第十八章 平行四边形 章末检测（考点解码舱 题型透视镜 双阶训练场）-2024-2025学年八年级下学期数学人教版期末复习登顶手册：三维突破指南

八年级下册期末登顶手册：三维突破指南 第十八章 平行四边形 章末检测 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进行判断即可． 【详解】解：∵只有③④两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带③④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小． 故选：B． 2．已知▱ABCD中，∠B＝4∠A，则∠A的度数为（　　） A．18° B．36° C．72° D．144° 【答案】B 【分析】由在▱ABCD中，可得∠A+∠B＝180°，又由∠B＝4∠A，即可求得∠A的度数，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠A＝∠C， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠B＝4∠A， ∴∠A＝×180°＝36°． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对角相等，邻角互补． 3．如图，将一个平行四边形分成16个全等的小平行四边形．若涂满和所用颜料千克数分别是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由题意得出点到直线的距离与点到直线的距离相等，且，推出，即可得解． 【详解】解：由题意可得，点到直线的距离与点到直线的距离相等，且， ∴， ∴若涂满和所用颜料千克数分别是，则， 故选：C． 4．如图，在平行四边形内部选取一点O，使得最小，则O点位置在（   ） A．边上靠近A B．边上靠近C C．与的交点 D．A、B、C、D中任意一点 【答案】C 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质以及三角形三边关系，解题的关键是理解题意． 根据三角形三边关系得出，判断出当最小时，三点共线，三点共线，即可求解； 【详解】解：如图，连接， 根据题意可得， 当最小时，， 即三点共线，三点共线， 此时O点为与的交点， 故选：C． 5．如图，在四边形中，，平分，平分，，则四边形的形状（    ） A．一定是平行四边形 B．一定是矩形 C．一定是菱形 D．不确定 【答案】A 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和角平分线的计算，设与交于点O，根据题意得出，再由角平分线确定，得出，利用平行四边形的判定即可证明，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键 【详解】解：设与交于点O，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 故选：A 6．如图，以正方形的边为一边，在正方形内部作等边，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等边三角形的性质得到，再利用正方形的性质得到等腰三角形，再利用三角形的内角和即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形，四边形是正方形， ∴，， ∴在中，， 故选：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，正方形的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 7．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝CF，EF与AC相交于点O，连接BO．若∠DAC＝36°，则∠OBC的度数为（    ） A．36° B．54° C．64° D．72° 【答案】B 【分析】利用菱形的性质，∠DAC＝∠ACB，△AOE≌△COF，从而为等腰三角形三线合一性质的运用创造条件． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝AD＝CD，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO，∠DAC＝∠ACB＝36°， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴AO＝CO， 又∵AB＝BC， ∴BO⊥AC， ∴∠OBC＝90°﹣∠ACB＝54°， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形三线合一，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握菱形的性质，准确判断三角形的全等，活用等腰三角形，直角三角形的性质是解题的关键． 8．小米同学在喝水时想到了这样一个问题：如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行线的判定和性质．过点A作，可得，从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作， ∴， 矩形中，， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴． 故选：C 9．中经过两条对角线的交点O，分别交、于点E、F，在对角线上通过作图得到点M、N，如图1，图2，图3，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是（　　）                                                    以点O为圆心，的长为半径作弧，交于点M、N 分别作、中、边上的中线、 分别作、中、的平分线、 A．都为矩形 B．都为菱形 C．图1为平行四边形，图2、图3为矩形 D．图1为矩形，图2、图3为平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查了几何作图，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据平行四边形的性质易证，可得，由图1作图可知，即可得证图1以点F，M，E，N为顶点的四边形为矩形；在图2中证，即可得证图2以点F，M，E，N为顶点的四边形为平行四边形；在图3中证明，可得，即可得证图3以点F，M，E，N为顶点的四边形为平行四边形． 【详解】解：在平行四边形中，，， ，， 在和中， ， ， ， 由图1作图可得， 以点F，M，E，N为顶点的四边形为平行四边形，且， 图1以点F，M，E，N为顶点的四边形为矩形； 由图2作图可得    ，， ， ， 又， ∴图2以点F，M，E，N为顶点的四边形为平行四边形； 由图3作图可得，， ， ， 在和中， ， ， ， 又， 图3以点F，M，E，N为顶点的四边形为平行四边形． 