第02讲 二次函数的性质（4大知识点+14大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（浙教版）

第02讲 二次函数的性质（4大知识点+14大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 y=ax²+bx+c的图象与性质 典型例题二 把y=ax²+bx+c化成顶点式 典型例题三 二次函数图象与各项系数符号 典型例题四 根据二次函数的图象判断式子符号 典型例题五 待定系数法求二次函数解析式 典型例题六 已知抛物线上对称的两点求对称轴 典型例题七 根据二次函数的对称性求函数值 典型例题八 y=ax²+bx+c的最值 典型例题九 利用二次函数对称性求最短路径 典型例题十 抛物线与x轴的交点问题 典型例题十一 已知二次函数的函数值求自变量的值 典型例题十二 二次函数图象的平移问题 典型例题十三 一次函数、二次函数图象综合判断 典型例题十四 反比例函数、二次函数图象综合判断 知识点01 二次函数的图像与性质 二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0． 的性质： 上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 一般式：（，，为常数，）； 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 知识点02 二次函数的图象与a，b，c的关系 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑． 1．基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用． 2．组合二看 (1)三全看点 在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可． (2)有缺看轴 当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可． 3．取值计算 当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断． 二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系. (1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下. (2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴. (3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴. (4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点. (5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. (6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. 知识点03 二次函数图象的平移 由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即 . 因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题， 注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. (2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 知识点04 待定系数求解析式 用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式: (1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式; (2)已知顶点(或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式; (3)已知抛物线与轴的两个交点坐标为，常设抛物线的解析式为交点式. 二次函数解析式的形式 一般式： 顶点式： 交点式 顶点在原点： 过原点： 顶点在y轴： 求二次函数（a≠0）的最值的方法 配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成的形式 若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且 ②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 公式法：因为抛物线的顶点坐标为（-），则 若a＞0，当x=时，函数有最小值，且 若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 【典型例题一 y=ax²+bx+c的图象与性质】 【例1】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）抛物线经过点，记该抛物线的对称轴为，若，则下列推断正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数图像不经过第二象限，且顶点在x轴正半轴，则二次函数解析式可以是 ．（只需写出一个） 【例3】（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线经过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)写出这条抛物线的对称轴和顶点坐标． 1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③若点在该抛物线上，且，则；④．其中正确结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·浙江·模拟预测）新定义：我们把抛物线，（其中）与抛物线称为“孪生抛物线”，例如：抛物线的“孪生抛物线”为．已知抛物线（a为常数，且）的“孪生抛物线”为．抛物线的顶点为A，与x轴交于B，C两点，若为直角三角形，则抛物线的表达式为 ． 3．（2025·浙江丽水·模拟预测）已知二次函数的部分函数值对应表如表一，其中，． 表一 x … … y … … (1)当时，设，，请求出的值； (2)设，，张飞同学计算了当时的的值和的值，经过一些思考和推理，发现了一个与m的取值无关的数学规律．请你叙述这个数学规律并对其进行证明． 4．（2025·浙江衢州·模拟预测）课堂上，数学老师组织同学们围绕二次函数展开探究． 【问题探究】 （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）若，当时，函数的最大值为，求实数的值； 【问题拓展】 （3）若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围． 【典型例题二 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，高腾同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线，他跳跃的高度y（单位：m）与跳跃时间x（单位：s）之间具有函数关系，那么他能跳过的最大高度为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）二次函数的图象开口向 ，顶点坐标 ，当时y的取值范围的是 ． 【例3】（2025·浙江舟山·模拟预测）如图，已知抛物线的图象经过点，交y轴于点B． (1)求a的值和抛物线的顶点坐标； (2)延长至点C，使．若将抛物线L平移后恰好经过A，C两点，求平移的最短路程． 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末），，三点在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）将抛物线向下平移2个单位长度，所得新抛物线的函数解析式为 ． 3．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数（a是常数）． (1)当时． ①求二次函数图象的顶点坐标； ②在的范围内，求y的取值范围． (2) 当a取值为时，二次函数的最大值相等，此时是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 4．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式：______________； (2)抛物线与x轴交点（点A在左侧），与y轴交点C，在给定的坐标系中画出这个抛物线，并写出的面积：________________； (3)当自变量x满足__________时，函数． 【典型例题三 二次函数图象与各项系数符号】 【例1】（2025·浙江舟山·模拟预测）已知二次函数为，则它的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【例2】 （24-25九年级上·浙江湖州·期中）二次函数的图象如图所示，那么 （填“>”“<”或“=”）． 【例3】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图：已知二次函数，当二次函数的图象经过坐标原点时，求二次函数的解析式 1．（2025·浙江湖州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于A、B两点，，，与y轴交点C的纵坐标在与之间，根据图象判断以下结论：①；②；③；④若且，则．其中正确结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025九年级上·浙江温州·专题练习）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）若点，点，点在该函数图象上，则；（4）若，则，其中正确的结论的序号是 ． 3．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）已知二次函数． (1)求函数图象的对称轴； (2)若，当时，函数的最大值为8，求实数的值； (3)若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围． 4．（24-25九年级上·浙江温州·期末）综合实践：测量拱形门建筑的高度． 素材：如图1是一个抛物线形状的拱形门建筑，某校数学学习小组计划测量该拱形门相关数据从而计算其高度．如图2是其正面示意图，设该拱形门与地面的交点为A，B，且．在点A右侧1的点C处，测得拱形门上点D到地面的距离为3.8． 任务1：请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． 任务2：求出拱形门建筑最高点到地面的距离．                 【典型例题四 根据二次函数的图象判断式子符号】 【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）函数 的图象如图所示，下列说法正确的有（   ） ①方程有四个不等的实数根；② ；③ ；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例2】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）二次函数的图象如图所示，下列四个结论： ①； ②； ③； ④若方程有四个实数根，则这四个实数根的和为4． 其中正确结论是 ．（填写序号） 【例3】（24-25九年级上·浙江丽水·期末）我们知道： （1）观察以上结果，可以发现： ； ； （2）若点P（m,n)在抛物线上，且n>0，试化简： 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线的图象如图所示，有下列结论： ①； ②二次函数图象的对称轴是直线； ③当时，y随x的增大而减小； ④方程的解为，． 其中正确的结论有 ． 3．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知的图像如图，则：a______0；b______0；c______0；______0；______0；______0；______0；______0 4．（2025九年级上·全国·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，回答下列问题： (1)填空（填“”“ ”或“”）： ①a 0；②b 0；③c 0；④ 0；⑤ 0； ⑥ 0；⑦ 0；⑧ 0； ⑨若点，均在该二次函数图象上，则 ； (2)若点，均在该二次函数图象上，则n的值为 ； (3)关于x的一元二次方程的实数根的情况为 ； (4)若图象与x轴的交点为，，，当时，x的取值范围为 ． 【典型例题五 待定系数法求二次函数解析式】 【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．将如图所示的剪纸“鱼”置于平面直角坐标系中，使得外轮廓上的点、B、均落在抛物线（a、c为常数，）上，已知点B在第一象限，且到y轴的距离为，则点B到x轴的距离为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·浙江舟山·模拟预测）已知二次函数和中，函数，与自变量x的部分对应值分别如表1，表2： 表1                      表2 x 1 2 3 x 1 2 3 m n 则 ．（填“”“”或“”） 【例3】（24-25九年级上·浙江丽水·期中）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，且在对称轴右侧，若点的纵坐标为，求点到轴的距离． 1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，平面直角坐标系中有四个点，，，，二次函数（a，b，c为常数，且）的图象经过这四个点中的其中三个点，若要使a取得最小值，则抛物线经过的三个点是（   ） A．E，F，M B．E，F，O C．E，M，O D．F，M，O 2．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，已知四个点，，，，数学活动课中同学们分别画出了经过这四个点中三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式． （1）对应的函数表达式有 个； （2）所有函数表达式中的最大值是 ． 3．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）二次函数的图象与轴交于和两点． (1)当时，． ①求，的值； ②当时，函数最大值和最小值的差为，求的值； (2)当时，若存在实数，使得恒成立，求满足条件的的取值范围． 4．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，抛物线：经过点，，点是抛物线的顶点． (1)求，的值及点的坐标． (2)将抛物线平移，使其顶点落在轴上，得到抛物线． ①直接写出抛物线平移的最短路程及此时抛物线的顶点坐标； ②在①的条件下，抛物线上有一个动点，其横坐标为，当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，求的取值范围． 【典型例题六 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【例1】（24-25九年级上·宁波·期中）如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上、两点的高度相同，到墙边的距离分别为，．若该墙的长度为，则最多可以连续绘制这样的抛物线型图案的个数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【例2】（24-25九年级上·浙江舟山·阶段练习）坐标平面上有两个二次函数的图象，其顶点M、N皆在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，，，，则的长度是 ． 【例3】（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知A、B是开口向上的抛物线上纵坐标相等的两点，且该抛物线与x轴相交，请用无刻度的直尺作出其对称轴． 1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知二次函数（其中a，b，c是常数，且）的图象过点，，，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③若是等腰三角形，的值有2个；④当是直角三角形时，，其中正确的是 ．（只需填序号） 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知是关于的二次函数，满足下表 … … … … 根据上表数据，完成下列问题： (1)直接写出此图象对称轴表达式 ； (2)写出此二次函数顶点坐标是 ； (3)求此二次函数的解析式． 4．（2025·浙江·模拟预测）如图，二次函数的图象经过，两点，C为抛物线的顶点，其纵坐标为． (1)直接写出顶点C的坐标； 求二次函数的解析式． (2)若经过点A的抛物线与具有相同的对称轴． 判断：点B_____（填“在”或“不在”）在抛物线上． 将抛物线绕着点B旋转得到新的抛物线，记为，D为的顶点，将C，D两点间的距离记为d，求d的取值范围． 【典型例题七 根据二次函数的对称性求函数值】 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 1 2 1 0 … 其中m的值是（   ）． A．2 B．1 C．0 D． 【例2】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是 ． 【例3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数中的满足下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 3 … (1)的值为 ． (2)求出这个二次函数的解析式． (3)画出这个二次函数的图象． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图反比例函数与二次函数的图像的交点P的横坐标是，则关于x的不等式  的解集是 3．（2025·浙江衢州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知，，是抛物线上的三个点．若对于，，，都有，求的取值范围． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线经过点、． (1)直接写出点、的坐标； (2)求该抛物线对应的函数表达式； (3)根据图象直接写出关于的不等式的解集． 【典型例题八 y=ax²+bx+c的最值】 【例1】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（   ） A．有最小值0，有最大值2 B．有最小值0，有最大值3 C．有最小值，有最大值2 D．有最小值，有最大值3 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是 ． 【例3】（24-25九年级上·浙江丽水·阶段练习）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． [经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数表达式； ②求当x取何值时．函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们求出对应的函数在x取何值时，函数y有最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 0 2 4 … y的最小值 … * 0 … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数表达式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 1．（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点，安安和顺顺作出如下判断： 安安：． 顺顺：若m是实数，则． 