特殊的四边形综合，轴对称的性质．明确阴影部分面积的表示是解题的关键． 由题意知，以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线关于轴对称，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线关于轴对称， ∴， 故答案为：． 【例4】（2024·浙江·模拟预测）如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在这样的点C，使得四边形是正方形，点C的坐标为或 【分析】（1）将二次函数化为顶点式，然后求出点A的坐标；把代入抛物线的解析式，求出，得出点B的坐标即可； （2）分两种情况进行讨论，当在x轴下方时，当M在x轴上方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， 当时，， ． （2）解：存在，理由如下： 由题意四边形是正方形，则是以点A为直角顶点的等婹直角三角形． 设， ①当在x轴下方时，如图1，过点C作轴于E，此时是等腰直角三角形， ， ， （舍去），， 此时． ②当M在x轴上方时，如图2，过点C作轴于F， 同理可得：， ， ，（舍去）， 此时． 综上所述，存在这样的点C，使得四边形是正方形，此时点C的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，正方形的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，二次函数表达式为，若该函数的图象与四边形的边有交点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，根据题意得出二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，根据二次函数经过时，最大，求解即可． 【详解】解：二次函数表达式为， 故二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 若该函数的图象与四边形的边有交点， 则当二次函数经过时，最大， 代入得，解得：（舍去）或， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特点，利用一线三等角，构造全等三角形，证明对应边相等，利用，坐标，即可得出点坐标，代入，即可得出的值 【详解】作轴于，于， 四边形是正方形， ，， ， ， 又， ， ，， 设， 点、的坐标分别是、， ，解得， ， 在抛物线的图像上， ， ， 故答案为：． 【例3】（24-25九年级上·浙江衢州·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线和线段，其中点，点，点是抛物线与轴的交点，点是抛物线的顶点． (1)求直线的解析式； (2)点在抛物线上，且与点关于对称轴对称，连接，，，射线交轴于点，连接，，四边形是否能构成平行四边形？如果能，请求的值；如果不能，说明理由； (3)若抛物线与线段只有一个交点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)四边形能构成平行四边形，； (3)的取值范围为或 【分析】本题考查待定系数法，平行四边形性质及应用，二次函数与一元二次方程的关系等，解题的关键是数形结合思想的应用． （1）设的解析式为，用待定系数法可得直线的解析式为； （2）由，，，知向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到，故当向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到时，四边形是平行四边形，即得； （3）联立，得，当时，即时，直线与抛物线只有一个交点，交点在线段上，当时，即，直线与抛物线有两个交点，若抛物线过时，，得，当抛物线过时，，得，由图可得抛物线L与线段只有一个交点，m的取值范围为或． 【详解】（1）解：设的解析式为， 把点，点代入得，， 解得， 直线的解析式为； （2）解：四边形能构成平行四边形，理由： ∵， 抛物线顶点，对称轴为直线， 当时，， 点， 、都在抛物线上，且关于对称轴对称， ， ，，， ，且， ， ，，， 向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到， 当向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到时，四边形是平行四边形， ∵在轴上， ， ； （3）解：联立， 整理得：， ， 当时，即时，直线与抛物线只有一个交点，交点在线段上，如图： 当时，即时，直线与抛物线有两个交点， 若抛物线过时，， 解得， 此时直线与抛物线有两个交点，坐标分别为，都在线段上；如图： 当抛物线过时，， 解得， 此时直线与抛物线有两个交点坐标分别为，，只有一个点在线段上；如图： 综上所述，抛物线与线段只有一个交点时，的取值范围为或．． 【例4】（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点． (1)求点，点的坐标； (2)抛物线与抛物线关于原点成中心对称，求抛物线的表达式； (3)已知的对应点为，的对应点为，的对应点为，以，，，，，六个点中的4个点为顶点构造四边形，请写出形状为菱形的四边形，并求出面积最大的菱形面积． 【答案】(1)， (2) (3)四边形，是菱形，面积最大的菱形面积为18 【分析】（1）当时，，然后求解即可； （2）首先将抛物线配方得到，求出抛物线的顶点坐标为，然后根据中心对称的性质得到抛物线的二次项系数为，顶点坐标为，进而求解即可； （3）首先求出，，，，然后得出，，，结合，证明出四边形，是菱形，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点 ∴当时， 解得或 ∴，； （2）解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为 ∵抛物线与抛物线关于原点成中心对称 ∴抛物线的二次项系数为，顶点坐标为 ∴抛物线的表达式为； （3）解：如图所示， 当时， ∴ ∵，，抛物线与抛物线关于原点成中心对称 ∴，， ∴，， ∴四边形，是平行四边形 又∵， ∴四边形，是菱形 由图可得，菱形的面积大于菱形的面积 ∴菱形的面积． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，关于点成中心对称的图形的性质以及菱形的判定和面积公式，其中根据中心对称的性质求出抛物线的函数表达式是解题的关键． 