第01讲 二次函数的图象（4大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（浙教版）

第01讲 二次函数的图象（4大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 二次函数的识别 典型例题二 列二次函数关系式 典型例题三 根据二次函数的定义求参数 典型例题四 y=ax²的图象和性质 典型例题五 y=ax²+k的图象和性质 典型例题六 y=a（x-h）²的图象和性质 典型例题七 y=a（x-h）²+k的图象和性质 知识点01 函数回顾 1．知识回顾： （1）函数的概念：在某个变化过程中有两个量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫自变量，y叫做因变量． （2）正比例函数：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． （3）一次函数：形如，其中、为常数，且． 特殊情况：当时，称为常值函数； 当时，称为正比例函数． 知识点02 二次函数的定义 二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.它的定义域为一切实数． 知识点03 二次函数注意问题 二次函数应注意的问题： （1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等． （2）由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量的取值范围是任意实数． 知识点04 二次函数的图像与性质 二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0． 的性质： 上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 一般式：（，，为常数，）； 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【典型例题一 二次函数的识别】 【例1】（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在圆的面积公式中，与的关系是（   ） A．一次函数关系 B．正比例函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 【例3】（2025九年级上·全国·专题练习）在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是 ．（填写序号） 【例4】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有 ．（只填序号） 【例5】（2025九年级上·全国·专题练习）下列函数中，哪些是关于的二次函数？ ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦． 1．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）在高中的有机化学中，存在一种的有机物，其中和满足某种函数关系，如图ⅰ、ⅱ、ⅲ，观察该类有机物的结构简式，由结构简式知与满足函数关系式（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．则下面四个结论不正确的是（    ） A．是完美方根数对； B．是完美方根数对； C．若是完美方根数对，则； D．若是完美方根数对，则点在抛物线上． 3．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是 ，它是 函数． 4．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 5．（24-25九年级上·浙江丽水·阶段练习）化肥能让土壤中的有机质含量增加，提高土壤中的重要微生物孢子的含量和多样性，既能改良土壤的活性，又能改变土壤的性质，从而提高土壤的肥力，增加农作物的产量．某科研团队分析了化肥使用量与某农作物产量之间的关系．部分内容如下： 种植方式一：在种植过程中不添加化肥，该农作物的产量为15吨/公顷； 种植方式二：在种植过程中，记该农作物的产量为y（吨/公顷），化肥的使用总量为x（吨/公顷）．记录的部分实验数据如下： x/（吨/公顷） 2.2 3.0 4.2 5.0 6.5 7.5 8.5 9.4 10.3 y/（吨/公顷） 21.3 25.7 32.2 35.8 41.0 43.1 43.4 40.8 30.8 根据以上实验数据，解决下列问题： (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出y关于x的函数图象； (2)若将（1）中所画函数图象补全，则该函数图象与y轴交点的坐标为_______． (3)若某农业基地在种植该农作物时，两种种植方式均存在． ①该农作物每公顷的产量最多相差_______吨（结果保留1位小数）； ②当两种方式的种植面积相同时，若种植方式二的总产量不低于方式一总产量的2倍，该基地化肥的使用总量需控制在_______（吨/公顷）至_______（吨/公顷）范围内（结果保留整数）． 【典型例题二 列二次函数关系式】 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【例2】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·浙江舟山·模拟预测）某抛物线的最高点在y轴上，且与x轴有两个交点，这个抛物线的表达式可以是 ． 【例4】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ． 【例5】（24-25九年级上·全国·课后作业）圆的半径是，假设半径增加时，圆的面积增加． （1）写出y与x之间的关系式； （2）当圆的半径分别增加时，圆的面积各增加多少？ 1．（24-25九年级上·全国·期末）若正方形的边长为，边长增加，面积增加，则关于的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期中）定义运算“※”为：a※b=，如：1※（﹣2）=﹣1×（﹣2）2=﹣4．则函数y=2※x的图象大致是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图①是一座石拱桥，它是一个横断面为抛物线形状的拱桥，若桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，图②为它在坐标系中的示意图，则抛物线的解析式是 （写出顶点式和一般式均可）． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为便于进出，开了3道宽均为1米的门．设花圃的一边为米，面积为平方米，求与之间的函数解析式，并求自变量的取值范围．    5．（24-25九年级上·全国·课后作业）（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？ （2）完成下表： 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 每个图中小圆圈的总数 （3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？ 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 每个图中小圆圈的总数 1 7 19 37 61 【典型例题三 根据二次函数的定义求参数】 【例1】（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）若函数是y关于x的二次函数时，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数，当时，函数值等于，则下列关于的关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·浙江湖州·期中）当 时，函数是二次函数． 【例4】（2025·浙江衢州·模拟预测）定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数图像的“倍值点”为．若关于x的二次函数的图像上有唯一的“倍值点”，则 ． 【例5】（2025九年级上·全国·专题练习）下列函数是不是二次函数？如果是二次函数，请分别写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）如果函数是二次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为全体实数 2．（2025·浙江温州·模拟预测）王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y 的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（   ）的图象上． 1 2 4 ….. A．一次函数和反比例函数 B．二次函数和反比例函数 C．一次函数和二次函数 D．一次函数和二次函数和反比例函数 3．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是 ． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知关于的函数． (1)当为何值时，此函数是二次函数？ (2)当为何值时，此函数是一次函数？ 5．（2025·浙江·模拟预测）阅读下列材料，解决材料后的问题： 材料一：对于实数x、y，我们将x与y的“友好数”用f（x，y）表示，定义为：f（x）＝，例如17与16的友好数为f（17，16）＝＝． 材料二：对于实数x，用[x]表示不超过实数x的最大整数，即满足条件[x]≤x＜[x]+1，例如： [﹣1.5]＝[﹣1.6]＝﹣2，[0]＝[0.7]＝0，[2.2]＝[2.7]＝2，…… （1）由材料一知：x2+2与1的“友好数”可以用f（x2+2，1）表示，已知f（x2+2，1）＝2，请求出x的值； （2）已知[a﹣1]＝﹣3，请求出实数a的取值范围； （3）已知实数x、m满足条件x﹣2[x]＝，且m≥2x+，请求f（x，m2﹣m）的最小值． 【典型例题四 y=ax²的图象和性质】 【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）关于抛物线，给出下列说法： ①抛物线开口向下，顶点是原点； ②当时，y随x的增大而减小； ③当时，； ④若，是该抛物线上两点，则． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（24-25九年级上·浙江丽水·阶段练习）抛物线与的开口大小相等，开口方向相反，则 ． 【例4】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，小明在该直角坐标系中又画了二次函数，，的图像，则a，b，c，d的大小关系 ． 