26.1.2 反比例函数的图象和性质课件2024--2025学年人教版九年级数学下册

26.1.2反比例函数的图象和性质（1） 导入新课 问题1 反比例函数的图象是什么？ 问题2 反比例函数的性质与k有怎样的关系？ 反比例函数的图象是双曲线 当k>0时，两条曲线分别位于第一、三象限； 在每个象限内，y随x的增大而减小 当k<0时，两条曲线分别位于第二、四象限； 在每个象限内，y随x的增大而增大 例1.已知反比例函数的图象经过点A(-1.5，4)． (1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？ (2)求这个函数的解析式； (3)判断点B(6，-1)，C(3，2)，D(-0.5，12)是否在这个函数的图象上，并说明理由； 解：(1)∵反比例函数的图象经过点A(-1.5，4)， ∴这个函数的图象位于第二、四象限， 在每个象限内，y随x的增大而增大. S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与k的关系 P（2,2） Q（4,1） 4 4 S1=S2 S1=S2=k 1 2 3 4 5 -1 -3 -2 -4 -5 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 5 x y O Q P S1 S2 1.在反比例函数 的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写表格： S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与k的关系 P（-2,2） Q（-1,4） 4 4 S1=S2 S1=S2=-k 2.若在反比例函数 中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格： 由前面的探究过程，可以猜想: 合理猜想 若点P是 图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|. 我们就k<0的情况给出证明： 设点P的坐标为(a,b) ∴S矩形 AOBP=PB·PA=-a·b=-ab=-k； 若点P在第二象限，则a<0，b>0 若点P在第四象限，则a>0，b<0 ∴S矩形 AOBP=PB·PA=a·（-b）=-ab=-k. 综上，S矩形 AOBP=|k|. 自己尝试证明k>0的情况. ∵点P(a,b)在函数 的图象上， ∴ ，即ab=k 点Q是其图象上的任意一点，作QA垂直于y轴，作QB垂直于x轴，矩形AOBQ的面积与k的关系是S矩形 AOBQ= 推理：△QAO与△QBO的面积和k的关系是S△QAO=S△QBO= 方法归纳 |k| 反比例函数的面积不变性 对于反比例函数 ， 例2.如图，在函数 的图像上有三点A、B 、 C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，则（ ） 典例精析 A.SA >SB>SC B.SA<SB<SC C.SA =SB=SC D.SA<SC<SB C 例3：如图,过反比例函数 图象上的一点P,作PA⊥x轴于A.若△POA的面积为6,则k= . ﹣12 当反比例函数图象在第二、四象限时，注意k＜0. 归纳 1．函数图象在哪几个象限？ 2．函数图象经过原点吗？为什么？ 3．当自变量从小到大变化时，图象如何变化？ 归纳： 课堂练习 1．下列图象中是反比例函数图象的是（　） A　　　 　　 B　　　　　 C　　　　 　D 2．已知反比例函数的图象如图所示，则 k 0，且在图象的每一支上，y 随 x 的增大而 ． 3．已知反比例函数　　　的图象过点（2，1），则它的图象在________象限，k=___． 4．若反比例函数 (k＜0)的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且 x1＜x2＜0，则 y1-y2 的值是（　）. A．正数　 B．负数　 C．非正数　 D．非负数 例4.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P（-3，4）.试求出它们的解析式，并画出图象. 由于这两个函数的图象交于点P（-3，4），则点P（-3，4）是这两个函数图象上的点， 即点P的坐标分别满足这两个解析式. 因此 解得 解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 这两个函数的解析式分别为 它们的图象如图所示. P 这两个图象有何共同特点？另外一个交点坐标是什么？ 做一做 (2,6),(-2,-6) 分析:联立两个函数解析式，解方程即可. 反比例函数 的图象与正比例函数y=3x的图象的交点坐标为__________． 当堂练习 1＜x＜5 2. 如图，直线y=k1x+b与双曲线 交于A、B两点,其横坐标分别为1和5，则不等式k1x +b ＞ 的解集是__________． 1．反比例函数 的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是(1，k)，则反比例函数的解析式是_______． 3.如图，函数 y＝-x 与函数 的图象相交于A，B两点，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形ACBD的面积为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 D 课堂小结 1.反比例函数的 图象与性质: 当k>0时,图象位于第一、三象限，在每一象限内，y的值随x的增大而减小； 当k<0时，图象位于第二、四象限，y的值随x的增大而增大; 2.反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形; 3.在反比例函数 的图象上任取一点，分别作坐标轴的垂线（或平行线），与坐标轴所围成的 . 反思小结 （1）反比例函数的图象是怎样得到的？画图时要注意什么问题？ （2）在探究反比例函数的性质时，我们研究了哪几类反比例函数的图象？ （3）反比例函数的性质是怎样的？为什么要强调在每一个象限内的性质？结合图形，你是如何理解的？ $$