对于这两个判断，下列说法正确的是（   ） A．安安对 B．顺顺对 C．两人都对 D．两人都错 2．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论，①；②时，y随x的增大而增大；③对于任意实数m，总有．其中正确的结论有 （直接填写序号）． 3．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）已知，二次函数，x与y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … t m p n … (1)当时， ①若，求二次函数解析式． ②若，求证：． (3) 若，且当时，函数y有最大值，求a的取值范围． 4．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数（为常数）． (1)当时， ①若，二次函数的最大值记作，最小值记作，求的值； ②若抛物线经过点，求证：． (2)两位同学尝试代入不同的值后，提出了两个观点． 甲说：“不论取何值，抛物线必过一个定点”； 乙说：“不论取何值，抛物线的顶点都在一条固定的抛物线上运动”． 请你依次判断这两个观点是否正确，并各自说明理由． 【典型例题九 利用二次函数对称性求最短路径】 【例1】（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　） A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6 【例2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为 ．    【例3】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求点A，点B和点C的坐标； （2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标． 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江丽水·期末）如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），给出以下结论：①；②且，则；③若是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则；④的最小值是其中说法正确的有 ．（填写正确结论的序号） 3．（24-25九年级上·浙江舟山·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标． 4．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过两点． (1)求抛物线的函数表达式 (2)若是直线下方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为．用含的代数式表示线段的长，并求线段的长的最大值． 【典型例题十 抛物线与x轴的交点问题】 【例1】（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则关于的一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）已知二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，则a的值为 ． 【例3】（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定b，的符号； (2)求证：； (3)当x取何值时，，当x取何值时． 1．（2025·浙江湖州·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，，与y轴交于点C．若轴，则二次函数图象上点D的坐标为 ． 3．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）已知关于x的二次函数， (1)若二次函数图象与x轴有两个不同的交点，并且这两个交点的横坐标之和为4， ①求二次函数的表达式； ②当时，求函数值y的取值范围； (2)若对称轴为直线，当时，二次函数的最大值与最小值的差为16，求n的取值范围． 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）综合与实践 在学习完二次函数后，创新学习小组对一个二次函数的顶点特征展开了如下探究： (1)①列表：填写表格，表格中的与的值分别是____，____； 的值 ．．．．．． ．．．．．． 的顶点横坐标 ．．．．．． 1 2 3 ．．．．．． 的顶点纵坐标 ．．．．．． 0 3 4 0 ．．．．．． ②描点：随着取不同值，请将的顶点描在下面的平面直角坐标系中； ③连线：用光滑的曲线顺次连接各点； (2)①猜想：随着取不同值，的顶点形成的图象的表达式是___________；②请验证你的猜想； (3)若抛物线与轴有两个不同的交点，请求出的取值范围． 【典型例题十一 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例1】（2025·浙江湖州·模拟预测）数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，撑开后如图1所示，由此发现数学知识——抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨，的交点为坐标原点建立平面直角坐标系．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，，关于轴对称．抛物线的表达式为，若点A到轴的距离是，则，两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·浙江衢州·期中）抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．    （1）方程的根为 ； （2）方程的根为 ； （3）方程的根为 ； 【例3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点为，矩形的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，交y轴于点，且矩形面积为8． (1)求此抛物线的解析式； (2)求当时，y的取值范围； (3)直接写出当时，x的取值范围． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知的图象如图所示，则关于的一元二次方程有（    ）个解 A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2025·浙江·模拟预测）若在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x …… 0 1 3 …… y …… 2 7 …… 则方程的解是 ． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数． (1)用配方法将解析式化为的形式； (2)已知二次函数中的满足下表，求的值； … 0 1 2 … … 3 … (3)结合（2）中所给的表格，在给定的平面直角坐标系中，直接画出这个函数的大致图象． 4．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点，点在点的左侧，与轴交于点，且． (1)求这条抛物线的解析式； (2)若点与点在（1）中的抛物线上，且，．求的值． 【典型例题十二 二次函数图象的平移问题】 【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知抛物线（a、m、k为常数，且）的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 1 3 5 6 … y … 5 0 0 12 21 … 将抛物线平移得到新抛物线，若点在新抛物线上，则n的值为（　　） A． B．4 C． D． 【例2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是 ． 【例3】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）类比学习是中学阶段一种很重要的学习方法，下面是小星在课堂上类比作一次函数的函数图象学习作的函数图象的过程，请你帮他完成如下问题： (1)请你完成下面表格 …… ▲ 0 1 2 ▲ …… …… ▲ 4 ▲ 0 1 4 9 …… (2)完成下列问题． ①请你在平面直角坐标系中画出该函数图象；    ②将该函数图象向上平移2个单位，当的取值范围为时，两函数图象所围成的面积为多少？ …… 0 1 2 3 …… …… 9 4 1 0 1 4 9 …… 1．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线沿x轴翻折，并向右平移2个单位长度，得到抛物线，再将抛物线沿x轴翻折，并向右平移2个单位长度，得到抛物线…直线l从与y轴重合的位置出发，沿x轴正方向向右平移，每秒平移个单位长度．设抛物线，，，…组成的曲线与直线l交于点P，则第205秒结束时，点P的纵坐标为（   ） A．1 B． C． D． 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小明用描点法画它的图象，列出了如下表格： … … … … 下列五个结论：①点在该函数图象上；②该函数图象在轴的下方；③该函数图象有最高点；④若和是该函数图象上两点，则；⑤若将该函数图象向左平移1个单位长度，则平移后的图象的函数表达式是．其中正确的结论是 ．（填写序号） 3．（2025·浙江丽水·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点（在的左侧）． (1)二次函数的顶点坐标为__________； (2)若二次函数由平移所得， ①求线段的长； ②当时，二次函数的最大值与最小值的和等于，求的值． 4．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，过点作轴，交抛物线于点，抛物线的顶点为，与轴交于点，连接． （1）直接写出的长． 当时，解答以下问题． （2）求抛物线的函数表达式． （3）嘉嘉说：可由先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，请对这一说法说明理由． （4）问题拓展： 若将直线沿平移，使其经过点且与抛物线交于点，求点的坐标． 如图，在轴上点的上方有一点，过点且与平行的直线分别交抛物线，于点，点分别在轴的两侧．若，请直接写出此时点的坐标． 【典型例题十三 一次函数、二次函数图象综合判断】 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）已知二次函数与正比例函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【例2】 （24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为 ． 【例3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，正比例函数y1=x与二次函数y2=x2-bx的图象相交于O（0，0），A（4，4）两点． (1)求 b 的值； (2)当 y1 y2 时，直接写出 x 的取值范围． 1．（24-25九年级上·浙江·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江·模拟预测）在学习了“利用函数的图象研究函数的性质”后，为了研究函数的性质，小勤同学用描点法画它的图象，列出了如下表格： 2 以下五个结论：①点在函数的图象上；②函数的图象一定不经过第四象限；③函数的图像关于直线对称；④点，，若，则；⑤若直线与函数的图象有个公共点，则．其中正确的结论是 ．（填写序号） 3．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，已知直线过定点M，与抛物线交于A、B两点，其中点A、B分别在第二、第一象限，过点M的另一条直线交y轴于点N．求点M的坐标和直线的解析式． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，抛物线与直线交于点和点B．    (1)求抛物线和直线的解析式； (2)求点B的坐标，并结合图象直接写出不等式的解集； (3)点N是抛物线对称轴上一动点，且点N纵坐标为n，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若点在直线上，且直线与图象G有公共点，结合函数图象，直接写出点N纵坐标n的取值范围． 【典型例题十四 反比例函数、二次函数图象综合判断】 【例1】（2025·浙江衢州·模拟预测）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【例2】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为 ． 【例3】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，二次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． (1)求这两个函数的表达式； (2)当随的增大而增大且时，直接写出x的取值范围； (3)平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的左边），与函数的图象相交于点．若与的面积相等，求点的坐标． 1．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）函数与的图象如图所示，当x的取值范围为 时，均随着x的增大而减小． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”． 例如：的“属派生点”为，即． 若点的“属派生点”的坐标为，请写出一个符合条件的点的坐标________； 试说明点的“属派生点”一定满足（其中） 4．（2025九年级·全国·专题练习）如图1，为坐标原点，点在轴的正半轴上，四边形是平行四边形，，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与交于点. （1）若点为的中点，且的面积. ①设的面积为，的面积为，则______（直接填“”、“”或“”），______； ②求的长和点的坐标. （2） 在（1）的条件下，过点作，交于点（如图2），点为直线上的一个动点，连结、，当以、、为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出所有点的坐标，不必说明理由. 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知是抛物线上的点，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2025·浙江绍兴·模拟预测）函数的图像如图所示．类似的，函数的图像是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如表是一个二次函数的自变量x与函数值y的5组对应值，则下列说法正确的是（    ） x … 1 2 3 4 5 … y … 9 3 1 3 9 … A．函数图象的开口向下 B．函数图象与x轴有交点 C．函数的最小值为1 D．当时y的值随x值的增大而减小 4．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图，已知抛物线y＝－x2＋px＋q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx＋b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（    ） A．（0，2） B．（，0） C．（0，2）或（，0） D．以上都不正确 5．（24-25九年级上·浙江丽水·阶段练习）二次函数与一次函数图像交于点，它们的横坐标记为，记，，则下列说法正确的是（   ）． A．当时， B．若，则 C．当时， D．若，则 6．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）二次函数的顶点坐标是 ． 7．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）二次函数的图象如图所示，那么 （填“>”“<”或“=”）． 8．（24-25九年级上·浙江丽水·阶段练习）对于二次函数，点和在函数图象上，则 （填“>”，“=”或“<”）；当时，函数的最小值为1，则的值为 ． 9．（2025·浙江·模拟预测）若在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x …… 0 1 3 …… y …… 2 7 …… 则方程的解是 ． 10．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）函数的图象如图所示，在下列结论中：①该函数自变量的取值范围是；② 该函数有最小值；③方程有三个根；④如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有．所有正确结论的序号是 ．    11．（24-25九年级上·浙江金华·期中）用配方法可以将二次函数从一般式化为顶点式，小贤用配方法将二次函数化为顶点式的具体过程如下： 用配方法将二次函数化为顶点式． 解：             第一步         第二步             第三步             第四步 (1)小贤的解题过程从第 步开始出现错误． (2)用配方法将二次函数化为顶点式． 12．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）二次函数中的自变量x和函数值y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 10 3 m … (1)这个二次函数的对称轴是直线________； (2)m的值为________； (3)当时，y的取值范围为________． 13．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数的图象上，时，取得最小值为．点、是二次函数的图象上任意两点，设． (1)求此二次函数的解析式； (2)当时，以下结论：，，，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 14．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，已知二次函数图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D，对称轴交x轴于点E． (1)求该二次函数的解析式； (2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点Q在线段OB上（不与点O、B重合），过点Q作QM⊥x轴交抛物线于点M，交线段BC于点N，求线段MN的最大值，及此时点M的坐标． 15．（2025·浙江杭州·模拟预测）要实现知识结构化，必须找到知识间的联系．要想找到知识间的联系，只需思考即可．下面是跟着梁老师进行的一次探究活动． 【常规任务与反思】 （1）求抛物线和直线的交点横坐标． 你的思路是： ①利用两个图象的表达式得一元二次方程：____________； ②把①中方程化为一般形式：____________； ③求得交点横坐标：____________． 反过来想： ④可以把②中一元二次方程变形成①中形式：____________， ⑤再把④中方程看作是为求抛物线______和直线______的交点横坐标得到的． 这里找到的是二次函数、一次函数综合题与一元二次方程的关系． 【深入思考与探究】 （2）显然不是一元二次方程的解，于是这个可以变形为：； 两边同除以x后得：____________， 于是求方程的解可以看作是求函数______和______的交点横坐标． 这里找到的是______、______综合题与______的关系． 【问题解决】 （3）小聪家有一个长4米，宽3米的矩形鸡圈．他想改建成一个新矩形鸡圈，新鸡圈的邻边长分别为x米、y米，其周长和面积都是原来的k倍．小聪的想法能实现吗？如果不能，请说明理由；如果能，请求出满足条件的k值或k的范围． 小聪是先列了两个函数关系，然后求解的．