专题10：三角函数的图象和性质专项训练-2026届高三数学一轮复习

2026数学高考一轮总复习专题讲义10： 三角函数的图象和性质 （共9页） 目录 【链接高考】 1 【考向分析】 3 考向一、三角函数的定义域及值域 3 考向二、三角函数的单调性 3 考向三、三角函数的奇偶性 3 考向四、三角函数的周期性 3 【高考解题速通】 4 【链接高考】 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 3．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 6．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 7．（2022·全国甲卷·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2020·全国I卷·高考真题）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【考向分析】 考向一、三角函数的定义域及值域 1．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考向二、三角函数的单调性 1．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．f(x)=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（　　） A． B． C．2 D．3 考向三、三角函数的奇偶性 1．下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（  ） A． B． C． D． 2．函数是 A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为2π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数 考向四、三角函数的周期性 1．函数的最小正周期为 A． B． C． D． 2．在函数中，最小正周期为的函数是（    ） A． B． C． D． 【高考解题速通】 1．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 2．关于函数有下述四个结论： ①f(x)是偶函数        ②f(x)在区间（,）单调递增 ③f(x)在有4个零点    ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 3．已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为 A．11 B．9 C．7 D．5 4．函数的最大值为 A．4 B．5 C．6 D．7 5．下列函数中为偶函数的是 A． B． C． D． 6．已知函数，下面结论错误的是 A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数 C．函数的图像关于直线对称 D．函数是奇函数 7．函数是 A．以为周期的偶函数 B．以为周期的奇函数 C．以为周期的偶函数 D．以为周期的奇函数 8．函数是上的偶函数，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 9．设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是 A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称 C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减 10．设函数，则（） A．函数在上单调递增，其图象关于直线对称； B．函数在上单调递增，其图象关于直线对称； C．函数在上单调递减,其图象关于直线对称； D．函数在上单调递减,其图象关于直线对称； 11．下列函数中，在区间 上为减函数的是 A． B． C． D． 12．如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影长分别是和，若，则 A． B． C． D． 13．（2020·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（    ） A．且 B．或 C．， D．， 14．函数的最小值等于 A． B． C． D． 15．函数是（    ） A．增函数 B．减函数 C．偶函数 D．奇函数 16．设函数，则的最小正周期 A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关 C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关 17．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 18．设，，，则（ ） A． B． C． D． 19．设则 A． B． C． D． 20．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 21．在函数①，② ，③,④中，最小正周期为的所有函数为（  ） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ 22．对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 A． B． C． D． 23．当时,函数的最小值是 A． B． C． D．4 24．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为 A． B． C． D． 25．函数y＝1＋x＋的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 26．（2020·山东·高考真题）（多选）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （    ） A． B． C． D． 27．设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 . 28．已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为 ． 29．（2020·全国III卷·高考真题）关于函数f（x）=有如下四个命题： ①f（x）的图象关于y轴对称． ②f（x）的图象关于原点对称． ③f（x）的图象关于直线x=对称． ④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是 ． 30．设向量 （I）若 （II）设函数 31．已知向量, 设函数. (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026数学高考一轮总复习专题讲义10： 三角函数的图象和性质 （共24页） 目录 【链接高考】 1 【考向分析】 7 考向一、三角函数的定义域及值域 7 考向二、三角函数的单调性 7 考向三、三角函数的奇偶性 8 考向四、三角函数的周期性 9 【高考解题速通】 10 【链接高考】 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 3．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 4．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解. 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 5．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 6．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式. 【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性： A选项中，B选项中， C选项中，D选项中， 排除选项CD， 对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A， 对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴， 故选：B. 7．（2022·全国甲卷·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可． 