12：三角函数的性质及应用 讲义-2026届高三数学一轮复习

2026数学高考一轮总复习专题讲义12：三角函数的性质及应用 （共22页） 目录 【链接高考】 1 【考向分析】 3 考向一、求函数(,)的单调区间 3 考向二、三角函数的图象变换及其性质 4 考向三：三角函数的性质及其应用综合（含新定义） 5 【高考解题速通】 10 【链接高考】 1．（2020·山东·高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为 cm2． 【答案】 【分析】利用求出圆弧所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形的面积，求出直角的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得. 【详解】设，由题意，，所以， 因为,所以， 因为，所以， 因为与圆弧相切于点，所以， 即为等腰直角三角形； 在直角中，，， 因为，所以， 解得； 等腰直角的面积为； 扇形的面积， 所以阴影部分的面积为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针. 2．（2020·北京·高考真题）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长，利用它们的算术平均数作为的近似值可得出结果. 【详解】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆心角为，每条边长为 ， 所以，单位圆的内接正边形的周长为， 单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为， ， 则. 故选：A. 【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 【考向分析】 考向一、求函数(,)的单调区间 1.已知函数. (Ⅰ)求f（x）的最小正周期； (Ⅱ)当时，求函数f（x）的单调递减区间. 【解析】(Ⅰ) ，故f（x）的最小正周期为π. (Ⅱ)当时，函数f（x）单调递减， 即f（x）的递减区间为：， 由 所以f（x）的递减区间为：． 【总结升华】熟练掌握函数的单调区间的确定的方法.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，然后通过同解变形或利用数形结合的方法来求解. 考向二、三角函数的图象变换及其性质 1．已知函数． (Ⅰ)求的最小正周期； (Ⅱ)若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当[，]时，求的最大值和最小值． 【解析】(Ⅰ) ， 所以函数的最小正周期为． (Ⅱ)依题意，[] 因为，所以． 当，即时，取最大值； 当，即时，取最小值． 【总结升华】本题的关键之处是正确写出函数图象平移后的解析式. 考向三：三角函数的性质及其应用综合（含新定义） 1．若函数满足且（），则称函数为“函数”． (1)试判断是否为“函数”，并说明理由； (2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； (3)在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 【答案】(1)不是“函数”，理由见解析 (2)，单调递增区间为，； (3) 【分析】（1）根据题干条件代入检验，得到，故不是“函数”； （2）求出函数的周期，由得到，结合当时，，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间； （3）画出在上图象，数形结合，由函数的对称性，分四种情况进行求解，得到. 【详解】（1）不是“函数”，理由如下： ， ，， 则， 故不是“函数”； （2）函数满足，故的周期为， 因为， 所以， 当时，，， 当时，，， 综上：， 中， 当时，，，此时单调递增区间为， ，中， 当时，，， 则， 当，即时，函数单调递增， 经检验，其他范围不是单调递增区间， 所以在上的单调递增区间为，； （3）由（2）知：函数在上图象为： 当时，有3个解，其和为， 当或1时，有4个解，由对称性可知：其和为， 当时，有6个解，由对称性可知：其和为， 当时，有8个解，其和为， 所以. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 2.（2018·浙江·模拟预测）已知函数． （Ⅰ）求函数的对称中心； （Ⅱ）若在上存在零点，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）. 【分析】（Ⅰ）首先将化为，然后令可解出答案 （Ⅱ）首先求出，然后令，得，解出不等式即可 【详解】（Ⅰ） ．   令，解得， 所以函数的对称中心为．   （Ⅱ）由得， 所以，则． 令，得， 则，解得或 所以的取值范围是． 【点睛】1.在解决三角函数的性质的相关问题时，应先将函数化成基本型； 2．若方程有根，则的范围即为函数的值域. 3．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）. 【答案】该扇形的半径的长约为445米. 【详解】[解法一] 设该扇形的半径为米，连接. ……2分 由题意，得(米)，（米）， 　 ……4分 在△中， ……6分 即， ……9分 解得（米） 答：该扇形的半径的长约为445米. 　　　　 　 ……13分 [解法二] 连接，作，交于， 　 ……2分 由题意，得（米）， （米）， ……4分 在△中， . （米）. ……6分 .　　　……9分 在直角△中，（米），， （米）. 答：该扇形的半径的长约为445米. ……13分 【高考解题速通】 1．已知向量，函数的最大值为. （Ⅰ）求； （Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求在上的值域. 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ） 【详解】：（Ⅰ） 因为的最大值为，所以 （Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位， 得到 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变， 得到 因为所以 的最小值为最大值为 所以在上的值域为 【考点定位】本题通过向量运算形成三角函数问题，考查了向量的数量积运算、三角函数的图象变换、三角函数的值域等主干知识，难度较小 2．已知函数，其中常数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）令，将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【详解】(1)因为，根据题意有 (2) ， 或， 即的零点相离间隔依次为和， 故若在上至少含有30个零点，则的最小值为． 【考点定位】考查三角函数的图象与性质，三角函数图象的平移变换，属中档题 3．已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移（）个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为2． （ⅰ）求函数的解析式；  （ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得． 【答案】（1）；（2）（ⅰ）；  （ⅱ）证明见解析. 【详解】（Ⅰ）因为 ． 所以函数的最小正周期． （Ⅱ）（Ⅰ）将的图象向右平移个单位长度后得到的图象， 再向下平移（）个单位长度后得到的图象． 又已知函数的最大值为，所以，解得． 所以． （Ⅱ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得， 就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数， 使得，即． 由知，存在，使得． 由正弦函数的性质可知，当时，均有． 因为的周期为， 所以当（）时，均有． 因为对任意的整数，， 所以对任意的正整数，都存在正整数，使得． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数，使得． 考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式． 4．设函数. （Ⅰ）求的最小值，并求使取得最小值的的集合； （Ⅱ）不画图，说明函数的图像可由的图象经过怎样的变化得到. 【答案】（Ⅰ）的最小值为，此时x的集合（Ⅱ）见解析 【详解】（1） 当时，，此时 所以，的最小值为，此时x的集合. 横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得； 然后向左平移个单位，得 （1）利用两角的和差公式，辅助角公式将三角函数化成，若时，当时取最小值；（2）要熟练平移变换，伸缩变换. 【考点定位】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度. 5．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0,ω＞0,0＜φ＜π）的部分图象如图所示,又函数. （1）求函数的单调减区间； （2）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,又,且锐角C满足,若sinB＝2sinA,求a+b的值. 【答案】（1）；（2）3 【分析】(1)由函数f（x）的部分图象可得A,可求函数的周期,利用正弦函数的周期公式可求ω的值,又函数图象过点,结合范围0＜φ＜π,可求,可得f（x）,g（x）的解析式,进而利用余弦函数的图象和性质可求其单调减区间. (2)由,得cos2C,结合范围0,可求C的值,由正弦定理得,由余弦定理得3＝a2+b2﹣ab,即可解得a,b的值,从而得解. 【详解】解：（1）由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0,ω＞0,0＜φ＜π）的部分图象可得A＝2, 由于,即T＝π, 则, 又函数图象过点, 则, 即, 又0＜φ＜π, 即, 即, 则, 由2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z,得kπ≤x≤kπ,k∈Z, 所以函数g（x）的单调减区间为[kπ,kπ],k∈Z. （2）由,得cos2C, 因为0, 所以0＜2C＜π, 所以2C,可得, 又sinB＝2sinA,由正弦定理得,① 由余弦定理,得,可得：,②. 由①②：,解得a＝1,b＝2, 所以a+b＝3. 