请你按他的思路完成探索． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次函数的性质（4大知识点+14大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 y=ax²+bx+c的图象与性质 典型例题二 把y=ax²+bx+c化成顶点式 典型例题三 二次函数图象与各项系数符号 典型例题四 根据二次函数的图象判断式子符号 典型例题五 待定系数法求二次函数解析式 典型例题六 已知抛物线上对称的两点求对称轴 典型例题七 根据二次函数的对称性求函数值 典型例题八 y=ax²+bx+c的最值 典型例题九 利用二次函数对称性求最短路径 典型例题十 抛物线与x轴的交点问题 典型例题十一 已知二次函数的函数值求自变量的值 典型例题十二 二次函数图象的平移问题 典型例题十三 一次函数、二次函数图象综合判断 典型例题十四 反比例函数、二次函数图象综合判断 知识点01 二次函数的图像与性质 二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0． 的性质： 上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 一般式：（，，为常数，）； 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 知识点02 二次函数的图象与a，b，c的关系 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑． 1．基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用． 2．组合二看 (1)三全看点 在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可． (2)有缺看轴 当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可． 3．取值计算 当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断． 二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系. (1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下. (2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴. (3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴. (4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点. (5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. (6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. 知识点03 二次函数图象的平移 由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即 . 因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题， 注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. (2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 知识点04 待定系数求解析式 用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式: (1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式; (2)已知顶点(或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式; (3)已知抛物线与轴的两个交点坐标为，常设抛物线的解析式为交点式. 二次函数解析式的形式 一般式： 顶点式： 交点式 顶点在原点： 过原点： 顶点在y轴： 求二次函数（a≠0）的最值的方法 配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成的形式 若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且 ②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 公式法：因为抛物线的顶点坐标为（-），则 若a＞0，当x=时，函数有最小值，且 若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 【典型例题一 y=ax²+bx+c的图象与性质】 【例1】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）抛物线经过点，记该抛物线的对称轴为，若，则下列推断正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 根据点和纵坐标相同，得出抛物线对称轴为：，结合，得出，再分为和分别求解即可． 【详解】解：∵点和纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为：， ∵， ∴， 解得：， 当时，，即抛物线与y轴交点坐标为， 当时，抛物线开口向上，函数值随距离对称轴的水平距离增大而增大． ∵点和到对称轴的距离相等，均为2， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵，故，距离大于2 ， ∴点到对称轴的距离最大，其次是点，， ∴， 当时，抛物线开口向下，函数值随距离对称轴的水平距离增大而减小． 同理可得，， 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数图像不经过第二象限，且顶点在x轴正半轴，则二次函数解析式可以是 ．（只需写出一个） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据二次函数的顶点在x轴正半轴，图像不经过第二象限，故可以写出一个开口向下，顶点坐标为的抛物线的解析式即可． 【详解】解：由题意，二次函数的解析式可以为：； 故答案为：（答案不唯一）． 【例3】（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线经过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)写出这条抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的对称轴为直线；抛物线的顶点坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将点，代入，求出，即可得到二次函数的解析式； （2）将二次函数配成顶点式，求出对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：将点，代入， 得：， ， ； （2）解：， 这条抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③若点在该抛物线上，且，则；④．其中正确结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，熟悉函数的图像和性质是解题关键． 利用二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点坐标即可求出①；令即可判断②；利用时函数值最大，即可判断③；令即可判断④． 【详解】①由图象可知：， ，故①正确； ②当时，，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，故②正确； ③当时，y的值最大，此时，， 而当时，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④当时，，对称轴为直线 ∴当时，， ∴， ∴，故④错误； 故选：C． 2．（2025·浙江·模拟预测）新定义：我们把抛物线，（其中）与抛物线称为“孪生抛物线”，例如：抛物线的“孪生抛物线”为．已知抛物线（a为常数，且）的“孪生抛物线”为．抛物线的顶点为A，与x轴交于B，C两点，若为直角三角形，则抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数中的新定义问题．理解新定义的意义是解决本题的关键．先求出抛物线为，可得，设得出，从而求得，由为直角三角形，可得，再列出方程求解即可． 【详解】解：抛物线（a为常数，且）的“孪生抛物线”为， 抛物线为， ， ， 设 令，则， ， ， 由抛物线的对称性得 为等腰直角三角形， ， ， 解得：或舍去， 抛物线， 故答案为：． 3．（2025·浙江丽水·模拟预测）已知二次函数的部分函数值对应表如表一，其中，． 表一 x … … y … … (1)当时，设，，请求出的值； (2)设，，张飞同学计算了当时的的值和的值，经过一些思考和推理，发现了一个与m的取值无关的数学规律．请你叙述这个数学规律并对其进行证明． 【答案】(1)； (2)（是正整数）．理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）由题意得到，；，；，；再计算得到，，最后计算求出的值即可； （2）由题意得到，；，；同（1）计算即可得解． 【详解】（1）解：当时， ，， ，， ，， ∴， ， ∴； （2）解：（是正整数）．理由如下， ，， ，， ，， ，， ，， ∴， ， ， ∴， ； ∴． 4．（2025·浙江衢州·模拟预测）课堂上，数学老师组织同学们围绕二次函数展开探究． 【问题探究】 （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）若，当时，函数的最大值为，求实数的值； 【问题拓展】 （3）若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围． 【答案】（1）对称轴直线为 （2） （3）实数的取值范围为或 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数对称轴直线，图象开口，增减性是解题的关键． （1）根据对称轴直线的计算公式计算即可； （2）根据函数图象及对称轴得到，当时，函数取得最大值，最大值为：，结合自变量的取值范围得到，由此即可求解； （3）根据题意，确定二次函数图象的开口，对称轴直线，根据自变量取值范围得到对应函数值的取值范围，，即对应点的坐标为，根据，函数图象的对称性即可求解． 【详解】解：（1）二次函数， ∴对称轴直线为； （2）∵， ∴二次函数图象开口向下，且对称轴直线为， ∴当时，函数取得最大值，最大值为：， 当时，函数的最大值为， ∴，整理得，， 解得，（舍去）， ∴； （3）当时，二次函数为， ∴函数图象开口向上，对称轴直线为， ∵， ∴， ∴当在范围时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∵， ∴当时，，整理得，，且， 解得，（负值舍去）， ∴， ∵当时，总有，当时，随的增大而增大， ∴，即， ∵点关于对称轴直线的对称点为， ∴当时，， 综上所述，实数的取值范围为或． 【典型例题二 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，高腾同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线，他跳跃的高度y（单位：m）与跳跃时间x（单位：s）之间具有函数关系，那么他能跳过的最大高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法求抛物线的最值，熟练进行配方是解题的关键．利用配方法把一般式转化为顶点式，确定二次函数的最值即为所求． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，的最大值为， ∴他能跳过的最大高度为m． 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）二次函数的图象开口向 ，顶点坐标 ，当时y的取值范围的是 ． 【答案】 下 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出开口方向和顶点坐标从而判断出取得最大值和最小值的情况是解题的关键． 首先配方成顶点式，然后得到开口向下，顶点坐标为，然后根据二次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵， ∵，故开口向下； ∴顶点坐标为 ∴时，时取得最大值为5， 时取得最小值为， ∴当时y的取值范围的是． 故答案为：下，，． 【例3】（2025·浙江舟山·模拟预测）如图，已知抛物线的图象经过点，交y轴于点B． (1)求a的值和抛物线的顶点坐标； (2)延长至点C，使．若将抛物线L平移后恰好经过A，C两点，求平移的最短路程． 【答案】(1)，抛物线的顶点坐标为 (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可求解函数解析式，然后把函数解析式配成顶点式即可求解； （2）由题意可得，然后得出平移后的表达式为，进而根据“两点之间，线段最短”可进行求解． 【详解】（1）解：把点代入得：， 解得：， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）可知：， 令时，则， ∴， ∴，轴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设平移后的表达式为， ∴， 解得：， ∴平移后的表达式为， ∴平移后抛物线的顶点坐标为， 根据“两点之间，线段最短”可知：平移的最短路程为平移前后两抛物线顶点之间的距离，即为． 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末），，三点在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式得出抛物线的开口向上，对称轴为直线，结合即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）将抛物线向下平移2个单位长度，所得新抛物线的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．先将化为顶点式，再直接运用平移规律“左加右减，上加下减”求解． 【详解】解：， ∴向下平移2个单位长度，所得新抛物线的函数解析式为， 故答案为：． 3．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数（a是常数）． (1)当时． ①求二次函数图象的顶点坐标； ②在的范围内，求y的取值范围． (2)当a取值为时，二次函数的最大值相等，此时是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)是， 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）①把代入二次函数解析式，然后配成顶点式，进而问题可求解；②根据二次函数的性质可进行求解； （2）根据二次函数的最值问题可得，然后进行化简即可求解． 【详解】（1）解：①把代入得：， ∴， ∴该二次函数的顶点坐标为； ②由①可知：，开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为3， 当时，则，当时，则， ∴当时，y的取值范围为； （2）解：是定值，理由如下： 由可知：开口向下，最大值为， ∴当时，最大值为，当时，最大值为， ∴ ∴． 4．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式：______________； (2)抛物线与x轴交点（点A在左侧），与y轴交点C，在给定的坐标系中画出这个抛物线，并写出的面积：________________； (3)当自变量x满足__________时，函数． 【答案】(1) (2)作图见解析，的面积为 (3)或 【分析】本题考查将抛物线表达式的一般式化为顶点式，抛物线与坐标轴的交点坐标，画函数图像，结合图像求不等式的解集，结合图像理解函数的增减性，根据网格求三角形的面积等知识点．利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）由于二次项系数是，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，根据恒等，同时需要减去一次项系数的一半的平方即可； （2）令得到关于的方程，求解后可得点和点的坐标，令可得到的值，可得点的坐标，然后画出该函数的图像，再根据三角形的面积公式即可求出的面积； （3）观察图像，图像在轴上方的部分，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：， ∴； （2）解：∵抛物线， 当时，得：， 解得：或， ∴，， 当时，得：， ∴， 如图： ∵，，， ∴，， ∴， ∴的面积为； （3）解：由图像知：当或时，． 【典型例题三 二次函数图象与各项系数符号】 【例1】（2025·浙江舟山·模拟预测）已知二次函数为，则它的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵二次函数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 故A，B，D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选：C 【例2】 （24-25九年级上·浙江湖州·期中）二次函数的图象如图所示，那么 （填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，此题运用了数形结合思想．首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号，然后根据与轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，代入即可判断的正负． 【详解】解：∵图象开口方向向上， ∴， ∵图象的对称轴在x轴的正半轴上， ∴， ∵， ∴， ∵图象与y轴交点在y轴的负半轴上， ∴， ∴， 故答案为：． 【例3】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图：已知二次函数，当二次函数的图象经过坐标原点时，求二次函数的解析式 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，把代入函数解析式，进行求解即可． 【详解】解：由题意，把代入，得： ， 解得：， 由图象可知，对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为：． 1．（2025·浙江湖州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于A、B两点，，，与y轴交点C的纵坐标在与之间，根据图象判断以下结论：①；②；③；④若且，则．其中正确结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象判断式子的符号，二次函数的图象与各系数符号等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．由抛物线过A、B两点，得抛物线的解析式为，根据抛物线的开口方向可确定a的符号，从而确定b的符号，从而可确定前三个；由且得横坐标分别为的两点关于抛物线的对称轴对称，从而可判断④，最后可确定答案． 【详解】解：抛物线过A、B两点，故设， 整理得：， ∴； 由图象知，抛物线的开口向上，则， ∴，且， ∴，，； 故①③正确，②错误； ∵， ∴， 表明，对于，当自变量分别取时的函数值相等， ∵， ∴， ∴二次函数图象上横坐标分别为的两点关于抛物线的对称轴对称； ∵抛物线的对称轴为直线 ∴， 即； 故④错误； 综上，正确的有2个； 故选：B． 2．（2025九年级上·浙江温州·专题练习）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）若点，点，点在该函数图象上，则；（4）若，则，其中正确的结论的序号是 ． 