江苏省马坝高级中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

试卷第 1页，共 4页 2024--2025 学年度第二学期高二年级第二次质量检测 数 学 试 卷 一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1．已知集合 { 1 1}A x x   ∣ ， { 0 2}B x x  ∣ ，则 A B  （ ） A．{ 0 1}x x ∣ B．{ 1 2}x x  ∣ C．{ 0 1}x x ∣ D．{ 1 0}x x  ∣ 2．已知命题 : 0p x  ， π 2 0x x  ，则 p的否定为 （ ） A． 0x  ，π 2 0x x  B． 0x  ，π 2 0x x  C． 0x  ，π 2 0x x  D． 0x  ，π 2 0x x  3．某高中对高三年级的 1000名学生进行了一次数学成绩测试，得到各同学的数学成绩（满分 150分） X 近似服从正态分布  120,100N ，则得分在区间  130,140 内的学生大约有（参考数据：若  2,X N  ～ ，则   0.7P X        ，  2 2 0.96P X        ） （ ） A．324人 B．90人 C．130人 D．45人 4．德国数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为    G x x ，其中 x 表示不超过 x的 最大整数，例如 1.2 2   ， 1.2 1 ．定义符号函数   1, 0 sgn 0, 0 1, 0 x x x x      ，则    sgn π sgn πG G        （ ） A． 2 B． 1 C．1 D．2 5．甲箱中有 3个黄球、2个绿球，乙箱中有 2个黄球、3个绿球（这 10个球除颜色外，大小、形状完全相 同），先从甲箱中随机取出 2个球放入乙箱，记事件 A，B，C分别表示事件 “取出 2个黄球”，“取出 2个 绿球”， “取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件 D表示摸出的球为黄球，则下列说法正确 的是 （ ） A．A，B是对立事件 B．事件 B，D相互独立 C．   16 35 P D  D．   1 35 P CD  6．若函数  f x 满足    2 0f x f x   ，    1 0f x f x    ，则    1 3 20231 22 2 2f f f f f                        （ ） A．0 B． 2023 2 C．2023 D．2024 7．函数 25 4( ) 2 x xf x x     在 ( , 2) 上的最小值是 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．若某展览馆要把 6件艺术品在展位上摆放成一排，要求其中的艺术品 A和 B必须相邻，且都不能与 C 相邻，则这样不同的排列方法数为 （ ）． A．72 B．120 C．144 D．288 试卷第 2页，共 4页 二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分) 9．以下满足{0,2,4} {0,1,2,3,4} AÜ 的集合 A有 （ ） A．{0,2,4} B．{0,1,3,4} C．{0,1, 2, 4} D．{0,1,2,3,4} 10．已知   20 1 21 n n nx a a x a x a x      ，若只有 5a 最大，则 （ ） A． 11n  B． 0 1a  C．  1 2 3 4 1 1 n na a a a a      D． 5 252a  11．下列给出的命题正确的是 （ ） A．若 , ,a b c    为空间的一组基底，则 , ,a b b c c a         也是空间的一组基底 B．点 P为平面 ABC上的一点，且  1 , 3 OP OA xOB yOC x y   R     ，则 2 3 x y  C．若直线 l的方向向量为  1,1,0u   ，平面 的法向量  1,1,1n    ，则 / /l  或 l  D．两个不重合的平面 ,  的法向量分别是  1,1,1n    ，  1,1,0m  ur ，则  三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 12．求值：( 1 27 )－ 1 3 － 3 (－1 8 )2 ＋ log25 － log220= . 13．若随机变量  2, 4X N: ，  0 0.1P X   ，则  2 4P X   ． 14．已知一个三位数，如果满足个位上的数字和百位上的数字都大于十位上的数字，那么我们称该三位数 为“凹数”，则没有重复数字的三位“凹数”的个数为 ．（用数字作答） 四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知  2 5A x x    ，  1 2 1B x a x a     . (1)若 3a  时，求 A B ，  RA B ð ； (2)若 R( )B A ð ，求 a的取值范围. 试卷第 3页，共 4页 16．（15分）高考填志愿前有来自不同大学的 3名男生和 2名女生回母校开展大学宣讲活动． (1)若要将这 5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？ (2)宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？ (3)若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙三人 按高低从左到右有多少种不同的排法？ (4)随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？（写 出必要的数学式，结果用数字作答） 17．（15分）如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为直角梯形， //AD BC，AB AD ，PA 平面 ABCD， 10AD  ， 2 8BC AB  ，M 为 PC的中点． (1)求证：平面 PAC 平面 PCD； (2)若 AM PC ，求直线 BM 与平面 PCD所成角的正弦值． 试卷第 4页，共 4页 18．（17分）甲、乙两人进行象棋比赛，采用五局三胜制，无平局，已知每局比赛甲获胜的概率为 2 3 ，且 甲、乙每局比赛的结果互不影响． (1)求四局比赛结束的概率； (2)记比赛结束时甲胜的局数为 X，求 X的分布列与期望； (3)在第一局甲负的条件下，试判断乙赢得比赛的概率是否超过 12 19．（17分）已知   2f x x bx c   ，不等式   8f x   的解集是  2, 4 . (1)求  f x 的解析式； (2)不等式组     0 0 f x f x k      的正整数解仅有 2个，求实数 k取值范围； (3)若对于任意  2, 2x  ，不等式   2 t f x 恒成立，求 t的取值范围. 答案第 1页，共 4页 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C D C A C C AC BCD 题号 11 答案 BCD 12. 4 3 13． 0.4 14．240 15．【详解】（1）当 3a  时，  1 2 1 [4,5]B x a x a      ，--------2 分 则 [4,5]A B  ，-------------------------------------------4 分 R ( , 4) (5, )B     ð ，则  A B R RU ð ---------------------------6 分 （2）因为 R( )B A ð ，则 B A -------------------7 分 当 B 时， 1 2 1a a   ，解得 2a  ，--------------------------------9 分 当 B  时，即 2a  时， 有 1 2 2 1 5 a a       ，解得 3 3a   ，即 2 3a  ；---------------------12分 综上， 3a  .-----------------------------------------13分 16.【详解】（1）将 5名同学分为 3，1，1或 2，2，1三组，然后分配到三个班， 所以分配方案有 2 2 3 3 35 3 5 3 32 2 C CC A + A 150 A  种．-----------------------------------4 分 （2）先甲乙同学之间排列，再把班主任和甲乙同学看作一个整体，与其他 3名同学排列， 则不同的排法 2 4 2 4A A 48 种．----------------------------------------------3 分 （3）先将 6人全排列有 66A 种，考虑到甲、乙、丙三人排列有 3 3A 种， 所以甲、乙、丙三人按高低从左到右排列时，不同的排法有 6 6 3 3 A 120 A  种．----------------4 分 （4）先将五位同学全排列，去掉同学甲站在最左端的情形，再去掉同学乙站在最右端的情 形，再加上重复去掉的同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形， 所以不同的排法种数有 5 4 3 5 4 3A 2A A 78   ．------------------------------4 分 答案第 2页，共 4页 17【详解】（1）以 , ,AB AD AP    为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设 PA m ， 则  0,0,0A ，  4,8,0C ，  0,10,0D ，  0,0,P m ，---------------2 分  4,8,PC m   ，  4,2,0CD    ， (4,8,0)AC   .-------------------------3 分 设平面 PCD的一个法向量为  1 1 1 1, ,n x y z  ，则 1 1 0 0 PC n CD n           ， 即 1 1 1 1 1 4 8 0 4 2 0 x y mz x y       ，不妨令 1 1x  ，则 1 2y  ， 1 20z m  ， 所以 1 201,2,n m        ，----------------------------------------------5 分 设平面 PAC的一个法向量为  2 2 2 2, ,n x y z  ，则 2 2 0 0 PC n AC n           ， 即 2 2 2 2 2 4 8 0 4 8 0 x y mz x y       ，不妨令 2 2x  ，则 2 1y   ， 1 0z  ， 所以  2 2, 1,0n    ，--------------------------------------------------------7 分 因为  1 2 201 2 2 1 0 0n n m            ， 所以 1 2n n   ，所以平面 PAC 平面 PCD．