【例5】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）（1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象； （2）从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点． 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）二次函数图象上有三个动点、、，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．无论取何值，都有 2．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，已知矩形中，，，动点在边上从点向点运动，速度为．同时动点从点出发，沿折线运动，速度为，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点运动的时间为，的面积为()，则描述为()与时间的函数关系的图象大致是(    ) A． B． C． D． 3．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知点在抛物线上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B． (1)求a的值和点B的坐标； (2)若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的的面积为2时，求点P的坐标． 5．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）请按要求画出函数的图象： x …… 0 1 2 3 y …… (1)列表并画出图象； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性与最值； 【典型例题五 y=ax²+k的图象和性质】 【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）下列函数中，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·浙江丽水·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（   ） A．D点 B．C点 C．B点 D．A点 【例3】（2025·浙江湖州·模拟预测）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“当时，函数值y随自变量x的增大而增大”；乙：“函数图象经过点”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数表达式： ． 【例4】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知抛物线，且经过点，试比较和的大小： ． 【例5】（24-25九年级上·浙江舟山·期中）在平面直角坐标系中，画出抛物线的图象． 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）已知抛物线，直线，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G． 如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点在G上，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 3．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）在平面直角坐标系中，点P、分别是抛物线第二、一象限上一点，轴且. 点Q在直线上方的抛物线M上，点和点Q关于直线对称，在以点为顶点且过点与点R的抛物线N上，．若，则点Q坐标为 ． 4．（2025·浙江丽水·模拟预测）如图是二次函数的图象，根据图象回答下列问题： (1)二次函数的图象与的图象有什么相同和不同（各写出两条）； (2)若有一个二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出一个符合条件的二次函数的表达式． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______． 【典型例题六 y=a（x-h）²的图象和性质】 【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）对于二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．顶点坐标为 B．时，的值随值的增大而减少 C．对称轴为 D．函数的最小值为0 【例2】（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）抛物线顶点的坐标为 ． 【例4】（24-25九年级上·全国·课后作业）有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点： A：函数图像的顶点在x轴上； B：当时，y随x的增大而减小； C：该函数图像的形状与函数的图像相同． 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式： ． 【例5】（24-25九年级上·全国·课后作业）在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性． x … 0 1 2 3 4 … … … … … … … (1)； (2)； (3)． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知： ， ． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 5．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知二次函数的图象如图所示，求的面积．   【典型例题七 y=a（x-h）²+k的图象和性质】 【例1】（2025·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为抛物线上任意两点，其中．若对于，都有，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）在平面直角坐标系上，抛物线的顶点为，点与点关于原点对称，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【例3】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）已知点在抛物线上，且，则 ．（填“”或“”或“”） 【例4】（2025·浙江金华·模拟预测）定义运算：，例如，，则函数的对称轴为直线 ． 【例5】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数． (1)求它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； (2)当取什么范围时，随的增大而增大？ 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）关于抛物线，下列结论正确的是（    ） A．抛物线的顶点坐标为 B．抛物线可由经过平移得到 C．抛物线与轴有两个交点 D．当时，随的增大而增大 2．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数（为常数）．当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图，这些分别是当，，，时，二次函数的图象，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是 ． 4．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）已知抛物线 ． (1)若此抛物线的顶点在直线 上，求的值； (2)若点 与点在此抛物线上，且直接写出的取值范围. 5．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在初中阶段，一般会通过列表、描点、连线的方式来画函数图像，并结合图像研究函数的性质．请按要求完成对二次函数的研究． (1)列表： x … 0 1 2 3 … y … 8 3 0 m 0 3 8 … 其中， _______． 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图像． (2)根据函数图像，下列关于该函数性质的说法正确的有：_______（填序号） ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴是y轴； ②该函数有最小值，没有最大值； ③当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； ④当时，x的值为1． (3)在同一平面直角坐标系中作出函数的图像，并直接写出不等式的解集． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知，，在函数（m为常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列结论：①点的坐标为 ； ②  ；③当时，有最大值是；  ④时，随的增大而增大 ； ⑤当时，，正确的个数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江宁波·模拟预测）观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江舟山·阶段练习）已知函数是二次函数，则 ． 7．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）已知关于的函数，有下列结论：①函数的图象是轴对称图形；②函数图象上纵坐标为0的点有3个；③满足纵坐标为的点，恰好只有两个，则或；④点，是该函数图象上的两个点，则的最大距离是4．其中正确的结论是 ．（填写序号） 8．（2025九年级上·全国·专题练习）二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫作 ．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是 ，b是 ，c是 ．（a、b、c是常数，）也叫作二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数 这个关键条件． 9．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，大正方形的边长为，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则图中阴影部分的面积是 ． 10．