【答案】（1）（4） 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴，抛物线与x轴交点情况，函数的增减性，特殊点的函数值等进行推理，进而对所求结论进行判断． 【详解】解：∵称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故（1）正确， ∵二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，故（2）错误， ∵点，点，点在该函数图象上，对称轴为直线，图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小 ∴，故（3）错误， ∵当时，取得最大值， ∴当时，， ∴，故（4）正确， 故答案为：（1）（4）． 3．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）已知二次函数． (1)求函数图象的对称轴； (2)若，当时，函数的最大值为8，求实数的值； (3)若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质即可得出答案． （1）根据对称轴公式求解即可． （2）由得出抛物线开口向上，根据抛物线对称直线为，结合二次函数的图像和性质可得出时，函数取最大值即可得出关于m的一元二次方程求解并舍去的值即可． （3）把代入抛物线得出，再得出仅当时，即时，此时最小值为，最大值为时，即， 进而结合二次函数图像即可求出实数的取值范围． 【详解】（1）解：对称轴直线为： （2）解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线对称直线为， ∴当时，当时，函数取最小值，时，函数取最大值， 即， 解得：，负值舍去 （3）解：当时，则，顶点坐标为： 当时， ， 则在时，最小值为， 即， 解得：，或（舍去）， ∴仅当时，即时，此时最小值为， 最大值为时，即， ∵当时，总有， ∴当时，即时，， 令， 解得：，， ∴． 4．（24-25九年级上·浙江温州·期末）综合实践：测量拱形门建筑的高度． 素材：如图1是一个抛物线形状的拱形门建筑，某校数学学习小组计划测量该拱形门相关数据从而计算其高度．如图2是其正面示意图，设该拱形门与地面的交点为A，B，且．在点A右侧1的点C处，测得拱形门上点D到地面的距离为3.8． 任务1：请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． 任务2：求出拱形门建筑最高点到地面的距离． 【答案】任务1：；任务2：20 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求函数解析式，正确理解题意建立恰当的直角坐标系是解题的关键． 任务1：以点A为原点，点所在直线为x轴，建立直角坐标系，设．根据题意得到，再利用待定系数法求解，即可解题； 任务2：利用顶点纵坐标为求解，即可解题． 【详解】解：任务1：以点A为原点，点所在直线为x轴，建立直角坐标系，则可设． 将点代入上式，得． ．                 任务2：由可知，拱形门建筑最高点到地面的距离为20． 【典型例题四 根据二次函数的图象判断式子符号】 【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）函数 的图象如图所示，下列说法正确的有（   ） ①方程有四个不等的实数根；② ；③ ；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】利用数形结合思想，结合绝对值的意义，函数的性质，解答即可． 【详解】解：根据题意， 当时，方程有三个不等的实数根； 当时，方程有两个不等的实数根； 当时，方程有四个不等的实数根； 当时，方程有两个不等的实数根； 当时，方程没有实数根； 故①错误； 当时，，根据图象，得， 故， 故② 错误； 根据题意，得的对称轴为直线，且，， 故即， 故③ 正确； 当时，，根据图象，得， 故， 当时，抛物线开口向上，故解析式为， 时，根据图象，得， 故， 故即． 故④ 正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与各项系数的关系，绝对值的意义，数形结合思想，方程根于图象的关系，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）二次函数的图象如图所示，下列四个结论： ①； ②； ③； ④若方程有四个实数根，则这四个实数根的和为4． 其中正确结论是 ．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质．由抛物线开口向下得到；由抛物线的对称轴为直线得到；由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到，则；在时，，即，由，得到，，代入到，即可得出；根据二次函数的最值问题得到时，y有最大值，则，变形得到；根据图象的对称与翻折可得结论． 【详解】解：：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴， 所以①错误； 根据抛物线在时，，即， ∵，， ∴，即， 故②正确． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，y有最大值， ∴， ∴， 故③正确． 将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线有四个交点即可． 由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4． 故④正确 故答案为：②③④． 【例3】（24-25九年级上·浙江丽水·期末）我们知道： （1）观察以上结果，可以发现： ； ； （2）若点P（m,n)在抛物线上，且n>0，试化简： 【答案】(1)a,-a;(2)-m+1 【分析】(1)根据题目和二次根式的性质可直接得出结果； （2）由点P（m,n)在抛物线上可得，由n>0得据此推出 m-1即可求解. 【详解】（1）当a0时，，当a时，； （2）∵点P（m,n)在抛物线上， ∴ ∵n>0， ∴ ∴ ,∴ ∴m-1 ∴ . 故答案为：(1)a,-a;(2)-m+1. 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，抛物线上点的坐标特点. 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的系数与图象的关系，关键利用，，时函数值的大小判断③④的对错，根据函数图象分别判断，，的符号即可判断结论①；利用图象与轴交点的个数即可判断结论②；利用对称轴及当时函数值的正负即可判断结论③；利用和时的函数值的正负即可判断结论④． 【详解】解：①抛物线开口方向向下，对称轴在轴的右侧，函数图像与轴交于正半轴， ，，，，故①错误； ②图象与  ��  轴有两个交点 ，故②正确； ③抛物线对称轴是直线， ， 当时，， ， 即，故③正确； ④当时，，当时，， ，即，故④正确， 故正确的有3个． 故选：B． 2．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线的图象如图所示，有下列结论： ①； ②二次函数图象的对称轴是直线； ③当时，y随x的增大而减小； ④方程的解为，． 其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据函数图象可得抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴交于与两点，即得，，二次函数图象的对称轴是直线，方程的解为，，再进一步判断即可求解. 【详解】解：根据函数的图象可得： 抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴交于与两点， ∴，，二次函数图象的对称轴是直线，方程的解为，，结论②④正确； ∴，当时，y随x的增大而增大，结论③错误； ∴， ∴，结论①正确； 故答案为：①②④. 3．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知的图像如图，则：a______0；b______0；c______0；______0；______0；______0；______0；______0 【答案】，，，，，，， 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、二次函数的图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答此题的关键．根据抛物线开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点情况及特殊值的情况即可解答． 【详解】解：根据函数的图像得：图像开口向下，对称轴为，函数图像与y轴的交点在y轴的正半轴，与x轴有两个交点， ∴，，，， ∴，， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：，，，，，，，． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，回答下列问题： (1)填空（填“”“ ”或“”）： ①a 0；②b 0；③c 0；④ 0；⑤ 0； ⑥ 0；⑦ 0；⑧ 0； ⑨若点，均在该二次函数图象上，则 ； (2)若点，均在该二次函数图象上，则n的值为 ； (3)关于x的一元二次方程的实数根的情况为 ； (4)若图象与x轴的交点为，，，当时，x的取值范围为 ． 【答案】(1)，，，，，，，， (2) (3)两个不相等的实数根 (4) 【分析】此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，以及二次函数图象上点的特征． （1）由抛物线开口方向，对称轴以及，坐标轴的交点以及由、、、时的函数值即可得到结论； （2）由两点关于对称轴对称即可求得； （3）由抛物线与直线有两个交点即可得出结论； （4）根据图象可得当时函数图象位于轴上方，即可求得结果． 【详解】（1）解：由函数图象可知：抛物线开口向下， ∴①； ∵对称轴在y轴左边，即， 又∵， ∴②； ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴③； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴④； ∵当时，， ∴⑤； ∵当时，， ∴⑥； ∵当时，， ∴⑦； ∵， ∴， ∵当时，， ∴， ∴⑧； ∵对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∴； 故答案为：，，，，，，，，； （2）解：∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴， 故答案为：； （3）解：由图象可知，抛物线与直线有两个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故答案为：两个不相等的实数根； （4）解：若图象与x轴的交点为，，， 当时，x的取值范围为， 故答案为：． 【典型例题五 待定系数法求二次函数解析式】 【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．将如图所示的剪纸“鱼”置于平面直角坐标系中，使得外轮廓上的点、B、均落在抛物线（a、c为常数，）上，已知点B在第一象限，且到y轴的距离为，则点B到x轴的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，先根据已知条件求出抛物线的解析式，再求出当时的函数值即可． 【详解】解：∵点、B、均落在抛物线（a、c为常数，）上， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， 即点B到x轴的距离为， 故选：D． 【例2】（2025·浙江舟山·模拟预测）已知二次函数和中，函数，与自变量x的部分对应值分别如表1，表2： 表1                      表2 x 1 2 3 x 1 2 3 m n 则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的图象上点的坐标特征． 利用待定系数法求得系数的值，即可得到结论． 【详解】解：∵二次函数过点， ， 解得：， 过点， ， 解得：，   ， 故答案为：． 【例3】（24-25九年级上·浙江丽水·期中）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，且在对称轴右侧，若点的纵坐标为，求点到轴的距离． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识，解题的关键是： （1）利用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）把代入（1）中解析式求出x的值，然后求出抛物线的对称轴，最后结合已知写出点C的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点的纵坐标为，点在抛物线上， ∴， 解得，， ∵， ∴对称轴为直线， ∵点C在对称轴右侧， ∴ ∴点C 到 y 轴的距离2．． 1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，平面直角坐标系中有四个点，，，，二次函数（a，b，c为常数，且）的图象经过这四个点中的其中三个点，若要使a取得最小值，则抛物线经过的三个点是（   ） A．E，F，M B．E，F，O C．E，M，O D．F，M，O 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质．比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下时，，根据开口向下，分别利用待定系数法求出函数解析式，进而比较a值即可求解． 【详解】解：由图象知，E，F，M三点组成的二次函数开口向下，； E，F，O三点组成的二次函数开口向下，； E，M，O组成的抛物线开口向上，， F，M，O组成的二次函数开口向上，； 要使a取得最小值，选项C、D不符合题意， 当抛物线过E，F，M三点时，则， 解得； 当抛物线过E，F，O三点时，则， 解得， ∵， ∴当抛物线过E，F，M三点时，a值最小， 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，已知四个点，，，，数学活动课中同学们分别画出了经过这四个点中三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式． （1）对应的函数表达式有 个； （2）所有函数表达式中的最大值是 ． 【答案】 3 4 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，掌握待定系数法是解本题的关键． （1）根据二次函数的性质，结合图中四个点的位置进行判断即可； （2）分别求解经过三点的抛物线的解析式，再比较各项的系数和，进一步可得结论． 【详解】解：（1）根据二次函数的性质，经过点A、B、C三点不能画出二次函数的图象， ∴经过A、B、D或A、C、D或B、C、D都可以画出二次函数的图象， 故答案为：3； （2）当抛物线经过，，三点时， 得， 解得， ∴， ∴； 当抛物线经过，，三点时， 得， 解得， ∴， ∴； 当抛物线过， ，时， 得， 解得， ∴； ∴， ∵， ∴的最大值为4， 故答案为：4． 3．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）二次函数的图象与轴交于和两点． (1)当时，． ①求，的值； ②当时，函数最大值和最小值的差为，求的值； (2)当时，若存在实数，使得恒成立，求满足条件的的取值范围． 【答案】(1)①；②当或时，函数最大值和最小值的差为； (2)． 【分析】（1）①将代入得到，结合，解二元一次方程组即可得解； ②先结合二次函数的图象与性质得到在直线左侧，随的增大而增大；在直线右侧，随的增大而减小，分三种情况考虑：当时；当时；当，时，找到各自情况的最大值和最小值即可求出的值； （2）根据根与系数的关系得，，结合可得，利用配方法可得，要使恒成立，即可得的取值范围为． 【详解】（1）解：①将代入中，可得，即， 联立，解得； ②由①知，抛物线表达式为，则抛物线的对称轴为直线， ， 在直线左侧，随的增大而增大；在直线右侧，随的增大而减小， 当，即时，都在对称轴左侧， 此时在处，有最小值，在处，有最大值， 代入可得：，解得； 当时，都在对称轴右侧， 此时在处，有最大值，在处，有最小值， 代入可得：， 解得； 当，，即时， 此时在处，有最大值，最大值为， 若最大值与最小值差为，则最小值为， 令，则， 解得或， 若，则不在的范围内，故舍去， 若，即，则不在的范围内，故舍去， 综上所述，当或时，函数最大值和最小值的差为． （2）解：由题意可知，，， ， 代入可得，， ，， ， ． 恒成立， 的取值范围为． 【点睛】本题考查的知识点是求二次函数解析式、解二元一次方程组、二次函数的图象与性质、根与系数的关系、配方法的应用，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 4．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，抛物线：经过点，，点是抛物线的顶点． (1)求，的值及点的坐标． (2)将抛物线平移，使其顶点落在轴上，得到抛物线． ①直接写出抛物线平移的最短路程及此时抛物线的顶点坐标； ②在①的条件下，抛物线上有一个动点，其横坐标为，当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2)①3 ，，② 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和动点问题． （1）先根据点，求出对称轴，再利用对称轴公式即可求出和解析式，将代入解析式中即可求出，将解析式化成顶点式即可求出； （2）①根据抛物线的顶点落在轴上，且点的坐标为即可求出结果； ②先求出抛物线的表达式，再令，代入解析式求解，再结合点在抛物线上关于对称轴对称的点为点，且当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，即可求出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线：经过点，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∴的解析式为． 将代入， 得，即． ∵， ∴点的坐标为． （2）解： ①∵抛物线的顶点落在轴上，且点的坐标为， ∴抛物线平移的最短路程为3，此时顶点坐标为． ②由①得，抛物线的表达式为． 令，则． ∵点在抛物线上关于对称轴对称的点为点， 且当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2， ∴． 【典型例题六 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【例1】（24-25九年级上·宁波·期中）如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上、两点的高度相同，到墙边的距离分别为，．若该墙的长度为，则最多可以连续绘制这样的抛物线型图案的个数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了根据对称点求抛物线对称轴．根据B和C到的距离，求出中点到的距离，然后求出一个抛物线的宽度，最后根据墙的长度即可求解． 【详解】解：∵抛物线上B、C两点的高度相同，到墙边的的距离分别为，， ∴中点到的距离为， ∴每个抛物线宽， ∵， ∴可以连续绘制6个这样的图案， 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·浙江舟山·阶段练习）坐标平面上有两个二次函数的图象，其顶点M、N皆在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，，，，则的长度是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，线段长度的相关计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由，，的长度以及根据二次函数的对称性可以知道，和，和，和横坐标的差，从而推出和的横坐标之差，得到的长度． 【详解】解：由、、、四点在同一水平线，可以知道四点纵坐标相同， ，，， ， ，， 又， ． 故答案为：9． 