10.1.1 有限样本空间与随机事件-2024-2025学年高一数学人教A版2019必修第一册

第十章 概率 10.1.1 有限样本空间与随机事件 1 1、了解随机试验和样本空间的概念； 2、了解随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件的概念； 3、能根据不同背景的随机试验列举试验的样本空间； 4、通过本节的学习，感知应用数学知识解决数学问题的方法，提升数学抽象和逻辑推理等数学素养. 重点：有限样本空间与随机事件的概念 难点：对于不同背景的随机试验用符号表示试验的结果，列举其样本空间 教学目标 某些现象就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性，但在大量重复观测下，各个结果出现的频率却具有稳定性，这类现象叫做随机现象， 是概率论研究的主要对象，概率是对随机事件发生可能性大小的度量，在经济、金融、保险等领域具有广泛的应用，渗透在我们日常生活中. 在初中，我们已经初步了解了随机事件的概念，并学习了在试验结果等可能的情形下求简单随机事件的概率，本节我们将进一步研究随机事件及其概率的计算，并探究随机事件概率的性质. 新知探究 3 问题1 ：考察下列实验： 1. 抛掷一枚硬币两次，观察正面、反面朝上的情况； 2. 买一注福利彩票，观察中奖、不中奖的情况. 观察这些随机现象，分别说说（1）和（2）有哪些可能的结果？ 1. 随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验， 简称试验，常用字母E表示. 一、随机试验 新知探究 类似的随机试验还有： 在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命； 从一批发芽的水稻种子中随机抽取一些，观察分蘖数； 记录某地7月份的降雨量； …… 你能归纳它们的共同特点吗？ 新知探究 随机试验具有以下特点： (1) 试验可以在相同条件下重复进行； (2) 试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； (3) 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 可重复性 可预知性 随机性 新知探究 思考1 体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同分别标号0,1,2,…,9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码. 这个随机试验共有多少个可能结果? 如何用集合语言表示这些结果? 共有10种可能结果. 所有可能结果可用集合表示为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. 新知探究 二、样本空间 样本点：把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，用____表示. 样本空间：全体样本点的集合称为试验的样本空间，用_____表示 在本书中，我们只讨论为有限集的情况.如果一个随机试验有个可能结果，，，则称样本空间为有限样本空间. 有了样本点和样本空间的概念，我们就可以用数学方法描述和研究随机现象了. 新知探究 例1 抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间. 解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可以表示为Ω＝{正面朝上，反面朝上}. 如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”， 则样本空间Ω＝{ h, t }. 用符号表示试验结果 新知探究 例2 抛掷一枚骰子，观察它落地时朝上的面的点数,写出试验的样本空间. 解：因为落地时朝上面的点数有1, 2, 3, 4, 5, 6共6个可能的基本结果， 用i表示“朝上的面的点数为i” 所以试验的样本空间可以表示为 Ω＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}. 用数字表示试验结果 新知探究 例3 抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间. 解：掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用表示，第二枚硬币可能的基本结果用表示，那么试验的样本点可用表示. 样本空间 如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，那么样本空间还可以简单表示为 Ω＝{(1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0)}. 1 0 1 0 1 0 第一枚 第二枚 Ω＝{(正面, 正面), (正面, 反面), (反面, 正面), (反面, 反面)}. 新知探究 思考2 在上面体育彩票摇号试验中, 摇出“球的号码为奇数”是随机事件吗? 摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件? 如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系? 显然，“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件. 类似地，可以用B={0, 3, 6, 9}表示随机事件“球的号码为3的倍数”. 我们用A={1, 3, 5, 7, 9}表示随机事件“球的号码为奇数” 显然集合A、B 都是样本空间Ω＝{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}的子集。 新知探究 三、随机事件 一般地，随机实验中每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件， 简称事件，随机事件一般用大写字母A,B,C…表示. 在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. 基本事件：只包含一个样本点的事件称为基本事件. 必然事件：作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件. 不可能事件：空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称空集为不可能事件. 新知探究 必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.这样，每个事件都是样本空间的一个子集. 例题：如图，一个电路中有三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常. (1)写出试验的样本空间； (2)用集合表示下列事件： “恰好两个元件正常”；“电路是通路”；“电路是断路”. 新知探究 解：(1)分别用x1, x2和x3表示元件A, B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1, x2, x3)表示. 进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间为 Ω＝{(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1, 0,1), (0,1,1), (1,1,1)}. 0 1 元件A 0 1 0 1 元件B 0 1 0 1 0 1 0 1 元件C 可能结果 还可借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果，如下图. 000 001 010 011 100 101 110 111 (1) 写出试验的样本空间； 新知探究 解：(2) M={(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)}； N={(1,1,0)，(1,0,1)，(1,1,1)}； T={(0,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,1,1)，(1,0,0)} . A C B (2) 用集合表示下列事件： M＝“恰好两个元件正常”； N＝“电路是通路”；T＝“电路是断路”. 新知探究 1.写出下列各随机试验的样本空间： （1）采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别； （2）采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO血型； （3）随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别； （4）射击靶3次，观察各次中靶或脱靶的情况； （5）射击靶3次，观察中靶的次数； Ω={男，女} Ω={A,B,O,AB} Ω={男男，男女，女男，女女} Ω={aa,ab,ba,bb}，a，b表示“男孩”、“女孩” Ω={0,1}，其中，0表示“男生”，1表示“女生” Ω={0,1,2,3} Ω={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)} 其中，1表示“中靶”，0表示“脱靶” 教材P231 课堂练习 2. 如图，由A, B两个元件分别组成串联电路(图(1) )和并联电路(图(2) )，观察两个元件正常或失效的情况. (1) 写出试验的样本空间; (2) 对串联电路，写出事件M=“电路是通路”包含的样本点; (3) 对并联电路，写出事件N=“电路是断路”包含的样本点. A B (1) B A (2) 解：(1)分别用x1, x2表示元件A, B的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1, x2)表示. 进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间为 Ω={(1,1), (1,0), (0,1), (0,0)}. (2) 事件M=“电路是通路”包含的样本点为(1,1). (3) 事件N=“电路是断路”包含的样本点为(0,0). 教材229页 课堂练习 3. 袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 从中随机摸出一个球. (1) 写出试验的样本空间; (2) 用集合表示事件A=“摸到球的号码小于5”，事件B=“摸到球的号码大于4”，事件C=“摸到球的号码是偶数”. 解：(1) 样本空间为Ω={ 1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2) 事件A用集合表示为{1,2,3,4}； 事件B用集合表示为{5,6,7,8,9}； 事件C用集合表示为{2,4,6,8}. 教材229页 课堂练习 补充练习1、 在12件同类产品中，有10件正品，2件次品，从中任意抽出3件，下列事件中： ① 3件都是正品； ② 至少有1件是次品； ③ 3件都是次品； ④ 至少有1件是正品． 其中随机事件有_____，必然事件有_____，不可能事件有_____． ①② ③ ④ 课堂练习 1. 样本空间有关概念： (2) 样本点与样本空间. 2. 随机事件有关概念： (1) 基本事件: 只包含一个样本点的事件. 随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示. (3) 事件A发生： 当且仅当A中某个样本点出现. (4) 必然事件： 在每次试验中总有一个样本点发生. Ω为必然事件. (5) 不可能事件： 在每次试验中都不会发生. ∅为不可能事件. (2) 随机事件(简称事件)： 样本空间Ω的子集. (1) 随机试验的概念及其特点； 课堂小结 谢谢观看 $$