故选D． 10．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（　　）    A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，再利用ASA证明△AOE≌△BOF，从而可得△AOE的面积＝△BOF的面积，进而可得四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积，问题即得解决． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝90°， ∴∠AOE＝∠BOF， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∴△AOE的面积＝△BOF的面积， ∴四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1； 故选C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 11．如图，菱形的边长为3，，对角线上有两个动点、（点在点的左侧），若，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识．连接交于点，作，使得，连接，，可推出的最小值为的长，再根据菱形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理即可求出的长，从而解决问题． 【详解】解：如图，连接交于点，作，使得，连接，， 则四边形是平行四边形， ， ， 的最小值为的长， 四边形是菱形， ，， ，， 是等边三角形，， ， ， 在中， ． 的最小值为． 故选：A． 12．如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点，同时从点出发，以相同的速度分别向终点，（包括端点）运动．点关于，的对称点为，；点关于，的对称点为，．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．平行四边形矩形平行四边形菱形 B．平行四边形菱形平行四边形菱形 C．菱形矩形平行四边形菱形 D．菱形平行四边形矩形平行四边形 【答案】D 【分析】根据题意，分几个运动过程分别证明四边形是菱形，平行四边形，矩形，即可求解． 【详解】解：分几个运动过程分别讨论： ①当点E，F在点O准备出发时，如图，连接，    ∵四边形是矩形， ∴， 由轴对称可得，，，， ，，，， ∴， ， ， ， ∴， ∴四边形是菱形； ②点E，F离开点O运动时， ∵当点，同时从点出发，以相同的速度分别向终点，（包括端点）运动， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， 由对称可得，， ∴， ∴ 由对称可得， ∴， 同理， ∴，即 ∴四边形是平行四边形， ③连接，，当时， ∵由对称可得，， 又， ∴， ∴， 由②可知四边形是平行四边形， ∴此时四边形是矩形； ④点E，F继续运动，则四边形是平行四边形； ⑤当运动结束，即分别与重合时，如图    此时点E，，B三点重合，点F，，D三点重合， 由对称有，， ∴，即， 由对称有，， ∴，， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 综上所述，在整个过程中，四边形形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形， 故选：D 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13．平行四边形的周长为24cm，相邻两边长的比为3：1，那么这个平行四边形较短的边长为 cm． 【答案】3 【详解】平行四边形对边相等，周长为24cm，相邻两边长的比为3：1，则设邻边为 ， 解得， 即这个平行四边形较短的边长为3cm， 故答案为：3． 14．将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形为矩形，连接，，甲、乙两人有如下结论： 甲：若四边形为正方形，则四边形必是正方形； 乙：若四边形为正方形，则四边形必是正方形． 下列判断正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都不正确 D．甲、乙都正确 【答案】B 【分析】先设AB=BC=CD=AD=x，接着求出AQ和AP的值，根据勾股定理求出PQ的值，即可判断甲；求证△QMP和△PQA全等得出QD=AP，同理QD=AP=MC=BN，即可判断乙. 【详解】若ABCD是正方形 可设AB=BC=CD=AD=x ∴AQ=4-x，AP=3+x ∴PQ2=AQ2+AP2 ∴ 即x取不同值PQ不同，而QM=5，不一定为正方形； 若PQMN为正方形，则MQ=PQ=MN=PN 且∠QMD+∠MQD=∠QAP=∠AQP+∠QPA=90° 在△QMD和△PQA中 ∠QMD=∠AQP，MQ=PQ，∠MQD=∠QPA ∴△QMP≌△PQA（ASA） ∴QD=AP 同理QD=AP=MC=BN ∴AB=CD 则四边形ABCD是正方形 【点睛】本题关键在于熟练运用勾股定理和全等三角形的判定与性质进行求解. 15．如图，在矩形中，．将一块三角尺按如图所示的方式放置，使它的一条直角边过点A，直角顶点落在边上的点E处，另一顶点落在边上的点F处，且，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， 故答案为：2． 16．如图，已知：，，以AB为边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．当时，则PD的长为 ． 【答案】 【分析】由于AD＝AB，∠DAB＝90°，则把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，AD与AB重合，PA旋转到AF的位置，根据旋转的性质得到AP＝AF，∠PAF＝90°，PD＝FB，则△APF为等腰直角三角形，得到∠APF＝45°，，即有∠BPF＝∠APB+∠APF＝45°+45°＝90°，然后在Rt△FBP中，根据勾股定理可计算出FB的长，即可得到PD的长． 【详解】解：∵AD＝AB，∠DAB＝90°， ∴把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，AD与AB重合，PA旋转到FA的位置，如图， ∴AP＝AF，∠PAF＝90°，PD＝FB， ∴△APF为等腰直角三角形， ∴∠APF＝45°， ， ∴∠BPF＝∠APB+∠APF＝45°+45°＝90°， 在Rt△FBP中，PB＝4，， ∴由勾股定理得， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理．正确的作出辅助线是解题关键． 三．解答题（共8小题，共72分。17-18题6分，19题8分，20-23题10分，24题12分） 17．