【例3】（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知A、B是开口向上的抛物线上纵坐标相等的两点，且该抛物线与x轴相交，请用无刻度的直尺作出其对称轴． 【答案】见解析 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、对称轴的性质、两点确定一条直线的性质．设抛物线与x轴交于点C，D，连接交于点E，作射线交于点F，作直线即可得． 【详解】解：如图所示，直线即为所求． 1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知二次函数（其中a，b，c是常数，且）的图象过点，，，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，以及通过不等式的性质确定式子的范围，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 求出二次函数图象与y轴的交点为，可得抛物线的对称轴为直线为，从而得到，进而得到，再逐项判断即可． 【详解】解：当时，， ∴二次函数图象与y轴的交点为， ∵图象过点， ∴抛物线的对称轴为直线为， ∴， ∴， 把点，，代入得： ，， ， ∵， ∴，故A选项错误，不符合题意； 若， ∴， ∴，故B选项错误，不符合题意； 若，则， ∴， ∴，故C错误，不符合题意； 若，则， ∴，故D正确，符合题意； 故选：D． 2．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③若是等腰三角形，的值有2个；④当是直角三角形时，，其中正确的是 ．（只需填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象与系数关系，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点进行推理是解题的关键．根据图象与轴交于、两点，可得对称轴为直线，可判断①；将点坐标代入解析式并结合①中结论，可判断②；由等腰三角形的性质和已知两点坐标求两点距离公式可求的值，可判断③；由直角三角形的性质和已知两点坐标求两点距离公式可求的值，可判断④． 【详解】解：①二次函数的图象与轴交于、两点， 对称轴为直线， ， ，故①正确； ②图象经过点， 将点代入，得 由①中可知， ， ，故②正确； ③当时，， 由①②可知，， ， 二次函数的图象与轴交于点， ， 、， ，， 当时，， 解得（正数值已舍去）； 当时，， 解得（正数值已舍去）； 当时，， 方程无解； 当是等腰三角形，的值有2个，故③正确； ④由①③可知，， 二次函数， 顶点的坐标为， ，， ，，， 若，则， 即， 解得（正数值已舍去）； 若，则， 即， 解得（正数值已舍去）； 若，则， 即， 方程无解； 当时直角三角形是，或，故④错误； 综上所述，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知是关于的二次函数，满足下表 … … … … 根据上表数据，完成下列问题： (1)直接写出此图象对称轴表达式 ； (2)写出此二次函数顶点坐标是 ； (3)求此二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据表中数据即可求解； （）根据（）所得对称轴方程及表中数据即可求解； （）利用抛物线的顶点式及待定系数法解答即可； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由表可知，当和时，， ∴二次函数图象的对称轴为直线， 故答案为：； （2）解：∵二次函数图象的对称轴为直线，当时， ∴二次函数图象的顶点坐标为， 故答案为：； （3）解：设二次函数解析式为，把代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为． 4．（2025·浙江·模拟预测）如图，二次函数的图象经过，两点，C为抛物线的顶点，其纵坐标为． (1)直接写出顶点C的坐标； 求二次函数的解析式． (2)若经过点A的抛物线与具有相同的对称轴． 判断：点B_____（填“在”或“不在”）在抛物线上． 将抛物线绕着点B旋转得到新的抛物线，记为，D为的顶点，将C，D两点间的距离记为d，求d的取值范围． 【答案】(1)，（或） (2)①在，② 【分析】本题主要涉及二次函数的性质及应用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）利用已知点的坐标可求出对称轴，可知顶点C的坐标； 已知顶点C的坐标，设二次函数解析式（顶点式），代入已知点，可得二次函数的解析式； （2）因为抛物线与具有相同的对称轴，根据抛物线的对称性，所以点B在抛物线上； 直线为抛物线的对称轴．F为抛物线的顶点，F，B，D三点共线，且．过B，D分别作直线的垂线，垂足分别为M，E，可得的长，由D点在上，且点到直线的距离垂线最短，可得d的取值范围 【详解】（1）解：二次函数的图象经过，两点， 对称轴为 C为抛物线的顶点，其纵坐标为． 点C坐标为． 设二次函数解析式，将代入， 得，解得． 二次函数的解析式为或． （2）解∶ ①在， 因为抛物线与具有相同的对称轴，且经过点，根据抛物线的对称 性，点关于对称轴的对称点为，所以点B在抛物线上． 如图，直线为抛物线的对称轴． F为抛物线的顶点， ∴F，B，D三点共线，且． 过B，D分别作直线的垂线，垂足分别为M，E， ，． ∵将抛物线绕着点B旋转得到新的抛物线， 点D在直线上运动. ∵， d的取值范围为． 【典型例题七 根据二次函数的对称性求函数值】 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 1 2 1 0 … 其中m的值是（   ）． A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，根据当和当时的函数值相同可得对称轴，再根据对称性可得当和当时的函数值相同，据此可得答案． 【详解】解：∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴当和当时的函数值相同， ∴， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，直接根据二次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴与x轴的另一个交点为， 由函数图象可知，当或时，函数图象在x轴的下方， ∴当时，自变量x的取值范围是或． 故答案为：或． 【例3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数中的满足下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 3 … (1)的值为 ． (2)求出这个二次函数的解析式． (3)画出这个二次函数的图象． 【答案】(1)0 (2) (3)作图见详解 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及作图，掌握对称轴直线的计算，二次函数的顶点式，待定系数法求解析式及作图方法是解题的关键． （1）根据表格信息可得二次函数的对称轴直线为，则有的函数值与的函数值相等，由此即可求解； （2）根据题意，可得顶点坐标为，运用二次函数的顶点式，待定系数法即可求解； （3）运用描点，连线的方法即可作图． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴二次函数的对称轴直线为， ∴的函数值与的函数值相等， ∴， 故答案为：0； （2）解：二次函数的对称轴直线为， 当时，， ∴顶点坐标为， 设二次函数解析式为， 把，代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为； （3）解：作图如下， 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据图象可知抛物线过点，利用对称轴求出点的对称点，结合图象求出当时的自变量的取值范围即可. 【详解】解：由图象可知：抛物线过点，对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称的点为， 由图象可知，当时，或； 故选： B． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图反比例函数与二次函数的图像的交点P的横坐标是，则关于x的不等式  的解集是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的轴对称变换，反比例函数的性质，以及利用函数图象解不等式． 由得，作出关于x轴对称的图象，结合图象即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 设 ∵比例函数与二次函数的图像的交点P的横坐标是， ∴比例函数与二次函数的图像的交点P的横坐标是， ∵当时，， ∴关于x的不等式  的解集是． 故答案为：． 3．（2025·浙江衢州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知，，是抛物线上的三个点．若对于，，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． （1）将抛物线解析数化为顶点式，即可求解； （2）根据抛物线解析式得到抛物线的对称轴为．根据抛物线的开口方向分两种情况讨论：①若，则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．②若，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．再分别分三种情况讨论三个点的函数值大小，即可求解． 【详解】（1）解：当时，抛物线． ∴． ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为． 对于，，； ①若，则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． ∵，， ∴，． 设点关于对称轴的对称点为， 则，． ∴． ∴． （Ⅰ）当时，有． ∵， ∴， ∴，不符合题意． （Ⅱ）当时，有． ∵，， ∴． ∴，符合题意； （Ⅲ）当时，令，则． ∴，不符合题意． ②若，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． ∵，， ∴． 设点关于对称轴的对称点为， 则，． ∴． （Ⅰ）当时，有，． 令，则，即． ∴，不符合题意． （Ⅱ）当时，有，则． 若，有，则，符合题意； 若， 设点关于对称轴的对称点为， 则，． ∴． ∴， ∴． ∴，符合题意． （Ⅲ）当时，有． ∴，不符合题意． 综上所述，的取值范围是或． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线经过点、． (1)直接写出点、的坐标； (2)求该抛物线对应的函数表达式； (3)根据图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数与不等式（组）、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由题意得，抛物线的对称轴为直线．令，得，即点的坐标为，进而可得点的坐标为． （2）利用待定系数法求二次函数的解析式即可． （3）结合图象可直接得出答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、点， 抛物线的对称轴为直线， 令，得， ． 点与点关于抛物线的对称轴对称， ． （2）解：将，代入得， 解得：， ； （3）解：∵，， 由图可得，关于的不等式的解集为． 【典型例题八 y=ax²+bx+c的最值】 【例1】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（   ） A．有最小值0，有最大值2 B．有最小值0，有最大值3 C．有最小值，有最大值2 D．有最小值，有最大值3 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的最值，正确识别函数图象，理解最值的意义是解题的关键． 依据题意，由函数图象可看出其最大值和最小值，逐个判断可以得解． 【详解】解：由图象可知当时，有最小值 ，当时，有最大值 3 ， ∴函数有最小值，有最大值3， 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是 ． 【答案】；5 【分析】本题主要考查了二次函数最值问题，根据解析式求出对称轴，开口方向和顶点坐标，进而得到离对称轴越远函数值越大，再确定当且仅当时，函数有最大值并计算出最大值即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即最小值为 ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，当且仅当时，函数有最大值，最大值为， 故答案为；；5． 【例3】（24-25九年级上·浙江丽水·阶段练习）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． [经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数表达式； ②求当x取何值时．函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们求出对应的函数在x取何值时，函数y有最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 0 2 4 … y的最小值 … * 0 … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数表达式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）甲的说法合理，过程见解析；（3）正确，最大值为． 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数一般式与顶点式的相互转化，掌握二次函数顶点式的特点是解题的关键． （1）①把代入二次函数解析计算即可；②将二次函数一般式化为顶点式即可； （2）将二次函数一般式化为顶点式进行判定即可； （3）将二次函数一般式化为顶点式可得，当时，y有最小值为，结合二次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：（1）①把代入， 得； ②， 当时，y有最小值为； （2）， 抛物线的开口向上， 当时，y有最小值， 甲的说法合理； （3）正确， ， ∴当时，y有最小值为， 即：， 当时，有最大值为． 1．（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点，安安和顺顺作出如下判断： 安安：． 顺顺：若m是实数，则． 对于这两个判断，下列说法正确的是（   ） A．安安对 B．顺顺对 C．两人都对 D．两人都错 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数和式子的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 由对称轴得，而抛物线经过，则，代入即可判断安安说法；由开口向上得时，函数取得最小值为，那么，化简即可判断顺顺说法． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线经过， ∴， ∴， ∴，故安安正确； ∵开口向上， ∴时，函数取得最小值为， ∴， ∴， ∴，故顺顺错误， 故选：A． 2．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论，①；②时，y随x的增大而增大；③对于任意实数m，总有．其中正确的结论有 （直接填写序号）． 【答案】①③ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据抛物线开口向上，可知；根据对称轴为直线，可求出；由抛物线的对称性，可求出与x轴另一个交点为，代入抛物线解析式，结合，从而可判断①；时，图象在对称轴左侧，开口向上，随的增大而减少，即可判断②；根据题意可求出，故③正确． 【详解】解：①由图象可知：抛物线开口向上，则，对称轴为直线， 则， ∵抛物线对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为， ∴另一个交点为， ∴． ∵， ∴， ∴，所以①正确； ②当时，图象在对称轴左侧，开口向上，随的增大而减少，所以②错误； ③对于任意实数， 总有 ，所以③正确； 综上所述，正确的结论有：①③． 故答案为：①③． 3．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）已知，二次函数，x与y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … t m p n … (1)当时， ①若，求二次函数解析式． ②若，求证：． (2)若，且当时，函数y有最大值，求a的取值范围． 【答案】(1)①；②见解析 (2)或 【分析】本题主要考查求出函数解析式以及二次函数的性质，解答本题的关键要熟悉函数与坐标轴的交点，以及这些点代表的意义及函数特征． （1）①由可求出，再根据对称性求出，故可得抛物线的解析式； ②求得，，，由得，从而可得结论； （2）分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①当时， 若时，抛物线对称轴为直线， 解得 二次函数解析式为； ②当时，， 当时，， 当时，， ，即； （2）解：若时，二次函数解析式为， 此抛物线的对称轴为直线 若，函数有最大值， 且，解得 若，当时，函数有最大值顶点的纵坐标，解得 综上所述，或 4．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数（为常数）． (1)当时， ①若，二次函数的最大值记作，最小值记作，求的值； ②若抛物线经过点，求证：． (2)两位同学尝试代入不同的值后，提出了两个观点． 甲说：“不论取何值，抛物线必过一个定点”； 乙说：“不论取何值，抛物线的顶点都在一条固定的抛物线上运动”． 请你依次判断这两个观点是否正确，并各自说明理由． 【答案】(1)①4；②证明见解析 (2)甲、乙的观点都正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的图形性质，熟悉掌握二次函数的图象特点是解题的关键． （1）把代入求出函数的对称轴，再分析的取值范围运算求解即可； （2）甲：利用式子变形求解即可；乙：求出函数的顶点坐标，再利用待定系数法运算求解即可． 【详解】（1）①解：当时，， 此时抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵在范围内， ∴时，是二次函数最小值，即， ∵当时，随的增大而减小．当时，， ∴当时，， ∵当时，随的增大而增大，时，， ∴当时，，上所述，， ∴； ②证明：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵， ∴，； （2）解：“甲”的观点正确： 理由：∵， ∴当时，， ∴不论取何值，抛物线必过一个定点； “乙”的观点正确： 理由：∵， ∴抛物线顶点坐标为， 令，由得， 代入得， ∴不论取何值，函数图象的顶点都在一条固定的抛物线上运动，固定抛物线解析式为． 【典型例题九 利用二次函数对称性求最短路径】 【例1】（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　） A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6 【答案】C 【分析】C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，则C'F即为所求最短距离． 【详解】∵y=x2+2x﹣2的对称轴为，C(0，﹣2)， ∴C点关于对称轴对称的点C'(﹣2，﹣2)， 过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F， ∴CE=C'E， 则C'F=CE+EF=C'E+EF是CE+EF的最小值； ∵直线yx+3， 设直线C'F的解析式为， 将C'(﹣2，﹣2)代入得：， 解得：， ∴C'F的解析式为yx， 解方程组， 得：， ∴F(，)， ∴C'F． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；利用点的对称性，点到直线的垂线段最短，确定最短距离为线段C'F的长是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据抛物线的对称性，连接交对称轴于M，此时最短，利用待定系数法求得直线的解析式即可求得点M的坐标． 【详解】解：连接交抛物线的对称轴于M，则最短，    设直线的解析式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线经过、， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点M坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、最短路径问题，会利用抛物线的对称性解决最短路径问题是解答的关键． 【例3】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求点A，点B和点C的坐标； （2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标． 【答案】（1）A（﹣2，0），B（1，0），C（0，﹣2）．（2）P（，） 【分析】（1）利用二次函数图像与x轴交点时，y=0，代入式子即可求出x值，即可求出A、B两点坐标，图像与y轴相交，x=0，带入可以求出y值，即可求出C点坐标； （2）有题可知本问考查的是“两定一动”，故需要利用“将军饮马”的方法进行解题，B点关于对称轴的对称点为A点，连接AC，AC与对称轴的交点即为P点，求出AC所在直线解析式，之后求出与对称轴交点即为P点坐标． 【详解】解：（1）由 y＝0，得 x2+x-2＝0 解得 x＝-2，x＝1， ∴A（-2，0），B（1，0）， 由 x＝0，得 y＝-2， ∴C（0，-2）． （2）连接AC与对称轴的交点即为点P． 设直线 AC 为 y＝kx+b， 则﹣2k+b＝0，b＝﹣2： 得 k＝﹣1， y＝﹣x﹣2． 对称轴为 x＝， 当 x＝时， y＝-2＝， ∴P（，）． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的基本性质，以及“两定一动”的动点问题，熟练掌握二次函数中的综合运用是解题的关键． 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，勾股定理，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据轴对称及两点之间线段最短确定点的位置，利用勾股定理即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：把点代入得，， ∵抛物线称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， 如图，连接，与对称轴相交于点， ∵点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，此时周长的最小，则点即为所求， ∴周长最小值， 故选：． 2．（24-25九年级上·浙江丽水·期末）如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），给出以下结论：①；②且，则；③若是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则；④的最小值是其中说法正确的有 ．（填写正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，平行四边形的性质与判定，已知两点坐标求两点距离等；①先求出点的坐标，求出求出点的坐标即可求出抛物线解析式，从而求出点的坐标，即可判断①；根据对称性得出，即可判断②，根据二次函数的性质得出最大值为，即可判断③；取，连接，，，可证四边形是平行四边形，得到，则四边形的周长，再由点，关于直线对称，得到，则，故当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小，即可判断④． 【详解】解：点是抛物线与轴交点， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 抛物线解析式为， 抛物线对称轴为直线， 令，则， 解得或， 点的坐标为， ∴，故①正确； ∵且， 设，则关于对称， ∴，故②错误， ∵时，函数有最大值为， 若是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则纵坐标为， ∴ 即，故③正确 取，连接，，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 点，关于直线对称， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小， ， 四边形的最小值为．故④正确 故答案为：①③④． 3．（24-25九年级上·浙江舟山·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数表达式的求解以及利用轴对称求最短路径问题．解题的关键是利用待定系数法求二次函数表达式，以及利用轴对称的性质将三角形周长最小问题转化为两点之间线段最短问题． （1）求抛物线表达式：把抛物线与轴交点的坐标代入抛物线，得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，进而得到抛物线表达式． （2）先求出抛物线对称轴，再根据轴对称性质，找到点关于对称轴的对称点，连接与对称轴的交点即为点，先求出直线的表达式，再联立对称轴方程求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的图像与轴交于两点， ∴将这两点代入抛物线表达式可得： ， 抛物线的表达式为． （2）抛物线， 其对称轴为， 当时，，所以， 设点关于对称轴的对称点为，则， 连接交对称轴于P， ， ， 当A，P，三点共线时，的周长最小， 设直线的表达式为，把代入可得： ， 直线的表达式为． ∴在对称轴上，把代入 得： ∴点的坐标为． 4．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过两点． (1)求抛物线的函数表达式 (2)若是直线下方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为．用含的代数式表示线段的长，并求线段的长的最大值． 【答案】(1) (2)，4 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． （1）先求出点的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）设，则，即可用含m的代数式表示出的长，然后运用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴，轴分别交于点， ∴， ∵经过两点， ∴，解得：， ∴． （2）解：设， ∵过点作轴的平行线交直线于点， ∴， ∴． ∵， ∴当时，线段的长的最大值为4． 【典型例题十 抛物线与x轴的交点问题】 【例1】（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则关于的一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是求二次函数图象与x轴的交点坐标和求一元二次方程的根，先求出m的值，然后把m代入，并解方程即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为， ∴， ∴， ∴化简为， 解得，， 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）已知二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，则a的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了抛物线与x轴的交点，掌握当时，二次函数的图象与x轴有两个公共点是解决问题的关键． 【详解】解∶∵二次函数的图象与x轴有两个公共点， ∴ 解得． 故答案为：． 【例3】（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定b，的符号； (2)求证：； (3)当x取何值时，，当x取何值时． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)当时，；当或时，． 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数和x轴交点问题，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系． （1）根据开口方向确定a的符号，根据对称轴的位置确定b的符号，根据抛物线与x轴交点的个数确定的符号； （2）根据图象和的函数值确定与0的关系； （3）根据抛物线在x轴上方时；抛物线在x轴下方时求解即可． 【详解】（1）∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴； （2）证明：∵抛物线的顶点在轴上方，对称轴为， ∴当时，； （3）根据图象可知， 当时，；当或时，． 1．（2025·浙江湖州·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题，根据对称轴计算公式可得，据此可判断①；根据对称性可得当时，，据此可判断②；抛物线与x轴有两个不相同的交点，据此可判断③；当时，，，即，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴当时，， ∴由对称性可得当时，，故②正确； 由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不相同的交点， ∴，故③错误； ∵当时，， ∴，即， ∴，故④正确； 故选：B． 2．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，，与y轴交于点C．若轴，则二次函数图象上点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据点，在二次函数的图象上，可以得到该函数的对称轴，再根据轴，和二次函数的性质，即可得到点D的横坐标，从而可以写出点D的坐标． 【详解】解：在二次函数中，令，则， 即， ∵点，在二次函数的图象上， ∴该函数图象的对称轴为直线， ∵轴， ∴点D的横坐标为：， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 3．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）已知关于x的二次函数， (1)若二次函数图象与x轴有两个不同的交点，并且这两个交点的横坐标之和为4， ①求二次函数的表达式； ②当时，求函数值y的取值范围； (2)若对称轴为直线，当时，二次函数的最大值与最小值的差为16，求n的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，分类讨论是解答本题的关键． （1）①根据两个交点的横坐标之和为4求出即可； ②根据二次函数的增减性求解即可； （2）由对称轴为直线求出，从而可求出当时函数取得最小值，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：①设两个交点的坐标为， 两个交点的横坐标之和为4， ， ， ， 二次函数的解析式为． ②∵， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x增大而增大， 当时，当时； 取值范围为：． （2）解：对称轴为直线， ， ； 二次函数关系式为； 当时取最小值． ①若， 则当时，， 当时，． ； 即， （舍）； ②若，则最小值为时取得． 若时取最大值，则， 即， （舍），， 的取值范围为， 若时取最大值，， 有，符合题意， 综上所述n的取值范围为． 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）综合与实践 在学习完二次函数后，创新学习小组对一个二次函数的顶点特征展开了如下探究： (1)①列表：填写表格，表格中的与的值分别是____，____； 的值 ．．．．．． ．．．．．． 的顶点横坐标 ．．．．．． 1 2 3 ．．．．．． 的顶点纵坐标 ．．．．．． 0 3 4 0 ．．．．．． ②描点：随着取不同值，请将的顶点描在下面的平面直角坐标系中； ③连线：用光滑的曲线顺次连接各点； (2)①猜想：随着取不同值，的顶点形成的图象的表达式是___________；②请验证你的猜想； (3)若抛物线与轴有两个不同的交点，请求出的取值范围． 【答案】(1)0；3；图形见解析； (2)①；②见解析． (3)或． 【分析】（1）依据题意，由二次函数配方求得其顶点坐标为； ①当时，顶点为；当时，顶点为，从而可得，，进而得解； ②依据题意，可以作图得解； ③依据题意，可以作图得解； （2）①依据题意，结合表格数据可以判断得解； ②依据题意，二次函数：，其顶点坐标为，，从而可设，，再把代入中，可得，进而得解； （3）依据题意，由与x轴有两个不同的交点，，又由（2）可知：函数：的顶点始终在图象上滑动，其顶点为，当时，从而抛物线与x轴交于，两个点，进而当顶点在下方时，抛物线有两个交点，；又函数：的顶点始终在上，故当的顶点在下方时，，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，∵二次函数 ， ∴其顶点坐标为． ①当时，顶点为； 当时，顶点为． ∴，． 故答案为：0，3． ②描点：如图，即为所描点； ③连线：如图，即为所连线； ； （2）解：①猜想：随着k取不同值，的顶点形成的图象的表达式是． 故答案为：； ②由题意，二次函数：，其顶点坐标为， ∴可设，， 把代入中， ∴； （3）解：由题意，∵与x轴有两个不同的交点，， 由（2）可知：函数：的顶点始终在图象上滑动，其顶点为， 当时， ∴或， 抛物线与x轴交于，两个点， 当顶点在下方时，抛物线与x轴有两个交点，； ∵：，即， ∴当时，即时，． ∴：始终过点． ∵函数：的顶点始终在上， ∴在上． ∴当的顶点在下方时，． 综上可得：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【典型例题十一 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例1】（2025·浙江湖州·模拟预测）数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，撑开后如图1所示，由此发现数学知识——抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨，的交点为坐标原点建立平面直角坐标系．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，，关于轴对称．抛物线的表达式为，若点A到轴的距离是，则，两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求二次函数自变量的值，两点之间的距离，根据题意可知，将其代入函数关系式求出x的值，进而得出答案． 【详解】根据题意可知， 当时，， 解得， ∴（）． 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·浙江衢州·期中）抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．    （1）方程的根为 ； （2）方程的根为 ； （3）方程的根为 ； 【答案】 ， ， 【分析】（1）根据图象，利用抛物线与x轴交点的横坐标是方程的根求解即可； （2）根据图象，利用抛物线与直线交点的横坐标是方程的根求解即可； （3）根据图象，利用抛物线与直线交点的横坐标是方程的根求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得：抛物线与x轴的两个交点为， ∴方程的根为，， 故答案为：，； （2）解：由图象可得：抛物线与直线的两个交点为， ∴方程的根为，， 故答案为：，； （3）解：由图象可得：抛物线与直线的一个交点为， ∴方程的根为， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用图象法求一元二次方程的根，熟练掌握方程的根为抛物线与x轴交点的横坐标，方程的根为抛物线与直线交点的横坐标是解题的关键． 【例3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点为，矩形的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，交y轴于点，且矩形面积为8． (1)求此抛物线的解析式； (2)求当时，y的取值范围； (3)直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)时，或 【分析】（1），由矩形面积及长度，求出点F坐标，根据顶点设抛物线顶点式，然后将点F坐标代入解析式求解； （2），抛物线开口向上，对称轴为直线，离对称轴越远的点，y值越大； （3），先求出时一元二次方程的解，然后根据抛物线开口方向求解． 【详解】（1）解：∵为抛物线顶点， ∴抛物线对称轴为y轴. ∵点C，F在抛物线上， ∴. ∵矩形面积为， ∴， ∴， ∴点F坐标为. 设抛物线解析式为， 把代入解析式得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴当时，y取最小值为1. ∵， ∴时y取最大值. 把代入， 得． ∴； （3）解：把代入， 得， 解得或， ∴时，或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数关系式，矩形的性质，二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程，灵活选择二次函数的关系式是解题的关键． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知的图象如图所示，则关于的一元二次方程有（    ）个解 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与轴、轴的交点，由抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标得出当时，，或，即可得出结果．抛物线的对称轴以及抛物线的性质；理解时，得出的值是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，与轴交于点， ∴当时，， 即纵坐标为的点是或， ∴或， ∴关于的一元二次方程有个解． 故选：C． 2．（2025·浙江·模拟预测）若在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x …… 0 1 3 …… y …… 2 7 …… 则方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求抛物线解析式，一元二次方程的解，抛物线解析式为，将代入求出，然后代入方程即可求解． 【详解】解：由表格可知抛物线经过， 抛物线解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴，整理得： 因式分解可得： 解得：． 故答案为∶ ． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数． (1)用配方法将解析式化为的形式； (2)已知二次函数中的满足下表，求的值； … 0 1 2 … … 3 … (3)结合（2）中所给的表格，在给定的平面直角坐标系中，直接画出这个函数的大致图象． 【答案】(1) (2) (3)作图见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、画函数图象等知识点，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）通过配方法求解即可得到答案； （2）将代入求解即可得到答案； （3）根据（2）和表格数据，描点、连线作图即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：由表格数据可知，当时，， 即， 解得或， ； （3）解：如图所示： 4．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点，点在点的左侧，与轴交于点，且． (1)求这条抛物线的解析式； (2)若点与点在（1）中的抛物线上，且，．