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，直线平行于轴，二次函数的图像与直线交于，两点，二次函数的图像与直线交于，两点，其顶点为，若，，，则点的坐标为 ． 11． （24-25九年级上·全国·课后作业）已知是x的二次函数，求出它的解析式． 12．（24-25九年级·浙江杭州·阶段练习）将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 13．（24-25九年级上·浙江·期中）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 14．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．    (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 15．（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，该抛物线的顶点为，且与轴的交点为，连接过点作轴的平行线与抛物线交于另一点，过点作的垂线． (1)当时，求的长； (2)如图，延长交于点，请用含的代数式表示的面积； (3)如图，点在抛物线第一象限的图象上且位于点的左侧，连接并延长交于点，过点作垂直于，垂足为点，连接求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次函数的图象（4大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 二次函数的识别 典型例题二 列二次函数关系式 典型例题三 根据二次函数的定义求参数 典型例题四 y=ax²的图象和性质 典型例题五 y=ax²+k的图象和性质 典型例题六 y=a（x-h）²的图象和性质 典型例题七 y=a（x-h）²+k的图象和性质 知识点01 函数回顾 1．知识回顾： （1）函数的概念：在某个变化过程中有两个量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫自变量，y叫做因变量． （2）正比例函数：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． （3）一次函数：形如，其中、为常数，且． 特殊情况：当时，称为常值函数； 当时，称为正比例函数． 知识点02 二次函数的定义 二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.它的定义域为一切实数． 知识点03 二次函数注意问题 二次函数应注意的问题： （1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等． （2）由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量的取值范围是任意实数． 知识点04 二次函数的图像与性质 二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0． 的性质： 上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 一般式：（，，为常数，）； 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【典型例题一 二次函数的识别】 【例1】（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义．利用二次函数的一般形式为：（是常数，），进而判断得出即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故本选项不正确； B、不是二次函数，故本选项不正确； C、符合二次函数的定义，故本选项正确； D、不是二次函数，故本选项不正确． 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在圆的面积公式中，与的关系是（   ） A．一次函数关系 B．正比例函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可判断，解题的关键是正确理解：一般地形如（是常数，）的函数叫做二次函数． 【详解】解：圆的面积公式中，与的关系是二次函数关系， 故选：． 【例3】（2025九年级上·全国·专题练习）在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是 ．（填写序号） 【答案】④ 【分析】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．根据形如是二次函数，可得答案． 【详解】解：①时是一次函数， ②是一次函数； ③不是整式，不是二次函数； ④是二次函数， 故答案为：④． 【例4】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有 ．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查的是二次函数的定义．熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．形如 （a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义可得答案． 【详解】①，是二次函数； ②，是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数； ⑤∵中不是整 式，∴不是二次函数； ⑥，不是二次函数． ∴①②③是二次函数． 故答案为：①②③． 【例5】（2025九年级上·全国·专题练习）下列函数中，哪些是关于的二次函数？ ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦． 【答案】①②④⑥ 【分析】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键，注意是不等于零的常数．根据二次函数的定义：（且是常数）判断即可得答案． 【详解】解：①是二次函数； ②是二次函数； ③不是整式，不是二次函数； ④是二次函数； ⑤不是整式，不是二次函数； ⑥可变形为：是二次函数； ⑦是一次函数． 故二次函数的有①②④⑥． 1．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）在高中的有机化学中，存在一种的有机物，其中和满足某种函数关系，如图ⅰ、ⅱ、ⅲ，观察该类有机物的结构简式，由结构简式知与满足函数关系式（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与二次函数的性质，由图ⅰ可知时，，将代入各项函数解析式中求解并判断，即可解题． 【详解】解：由图ⅰ可知时，， 时，，，， 选项A、C、D不是与的函数关系式，不符合题意； 时，， 选项B是与的函数关系式， 故选：B． 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．则下面四个结论不正确的是（    ） A．是完美方根数对； B．是完美方根数对； C．若是完美方根数对，则； D．若是完美方根数对，则点在抛物线上． 【答案】B 【分析】本题考查了求算术平方根，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题的关键．根据定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A．∵，，…，， ∴是完美方根数对，故该选项正确，不符合题意， B．∵， ∴不是完美方根数对，故该选项错误，符合题意， C．∵是完美方根数对， ∴， 解得：，， ∵为正整数， ∴，故该选项正确，不符合题意， D．∵是完美方根数对， ∴， ∴， ∴点在抛物线上，故该选项正确，不符合题意， 故选：B． 3．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是 ，它是 函数． 【答案】 二次 【分析】本题主要考查函数的概念、图形的变化类规律等知识点，由题目图形的变化、发现规律是解题的关键． 先根据题目图形的变化发现规律，然后根据规律确定函数解析式，再判定函数类型即可． 【详解】解：由图可知，从第（2）个图形开始，每个图形除去中间的点，每条分支上的点数比分支数少1，那么第（n）个图形有n条分支，每条分支的点数是，因此，它是二次函数． 故答案为：，二次． 4．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 【答案】乙的说法对，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的定义，配方法的应用，将配方得出，从而得出无论取何值，，结合二次函数的定义即可得解． 【详解】解：乙的说法对，理由如下： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，， ∴此函数一定是二次函数，即乙的说法对． 5．（24-25九年级上·浙江丽水·阶段练习）化肥能让土壤中的有机质含量增加，提高土壤中的重要微生物孢子的含量和多样性，既能改良土壤的活性，又能改变土壤的性质，从而提高土壤的肥力，增加农作物的产量．某科研团队分析了化肥使用量与某农作物产量之间的关系．部分内容如下： 种植方式一：在种植过程中不添加化肥，该农作物的产量为15吨/公顷； 种植方式二：在种植过程中，记该农作物的产量为y（吨/公顷），化肥的使用总量为x（吨/公顷）．记录的部分实验数据如下： x/（吨/公顷） 2.2 3.0 4.2 5.0 6.5 7.5 8.5 9.4 10.3 y/（吨/公顷） 21.3 25.7 32.2 35.8 41.0 43.1 43.4 40.8 30.8 根据以上实验数据，解决下列问题： (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出y关于x的函数图象； (2)若将（1）中所画函数图象补全，则该函数图象与y轴交点的坐标为_______． (3)若某农业基地在种植该农作物时，两种种植方式均存在． ①该农作物每公顷的产量最多相差_______吨（结果保留1位小数）； ②当两种方式的种植面积相同时，若种植方式二的总产量不低于方式一总产量的2倍，该基地化肥的使用总量需控制在_______（吨/公顷）至_______（吨/公顷）范围内（结果保留整数）． 