【典型例题十 二次函数综合一一相似三角形问题】 【例1】（2025·浙江金华·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，设与交于点，求出，，则有解析式为，设，则，然后证明，由性质得，最后由二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设与交于点， 由得，当时，， 解得：，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 当时，则的最大值为， 故选：． 【例2】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点的距离，始终等于它到定直线：的距离（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．其中原点O为的中点，．如图2所示，已知过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A、B、C．若，，则a的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了阅读运用新知识能力，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是充分利用新知识的结论．作于G，作于K，由得，从而，即可 求得结果． 【详解】解：如图，作于G，作于K， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【例3】（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，已知抛物线经过点，，交轴于另一点，其顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）为轴上一点，若与相似，直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）把点，，代入解析式，即可求解； （2）过点E作 轴于点E，根据函数解析式，可得顶点坐标为 ，从而可得到∠CAP=∠OCD=135°，然后分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线经过点，， ，解得 ∴抛物线的解析式为； （2）如图，过点E作 轴于点E， ∵， ∴顶点坐标为 ， ∴DE=1，OE=4， ∵点，， ∴OA=OC=3， ∴CE=1， ∴DE=CE， ∴ ， ∵∠AOC=∠CED=90°， ∴∠OAC=45°，∠DCE=45°， ∴∠CAP=∠OCD=135°， 如图， 当 时，有 ， ∴ ，解得： ， ∴OP=5， ∴此时点 ； 如图， 当 时，有 ， ∴ ，解得： ， ∴OP=12， ∴此时点 ； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 【例4】（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，抛物线交x轴正半轴于点C，连结，． (1)求点C的坐标和直线的表达式； (2)设抛物线分别交边，延长线于点D，E． ①若与相似，求抛物线表达式； ②若是等腰三角形，则a的值为______（请直接写出答案即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据对称轴可得点C的坐标，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）①设D的坐标为，根据纵坐标可得，结合题意得，即可求得，代入直线可得点，进一步代入抛物线解析式即可得；②根据点的坐标求得线段的长度，利用勾股定理逆定理判断，设E的坐标为，结合题意得，利用等面积法求得，即可得到点，再代入抛物线即可求得． 【详解】（1）解：∵， ∵O，C两点关于直线对称， ∴， 设直线：， 把，，代入得， 解得， 则； （2）①设D的坐标为，则， 若与相似，则， ∴， ∴， ∵在直线上， ∴，代入抛物线解析式可得， ∴抛物线解析式为． ②∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，设E的坐标为， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上， ∴， ∴， 又∵在抛物线上， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及二次函数对称轴、待定系数法求一次函数、相似三角形的性质、两点之间的距离、以及勾股定理逆定理，解题的关键是找到利用相似三角形的性质和函数的性质． 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图：已知抛物线与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，抛物线的顶点为点P． (1)拋物线L的对称轴为___________，点C的坐标为___________． (2)若，求抛物线的表达式． 【答案】(1)直线， (2)或 【分析】（1）利用求出对称轴，求出时的函数值，即可得到点C的坐标； （2）求出点坐标和点坐标，根据，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线：； 当时，， ∴， 故答案为：直线，； （2）解：∵对称轴与x轴交于点D，抛物线的顶点为点P， ∴，即： ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， 解得：或； ∴抛物线的表达式或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握二次函数的性质，以及相似三角形的性质，是解题的关键． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的抛物线的对称轴为，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)已知轴上的动点，连接，若与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先将点代入直线中，求出，再求出抛物线的对称轴为，将代入直线中，即可求出点的坐标； （2）根据题意得：，，若与相似，分和两种情况讨论即可； 【详解】（1）解：将点代入直线中，则， 解得：， ∵抛物线的对称轴为， 将代入直线中，则， ∴点的坐标为； （2）解：根据题意得：，， 如图，当时， 此时，， 由（1）知， ∴； 如图，当时， 此时，， ∴， 设， 令中，则， ∴， ∵，， ∴，，，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，涉及相似三角形的判定与性质，一次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，灵活运用分类讨论的数学思想是解题关键． 