如图，在中，的平分线交于，． (1)求、的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得对角相等，，得同旁内角互补，即可求出、的度数； （2）根据平行四边形的性质，得，内错角相等，等量代换，再根据等角对等边，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ 又∵的平分线交于， ∴ ∴， ∴． （2）解：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴ ∵的平分线交于 ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的知识、平行线的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质，等角对等边，平行线的性质． 18．如图1，小明和小聪玩跷跷板游戏，图2是跷跷板的示意图，是横板的中点，横板绕点转动，立柱与地面垂直，且．    (1)当小明从水平位置下降的高度为时，记小聪升高的高度为，求此时小聪离地面的高度． (2)如图3，当一端落地时，另一端上升到最高点．当端落地时，，求横板上下可转动的最大角度（即求的度数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的实际应用，邻补角的定义． （1）根据已知可先证明，从而得到，再结合利用进行求解即可； （2）根据已知可先证明，从而得到，利用邻补角定义进行求解即可． 【详解】（1）解：为，的中点， ，， ， ， ， ， ， 答：此时小聪离地面的高度为； （2）， ， 为的中点， ， ， ， ， ， 19．如图所示，四边形是平行四边形，的角平分线交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若恰好平分，连接、，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和平行线的性质等知识点． （1）根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，证明，根据全等三角形的性质得出，进而得四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质推出，进而可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知， 平分， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 20．如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，点M为的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)90 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，理解直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握平行四边形的性质及矩形的判定方法是解题关键． （1）利用平行线的性质分析可得，从而求证四边形是矩形； （2）根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和勾股定理求得的长度，从而利用矩形和三角形的面积公式计算求解． 【详解】（1）证明：平行四边形中，， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，点M为的中点，， ∴， 在中，， 平行四边形中，， 在矩形中，， ∴四边形的面积． 21．如图，，是的中线，，与交于点，且点恰好是的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)32． 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、三角形的中位线的性质、直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识， （1）先证四边形是平行四边形，由是的中线，得出，进而即可得证； （2）在菱形中，，可证出是等边三角形，进而即可得出菱形的周长； 熟练掌握其性质的综合应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：是的中线， 点是的中点， 又点是的中点， 即， ， 四边形是平行四边形， 是的中线，， ， 四边形是菱形； （2）解：在菱形中，， ， ， 是等边三角形， ， 菱形的周长为：． 22．（1）将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②求四边形的面积． （2）如图2，在矩形和矩形中，，，，求四边形的面积． 【答案】（1）①四边形是菱形，理由见解析  ②  （2） 【分析】（1）①由矩形的性质得，则四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质得，即可得出结论；②设，则，在中，由勾股定理得出方程，解得，即可解决问题； （2）设，则，证四边形是平行四边形, 再证, 得 ，然后由勾股定理得出方程，得，即可解决问题． 【详解】解：（1）①四边形是菱形，理由如下: ∵四边形和四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形； ②由①可知，， 设, 则， 在中，， 由勾股定理得：， 解得: ， ∴ ， ； （2）设，则， ∵四边形和四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ， 即， 解得：， 在中，由勾股定理得:， 解得: 或(不合题意舍去) ， ∴, ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 23．如图，在中，是的平分线，点O为的中点，延长交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形． (3)连接，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)四边形是矩形，证明见解析 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质得到，则是直角三角形，，由直角三角形斜边上中线的性质得到； （2）由是等腰三角形，，进一步得到，则，证明，则，得到，又因为，即可证明四边形为平行四边形； （3）由得到，又由，即可证明四边形是平行四边形，由，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴是等腰三角形， ∵是的平分线， ∴， ∴是直角三角形，， ∵点O为的中点， ∴； （2）∵， ∴是等腰三角形， ∵，平分， ∴， ∴， ∴ ∵点O为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴四边形为平行四边形． （3）四边形是矩形 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 24．