【答案】(1)见解析； (2) (3)①28.4；②4,10； 【分析】本题考查了描点法画函数图象，从函数图象获取信息，有理数减法的应用，正确画出图象是解题关键． （1）再坐标系中找出实验数据各点，用平滑的曲线连接即可； （2）由题意可知，时表示在种植过程中不添加化肥，再结合种植方式一求解即可； （3）①由题意可知，种植方式一的产量为15吨/公顷，由实验数据可知，种植方式二的产量的最高值为43.4吨/公顷，作差即可求解； ②结合图象，找出当时，的大概取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：y关于x的函数图象如下图； （2）解：与y轴交点即，表示在种植过程中不添加化肥， 由种植方式一可知，此时该农作物的产量为15吨/公顷， 则该函数图象与y轴交点的坐标为； （3）解：①由题意可知，种植方式一的产量为15吨/公顷； 由实验数据可知，种植方式二的产量的最高值为43.4吨/公顷； 即该农作物每公顷的产量最多相差（吨）， 故答案为：28.4； ②若种植方式二的总产量不低于方式一总产量的2倍， 则， 观察图象可知，当时，的大概取值范围为， 即该基地化肥的使用总量需控制在4（吨/公顷）至10（吨/公顷）范围内， 故答案为：4,10 【典型例题二 列二次函数关系式】 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式，根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为， 故选：． 【例2】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式． 【详解】解：铁栅栏的全长为15米，米， 平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故选：A． 【例3】（2025·浙江舟山·模拟预测）某抛物线的最高点在y轴上，且与x轴有两个交点，这个抛物线的表达式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，掌握二次函数图象的顶点坐标公式，是解题的关键. 根据抛物线的最高点在y轴上，可知，，抛物线与x轴有两个交点，可知，据此写出答案即可. 【详解】解：∵抛物线的最高点在y轴上， ∴，，， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴这条抛物线的表达式可以是：. 故答案是：（答案不唯一） 【例4】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出的取值范围即可． 【详解】解：根据题意，得 展开得： 整理得： 根据题意，得 解得：． ∴y与x之间的函数关系式为， 故答案为： 【例5】（24-25九年级上·全国·课后作业）圆的半径是，假设半径增加时，圆的面积增加． （1）写出y与x之间的关系式； （2）当圆的半径分别增加时，圆的面积各增加多少？ 【答案】（1）；（2），， 【分析】（1）根据圆的面积公式可得，再整理即可． （2）分别把，，2代入可得的值． 【详解】解：（1）由题意得：； （2）当时，； 当时，； 当时，． 【点睛】本题主要考查了函数关系式，解题的关键是掌握圆的面积公式． 1．（24-25九年级上·全国·期末）若正方形的边长为，边长增加，面积增加，则关于的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先表示出原边长为6的正方形面积，再表示出边长增加x后正方形的面积，再根据面积随之增加y可列出方程． 【详解】原边长为6的正方形面积为：6×6=36， 边长增加x后边长变为：x+6， 则面积为：（x+6）2， ∴y=（x+6）2-36=x2+12x． 故选D． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正方形的面积． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期中）定义运算“※”为：a※b=，如：1※（﹣2）=﹣1×（﹣2）2=﹣4．则函数y=2※x的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义运算“※” 为: a※b=，可得y=2※x的函数解析式,根据函数解析式,可得函数图象. 【详解】解:y=2※x=， 当x>0时,图象是y=对称轴右侧的部分; 当x＜0时,图象是y=对称轴左侧的部分， 所以C选项是正确的. 【点睛】本题考查了二次函数的图象,利用定义运算“※”为: a※b= 得出分段函数是解题关键. 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图①是一座石拱桥，它是一个横断面为抛物线形状的拱桥，若桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，图②为它在坐标系中的示意图，则抛物线的解析式是 （写出顶点式和一般式均可）． 【答案】 【分析】由图知此抛物线的对称轴为x==20，所以顶点为（20，16），可设y=a（x-20）+16，又图象过（0，0）点，所以可求出其解析式． 【详解】解：由图象可知抛物线的对称轴为，所以顶点坐标为：， 可设此抛物线的解析式为：，① 又此抛物线过点， 代入①式得：， 解得：． 所以此抛物线的解析式为：． 故答案为 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系，求出顶点的坐标是解题的突破口. 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为便于进出，开了3道宽均为1米的门．设花圃的一边为米，面积为平方米，求与之间的函数解析式，并求自变量的取值范围．    【答案】 【分析】注意实际场景中数量间关系，得，且，求解得自变量取值范围，根据矩形面积公式求函数关系式． 【详解】解：由题意，，，且，解得，， 于是 ， ∴． 【点睛】本题考查列二次函数关系式，不等式组的求解，由几何图形及实际场景确定数量间的关系是解题的关键． 5．（24-25九年级上·全国·课后作业）（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？ （2）完成下表： 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 每个图中小圆圈的总数 （3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？ 【答案】（1）第1个图形：1个；第2个图形：7个；第3个图形：19个；第4个图形：37个；第5个图形：61个，理由见解析；（2）1，7，19，37，61；（3） 【分析】（1）首先，观查每个图形的特点，算出每一个图形中的小圆圈数，据此推过推算即可得到第5个图中小圆圈的个数； （2）直接将（1）算出的结果填入下列表格即可； （3）接下来通过对表格进行分析，即可得到每一个图形的小圆圈数与该图形一条边上的小圆圈数之间的关系． 【详解】（1）观查每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个， 第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个， 第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个， 第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个， 由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个； （2）将（1）算出的结果填入下列表格，如下表所示， 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 每个图中小圆圈的总数 1 7 19 37 61 （3）结合（1）（2）可知，与之间的函数关系为： 首尾相加得 ． 【点睛】本题主要考查根据图形和数字寻找规律的知识.解决此类找规律的题目一般从特殊的数据入手，根据前后式子之间的异同推断出规律，再利用发现的规律解决相关问题． 【典型例题三 根据二次函数的定义求参数】 【例1】（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）若函数是y关于x的二次函数时，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，解得或， ， ， ． 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数，当时，函数值等于，则下列关于的关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入计算即可． 【详解】解：由题意得： 把代入得： 等号两边同除以得： 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数，熟练掌握代入法转化为关于的关系式是解决本题的关键． 【例3】（24-25九年级上·浙江湖州·期中）当 时，函数是二次函数． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数． 【详解】解：由题意可知：， 解得 又∵，即， 综上所述： 故答案为． 【例4】（2025·浙江衢州·模拟预测）定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数图像的“倍值点”为．若关于x的二次函数的图像上有唯一的“倍值点”，则 ． 【答案】 【分析】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系．根据题意得出关于的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，， 整理得，，有两个相等的根， ，且， 整理得，且， 解得：， 故答案为：． 【例5】（2025九年级上·全国·专题练习）下列函数是不是二次函数？如果是二次函数，请分别写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念，解题的关键是掌握以上知识点．形如的函数叫做二次函数，其中叫做二次项、叫做一次项系数、是常数项． 根据二次函数的概念求解即可． 【详解】（1）是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2、常数项是； （2）是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0、常数项是； （3）是二次函数，二次项系数是、一次项系数是1、常数项是0； （4）∵ ∴不是二次函数． 1．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）如果函数是二次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为全体实数 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0的条件不能漏． 根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2列出方程组，求出m的值即可． 【详解】解：由题意得：， 解得． 故选：C． 2．（2025·浙江温州·模拟预测）王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y 的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（   ）的图象上． 1 2 4 ….. A．一次函数和反比例函数 B．二次函数和反比例函数 C．一次函数和二次函数 D．