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图1，抛物线与x轴正半轴交于点A，点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段绕点A逆时针旋转，点B刚好与点C重合，点B的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，以点B为圆心，以1为半径画圆，若点Q为上的一个动点，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)存在，P点坐标为或 (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）分三种情况：利用勾股定理建立方程即可完成； （3）在上取，使，连接，构造相似三角形把的最小值转化为即可求出答案． 【详解】（1）解：∵线段绕点A逆时针旋转，点B刚好与点C重合，点B的坐标为． ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 将代入中，得 ， 解得， 抛物线的解析式是； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， 设， ∴，，， ①当时，， ∴，解得， ∴； ②当时，， ∴，解得， ∴； ③当时，， ∴，整理得， ∵， ∴方程无解， 综上，存在点P使为直角三角形，点P的坐标为或； （3）解：在上取，使，连接， ∵， ∴， ∵以点B为圆心，以1为半径画圆， ∴， ∴，且， ∴， ∴，即， ∴的最小值是最小， ∴当C、Q、M共线时，的最小值为的长度， 此时，而， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数，圆，直角三角形，线段和最小值等综合问题，难度较大，解题关键是构造相似三角形把的最小值转化为． 4．（2025·浙江·模拟预测）已知抛物线． (1)如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点恰好在x轴上，求抛物线的对称轴及a的值； (2)如图2，抛物线的图象记为“G”，与y轴交于点，过点的直线与（1）中的图象“W”交于P，C两点，与图象“G”交于点D． ①当时，求的值； ②当时，请用合适的式子表示（用含的式子表示）． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线； (2)①；② 【分析】本题考查二次函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； （1）根据题意，分别求出抛物线的对称轴和点的纵坐标，即可求解； （2）①证明，即可求解； ②当且和时，证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解； 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线：，即为． 当时 根据翻折可知点的纵坐标为，即点的坐标为 ． 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 即抛物线的对称轴为直线； （2）解：， 图象“W”的解析式为：， ①当时，图象“G”的解析式为：， 设直线的解析式为， 当时， 解得：或； 点的横坐标为， 当， 解得：或； 点的横坐标为； 当时， 解得：或； 点的横坐标为； 如图，作轴，过点作轴交于点， 作轴，过点作交于点， 由各点横坐标可得：， ， ， 轴，轴， ， ， ，， ， ， ， ； ②当且时，图象“G”是解析式为：， 由①可得点的横坐标为，点的横坐标为， 当， 解得：， 点的横坐标为：； 当时，如图，作轴，过点作轴，交于点，过点作轴交于点； 由各点横坐标可得：， ， ，， ， ， ； 当时，如图，作轴，过点作轴，交于点，过点作轴交于点， 由各点横坐标可得：， ， ，， ， ， 则； 综上所述，用含的式子表示为； 【典型例题十一 二次函数综合一一周长问题】 【例1】（2025九年级上·浙江杭州·专题练习）已知抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，线段长度问题；根据题意先求得直线为，设，则，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，      当时， 解得： ∴ 当时， ∴ 设直线为， ∴ ∴ 直线为 设，则， ∴ ∵， ∴当时，的长度随增大而减小 ∴的取值范围是 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线和抛物线于A、B两点，过点A作轴交抛物线于点C，过点B作轴交抛物线于点D．则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，设，则，根据题意得出，，即可求得，，从而求得． 【详解】解：设，则， ∵轴交抛物线于点C，轴交抛物线于点D， ∴，， ∴，， ， 故选：C ． 【例3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，抛物线 与直线交与点A与点B，点P是线段AB上的动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为 ． 【答案】/0.25 【分析】根据PQ∥y轴，可设点，则，从而得到，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵PQ∥y轴， ∴可设点，则， ∴， ∴当时，最大，最大值． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【例4】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)连结，求的面积． (2)若抛物线上一点，满足的面积是的面积的一半，求点坐标． (3)若抛物线的对称轴上有一动点，求出当最小时点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，面积问题，轴对称求线段和最短距离： （1）分别令得出的坐标，进而即可求解； （2）根据题意可得，进而令，代入解析式，解方程，即可求解； （3）由轴对称的性质得到，则，故当三点共线时，的值最小，即此时的值最小，求出直线解析式为，再求出抛物线对称轴为直线，在中，当时，，即． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． 当时，， ∴ 当时， 解得： ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵的面积是的面积的一半， ∴ 当时， 解得：或 当时， 解得：或 综上所述，则或或或 （3）解：如图所示，连接， ∵点P是抛物线对称轴上一点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即此时的值最小， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴． 1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先由对称轴和点坐标求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可．然后，过点M作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P（如图1）；过点M作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点P（如图2）；分别计算两种情况下的周长再取最小值即可； 【详解】解：如图，∵抛物线的对称轴为，点是抛物线上的一点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ， 的周长，且是定值，所以只需最小． 如图1，过点作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P．    设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴， 此时三角形的周长； 同理，如图2，过点作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点，    设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴， 此时三角形的周长； ∵，， ∴ ∴点P在y轴上时，三角形的周长最小，即点P的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找x轴和y轴上符合条件的点P，不要漏解，这是同学们容易忽略的地方． 2．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图（1），在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间之间的函数关系图象如图（2）所示（点为曲线部分的最低点），则的值为 ． 【答案】4 【分析】此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解决此题的关键．根据图象和图形的对应关系即可求出的长，从而求出，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出时，根据勾股定理即可求出，即可解答． 【详解】解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为的，根据图象可知，当时， ∴， ∵点为边中点， ∴， 由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小， ∴根据垂线段最短，此时， 如图所示，此时点P运动的路程，    ∴， ∴在中，， 即． 故答案为：4 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知：直线经过点，抛物线与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D，抛物线与交y轴于点E． (1)求点B，点C的坐标（用含字母a的代数式表示）； (2)连接，求线段的最小值； (3)当直线恰好经过点E时，求a的值． 【答案】(1) (2)的最小值为1 (3)， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与一次函数的综合问题，二次函数图象与坐标轴的交点问题，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）令，求出，再由又点在直线，得到，即可求出点； （2）先表示出，而，那么，化简转化为二次函数求最值，再求的最小值； （3）设直线为，将代入，求得直线为，可得，那么，由于直线经过点E，则，即可求解． 【详解】（1）解：令，得，， 即与x轴交点为， 又点在直线， ， 点B在点C左边， ； （2）解：∵， ∴对称轴为直线：， 将代入得： ∴， ∵， ∴， 当时最小值为1，即的最小值为1 （3）解：设直线为，将代入 求得，， 直线为， ∵ ∴， 当时 ， 直线经过点E， ，． 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）自古以来，放风筝便是春天不可或缺的乐趣之一．如图是某同学设计的一只风筝的平面示意图，其外轮廓为三角形，中间有一个抛物线形的装饰图案，抛物线的顶点为，抛物线与三角形的一边相交于、两点（点与点关于抛物线的对称轴对称），以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知，点到的距离为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知点的坐标为，该同学准备在抛物线上取两点、（点与点关于抛物线的对称轴对称），与抛物线对称轴的交点为，点在点的上方，沿和缝制两条装饰线条，请你计算与长度之和的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意得抛物线的顶点，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法解答即可求解； （）设，则，可得，，进而得到，再根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 即； （2）解：设，则， ∴，     ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴与长度之和的最大值为． 