【详解】解：依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：      则，解得，即． 故选：C． 8．（2020·全国I卷·高考真题）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的图像和性质即可解得. 【详解】因为图像经过， 所以. 即. 解得. 由图像可知，即， 解得，所以，. 所以的最小正周期为. 故选：C 【考向分析】 考向一、三角函数的定义域及值域 1．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简，结合正弦型函数的有界性和正切函数的单调性，得出选项． 【详解】∵， ∴当时，此式的取值范围是， 而在上小于1，故排除A､B； 在上，∴不可能相等，所以排除D， 故选：C 【点睛】本题考查三角函数的性质，考查三角恒等变换，属于中档题． 考向二、三角函数的单调性 1．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得,， ， ，．故A正确． 考点：三角函数单调性． 2．f(x)=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，k∈Z，所以ω=6k+；只有k=0时，ω=满足选项． 故选B 考向三、三角函数的奇偶性 1．下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可． 【详解】解：y＝cos（2x）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确 y＝sin（2x）＝cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确； y＝sin2x+cos2xsin（2x），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确； y＝sinx+cosxsin（x），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确； 故选A． 考点：三角函数的性质. 2．函数是 A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为2π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数 【答案】C 【详解】试题分析：本题考查三角函数的性质f（x）=2sinxcosx=sin2x，周期为π的奇函数． 解：∵f（x）=2sinxcosx=sin2x， ∴f（x）为周期为π的奇函数， 故选C 考点：二倍角的正弦． 考向四、三角函数的周期性 1．函数的最小正周期为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，故选C． 【名师点睛】函数的性质： (1). (2)最小正周期 (3)由求对称轴. (4)由求增区间;由求减区间. 2．在函数中，最小正周期为的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正余弦、正切函数的性质求各函数的最小正周期即可. 【详解】由正弦函数性质，的最小正周期为，的最小正周期为； 由余弦函数性质，的最小正周期为； 由正切函数性质，的最小正周期为. 综上，最小正周期为的函数是. 故选：A 【高考解题速通】 1．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论. 【详解】因为函数的单调递增区间为， 对于函数，由， 解得， 取，可得函数的一个单调递增区间为， 则，，A选项满足条件，B不满足条件； 取，可得函数的一个单调递增区间为， 且，，CD选项均不满足条件. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数． 2．关于函数有下述四个结论： ①f(x)是偶函数        ②f(x)在区间（,）单调递增 ③f(x)在有4个零点    ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】C 【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④    正确，故选C． 【点睛】画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C． 3．已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为 A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值． 【详解】∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴， ∴，即，（n∈N） 即ω＝2n+1，（n∈N） 即ω为正奇数， ∵f（x）在（，）上单调，则， 即T，解得：ω≤12， 当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z， ∵|φ|， ∴φ， 此时f（x）在（，）不单调，不满足题意； 当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z， ∵|φ|， ∴φ， 此时f（x）在（，）单调，满足题意； 故ω的最大值为9， 故选B． 【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①的单调区间长度是最小正周期的一半;②若的图像关于直线对称,则或. 4．函数的最大值为 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】试题分析：因为，而，所以当时，取得最大值5，选B. 【考点】 正弦函数的性质、二次函数的性质 【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当时，函数取得最大值. 5．下列函数中为偶函数的是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据偶函数的定义， A选项为奇函数;B选项为偶函数； C选项定义域为不具有奇偶性； D选项既不是奇函数，也不是偶函数. 故选：B. 6．已知函数，下面结论错误的是 A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数 C．函数的图像关于直线对称 D．函数是奇函数 【答案】D 【详解】试题分析：,所以函数的最小正周期为,函数在区间上是增函数, 函数的图像关于直线对称, 函数是偶函数. 考点：1.三角函数的周期性；2.三角函数的奇偶性；3.图像得对称轴；4.函数的单调性. 7．函数是 A．以为周期的偶函数 B．以为周期的奇函数 C．以为周期的偶函数 D．以为周期的奇函数 【答案】A 【详解】， 8．函数是上的偶函数，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是奇函数，是偶函数，对选项逐一排除即可． 【详解】解：当时，为奇函数不满足题意，排除； 当时，为非奇非偶函数，排除； 当时，，为偶函数，满足条件． 当时，，为奇函数，排除； 故选：． 【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性及诱导公式，属于基础题． 9．设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是 A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称 C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减 【答案】D 【详解】f(x)的最小正周期为2π，易知A正确； f＝cos＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确； ∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正确； 由于f＝cos＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误． 故选D. 10．设函数，则（） A．函数在上单调递增，其图象关于直线对称； B．函数在上单调递增，其图象关于直线对称； C．函数在上单调递减,其图象关于直线对称； D．