一次函数和二次函数和反比例函数 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论：若点和在一次函数的图象上，利用待定系数法求得一次函数的解析式，把代入求得函数值，若函数值与可以相等，则这三点可以同时位于一次函数的图象上，否则这三点不可以同时位于一次函数的图象上，这三点可以同时位于二次函数的图象上；若点和在反比例函数的图象上，利用待定系数法求得，把代入求得函数值，函数值与值相等，故这三点可以同时位于反比例函数的图象上． 【详解】解：若点和在一次函数的图象上， 设一次函数为，则，解得， ， 把代入得， 令，整理得， ， 存在的值使， 故这三不可以同时位于一次函数的图象上和二次函数的图象上， 若点和在反比例函数的图象上， 设反比例函数为，则， 解得， ， 把代入得，， 故当时， 故这三点可以同时位于二次函数的图象上和反比例函数的图象上． 故选：B． 3．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是 ． 【答案】 【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数的本源函数． 【详解】解：由题意得 解得 ∴函数的本源函数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知关于的函数． (1)当为何值时，此函数是二次函数？ (2)当为何值时，此函数是一次函数？ 【答案】(1)且 (2) 【分析】此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握形如的函数关系称为一次函数；形如的函数关系称为二次函数是解题的关键． （1）根据二次函数的定义即可求解； （2）根据一次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：由二次函数的概念可得 解得且； （2）解：由一次函数的概念可得 ， 解得：或，且， ∴． 5．（2025·浙江·模拟预测）阅读下列材料，解决材料后的问题： 材料一：对于实数x、y，我们将x与y的“友好数”用f（x，y）表示，定义为：f（x）＝，例如17与16的友好数为f（17，16）＝＝． 材料二：对于实数x，用[x]表示不超过实数x的最大整数，即满足条件[x]≤x＜[x]+1，例如： [﹣1.5]＝[﹣1.6]＝﹣2，[0]＝[0.7]＝0，[2.2]＝[2.7]＝2，…… （1）由材料一知：x2+2与1的“友好数”可以用f（x2+2，1）表示，已知f（x2+2，1）＝2，请求出x的值； （2）已知[a﹣1]＝﹣3，请求出实数a的取值范围； （3）已知实数x、m满足条件x﹣2[x]＝，且m≥2x+，请求f（x，m2﹣m）的最小值． 【答案】（1）x＝±2；（2）﹣4≤a＜﹣2；（3）当m＝时，y有最大值是﹣，此时f（x，m2﹣m）有最小值，最小值是﹣． 【分析】（1）由题意得到，计算即可得到答案； （2）由题意得到，解不等式即可得到答案； （3）先由题意得到，则，设，由题意得到，设y＝﹣2m2+3m﹣4，根据二次函数的性质即可得到答案. 【详解】解：（1）∵f（x2+2，1）＝2， ∴， ∴x2＝4， ∴x＝±2； （2）∵[x]≤x＜[x]+1， ∴， 解得﹣4≤a＜﹣2； （3）∵x﹣2[x]＝， ∴[x]＝， ∴， ∴， 设， 又x＝2k+， ∴, ∴整数k＝﹣3， ∴x＝， 又， ∴f（x，m2﹣m）， ＝， ＝， ＝， 设y＝﹣2m2+3m﹣4， 则y＝﹣2（m）2， ∵﹣2＜0， ∴当m＝时，y有最大值是，此时f（x，m2﹣m）有最小值，最小值是＝﹣， 此时最小值为﹣． 【点睛】本题考查分式方程的计算和二次函数，解题的关键是读懂题意，掌握分式方程的计算和二次函数的性质. 【典型例题四 y=ax²的图象和性质】 【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．利用抛物线的对称性及增减性即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象关于轴对称， 关于轴的对称点为， ，且时，函数值随自变量的增大而减小， ； 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）关于抛物线，给出下列说法： ①抛物线开口向下，顶点是原点； ②当时，y随x的增大而减小； ③当时，； ④若，是该抛物线上两点，则． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线，可得抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下，再结合抛物线的增减性，逐项判断即可，解题关键是掌握二次函数的图象与性质． 【详解】解：，， 抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下， ①抛物线开口向下，顶点是原点，故①正确； ②抛物线的对称轴为轴，当时，随的增大而减小，故②正确； ③当时，，取最大值为0，时，取值最小值为，所以，故③错误； ④若，是该抛物线上的两点，则，关于轴对称，横坐标互为相反数，所以，故④正确； 正确的说法共有3个， 故选C． 【例3】（24-25九年级上·浙江丽水·阶段练习）抛物线与的开口大小相等，开口方向相反，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质，两个抛物线的开口大小相等、方向相反时，其二次项系数互为相反数，即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线与的开口大小相等， ∴，即， ∵中，开口向下，两抛物线开口方向相反， ∴开口向上， ∴， ∴． 【例4】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，小明在该直角坐标系中又画了二次函数，，的图像，则a，b，c，d的大小关系 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，在中，的值越大，函数图像越靠近轴，开口越小，时，开口向上，时，开口向下，据此判断即可得答案． 【详解】解：∵，，的图像开口向上，的图像开口向下， ∴，，，， ∵，，的图像开口依次增大， ∴， ∴． 故答案为： 【例5】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）（1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象； （2）从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，图象开口向上，对称轴左侧，随的增大而减小，对称轴右侧，随的增大而增大；图象开口向下，对称轴左侧，随的增大而增大，对称轴右侧，随的增大而减小． （1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象即可； （2）根据二次函数图象，可得二次函数的性质． 【详解】解：（1）二次函数和的图象如图所示： （2）二次函数和的图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是轴，顶点坐标都是； 二次函数和的图象的不同点是：图象开口向上，图象开口向下（答案不唯一，合理即可）； 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）二次函数图象上有三个动点、、，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．无论取何值，都有 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，先作出函数的图象，再根据函数的性质求解． 【详解】解：二次函数图象如下图所示： A、，则，故A是错误的； B、当时，，故B是正确的； C、若，如图所示：则，故C是正确的； D、∵，， ∵， ∴， 故D是正确的； 故选：A． 2．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，已知矩形中，，，动点在边上从点向点运动，速度为．同时动点从点出发，沿折线运动，速度为，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点运动的时间为，的面积为()，则描述为()与时间的函数关系的图象大致是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据题意可以写出各段对应的函数图象，从而可以解答本题． 【详解】解：当时，点在上， ， 时，随着的增大而增大，函数图象的开口向上，是抛物线的一部分，故选项A，D错误， 当时，点在线段上， ， 时，随的增大而增大，当时取得最大值，此时，函数图象是一条线段，故选项C正确，选项B错误， 故选：C． 3．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方形的性质、二次函数的性质．过点作轴于点，设，由四边形是正方形，且点在轴上，得，得出是等腰直角三角形，推出，即，解得（舍去）或，求出，由勾股定理可求出． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 设， ∵四边形是正方形，且点在轴上， ∴， ∴, ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴, ∴， ∴． 故答案为：4． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知点在抛物线上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B． (1)求a的值和点B的坐标； (2)若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的的面积为2时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的对称性等等： （1）先把点A坐标代入解析式中求出a的值，即求出抛物线解析式，再根据对称性即可求出点B的坐标； （2）先求出，再根据题意可得，据此求出点P的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为y轴， ∵轴，且点B在抛物线上， ∴点A和点B关于抛物线对称轴对称，即关于y轴对称， ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵的面积为2，轴， ∴， ∴， ∴或， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或或或． 5．