【典型例题十二 二次函数综合一一面积问题】 【例1】（2025·广东揭阳·模拟预测）如图，两抛物线的函数解析式分别为和，则阴影部分面积为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，图形的面积，根据二次函数的图象的性质得出阴影部分的面积等于三角形的面积，进而根据求得的坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示， 解得：或， 则两抛物线的交点分别为原点和 设的顶点坐标为，与轴的另一个交点为， 又，则， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴ ∴三角形是等腰直角三角形 根据二次函数的性质，阴影部分的面积等于等腰三角形的面积， ∴阴影部分面积为， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，且．点在抛物线上，的面积为4．将该抛物线向右平移4个单位，再向下平移2个单位后，点的对应点为，抛物线与轴交于，两点，则的面积是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象平移的性质，掌握函数图象平移规律，求根公式计算出两根，系数的关系，二次函数与轴两交点的距离是解题的关键． 根据，可得，由，令，用求根公式得到两个交点横坐标的值，由此可得，则，再根据平移的性质可得，即点到轴的距离为2，根据函数图象平移得到平移后的二次函数，令，可得，由此可得，结合图形面积公式计算，由此即可求解． 【详解】解：已知．点在抛物线上，的面积为4， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵点在二次函数图象上， ∴，则， ∴二次函数解析式为：， ∵二次函数与轴有两个交点， ∴，设， ∴，则， ∴， 整理得，， ∵将该抛物线向右平移4个单位，再向下平移2个单位后，点的对应点为， ∴， ∴设平移后的二次函数解析式为， ∴， 设平移后二次函数与轴的两个交点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D ． 【例3】 （24-25九年级上·山东济宁·期末）如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、图形平移的性质，连接，，根据图形平移的性质可知． 【详解】如图所示，连接，， 根据图形平移的性质可知， 设抛物线的表达式为， 抛物线经过点和原点，则抛物线的对称轴为， 将代入，得， 所以，点的坐标为， 将代入抛物线，得， 所以，点的坐标为， ， 所以，， 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图，开口向下的抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点的横坐标为1． (1)求该拋物线所对应的函数解析式； (2)连接，，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式． （1）设抛物线的解析式为，然后根据待定系数法求解即可； （2）如图，连接，首先求出点的坐标为，然后求出，，，然后利用代数求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ； （2）解：如图，连接， 将代入，得， 点的坐标为， 抛物线与轴交于点，，与轴交于点， ，，， ， 四边形的面积为8． 1．（2025·安徽宣城·模拟预测）如图，为线段上一点，，，，，，记和的面积分别为，．设，，则关于的函数图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与几何的综合应用、全等三角形的判定与性质，过点作，与的延长线交于点，可证，所以可知，因为，则，，根据三角形的面积公式可得：，根据二次函数的图象与性质确定正确选项． 【详解】解：如下图所示，过点作，与的延长线交于点， ，，， ， ，， ， 又， 在和中， ， ，， ， ，， ， ． 观察图象可知选B． 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，抛物线与x轴的另一个交点为A，现将抛物线向右平移个单位长度，所得抛物线与x轴交于C，D，与原抛物线交于点P，设的面积为S，则S可用含m的式子表示为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、平移的性质以及三角形面积的求法等知识，作轴于H，设，求出，把代入，得，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，作轴于H， 设， 令，则，解得：，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（2025·吉林松原·模拟预测）如图①所示，是等边三角形，，矩形的边，．点，，在一条直线上．如图②，将矩形沿向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，． 设，矩形与重叠部分的面积为． (1)当点落在上时，________； (2)当点落在上时，________； (3)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (4)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)9 (2)10 (3) (4) 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，平移的性质，解直角三角形，二次函数的性质； （1）当点落在上时，根据平移的性质得，，利用是等边三角形，求出，则； （2）当点落在上时， 根据平移的性质得，利用是等边三角形，求出，则； （3）分三种情况当，，，分别画出图形，根据平移和直角三角形的性质求解即可； （4）利用一次函数和二次函数的性质，分别求出三部分函数的取值范围，最后综合取值即可． 【详解】（1）解：如图， 当点落在上时，根据平移的性质得，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9； （2）解：如图， 当点落在上时， 根据平移的性质得，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10； （3）解：分以下三种情况： 当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， 根据平移可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 当时，如图， 由（1）可得， 根据平移可得， ∴，， ∴ ． 