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求函数解析式、与坐标轴的交点问题； （1）先确定点的坐标，根据，在点的左侧，可得出点的坐标，将点坐标代入可得出抛物线解析式； （2）由抛物线可知对称轴为，因为点与点纵坐标相等，可得出两点关于抛物线对称轴对称，从而可得出的表达式，变形后代入即可得出答案； 【详解】（1）解：当 时， ， ∴与y轴交于点， ∵抛物线与轴交于、两点，， ∵点在点的左侧，， ∴抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为 ； （2）， 抛物线的对称轴为直线 ， 在中的抛物线上， ， 轴 ， 解得 ∴ 答：的值为4 【典型例题十二 二次函数图象的平移问题】 【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知抛物线（a、m、k为常数，且）的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 1 3 5 6 … y … 5 0 0 12 21 … 将抛物线平移得到新抛物线，若点在新抛物线上，则n的值为（　　） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的平移，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解题关键．依题意得出在上，根据表格和对称轴，得出或，即可求解． 【详解】解：依题意，抛物线向左平移1个单位得到新抛物线，点在新抛物线上， ∴在上， 观察表格可得在抛物线上， 又对称轴为直线， ∴也在原抛物线上， ∴或， ∴或3． 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是 ． 【答案】2或6 【分析】本题主要考查了抛物线的平移，解题关键是正确掌握平移的规律．根据抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点，即可求解． 【详解】解：由抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点， 得或6． 故答案为：2或6． 【例3】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）类比学习是中学阶段一种很重要的学习方法，下面是小星在课堂上类比作一次函数的函数图象学习作的函数图象的过程，请你帮他完成如下问题： (1)请你完成下面表格 …… ▲ 0 1 2 ▲ …… …… ▲ 4 ▲ 0 1 4 9 …… (2)完成下列问题． ①请你在平面直角坐标系中画出该函数图象；    ②将该函数图象向上平移2个单位，当的取值范围为时，两函数图象所围成的面积为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②8 【分析】此题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握求二次函数的对应值，描点法画二次函数的图象，利用数形结合思想写出函数的性质是解决问题的关键． （1）代入的值，即可求解； （2）①描点，连线，即可画出函数图象； ②根据平移的性质，两函数图象所围成的面积为矩形的面积． 【详解】（1）解：填写表格如下： …… 0 1 2 3 …… …… 9 4 1 0 1 4 9 …… （2）解：①函数图象如图所示，   ； ②将该函数图象向上平移2个单位，则二次函数解析式为，    当时，，， 当时，，， ∴，，，， ∴， 由平移的性质得，两函数图象所围成的面积为． 1．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线沿x轴翻折，并向右平移2个单位长度，得到抛物线，再将抛物线沿x轴翻折，并向右平移2个单位长度，得到抛物线…直线l从与y轴重合的位置出发，沿x轴正方向向右平移，每秒平移个单位长度．设抛物线，，，…组成的曲线与直线l交于点P，则第205秒结束时，点P的纵坐标为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，坐标规律探索，先求出抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为：，然后根据直线平移速度，得出第1秒结束时，，第2秒结束时，，第3秒结束时，，第4秒结束时，，第5秒结束时，，第6秒结束时，，第7秒结束时，，第8秒结束时，，第9秒结束时，，总结得出一般规律，得出答案即可． 【详解】解：的顶点坐标为：， 根据题意得：抛物线的顶点坐标为， 则抛物线的解析式为：， 同理得：则抛物线的解析式为：， 则抛物线的解析式为：， 第1秒结束时，， 第2秒结束时，， 第3秒结束时，， 第4秒结束时，， 第5秒结束时，， 第6秒结束时，， 第7秒结束时，， 第8秒结束时，， 第9秒结束时，， …… ∴点P的纵坐标每8秒循环一次， ∵， ∴第205秒结束时，点P的纵坐标与第5秒结束时相同，即第205秒结束时，点P的纵坐标为． 故选：D． 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小明用描点法画它的图象，列出了如下表格： … … … … 下列五个结论：①点在该函数图象上；②该函数图象在轴的下方；③该函数图象有最高点；④若和是该函数图象上两点，则；⑤若将该函数图象向左平移1个单位长度，则平移后的图象的函数表达式是．其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了函数的图象与性质，能从表格和图象获取信息是解题的关键，根据函数的图象及性质逐一分析即可求解． 【详解】解：当时，， ∴点在该函数图象上，原结论正确； ∵， ∴该函数图象在轴上方，原结论错误； ∵， ∴， ∴， ∴该函数图象有最高点，原结论正确； 由图象可得， 图象关于对称，且当时，取最大值， ∵， ∴，原结论错误； 若将该函数图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是，原结论正确； ∴正确的结论是， 故答案为：． 3．（2025·浙江丽水·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点（在的左侧）． (1)二次函数的顶点坐标为__________； (2)若二次函数由平移所得， ①求线段的长； ②当时，二次函数的最大值与最小值的和等于，求的值． 【答案】(1) (2)①②或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移以及二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）直接根据顶点式的顶点公式进行作答即可； （2）①由平移得到，联立抛物线与直线的解析式，求出点的坐标，两点间距离公式求出的长即可； ②根据的范围，分3种情况，确定二次函数的最大值与最小值，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）①∵二次函数由平移所得， ∴， 联立，解得：或， ∵，在的左侧， ∴， ∴； ②由（1）知：， ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，关于的对称点为， ∵，即：， （i）当，即：时， 则当时，函数取得最小值为：， 当时，函数取得最大值为：， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； （ii）当，即：时， 当时，函数取得最大值为， 当时，函数取得最小值为， 则：，解得：，符合题意； （iii）当，即：时， 则：当时，函数取得最大值为， 当时，函数取得最小值为：， 则：，解得：或（舍去）； 综上：或． 4．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，过点作轴，交抛物线于点，抛物线的顶点为，与轴交于点，连接． （1）直接写出的长． 当时，解答以下问题． （2）求抛物线的函数表达式． （3）嘉嘉说：可由先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，请对这一说法说明理由． （4）问题拓展： 若将直线沿平移，使其经过点且与抛物线交于点，求点的坐标． 如图，在轴上点的上方有一点，过点且与平行的直线分别交抛物线，于点，点分别在轴的两侧．若，请直接写出此时点的坐标． 【答案】（）；（）抛物线的函数表达式为；（）理由见解析；（）点的坐标为；点． 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系等知识，掌握二次函数的性质是解题的关键． （）根据二次函数的性质即可求解； （）把点代入即可求解； （）由（）知，抛物线，即顶点的坐标为，抛物线，即顶点的坐标为，然后比较即可； （）先求出所在直线的函数表达式为，可设平移后过点的直线的函数表达式为，将点代入上式，得，解得，则有平移后过点的直线的函数表达式为，然后联立求解即可； 设经过点的直线为在第二象限与抛物交于点，联立由，得，则有，，由，故，然后代入求解即可． 【详解】解：（）∵抛物线与轴交于点，与轴交于点， ∴，抛物线对称轴为直线， ∵点关于对称轴对称， ∴点的坐标为， ∴， 故答案为：； （）将点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （）理由：由（）知，抛物线， 即顶点的坐标为， 抛物线， 即顶点的坐标为， ∵点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度可到点，且这两条抛物线开口大小、方向均相同， ∴可由先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到； （）∵点，， 设所在直线的函数表达式为， ∴，解得：， ∴所在直线的函数表达式为， 则可设平移后过点的直线的函数表达式为， 将点代入上式，得，解得， ∴平移后过点的直线的函数表达式为， 联立，得，解得 ，， ∴点的坐标为； 如图，设经过点的直线为在第二象限与抛物交于点， ∵，， ∴， ∴由平移的性质可知，，两点的横坐标之差的绝对值为， ∴，两点的横坐标之差的绝对值为， 由，消去，得， 设，两点的横坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点． 【典型例题十三 一次函数、二次函数图象综合判断】 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）已知二次函数与正比例函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，正确读懂的函数图象是解题的关键． 由已知函数图象，判断出，，，即可得函数的图象方向和对称轴，再求出与函数图象与轴的交点的横坐标，即可解得． 【详解】解：由已知函数图象得，，，， ∴函数的图象开口向上，， 即其图象的对称轴直线在轴的左侧． ∵二次函数与正比例函数的图象交点的横坐标为，， ∴二次函数与正比例函数的图象交点的横坐标为，， ∴方程的两根为，， ∴函数的图象与轴的交点的横坐标为，． 故选B． 【例2】 （24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了二次函数与一次函数，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出方程的解是解此题的关键．根据，两点的横坐标和函数的图象得出方程的解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线相交于点， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 【例3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，正比例函数y1=x与二次函数y2=x2-bx的图象相交于O（0，0），A（4，4）两点． (1)求 b 的值； (2)当 y1 y2 时，直接写出 x 的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点A（4，4）代入进行解答即可得； （2）由图像即可得． 【详解】（1）解：将点A（4，4）代入得， 解得． （2）解：由图像可知，当或时，． 【点睛】本题考查了正比函数，二次函数，解题的关键是掌握正比函数的性质和二次函数的性质． 1．（24-25九年级上·浙江·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查在同一个坐标系中判断一次函数与抛物线图象是否正确，先从各选项中一次函数图象得到的符号，进而判定同一坐标系下二次函数图象是否正确即可得到答案，数形结合，熟记一次函数及二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：从一次函数的图象开始： A、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象一致， 故A图象正确，符合题意； B、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致， 故B图象错误，不符合题意； C、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴右侧，与选项图象不一致， 故C图象错误，不符合题意； D、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致， 故D图象错误，不符合题意； 故选：A． 2．（2025·浙江·模拟预测）在学习了“利用函数的图象研究函数的性质”后，为了研究函数的性质，小勤同学用描点法画它的图象，列出了如下表格： 2 以下五个结论：①点在函数的图象上；②函数的图象一定不经过第四象限；③函数的图像关于直线对称；④点，，若，则；⑤若直线与函数的图象有个公共点，则．其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，把代入函数解析式求出的值即可判断①；由绝对值的性质可得即不管取何值，始终有，即可判断②；根据表格对应的数值可判断③；根据二次函数的性质可判断④；画出图象可判断⑤，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴点在函数的图象上，故①正确； 当时，， 当时，， 即不管取何值，始终有， ∴函数的图象一定不经过第四象限，故②正确； 由表知，函数的图像关于直线对称，即关于轴对称，故③错误； ∵当时，，随的增大而减小， ∴点，，若，则，故④正确； 由②可知，， 画函数图象如下： 当时，， 由图象可知，当直线与函数的图象有个公共点时，，故⑤错误； 综上，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，已知直线过定点M，与抛物线交于A、B两点，其中点A、B分别在第二、第一象限，过点M的另一条直线交y轴于点N．求点M的坐标和直线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合题，一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据，确定定点M的坐标为，再代入中可求一次函数解析式． 【详解】解：， 当，， 定点M的坐标为， 把代入直线中， 即， 解得：， 直线MN的解析式为：． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，抛物线与直线交于点和点B．    (1)求抛物线和直线的解析式； (2)求点B的坐标，并结合图象直接写出不等式的解集； (3)点N是抛物线对称轴上一动点，且点N纵坐标为n，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若点在直线上，且直线与图象G有公共点，结合函数图象，直接写出点N纵坐标n的取值范围． 【答案】(1)抛物线和直线的解析式分别为和； (2)，或； (3) 【分析】（1）将点的坐标代入，求出、的值即可； （2）求出点的坐标，根据图象得出不等式的解集即可； （3）求出点的坐标为，直线与抛物线对称轴的交点为，结合图象即可得出答案． 【详解】（1）将点代入得：， 解得：， 将点代入得：， 解得：， 抛物线和直线的解析式分别为和； （2）联立抛物线和直线的解析式得： ， 解得：或， 点的坐标为，， 根据图象可知，不等式的解集为或； （3）把 代入 得：， 点的坐标为， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 把代入得：， 直线与抛物线对称轴的交点为 根据图象可知，当直线与图象有公共点时，点纵坐标取值范围为．    【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，一次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，解答本题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，求出两个函数解析式和交点坐标． 【典型例题十四 反比例函数、二次函数图象综合判断】 【例1】（2025·浙江衢州·模拟预测）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小； 位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． 【例2】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为 ． 【答案】(，0) 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后求出点B的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点A的坐标，进而求得A＇的坐标，从而可以求得直线A＇B的函数解析式，进而求得与x轴的交点，从而可以解答本题 【详解】解：作点A关于x轴的对称点A＇，连接A＇B，则A＇B与x轴的交点即为所求， ∵抛物线y=ax2-4x+c(a0)与反比例函数y= 的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0,6）， ∴点B（3,3）， ∴ 解得， ∴y=x2-4x+6=（x-2）2+2 ∴点A的坐标为（2,2）， ∴点A＇的坐标为（2，-2）， 设过点A＇（2，-2）和点B（3,3）的直线解析式为y=mx+n ∴ ∴直线A＇B的函数解析式为y=5x-12, 令y=0,则0=5x-12得x=, 故答案为（） 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【例3】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，二次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． (1)求这两个函数的表达式； (2)当随的增大而增大且时，直接写出x的取值范围； (3)平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的左边），与函数的图象相交于点．若与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解． （2）利用函数的性质结合图象即可求解． （3）根据点和点的坐标得出三角形等高，再根据面积相等得出，进而确定点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，进而可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与反比例函数的图像相交于点， ∴，， 解得，， ∴二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． （2）∵二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线， 由图象知，当随的增大而增大，且时， （3）∵当时，， ∴， ∵， ∴的边上的高与的边上的高相等， ∵与的面积相等， ∴， 即点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与反比例函数的综合、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数和反比例函数的图象及性质和待定系数法求函数解析式是解题的关键． 