正方形中对角线相交于为上一点，交于交于． (1)说明的道理； (2)在（1）中，若为延长线上一点，交于的延长线交于，其他条件不变，如图2，则结论：“”还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查正方形的性质及全等三角形的判定与性质，利用三角形全等的判定定理得到是解决问题的关键． （1）根据正方形的性质利用判定，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）类比（1）的证明方法，同理即可得出结论成立． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：仍然成立． 理由如下： 在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下册期末登顶手册：三维突破指南 第十八章 平行四边形 章末检测 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 2．已知▱ABCD中，∠B＝4∠A，则∠A的度数为（　　） A．18° B．36° C．72° D．144° 3．如图，将一个平行四边形分成16个全等的小平行四边形．若涂满和所用颜料千克数分别是，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形内部选取一点O，使得最小，则O点位置在（   ） A．边上靠近A B．边上靠近C C．与的交点 D．A、B、C、D中任意一点 5．如图，在四边形中，，平分，平分，，则四边形的形状（    ） A．一定是平行四边形 B．一定是矩形 C．一定是菱形 D．不确定 6．如图，以正方形的边为一边，在正方形内部作等边，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝CF，EF与AC相交于点O，连接BO．若∠DAC＝36°，则∠OBC的度数为（    ） A．36° B．54° C．64° D．72° 8．小米同学在喝水时想到了这样一个问题：如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，的大小为（    ） A． B． C． D． 9．中经过两条对角线的交点O，分别交、于点E、F，在对角线上通过作图得到点M、N，如图1，图2，图3，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是（　　）                                                    以点O为圆心，的长为半径作弧，交于点M、N 分别作、中、边上的中线、 分别作、中、的平分线、 A．都为矩形 B．都为菱形 C．图1为平行四边形，图2、图3为矩形 D．图1为矩形，图2、图3为平行四边形 10．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（　　）    A．4 B．2 C．1 D． 11．如图，菱形的边长为3，，对角线上有两个动点、（点在点的左侧），若，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 12．如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点，同时从点出发，以相同的速度分别向终点，（包括端点）运动．点关于，的对称点为，；点关于，的对称点为，．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．平行四边形矩形平行四边形菱形 B．平行四边形菱形平行四边形菱形 C．菱形矩形平行四边形菱形 D．菱形平行四边形矩形平行四边形 二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13．平行四边形的周长为24cm，相邻两边长的比为3：1，那么这个平行四边形较短的边长为 cm． 14．将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形为矩形，连接，，甲、乙两人有如下结论： 甲：若四边形为正方形，则四边形必是正方形； 乙：若四边形为正方形，则四边形必是正方形． 下列判断正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都不正确 D．甲、乙都正确 15．如图，在矩形中，．将一块三角尺按如图所示的方式放置，使它的一条直角边过点A，直角顶点落在边上的点E处，另一顶点落在边上的点F处，且，则的长为 ． 16．如图，已知：，，以AB为边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．当时，则PD的长为 ． 三．解答题（共8小题，共72分。17-18题6分，19题8分，20-23题10分，24题12分） 17．如图，在中，的平分线交于，． (1)求、的度数； (2)若，，求的长． 18．如图1，小明和小聪玩跷跷板游戏，图2是跷跷板的示意图，是横板的中点，横板绕点转动，立柱与地面垂直，且．    (1)当小明从水平位置下降的高度为时，记小聪升高的高度为，求此时小聪离地面的高度． (2)如图3，当一端落地时，另一端上升到最高点．当端落地时，，求横板上下可转动的最大角度（即求的度数）． 19．如图所示，四边形是平行四边形，的角平分线交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若恰好平分，连接、，求证：． 20．如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，点M为的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且，求四边形的面积． 21．如图，，是的中线，，与交于点，且点恰好是的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 22．（1）将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②求四边形的面积． （2）如图2，在矩形和矩形中，，，，求四边形的面积． 23．如图，在中，是的平分线，点O为的中点，延长交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形． (3)连接，判断四边形的形状，并证明你的结论． 24．正方形中对角线相交于为上一点，交于交于． (1)说明的道理； (2)在（1）中，若为延长线上一点，交于的延长线交于，其他条件不变，如图2，则结论：“”还成立吗？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$