综上，关于的函数解析式为； （4）解：当时，，此时随的增大而增大， 当时，，当时，， 此时； 当时， 的对称轴为，当时随的增大而增大， 当时，， 此时； 当时， 的对称轴为，当时有最大值， 当时，，当时，， 此时， 综上所述，当时，的取值范围是． 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）对于二次函数，当自变量时，函数y的最大值为． (1)求二次函数的解析式． (2)如图，二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，P，Q是A与C之间的二次函数图象上的两个动点，轴交直线于点M，轴交直线于点N，轴于点E，轴于点D，，求当P，Q两点不重合时，线段的长． (3)在（2）的条件下，连接，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式等等，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可得对称轴为直线，则可推出，再利用待定系数法求解即可； （2）求出，；进而得到直线解析式为；设，则，则，可求出，， ，根据，可推出，据此可得答案； （3）求出，则，据此根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵当自变量时，函数y的最大值为， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入到中得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴， 在中，当时，， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 设，则， ∴， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵P，Q两点不重合，即， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 1．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）一个小球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）和弹起的最高高度（米）分别是（   ） A．1，4 B．2，5 C．5，10 D．10，20 【答案】B 【分析】此题考查了求二次函数的应用． 根据球弹起后又回到地面时，得到，解方程即可得到回到地面所花的时间（秒）．化为顶点式可求出弹起的最高高度（米）． 【详解】解：球弹起后又回到地面时，即， 解得（不合题意，舍去），， ∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2． ∵， ∴弹起的最高高度（米）是5． 故选：B． 2．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 设每天的总利润为W（元），则W与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的应用和一次函数的应用，根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式，根据题意可以写出W与x之间的函数表达式． 【详解】解：设y与x之间的函数解析式为， ， 得， 即y与x之间的函数表达式是； 由题意可得，， 即W与x之间的函数表达式是． 故选：B． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在边长为的菱形中，，点，同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，当其中一点到达点时，两点都随即停止运动．设运动时间为，的面积为，则下列能大致反映与之间关系的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数图象与性质，利用三角函数解三角形等知识，根据题意分类讨论列出函数解析式是解题关键． 先证明，都是等边三角形，再分、、三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解． 【详解】解：四边形为菱形，， ，， ，都是等边三角形， ． 如图1，当时，，，作于点， ， ， 故选项D不正确； 如图2，当时，，， 作于点， （cm），， 故选项B不正确； 如图3，当时，，， ， 作于点， （cm），， 故选项C不正确． 故选A． 4．（2025·浙江金华·模拟预测）一个小球从地面上一点处以一定的方向弹出，落在斜坡上的点处，小球的飞行路线可以用二次函数表示，斜坡所在直线可以用表示，它们的图象如图所示，当小球飞行的水平距离为时，其飞行高度达到最大值（不考虑空气阻力等因素）． 有下列结论： ①，； ②小球在斜坡上的降落点距地面的高度为； ③若小球飞行高度与飞行时间满足关系式，则． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； ①根据对称轴可得，当时，则，联立求解即可； ②联立，即可求解； ③将式子整理成，可得，即可求解； 【详解】解：①当小球飞行的水平距离为时，其飞行高度达到最大值， ； 因为对称轴为； 则； ， 解得：， 则； ②联立， 解得：； 小球在斜坡上的降落点距地面的高度为，不满足题意； ③若小球飞行高度与飞行时间满足关系式， ， 则， 则或（舍去）； 综上所述，正确的有①③，有两个； 故选：C 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）一个8人小组参加集体跳长绳比赛，其中2人负责摇绳．站立的位置相距，剩余6人跳绳，他们都站在同一直线上．如图所示，当绳子摇到最高处时，绳子的形状近似于一条抛物线，摇绳的手距离地面都是，绳子的最高点距离地面．根据平时训练的情况，当绳子摇到最高处时，这6名学生头顶离地高度（单位：m）的范围如表所示． 学生 A B C D E F 头顶离地高度的范围 1.51～1.72 1.36～1.64 1.68～1.84 1.56～1.75 1.36～1.64 1.56～1.75 将此次比赛中这6名学生站立的队列长度记为（单位：m），若比赛中绳子都不会碰到他们的头顶，根据表一的数据可求的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把二次函数同实际生活结合起来．依据题意，以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，再设抛物线解析式为，又由已知可得，在抛物线上，且抛物线顶点为，从而可得抛物线的函数表达式为，将代入，求出或，则此次比赛中这6名学生站立的队列长度为∶，即此时B、E两位学生分别站在队列两侧，则，进而可以判断得解． 