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）请按要求画出函数的图象： x …… 0 1 2 3 y …… (1)列表并画出图象； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性与最值； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】该题主要考查了描点法画函数图象，二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性，解题的关键是画出函数图象． （1）利用描点法可画出函数图象； （2）再结合图象可求得开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性． 【详解】（1）解：列表如下： x …… 0 1 2 3 y …… 9 4 1 0 1 4 9 描点、连线，画出图象如下： （2）解：根据图象可得： 抛物线的开口方向向上；顶点坐标为；对称轴为y轴；函数有最小值0，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 【典型例题五 y=ax²+k的图象和性质】 【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）下列函数中，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数，二次函数增减性，掌握一次函数，二次函数图象的性质是关键． 根据一次函数，二次函数解析式，判定函数的增减性即可． 【详解】解：A、，当时，的值随值的增大而增大；当时，的值随值的增大而减小；故原选项不符合题意； B、，当时，的值随值的增大而减小；当时，的值随值的增大而增大；故原选项不符合题意； C、，的值随值的增大而增大，原选项不符合题意； D、，的值随值的增大而减小，符合题意； 故选：D ． 【例2】（24-25九年级上·浙江丽水·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（   ） A．D点 B．C点 C．B点 D．A点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据解析式可得对称轴为轴，进而结合选项，即可求解． 【详解】解：∵ ∴对称轴为直线，即轴， ∴坐标原点可能是点， 故选：B． 【例3】（2025·浙江湖州·模拟预测）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“当时，函数值y随自变量x的增大而增大”；乙：“函数图象经过点”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】依题意，利用二次函数的性质，可得出，，即可作答．本题考查了二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵当时，函数值y随自变量x的增大而增大，函数图象经过点 ∴，且， 令，则 故答案为：（答案不唯一）． 【例4】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知抛物线，且经过点，试比较和的大小： ． 【答案】＜ 【分析】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数的性质是解题关键．根据，抛物线的开口向上，对称轴的左侧随的增大而减小，对称轴的右侧随的增大而增大． 【详解】解：抛物线，， 抛物线开口向上，对称轴为轴， 当时，随的增而减小， ， ， 故答案为：． 【例5】（24-25九年级上·浙江舟山·期中）在平面直角坐标系中，画出抛物线的图象． 【答案】图见详解 【分析】根据函数表达式画出函数图象即可；本题主要考查画二次函数图象，正确画出二次函数图象是解题的关键． 【详解】，则的顶点坐标为， 画抛物线的图象如图所示： 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，由正比例函数得出，从而得出二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，再判断出正比例函数与二次函数图象没有交点即可得解． 【详解】解：∵正比例函数，随的增大而增大， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，故A、C不符合题意； 联立得：， 则， 故正比例函数与二次函数图象没有交点，故D符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）已知抛物线，直线，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G． 如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点在G上，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，轴对称的性质，本题先画出函数的简易图象，计算当的函数值，对折后可得函数值取全体实数，从而可得的范围． 【详解】解：如图，把代入， ∴， 由图象可得直线，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变， 如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点在G上， ∴； 故选A 3．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）在平面直角坐标系中，点P、分别是抛物线第二、一象限上一点，轴且. 点Q在直线上方的抛物线M上，点和点Q关于直线对称，在以点为顶点且过点与点R的抛物线N上，．若，则点Q坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先根据题意求出点P、的坐标，然后判断点R在x轴正半轴上或y轴负半轴上，分为两种情况求出点的坐标解题． 【详解】解：∵轴，， ∴，. ∴直线的表达式为. ∵， ∴R在x轴正半轴上或y轴负半轴上， ①R在x轴正半轴上， 设，Q到的距离为，可以表示出的坐标，. ∵，R在x轴上， ∴在x轴上， 可列方程，解得. 即， ②R在y轴负半轴上， ∵是抛物线N的顶点， ∴和R关于直线对称，在R的右侧， 又由R到直线的距离为1，可得的横坐标为，Q的横坐标为4， 即， 故答案为：或． 4．（2025·浙江丽水·模拟预测）如图是二次函数的图象，根据图象回答下列问题： (1)二次函数的图象与的图象有什么相同和不同（各写出两条）； (2)若有一个二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出一个符合条件的二次函数的表达式． 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质． （1）根据二次函数的图象与二次函数的图象进行解答即可； （2）根据二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出答案即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象与二次函数的图象： 相同点是：①开口向上，②对称轴都是y轴， 不同点：①二次函数的图象的顶点是，二次函数的图象的顶点是，②开口大小不同，二次函数的图象的开口大于二次函数的图象的开口； （2）解：二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限， 则即可满足题意． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______． 【答案】(1)5，3 (2)-2或2 (3)或 (4)或 【分析】（1）把和分别代入求得函数值，根据函数图象即可求得答案； （2）根据函数图象即可求得； （3）根据函数图象即可求得； （4）根据图象求得答案即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 把代入， 得， 当时，新函数值为，当时，新函数值为， 故答案为：，； （2）解：观察图象可得： 当或时，新函数有最小值为， 故答案为：或； （3）解：观察图象可得： 当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是或； 故答案为：或； （4）解：观察图象可得： 直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 【典型例题六 y=a（x-h）²的图象和性质】 【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）对于二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．顶点坐标为 B．时，的值随值的增大而减少 C．对称轴为 D．函数的最小值为0 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴时，的值随值的增大而减少，当时，函数的最大值为0； 综上，只有选项D说法错误； 故选D． 【例2】（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，结合图象判断即可得解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，故C符合题意； 故选：C． 【例3】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）抛物线顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图像性质，直接根据的顶点坐标为解答即可． 【详解】解：抛物线顶点的坐标为． 故答案为： 【例4】（24-25九年级上·全国·课后作业）有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点： A：函数图像的顶点在x轴上； B：当时，y随x的增大而减小； C：该函数图像的形状与函数的图像相同． 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的函数图像与性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键，根据函数图像与性质，结合A、B、C三个选项可以求出符合题意的二次函数关系式； 【详解】根据A的描述可设二次函数关系式为， 根据C的描述可知，则， 再结合B的描述可得出，且， 所以满足上述所有性质的二次函数关系式可以是， 故答案为： (答案不唯一)． 【例5】（24-25九年级上·全国·课后作业）在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性． x … 0 1 2 3 4 … … … … … … … (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题主要考查二次函数的图像与性质．根据二次函数的作图方法，再根据图像即可求解各性质． 【详解】（1）解：列表如下： x … 0 1 2 3 4 … … 0 … … 0 … … 0 … 画图如下： ；，开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为．