1．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数图象特征，由反比例图象得为正数是解题的关键． 根据反比例函数图象确定出是正数，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、与轴的交点坐标确定出函数图象，从而得解． 【详解】解：当时，反比例函数图象位于第一、三象限， ， ， 二次函数与轴的交点在轴负半轴， ， 二次函数图象开口向上， 对称轴为直线， 对称轴在轴左边， 观察各选项，只有选项符合． 当时，反比例函数图象位于第二、四象限， ， ， 二次函数与轴的交点在轴正半轴， ， 二次函数图象开口向下， 对称轴为直线， 对称轴在轴左边， 观察各选项，没有选项符合． 故选：A ． 2．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）函数与的图象如图所示，当x的取值范围为 时，均随着x的增大而减小． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象与性质．根据二次函数和反比例函数图象解答即可． 【详解】解：根据二次函数图象当时，随着的增大而减小，当或时，反比例函数随着的增大而减小． ∴当时，均随着x的增大而减小． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”． 例如：的“属派生点”为，即． 若点的“属派生点”的坐标为，请写出一个符合条件的点的坐标________； 试说明点的“属派生点”一定满足（其中） 【答案】（1）（1，2）；（2）1 【分析】（1）根据“k属派生点”的定义可知纵坐标是横坐标的k倍，然后根据p′的坐标求出k＝1，然后求出点p的横坐标与纵坐标的关系，再求解即可；（2）根据P（a，b）的“k属派生点”p′（x，y）可得出x＝，y＝ka＋b，代入进行计算即可. 【详解】．∵点的“属派生点”， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特征，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键. 4．（2025九年级·全国·专题练习）如图1，为坐标原点，点在轴的正半轴上，四边形是平行四边形，，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与交于点. （1）若点为的中点，且的面积. ①设的面积为，的面积为，则______（直接填“”、“”或“”），______； ②求的长和点的坐标. （2）在（1）的条件下，过点作，交于点（如图2），点为直线上的一个动点，连结、，当以、、为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出所有点的坐标，不必说明理由. 【答案】（1）①，，②， ；（2），；；. 【分析】（1）先设OA=a（a>0），过点F作FM⊥x轴于M，根据sin∠AOB=得出AH=a，OH=a，求出S△AOH的值，根据S△AOF=12，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC的中点，求出S△OBF=6， 根据BF=a，∠FBM=∠AOB，得出S△BMF=BM•FM，S△FOM=6+a2，再根据点A，F都在y=的图象上，S△AOH=k，求出a，最后根据S平行四边形AOBC=OB•AH，得出OB=AC=，即可求出点C的坐标； （2）分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P1，P2；当∠PAO=90°时，求出P3；当∠POA=90°时，求出P4即可． 【详解】（1）①，. ②设，如图3，过点作轴于，过点作轴于. ∵，∴，，∴. ∵，∴. ∵为的中点，∴. ∵，， ∴，. ∴. ∴. ∵点、都在的图象上，∴. ∴，∴，即.∴，. ∵，∴. ∴. （2）存在三种情况：如图4. 当时，在的两侧各有一点， 分别为：，； 当时，； 当时，. 提示：当时，易证点为的中点，则，设交轴于点，由，得，；当时，设，由构造方程求；当时，同理由构造方程求. 【点睛】本题考查反比例函数，熟练掌握计算法则是解题关键. 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知是抛物线上的点，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据抛物线，得开口方向向上，对称轴为直线，则当，，当，则，据此进行逐项分析就，即可作答． 【详解】解：∵抛物线，且， ∴开口方向向上，对称轴为， ∴越靠近对称轴的所对的函数值越小， 则当，，故A、B选项不符合题意； 当，则，故C选项符合题意； 当，则，故D选项不符合题意； 故选：C 2．（2025·浙江绍兴·模拟预测）函数的图像如图所示．类似的，函数的图像是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出，根据二次函数得出与y轴的交点在y轴负半轴，然后当时，，求出与x轴的交点即可判断，熟练掌握二次函数图象的性质是解题关键． 【详解】解：， 当时，， ∴与y轴的交点在y轴负半轴， 当时，， 令，则， 解得：或， ∴当时，与x轴正半轴有两个交点， 只有选项D符合题意， 故选：D 3．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如表是一个二次函数的自变量x与函数值y的5组对应值，则下列说法正确的是（    ） x … 1 2 3 4 5 … y … 9 3 1 3 9 … A．函数图象的开口向下 B．函数图象与x轴有交点 C．函数的最小值为1 D．当时y的值随x值的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的图象与性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：由表格可得，当和时，y得值都等于3 ∴点和点关于对称轴对称 ∴对称轴为直线 ∴顶点坐标为 ∴设表达式为 将代入得， ∴ ∴二次函数解析式为， ∵ ∴函数图象的开口向上，故A错误，不符合题意； 令，则， ∴ ∴方程无解， ∴函数图象与轴没有交点，故B错误，不符合题意； ∵顶点坐标为，开口向上 ∴函数的最小值为1，故C正确，符合题意； ∵对称轴为直线，开口向上 ∴当时，的值随值的增大而增大，故D错误，不符合题意． 故选：C． 4．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图，已知抛物线y＝－x2＋px＋q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx＋b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（    ） A．（0，2） B．（，0） C．（0，2）或（，0） D．以上都不正确 【答案】A 【分析】抛物线y＝－x2＋px＋q的对称轴为x＝﹣3，可求得p=－6， 抛物线y＝－x2＋px＋q过点N（﹣1，1），可以求得：q=﹣4，得到抛物线解析式为：y＝－x2－6x﹣4，点M（﹣3,5），直线y＝kx＋b过M，N两点，其解析式为：y＝﹣2x＋3，作点A使得A与N关于y轴对称，连接MA，与y轴交于点P，易得P（0，2），作点B使得B与N关于x轴对称，连接MB，与x轴交于点Q，易得Q（），MA<MB，所以点P的坐标为（0，2）． 【详解】解：抛物线y＝－x2＋px＋q的对称轴为x＝﹣3， 抛物线y＝－x2＋px＋q过点N（﹣1,1）， 所以抛物线解析式为：y＝－x2－6x﹣4，顶点M（﹣3,5）， 直线y＝kx＋b过M，N两点， 解析式为：y＝﹣2x＋3， 如图，作点A，使得A与N关于y轴对称，连接MA，与y轴交于点P， 的解析式为： P（0，2）， 同理：作点B使得B与N关于x轴对称，连接MB，与x轴交于点Q， 同理可得Q（）， MA<MB， 所以点P的坐标为（0，2）． 故选A． 5．（24-25九年级上·浙江丽水·阶段练习）二次函数与一次函数图像交于点，它们的横坐标记为，记，，则下列说法正确的是（   ）． A．当时， B．若，则 C．当时， D．若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握二次函数与一次函数的综合及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；因此此题可根据选项联立二次函数与一次函数解析式，然后化简得到一元二次方程，进而根据根与系数的关系可进行排除选项． 【详解】解：由题意可联立二次函数与一次函数得：，该方程的解即为它们图像的交点的横坐标，即为； A、当时，则一次函数为，与二次函数联立得：，即，所以根据一元二次方程根与系数的关系得：，所以；故该选项错误； B、若，同理可得：，所以；故该选项正确； C、当时，则一次函数为，与二次函数联立得：，即，所以根据一元二次方程根与系数的关系得：，所以；故该选项错误； D、若，同理可得，所以；故该选项错误； 故选B． 6．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）二次函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．将解析式化为顶点式，然后根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解： ． 则顶点坐标为． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）二次函数的图象如图所示，那么 （填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，此题运用了数形结合思想．首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号，然后根据与轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，代入即可判断的正负． 【详解】解：∵图象开口方向向上， ∴， ∵图象的对称轴在x轴的正半轴上， ∴， ∵， ∴， ∵图象与y轴交点在y轴的负半轴上， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·浙江丽水·阶段练习）对于二次函数，点和在函数图象上，则 （填“>”，“=”或“<”）；当时，函数的最小值为1，则的值为 ． 【答案】 > 0或3． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，把点和代入进行计算，即可判断和；结合在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大，所以分类讨论：当时，则把代入，当时，把代入，进行计算即可作答． 【详解】解：∵二次函数，点和在函数图象上， ∴，， ∴； ∵函数， ∴二次函数的顶点坐标为，开口向上， 则在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大； 当时，函数的最小值为1， ∴当时，则把代入， 得， 解得（舍去）， ∴当时，把代入， 得， 解得（舍去）， 综上：的值为0或3． 故答案为：>，0或3． 9．（2025·浙江·模拟预测）若在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x …… 0 1 3 …… y …… 2 7 …… 则方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求抛物线解析式，一元二次方程的解，抛物线解析式为，将代入求出，然后代入方程即可求解． 【详解】解：由表格可知抛物线经过， 抛物线解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴，整理得： 因式分解可得： 解得：． 故答案为∶ ． 10．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）函数的图象如图所示，在下列结论中：①该函数自变量的取值范围是；② 该函数有最小值；③方程有三个根；④如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有．所有正确结论的序号是 ．    【答案】①③/③① 【分析】根据函数解析式可知中，则可判断①，根据函数图像不存在最小值，进而判断②，根据与存在3个交点可判断③当时，随的增大而减小，进而即可判断④ 【详解】解：则，，即函数图象与轴无交点， 该函数自变量的取值范围是； 故①正确； 根据函数图象可知，该函数图像不存在最小值， 故②不正确； 如图与存在3个交点，则方程有三个根；    故③正确 当时，随的增大而减小，如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有． 故④不正确 故正确的有①③ 故答案为：①③ 【点睛】本题考查了函数的图象与性质，类比反比例函数和二次函数的图象与性质是解题的关键． 11．（24-25九年级上·浙江金华·期中）用配方法可以将二次函数从一般式化为顶点式，小贤用配方法将二次函数化为顶点式的具体过程如下： 用配方法将二次函数化为顶点式． 解：             第一步         第二步             第三步             第四步 (1)小贤的解题过程从第 步开始出现错误． (2)用配方法将二次函数化为顶点式． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查了将一般式化为顶点式，掌握配方的方法是解题的关键． （1）根据配方法的步骤判断即可； （2）根据配方法的步骤配方即可． 【详解】（1）解：             第一步         第二步 第二步加1，还需减1，因此第二步出错， 故答案为：二； （2）解： ． 12．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）二次函数中的自变量x和函数值y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 10 3 m … (1)这个二次函数的对称轴是直线________； (2)m的值为________； (3)当时，y的取值范围为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）根据表中x、y的对应值可知，与时y的值相等，所以此两点关于抛物线的对称轴对称，由中点坐标公式即可得出对称轴的直线方程； （2）根据抛物线的对称性求得即可； （3）根据表格中数据即可得出结论． 【详解】（1）解：∵由表中x、y的对应值可知，当与时y的值相等 ∴对称轴是直线 故答案为：； （2）解：∵点关于直线的对称点为 ∴， 故答案为：； （3）解：由表格数据可知，y随x的增大先减小后增大， ∴抛物线开口向上， 又对称轴是直线 ∴当时， 故答案为：． 13．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数的图象上，时，取得最小值为．点、是二次函数的图象上任意两点，设． (1)求此二次函数的解析式； (2)当时，以下结论：，，，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用对称轴结合待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点、关于对称，进而得到，再根据二次函数的最值求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题意得：对称轴为：，即：，得：． 当时，的值为，即：，得：． 此二次函数的解析式为． （2）证明：，理由如下： ， 点、关于对称， ，即，， ，， ． 当时，，， ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，最大值． 故． 14．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，已知二次函数图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D，对称轴交x轴于点E． (1)求该二次函数的解析式； (2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点Q在线段OB上（不与点O、B重合），过点Q作QM⊥x轴交抛物线于点M，交线段BC于点N，求线段MN的最大值，及此时点M的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3)MN取得最大值为， 【分析】（1）直接将三点坐标代入解析式求解，即可求得解析式； （2）周长最小即要使得PA+PC最小，A点关于对称轴的对称点是B点，连接CB交对称轴于P点，此时的PA+PC即为最小值； （3）设Q（m，0），再把m代入BC所在一次函数解析式和二次函数解析式，把两者相减，得到一个代数式，再求这个代数式的最大值即可． 【详解】（1）将，，代入得： 解得： 二次函数的解析式为：； （2）存在点P，使△PAC的周长最小 连接BC交抛物线对称轴于P，连接AP，如图： ， 由得抛物线对称轴是 ，关于抛物线对称轴对称 而当B、P、C共线时，PB+CP最小，此时PA+CP也最小， 因，故此时△PAC的周长最小 设直线BC为，将，代入得： 解得： 直线BC解析式为： 令x＝1时，得y＝－2　 （3）如图： 设，， 该函数为开口向下的二次函数，且在时取得最大值 又Q在OB上， ∴ ∴m可取的值包括了 时， MN取得最大值为， 当x=时，y= 故M点坐标为：． 【点睛】本题考查二次函数交点式解析式的应用，考查一个点动点到两个顶点距离最小值的将军饮马模型，考查两点之间距离的最小值，掌握这些知识和模型是解题关键． 15．（2025·浙江杭州·模拟预测）要实现知识结构化，必须找到知识间的联系．要想找到知识间的联系，只需思考即可．下面是跟着梁老师进行的一次探究活动． 【常规任务与反思】 （1）求抛物线和直线的交点横坐标． 你的思路是： ①利用两个图象的表达式得一元二次方程：____________； ②把①中方程化为一般形式：____________； ③求得交点横坐标：____________． 反过来想： ④可以把②中一元二次方程变形成①中形式：____________， ⑤再把④中方程看作是为求抛物线______和直线______的交点横坐标得到的． 这里找到的是二次函数、一次函数综合题与一元二次方程的关系． 【深入思考与探究】 （2）显然不是一元二次方程的解，于是这个可以变形为：； 两边同除以x后得：____________， 于是求方程的解可以看作是求函数______和______的交点横坐标． 这里找到的是______、______综合题与______的关系． 【问题解决】 （3）小聪家有一个长4米，宽3米的矩形鸡圈．他想改建成一个新矩形鸡圈，新鸡圈的邻边长分别为x米、y米，其周长和面积都是原来的k倍．小聪的想法能实现吗？如果不能，请说明理由；如果能，请求出满足条件的k值或k的范围． 小聪是先列了两个函数关系，然后求解的．请你按他的思路完成探索． 【答案】（1）①；②；③，， ④；⑤， （2）；，， 一次函数、反比例函数、一元二次方程； （3）当时，小聪改建鸡圈的设想可以实现． 【分析】此题考查了二次函数、一次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握函数的性质是解题的关键． （1）联立得到关于x的一元二次方程，解方程求出两根，反过来，可以看作一次函数和二次函数图象的交点问题即可； （2）利用等式的基本性质把一元二次方程变形后，看作是反比例函数和一次函数的交点问题即可； （3）由题意可得，则，设，由二次函数图象可知，要使，则或（不符合题意，舍去），即可得到答案． 【详解】解：（1）①利用两个图象的表达式得一元二次方程：； ②把①中方程化为一般形式：； ③求得交点横坐标：，． 反过来想： ④可以把②中一元二次方程变形成①中形式：， ⑤再把④中方程看作是为求抛物线和直线的交点横坐标得到的． 故答案为：①；②；③，，④；⑤，． （2）显然不是一元二次方程的解，于是这个可以变形为：； 两边同除以x后得：， 于是求方程的解可以看作是求函数和的交点横坐标． 这里找到的是一次函数、反比例函数综合题与一元二次方程的关系． 故答案为：；，，一次函数、反比例函数、一元二次方程 （3）由题意得：，，即：，， ∴，化简得：， ∵由题意得， 设， 当时，， 解得 ∴抛物线与横轴轴交于点，如图： 由二次函数图象可知， 要使，则或（不符合题意，舍去） 即：当时，小聪改建鸡圈的设想可以实现． 学科网（北京）股份有限公司 $$