【点睛】本题主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,余弦函数的图象和性质以及正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,考查了数形结合思想和函数思想,属于中档题. 6．设 （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，若，且，，求的面积． 【答案】( 1 )   ( 2 ) 【分析】( 1 )根据辅助角公式,化简三角函数式,结合正弦函数的图象与性质即可求得函数的单调递增区间; ( 2 ) 根据代入即可求得A的值,由正弦定理即可求得c,结合三角形面积公式即可求解. 【详解】( 1 )将三角函数解析式化简可得 令 化简可得 所以函数的单调递增区间为 ( 2 ) 由可得 或 或 因为A为三角形的一个内角 所以 又因为 所以由正弦定理可得即 所以 【点睛】本题考查了三角函数式的化简,正弦函数单调区间的求法,三角形面积的求法,属于基础题. 7．已知 （1）求的最大值，及当取最大值时x的取值集合． （2）在三角形中，分别是角所对的边，对定义域内任意，有,若 ,求的最大值. 【答案】（1）最大值为4， x的取值为    （2） 【分析】（1）由正弦二倍角公式及辅助角公式，化简，根据正弦函数的性质即可求得最大值及取最大值时x的取值集合． （2）根据可知为函数的最大值，即可求得A，由正弦定理即可求得，的最大值． 【详解】（1）根据正弦二倍角公式，结合辅助角公式化简可得 当 时取得最大值为4 所以最大值为4，此时x的取值集合为 （2）因为对定义域内任一x有 ∵A为三角形内角 根据正弦定理，有 得 同理可得 ∴当时，的最大值为. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值，二倍角公式、辅助角公式、正弦定理的综合应用，向量数量积的运算，属于中档题． 8．（2021·江苏镇江·模拟预测）若函数，的角，，的对边分别为，，，且. （1）当取最大值时，判断的形状； （2）在中，为边的中点，且，，求的长. 【答案】（1）是等边三角形；（2）. 【分析】（1）化简，由求得，根据正弦定理得到，从而判断取最大值时，B的取值，从而判断三角形形状； （2）取边的中点，在中，由余弦定理求得，，从而在中由余弦定理求得. 【详解】解：因为 所以由得， 因为，所以，所以， （1） 因为，，所以， 所以当时，取最大值， 此时，所以，所以是等边三角形； （2）解：取边的中点，连接， 则，且， 在中，由余弦定理得 解得，所以 在中由余弦定理得 【点睛】方法点睛：利用正弦定理进行边角转化，根据三角函数的最值情况来求得原表达式的最值，从而判断三角形形状；利用余弦定理解得三角形各边长. 9．某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B．现规划修建一条新路（由线段MP，，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q，所对的圆心角为．记∠PCA＝（道路宽度均忽略不计）． （1）若，求QN的长度； （2）求新路总长度的最小值． 【答案】（1）1千米；（2）． 【分析】（1）连接CB，CN，CM，可得，OM，ON，PM，QN均与圆C相切，通过圆心角为可求出∠QCB＝，从而得到四边形BCQN是正方形，进而可得QN＝CQ＝1， （2）因为∠PCA＝，所以∠MCP＝，∠NCQ＝，利用弧长公式可求得MP＝，，NQ＝，由于，所以（，），设新路长为，则，然后结合基本不等式进行计算即可得解 【详解】（1）连接CB，CN，CM， 因为OM⊥ON，所以OM，ON，PM，QN均与圆C相切 所以CB⊥ON，CA⊥OM，CP⊥MP，CQ⊥NQ， 所以CB⊥CA 因为∠PCA＝，∠PCQ＝， 所以∠QCB＝， 此时四边形BCQN是正方形，所以QN＝CQ＝1， 答：QN的长度为1千米； （2）∵∠PCA＝，可得∠MCP＝，∠NCQ＝， 则MP＝，，NQ＝ 设新路长为，其中（，），即 ∴， ，当时取“＝”， 答：新路总长度的最小值为． 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查三角函数在实际生活中的应用，考查基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题． 10．（2020·江苏泰州·一模）从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设，五个正方形的面积和为S． （1）求面积S关于的函数表达式，并求定义域； （2）求面积S的最小值及此时的值． 【答案】（1），的取值范围为，，；（2）时，面积S有最小值为． 【分析】（1）构造直角三角形，利用小圆直径与三角函数分别求出大、小正方形的边长，即可求得五个正方形的面积表达式，由小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长可求得的取值范围；（2）利用降幂公式及辅助角公式化简面积表达式为正弦型函数，当时S取最小值，此时求出的值然后求出，由二倍角的正弦公式可求得. 