【详解】解∶由题意，以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图∶ 设抛物线解析式为， 由已知可得，在抛物线上，且抛物线顶点为． ． ． 抛物线的函数表达式为． 将代入，得． 求出或． 此次比赛中这6名学生站立的队列长度为∶． 即，即此时B、E两位学生分别站在队列两侧 ． 故选∶C 6．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是．那么小球到达最大高度的时间是 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是关键；把二次函数解析式配方即可求得小球到达最高点时的时间． 【详解】解：， ∵二次项系数为负， ∴当时，小球运动到最高点． 故答案为：3． 7．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，，抛物线与轴交于点． （1）点的坐标为 ； （2）当时，点是抛物线在第一象限上的一动点，连接，，，若随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，二次函数的最值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据抛物线可得对称轴为直线，由，则有点， （）当时，，故有点，求出直线的解析式为， 作轴于点，交于点，由，最后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（）由， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴点， 故答案为：； （）当时，， ∵与轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， ，解得 ∴直线的解析式为， 作轴于点，交于点，    ∴ ， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛（如图所示），那么物体离地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系为：．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间t为 秒． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，将代入求解即可． 【详解】解：当时，即 解得，（舍去） ∴该物体落回地面所需要的时间t为2秒． 故答案为：2． 9．（2025·浙江舟山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．设点的坐标为，求出点A的坐标，再由轴，，可得点Q的坐标为，再根据是等腰直角三角形，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∵轴，， ∴点Q的坐标为， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点的坐标为． 故答案为： 10．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知抛物线过点，顶点为D．若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质作轴交于E点，求得的解析式为，设，，得，所以，，求函数的最大值即可. 【详解】解：将A，B，C点的坐标代入解析式，得方程组： 解得 抛物线的解析式为 作轴交AC于E点，如图， 设的解析式为，则 解得 ∴的解析式为， 设，， ， 当时，的面积的最大值是； 故答案为： 11．（2025·浙江温州·模拟预测）某服装大卖场以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量（件）与每件的销售价（元）之间的函数关系为． (1)当每天的销售量为件时，求销售这种服装的毛利润； (2)如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应如何定价？并求出最大毛利润． 【答案】(1)当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元 (2)如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应定价为元，最大毛利润为元． 【分析】本题主要考查了求一次函数的自变量的值，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （1）根据求出的值，进而根据销量乘以每件服装的利润，即可求解； （2）设销售利润为，根据题意，列出二次函数解析式，根据二次函数的性质求得最值，即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， 元， 答：当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元； （2）设销售利润为，根据题意得出 ∵, ∴当时，利润最大，最大为： 答：如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应定价为元，最大毛利润为元． 12．（2025·浙江衢州·模拟预测）如图1是我们生活中常见的一只碗，图2是从正面看到的碗的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口的垂直平分线对称，且碗底与碗口平行，、均在抛物线上，，，已知，，，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式（、为常数）．    (1)求、的值和点的坐标； (2)若碗中装入一定量的水，水面，且与之间的距离为，求水面的宽度． 【答案】(1)，，点的坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意可得抛物线的对称轴为直线，则由对称轴计算公式可得，再求出，利用待定系数法求出c的值，进而求出点B的坐标即可； （2）求出点E和点F的纵坐标，进而求出点E和点F的横坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ， 解得．     ，，，， ∴ ∴．     将点代入，得，    ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴点的坐标为． （2）解：与之间的距离为， 点与点的纵坐标为．     