函数在上单调递减,其图象关于直线对称； 【答案】D 【详解】试题分析：， 时，，所以在上单调递减． 令，．所以图像关于直线对称．故D正确． 考点：1三角函数的化简；2余弦函数的单调性，对称轴． 11．下列函数中，在区间 上为减函数的是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：在区间上为增函数；在区间上先增后减；在区间上为增函数；在区间上为减函数，选D. 考点：函数增减性 12．如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影长分别是和，若，则 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：由题意知，因为所以所以且所以故选D. 考点：1、线面角；2、正弦函数与余弦函数． 13．（2020·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（    ） A．且 B．或 C．， D．， 【答案】D 【分析】本题可通过、、、、得出结果. 【详解】A项：因为，所以且是假命题，A错误； B项：根据、易知B错误； C项：由余弦函数性质易知，C错误； D项：恒大于等于，D正确， 故选：D. 14．函数的最小值等于 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，选C. 15．函数是（    ） A．增函数 B．减函数 C．偶函数 D．奇函数 【答案】C 【分析】用诱导公式化简，然后利用三角函数的性质判断即可得到选项. 【详解】解：，，为偶函数，不是奇函数，不是单调函数. 故选：C. 16．设函数，则的最小正周期 A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关 C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关 【答案】B 【详解】试题分析：，其中当时，，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期．故选B． 【考点】降幂公式，三角函数的最小正周期． 【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数，再判断和的取值是否影响函数的最小正周期． 17．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由周期公式计算即可. 【详解】由周期公式，又,所以函数的周期，故选B. 【点睛】本题考查三角函数的最小正周期，理解公式是关键，本题属于基础题. 18．设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以，，且，所以，，所以, 故选D. 19．设则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：利用诱导公式、三角函数的单调性即可得出． 解：∵a=sin33°，b=cos55°=sin35°， ∴a＜b， 又， ∴c＞b＞a． 故选C． 考点：不等式比较大小． 20．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的周期公式即可求解. 【详解】由题意可知，，所以函数的最小正周期为. 故选：B. 21．在函数①，② ，③,④中，最小正周期为的所有函数为（  ） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ 【答案】A 【分析】由三角函数性质判断各项函数的周期，即可得答案. 【详解】①函数为偶函数，周期与相同，； ②函数周期是的一半，即； ③由余弦型函数性质； ④由正切型函数性质. 故选：A 22．对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由为准偶函数的定义可知，若的图象关于对称，则为准偶函数.在D中，的图象关于对称，故选D. 考点：新定义，函数的图象和性质. 23．当时,函数的最小值是 A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】分子与分母同除以，得利用二次函数求最值即可解答 【详解】分子与分母同除以，得， 时，的最大值为 综上，的最小值为4 故选D 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，考查二次函数求最值，注意公式的合理运用，是基础题 24．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D. 考点：三角函数图像与性质 25．函数y＝1＋x＋的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意比较函数的性质及函数图象的特征，逐项判断即可得解. 【详解】当x＝1时，y＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A、C； 当x→＋∞时，y→＋∞，排除B. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，抓住函数图象的差异是解题关键，属于基础题. 26．（2020·山东·高考真题）（多选）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果. 【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A, 不妨令, 当时，， 解得：， 即函数的解析式为： . 而 故选：BC. 【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 27．设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 . 【答案】 【详解】由在区间上具有单调性， 且知，函数的对称中心为， 由知函数的对称轴为直线， 设函数的最小正周期为， 所以，， 即，所以， 解得，故答案为. 考点：函数的对称性、周期性，属于中档题. 28．已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为 ． 【答案】 【详解】由在区间内单调递增,且的图像关于直线对称,可得 ,且,所以 考点:本题主要考查三角函数的性质. 29．（2020·全国III卷·高考真题）关于函数f（x）=有如下四个命题： ①f（x）的图象关于y轴对称． ②f（x）的图象关于原点对称． ③f（x）的图象关于直线x=对称． ④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，，，则， 所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误； 对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③，， ，则， 所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确； 对于命题④，当时，，则， 命题④错误. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 30．设向量 （I）若 （II）设函数 【答案】（I）（II） 【详解】(1)由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x， ＝(cosx)2＋(sinx)2＝1， 及，得4sin2x＝1. 又x∈，从而sinx＝，所以x＝. (2) sinx·cosx＋sin2x ＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋， 当x∈时，－≤2x－≤π， ∴当2x－＝时， 即x＝时，sin取最大值1. 所以f(x)的最大值为. 31．已知向量, 设函数. (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值. 【答案】(Ⅰ)(Ⅱ) 【分析】先求出f (x)，然后根据三角函数的性质求解即可. 【详解】 （Ⅰ）的最小正周期为. （Ⅱ），， 故当即时， 当即时， 本题主要考查的是向量的数量积运算和三角函数的周期，最值问题.正确运用公式图像性质的熟练运用是解答关键.本题属于高考的常考类型，需要多加练习，关注三角函数和定积分的结合也是热点之一. 【考点定位】本题考查三角恒等变形、三角函数的性质等基础知识．简单题． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$