---------------------------8 分 （2）由（1）知 2,4, 2 mM      ，  4,0,0B ，所以 2,4, 2 mAM        ，  4,8,PC m   ， 因为 AM PC ，所以 0AM PC    ，即 2 4 4 8 0 2 m m      ，解得 4 5m  ，------10分 故  2,4,2 5M ，所以  2,4,2 5BM   ，由（1）知  1 1,2, 5n   ，---------------12分 设直线 BM与平面 PCD所成的角为， 则 11 1 2 1 4 2 2 5 5 4sin cos , 52 10 10 BM nBM n BM n                  ，-----------------14分 故直线 BM与平面 PCD所成角的正弦值为 4 5 .-------------------------------15分 答案第 3页，共 4页 18【详解】（1）四局比赛结束，甲胜的概率 2 2 1 3 2 1 2 8C 3 3 3 27 P          ，------2分 乙胜的概率 2 2 2 3 1 2 1 2C 3 3 3 27 P          ，----------------------------4 分 所以四局比赛结束的概率为 1 2 8 2 10 27 27 27 P P    ．---------------------5 分 （2） X 所有的可能取值为 0，1，2，3．-------------------6 分   31 10 3 27 P X        ；-----------------------7 分   3 1 3 2 1 21 C 3 3 27 P X          ；-------------------------8 分   2 3 2 4 2 1 82 C 3 3 81 P X                ；---------------------9 分   3 3 3 2 2 3 4 2 2 1 23 C C 3 3 3 3 P X                         21 64 3 81       ．---------------------10 分 X 的分布列为 -----------------------12分 故   2 16 64 214 27 81 27 81 E X     ．-------------------------13分 （3）在第一局甲负的条件下，乙胜的概率 2 2 2 2 1 2 2 3 1 2 1 2 1C C 3 3 3 3 3 P                              11 1 27 2   ，-------------------16分 所以在第一局甲负的条件下，乙赢得比赛的概率不超过 1 2 ．---------------17 分 X 0 1 2 3 P 1 27 2 27 8 81 64 81 答案第 4页，共 4页 19．【详解】（1）解：因为   2f x x bx c   ，不等式   8f x   的解集是  2, 4 ， 所以 2、 4是一元二次方程 2 8 0x bx c    的两个实数根， 由韦达定理可得 2 4 2 4 8 b c        ，解得 6 0 b c     ，所以   2 6f x x x  .----------------4 分 （2）解：不等式组     0 0 f x f x k      ，即     2 2 6 0 6 0 x x x k x k         ， 解得 0 6 6 x x k x k      或 ，------------------------------------6 分 因为原不等式组的正整数解仅有 2个，可得该正整数解为7、8，------------8 分 可得到8 6 9k   ，解得 2 3k  ，则实数 k取值范围是  2,3 .-----------10分 （3）解：因为对任意  2, 2x  ，不等式   2 t f x 恒成立，所以 2 6 2 0tx tx   ，----11分 当 0t  时， 2 0  恒成立；----------------12分 当 0t  时，二次函数 2 6 2y tx tx   的对称轴方程为 3t  ， 当 0t  时，函数 2 6 2y tx tx   在  2 2 , 上单调递减， 所以只需满足    22 6 2 2 16 2 0t t t         ，解得 10 8 t  ；-----------------14分 当 0t  时，函数 2 6 2y tx tx   在  2 2 , 上单调递增， 所以只需满足 22 6 2 2 8 2 0t t t        ，解得 1 0 4 t   .--------------16 分 综上， t的取值范围是 1 1, 4 8     .----------------------17分