令，得，解得，，    ， 即水面的宽度为． 13．（2025·浙江杭州·模拟预测）汽车行驶在高速公路上遇到意外情况时，紧急停车需要经历反应（反应时间为秒）和制动两个过程，反应距离和制动距离分别记为和（单位：），停车距离为．（参考数据：） 汽车在反应过程保持原速度匀速运动，制动过程中的路程与行驶速度关系如下表所示： 原速度x（） 0 20 40 60 80 … 制动距离（） 0 2 8 18 32 … (1)将表格中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，并求出与x的函数关系式； (2)当行驶速度为时，求刹车距离S； (3)疲劳驾驶会导致司机制动反应时间增加，反应时间为正常时间的3倍，当疲劳驾驶停车距离比正常情况下增加时，求汽车原速度为多少． 【答案】(1)图见解析； (2)刹车距离为 (3)汽车原速度为 【分析】此题考查了画函数图象，待定系数法求函数解析式，求自变量的值，正确掌握函数知识是解题的关键． （1）根据表格，描点、连线即可得出相应图象；然后设，利用待定系数法即可确定函数解析式； （2）根据题意确定，然后代入求解即可； （3）根据题意得出疲劳驾驶下反应距离，确定，求解即可． 【详解】（1）解：图象如图所示： ∴设，将点，代入得： ， 解得 故． （2）由题意：， 则 当时，． 故刹车距离为． （3）疲劳驾驶下反应距离 由题意：， 解得 故汽车原速度为． 14．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于C点，对称轴直线． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，直线与抛物线，x轴分别交于点M，N，于点D，点E在坐标平面内，若以M，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标； (3)如图2，若过（2）中点D的直线与抛物线交于P、Q两点（点P在点Q左侧），过Q点的直线与抛物线交于点R，探究直线是否经过某个定点？若经过某定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】对于（1），根据抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，可得，求出解即可； 对于（2），过点D作轴，于点H，求出点，可得，进而得出，则都是等腰直角三角形，又，即点，再设点，分三种情况讨论：①为对角线，则的我中点重合，；②为对角线，同理，得；③为对角线，则的我中点重合，，解方程组可得答案； 对于（3），设过点的直线，则，即得直线的关系式为，进而得，再设点，则有，然后设点，可得，即可得，接下来设直线的关系式为，把点，代入可得关系式，最后直线的关系式为，故直线必过定点． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：过点D作轴，于点H， 在中，令，得， ∴点，可得， ∴， ∴. ∵轴， ∴都是等腰直角三角形． ∵， ∴， ∴， ∴点. 在中，令得， ∴． 设点，又点， 分三种情况讨论：①为对角线，则的中点重合， ∴， 解得， ∴； ②为对角线，同理，得， 解得， ∴； ③为对角线，同理，得， 解得， ∴． 综上所述，点E得坐标为或或； （3）解：直线必经过某个定点，理由如下： 设过点的直线，则， ∴， ∴直线的关系式为， 由，得. 设点，则有， ∴． 设点， ∵点，在直线上， ∴， ∴， 整理得． 设直线的关系式为，把点，代入可得 , 解得， ∴直线的关系式为， ∵， ∴直线的关系式为. ∵， ∴直线的关系式为， 令得， ∴直线必过定点． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合问题，二次函数与一次函数的交点问题，平行四边形的性质和判定，求一次函数关系式，求二次函数的关系式，理解平行四边形的判定定理是解题的关键． 15．（2025·浙江杭州·模拟预测）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．琪琪家计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为8米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，建立如图1所示的平面直角坐标系，已知骨架的一端固定在离地面4米的墙体A处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为2米，且点离地面的高度为4.25米． (1)求该抛物解析式，并写出点坐标； (2)为了大棚顶部更加稳固，琪琪爸爸计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，，分别交于点、．且（在左侧）．当、间的水平距离为3米时，求的长； (3)为了节约成本，支架调整为线段，组成，如图3所示，直接写出求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求一次函数关系式及勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）利用抛物线顶点设解析式，再将代入求出，得到抛物线解析式；把代入解析式求点纵坐标，确定坐标． （2）先由、坐标用待定系数法求直线解析式；设横坐标为，根据在抛物线、在直线上，分别表示出、纵坐标，作差得表达式；同理，由、水平距离为，设横坐标为，求出表达式；根据列方程求解，代入表达式得长度． （3）用两点间距离公式求长度；由（2）得关于横坐标的二次函数表达式，根据二次函数性质（开口向下，顶点处取最大值 ）求出最大值；支架长度为，相加得最大长度． 【详解】（1）解：题意可得， 设与之间的函数关系式，将点代入， 得，解得． 水流所在抛物线的函数表达式为； 当时，， ∴； （2）已知，，设直线的解析式为 把，代入，得 ， 解得． ∴直线的解析式为． 设点的横坐标为， ∵，在抛物线上，在直线上： 抛物线解析式为， ∴点纵坐标为． ∵直线解析式为， ∴点纵坐标为． 那么的长度为、两点纵坐标之差，即： ∵、间的水平距离为米，且，在左侧， ∴点的横坐标为． 同理，设点横坐标为，则点纵坐标为，点纵坐标为． 的长度为： ∵， ∴． ． ． 把代入： ． （3）已知，， 设点的横坐标为， 由（2）得的长度表达式为． 在中，，， ∴函数图象开口向下，存在最大值，： ∴ 把代入的表达式得 ∵支架长度为， ∴支架所需铝合金材料的最大长度为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$