【详解】（1）过点O分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为E，F， 因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合， 所以点E，F分别为小正方形和大正方形边的中点， 所以小正方形的边长为， 大正方形的边长为， 所以五个正方形的面积和为， ， 因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长， 所以，，， 所以的取值范围为，， 所以面积S关于的函数表达式为， 的取值范围为，，．    （2）法一：， ， ， ，其中，， 所以，此时，因为，所以 ，所以， 所以， 则，化简得：， 由此解得：， 因为，所以， 答：面积S最小值为， 法二：， ， 令，则， 设，， 令，得：， t - 0 + 极小值 所以时，面积S最小值为. 【点睛】本题考查三角函数的综合应用、三角恒等变换、含三角函数的复合型二次方程的求解，属于较难题. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026数学高考一轮总复习专题 讲义12：三角函数的性质及应用 （共6页） 目录 【链接高考】 1 【考向分析】 2 考向一、求函数(,)的单调区间 2 考向二、三角函数的图象变换及其性质 2 考向三：三角函数的性质及其应用综合（含新定义） 2 【高考解题速通】 3 【链接高考】 1．（2020·山东·高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为 cm2． 2．（2020·北京·高考真题）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（    ）． A． B． C． D． 【考向分析】 考向一、求函数(,)的单调区间 1.已知函数. (Ⅰ)求f（x）的最小正周期； (Ⅱ)当时，求函数f（x）的单调递减区间. 考向二、三角函数的图象变换及其性质 1．已知函数． (Ⅰ)求的最小正周期； (Ⅱ)若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当[，]时，求的最大值和最小值． 考向三：三角函数的性质及其应用综合（含新定义） 1．若函数满足且（），则称函数为“函数”． (1)试判断是否为“函数”，并说明理由； (2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； (3)在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 2.（2018·浙江·模拟预测）已知函数． （Ⅰ）求函数的对称中心； （Ⅱ）若在上存在零点，求实数的取值范围． 3．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）. 【高考解题速通】 1．已知向量，函数的最大值为. （Ⅰ）求； （Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求在上的值域. 2．已知函数，其中常数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）令，将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值. 3．已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移（）个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为2． （ⅰ）求函数的解析式；  （ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得． 4．设函数. （Ⅰ）求的最小值，并求使取得最小值的的集合； （Ⅱ）不画图，说明函数的图像可由的图象经过怎样的变化得到. 5．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0,ω＞0,0＜φ＜π）的部分图象如图所示,又函数. （1）求函数的单调减区间； （2）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,又,且锐角C满足,若sinB＝2sinA,求a+b的值. 6．设 （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，若，且，，求的面积． 7．已知 （1）求的最大值，及当取最大值时x的取值集合． （2）在三角形中，分别是角所对的边，对定义域内任意，有,若 ,求的最大值. 8．（2021·江苏镇江·模拟预测）若函数，的角，，的对边分别为，，，且. （1）当取最大值时，判断的形状； （2）在中，为边的中点，且，，求的长. 9．某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B．现规划修建一条新路（由线段MP，，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q，所对的圆心角为．记∠PCA＝（道路宽度均忽略不计）． （1）若，求QN的长度； （2）求新路总长度的最小值． 10．（2020·江苏泰州·一模）从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设，五个正方形的面积和为S． （1）求面积S关于的函数表达式，并求定义域； （2）求面积S的最小值及此时的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$