当时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （2）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （3）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故B、D选项错误； 如图所示，若，则， 故C选项正确； 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图象得出顶点位置，进而根据各选项排除即可． 【详解】解：根据二次函数顶点坐标位于第三象限，而的顶点坐标为(-1,-1), 只有选项D的顶点符合要求， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象，根据图象得出顶点位置是解题关键． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知： ， ． 【答案】 4 5 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先将表格的自变量和函数值转化为点的坐标，然后根据函数的对称性直接写出每个字母的值即可． 【详解】解：对于二次函数和， 由表格中的数据得：当时，， 即； ， ∴； 当时，， 代入得，， ，代入得， 化简得，， 解得：或； 若，代入则可得，此情况不存在， 当时，代入则可得， 解得，符合， ∴，， ∴； 故答案为：4；5． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的开口向下，顶点为． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质等知识点，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键． （1）由对称轴可求得h的值，再把代入可求得a的值即可求得抛物线解析式； （2）直接根据抛物线的顶点式写出抛物线的开口方向和顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵抛物线为，， ∴抛物线的开口向下，顶点为． 5．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知二次函数的图象如图所示，求的面积．   【答案】1 【分析】利用二次函数的顶点式可得到点A的坐标，再由x=0求出对应的y的值，可得到点B的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△ABO的面积． 【详解】解：∵二次函数 ∴顶点 ∵点在图像上且在轴上，即时的坐标 ∴ ∴ ∴的面积 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据解析式求出交点坐标是关键． 【典型例题七 y=a（x-h）²+k的图象和性质】 【例1】（2025·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为抛物线上任意两点，其中．若对于，都有，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据，可得，则可推出，据此可得，． 【详解】解：， ∴， ∴ ， ， ∴， 当时，都有，即都有， ， ． 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）在平面直角坐标系上，抛物线的顶点为，点与点关于原点对称，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，关于原点对称的点的坐标特点，由二次函数的顶点式得，进而根据关于原点对称的点的坐标特点即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴顶点， ∵点与点关于原点对称， ∴， 故选：． 【例3】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）已知点在抛物线上，且，则 ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，依据题意，求出抛物线的对称轴，根据抛物线开口向上，故当时，y随x的增大而减小，进而判断得解． 【详解】解：由题意得抛物线的对称轴， 又∵， ∴抛物线开口向上． ∴当时y随x的增大而减小． ∴对于A、B当时，． 故答案为：． 【例4】（2025·浙江金华·模拟预测）定义运算：，例如，，则函数的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数对称轴，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求对称轴． 【详解】解：， ， 即， 对称轴为直线， 故答案为：． 【例5】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数． (1)求它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； (2)当取什么范围时，随的增大而增大？ 【答案】(1)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次项系数可判断开口方向，再根据顶点式确定顶点坐标及对称轴即可； （2）利用开口方向和对称轴即可解答． 【详解】（1）解：二次函数中，， 二次函数开口向下， 对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：二次函数开口向下， 在对称轴的左侧随的增大而增大， 二次函数的对称轴为， 当时，随的增大而增大． 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）关于抛物线，下列结论正确的是（    ） A．抛物线的顶点坐标为 B．抛物线可由经过平移得到 C．抛物线与轴有两个交点 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点判断作答即可． 【详解】解：A、抛物线的顶点坐标为，原结论错误，故此选项不符合题意；     B、抛物线可由经过平移得到，原结论错误，故此选项不符合题意；     C、∵，， ∴抛物线与轴有两个交点，原说法正确，故此选项符合题意；     D、当时，随的增大而减小，原结论错误，故此选项不符合题意；     故选：C． 2．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴， ∴，，． ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数（为常数）．当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图，这些分别是当，，，时，二次函数的图象，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的顶点，根据得到顶点坐标，再求顶点坐标满足的函数解析式即可． 【详解】解：∵顶点坐标为， ∴设，消去得， ∴它们的顶点坐标满足的函数解析式是， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）已知抛物线 ． (1)若此抛物线的顶点在直线 上，求的值； (2)若点 与点在此抛物线上，且直接写出的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据抛物线的解析式可得抛物线的顶点坐标为，再代入一次函数解析式解答即可求解； （）根据抛物线的对称性可得点关于抛物线对称轴的对称点为，进而根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的顶点式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线 ， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵此抛物线的顶点在直线 上， ∴， 解得； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于抛物线对称轴的对称点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，． 5．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在初中阶段，一般会通过列表、描点、连线的方式来画函数图像，并结合图像研究函数的性质．请按要求完成对二次函数的研究． (1)列表： x … 0 1 2 3 … y … 8 3 0 m 0 3 8 … 其中， _______． 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图像． (2)根据函数图像，下列关于该函数性质的说法正确的有：_______（填序号） ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴是y轴； ②该函数有最小值，没有最大值； ③当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； ④当时，x的值为1． (3)在同一平面直角坐标系中作出函数的图像，并直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，见解析 (2)①② (3)见解析，或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）把代入即可求得m的值，然后根据列表，描点，连线画出函数的图象即可； （2）观察图象即可判断； （3）根据图象即可求得． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 画出函数的图象如图： 故答案为：； （2）解：观察图象， ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴是y轴．正确； ②该函数有最小值，没有最大值．正确； ③当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．原说法错误； ④当时，x的值为1或．错误； 故答案为：①②； （3）解：由图象可知，不等式的解集为或． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，“形如（为常数，且），这样的函数叫做二次函数”，逐项进行判断即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是一次函数，不符合题意； 、是反比例函数，不符合题意； 、是二次函数，符合题意； 、是一次函数，不符合题意； 故选：． 2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，求出即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， 且， 解得：， 故选：B． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知，，在函数（m为常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象及性质．根据题意可得对称轴为，继而利用对称性可得点关于对称轴对称的点为，后利用二次函数增减性即可得到本题答案． 【详解】解：∵的对称轴为， ∴点关于对称轴对称的点为， ∵， ∴当时，随增大而增大， ∵，，在函数（m为常数）的图象上， ∵， ∴， 故选：A． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列结论：①点的坐标为 ； ②  ；③当时，有最大值是；  ④时，随的增大而增大 ； ⑤当时，，正确的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数顶点式即可对称轴和顶点坐标，进而根据对称性可求出点坐标，即可判定①；再根据点坐标求出即可判断②；由抛物线的开口方向和顶点坐标可判断③；由二次函数的增减性可判断④；由二次函数的性质可判断⑤，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵、两点是抛物线与轴的交点， ∴点关于对称轴对称， ∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∵， ∴当时，有最大值是，故③错误； ∵， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而减小， ∴时，随的增大而减小，故④错误； ∵， 当时，有最大值是， 当时，有最小值是， ∴当时，，故⑤正确； 综上，正确的结论有①②⑤，共个， 故选：． 5．（2025·浙江宁波·模拟预测）观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数与垂直于x轴直线交点坐标问题，以及由特殊到一般的归纳总结方法．由可得：，，则可得，则可得 ，再利用 ，进行计算即可． 【详解】解：∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点； ∴令，可得：纵坐标为， 纵坐标为， ，， ． ， ． 故选：D． 6．（24-25九年级上·浙江舟山·阶段练习）已知函数是二次函数，则 ． 【答案】 【分析】直接利用二次函数的概念即可求解． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的概念，熟记形如的函数是二次函数是解题的关键． 7．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）已知关于的函数，有下列结论：①函数的图象是轴对称图形；②函数图象上纵坐标为0的点有3个；③满足纵坐标为的点，恰好只有两个，则或；④点，是该函数图象上的两个点，则的最大距离是4．其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数和图象和性质．根据题意画出草图，根据图象求解即可． 【详解】解：对于， 顶点坐标为， 令，则，解得或， 与轴的交点坐标为，， 对于，顶点坐标为， 令，则，解得或， 与轴的交点坐标为， 如图， 观察图象，①函数的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，结论①错误； ②函数图象上纵坐标为0的点有点，共3个，结论②正确； ③满足纵坐标为的点，恰好只有两个，即经过点或且平行于轴两条直线与图象的交点，此时或，结论③正确； ④点，是该函数图象上的两个点，由图象知，当时，则的最大距离即，结论④正确． 故答案为：②③④． 8．（2025九年级上·全国·专题练习）二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫作 ．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是 ，b是 ，c是 ．（a、b、c是常数，）也叫作二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数 这个关键条件． 【答案】 二次函数 二次项系数 一次项系数 常数项 不等于0 【分析】此题考查的是二次函数，掌握其定义是解决此题的关键．直接根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．（a、b、c是常数，）也叫作二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不等于0这个关键条件． 故答案为：二次函数，二次项系数，一次项系数，常数项，不等于0． 9．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，大正方形的边长为，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是关于x轴对称的二次函数解析式的特点，根据解析式与判断出两函数图象关于x轴对称是解答本题的关键．根据题意，观察图形，利用割补法可知图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为6，由此可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵函数与的图象关于x轴对称， ∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∵边长为的正方形面积为6， ∴图中的阴影部分的面积为3， 故答案为：3． 10．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，直线平行于轴，二次函数的图像与直线交于，两点，二次函数的图像与直线交于，两点，其顶点为，若，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键掌握二次函数的性质．设直线交轴于点，过点作二次函数的对称轴交于点，根据题意可得：，，进而得到，，求出，即可求解． 【详解】解：设直线交轴于点，过点作二次函数的对称轴交于点， ，，， ，， ，， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知是x的二次函数，求出它的解析式． 【答案】y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1． 【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可． 【详解】解：根据二次函数的定义可得：m2﹣2m﹣1=2，且m2﹣m≠0， 解得，m=3或m=﹣1； 当m=3时，y=6x2+9； 当m=﹣1时，y=2x2﹣4x+1； 综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1． 【点评】本题考查二次函数的定义．一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 12．（24-25九年级·浙江杭州·阶段练习）将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】见解析 【分析】根据抛物线与抛物线的性质进行比较即可． 【详解】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 轴 向上 轴 向上 轴 【点睛】本题考查了的性质，掌握抛物线与抛物线的性质是解题的关键． 13．（24-25九年级上·浙江·期中）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 【答案】(1)()； (2)() 【分析】（1）根据与写成一次函数解析式，设为，把与的两对值代入求出与的值，即可确定出与的解析式，并求出的范围即可； （2）根据利润=单价销售量列出关于的二次函数解析式即可． 【详解】（1）设与的函数关系式为 ． 时，， 时，， ， 解得， ， 根据部门规定，得． （2） 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 14．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．    (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 【答案】(1)答案见解析 (2)上，3 【分析】（1）直接利用二次函数的性质以及与的关系分析得出答案； （2）直接利用二次函数的性质以及与的图象特点分析即可． 【详解】（1）解：如图所示，    ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为： ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为：； （2）解：函数与函数的图象形状完全相同，开口方向相同， 相当于向上平移3个单位得到． 故答案为：上；． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，正确把握二次函数的性质是解题关键． 15．（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，该抛物线的顶点为，且与轴的交点为，连接过点作轴的平行线与抛物线交于另一点，过点作的垂线． (1)当时，求的长； (2)如图，延长交于点，请用含的代数式表示的面积； (3)如图，点在抛物线第一象限的图象上且位于点的左侧，连接并延长交于点，过点作垂直于，垂足为点，连接求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求函数的解析式，熟练掌握两条直线的值相等，则两直线平行是解题的关键． （1）根据顶点式解析式求出点坐标，令，求出值可得点坐标，利用两点间距离公式求出的长即可； （2）分别用表示出、、的坐标，可表示出的长，再用待定系数法求直线的解析式，表示出点坐标，从而求出的长，即可求的面积； （3）设，用待定系数法先求直线的解析式，从而求出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，从而判断直线与是平行的即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵该抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴， ． （2）∵， ∴， 当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴． （3）设，直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时， ∴， ∵， ∴同理可求直线的解析式为， ∵直线的解析式为， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$