清单05 因式分解（7个考点清单+15种题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（北京版2024）

清单05 因式分解（7个考点梳理+15个题型解读+提升训练） 清单01 因式分解的概念 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 清单02 公因式 像多项式 pa pb pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 清单03 平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 清单04 完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 清单05 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在，则 特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 清单06 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 清单07 因式分解的解题步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 特别说明：落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 【考点题型一 判断是否是因式分解】（） 1．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列等式，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各式中，是整式乘法的是 ，是因式分解的是 ．（填序号） ①；②； ③；④． 4．下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 【考点题型二 已知因式分解的结果求参数】（） 5．若多项式因式分解的结果为，则 ． 6．若，则常数 ． 7．已知关于的多项式因式分解后有一个因式是，试求的值． 8．两位同学将一个二次三项式：(其中，，为常数，且)分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式. 【考点题型三 公因式】（） 9．多项式中各项的公因式是（ ） A． B． C． D． 10．将多项式，因式分解时，应提取的公因式是（    ） A．a B． C． D． 11．多项式，，中，它们的公因式是 ． 12．整式中各项的公因式是 ． 【考点题型四 提公因式法分解因式】（） 13．把提公因式后一个因式是，则另一个因式是 ． 14．因式分解： ． 15．把多项式因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 16．已知，，则的值为（   ） A．5 B．12 C． D． 【考点题型五 平方差公式分解因式】（） 17．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A． B． C． D． 18．下列能用平方差公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 19．因式分解： ． 20．分解因式： ． 【考点题型六 完全平方公式分解因式】（） 21．若，则 ． 22．因式分解 ． 23．因式分解： ． 24．把下列各式因式分解： (1) (2) (3) 【考点题型七 综合运用公式法分解因式】（） 25．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 26．分解因式． (1)； (2)． 27．因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 28．因式分解 (1) (2) (3) 【考点题型八 综合提公因式和公式法分解因式】（） 29．把下列式子分解因式： (1)； (2)． 30．将下列各式因式分解： (1) (2) 31．因式分解： (1)； (2)． 32．把下列各式因式分解： (1) (2) 【考点题型九 实数范围内分解因式】（） 33．实数范围内分解因式 ； ． 34．在实数范围内分解因式： ． 35．在实数范围内因式分解： ． 36．分解因式： 【考点题型十 因式分解在有理数简算中的应用】（） 37．因式分解： (1)； (2) (3)； (4) (5)计算：． 38．利用分解因式计算：． 39．若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（   ） A．100 B．50 C．17 D．3 40．用简便方法计算： (1)； (2)． 【考点题型十一 十字相乘法】（） 41．若多项式可因式分解为，则b的值为（    ） A． B．3 C． D．54 42．【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 43．阅读材料，解答后面的问题． 分解因式： 观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体 设定新变量：设 进行换元：将代入原代数式，则原代数式变为，得到 因式分解简化后的代数式：对进行因式分解 ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式，得到 还原变量：将还原，得到 进一步分解，得到 上述这种因式分解的方法称为“换元法”． (1)分解因式时，设，则原代数式化为 ； (2)模仿上述方法分解因式：． 44．小明的老师设计了一个“神秘数字盒子”，盒子的密码由以下规则生成：将二次多项式因式分解为，其中 m，n，p，q均为整数．密码由分解后各因式的系数绝对值按从小到大的顺序排列组成（重复数字只保留一个）．例如：若分解结果为，则系数绝对值为1，2，3，密码为1，2，3．请解决以下问题： (1)将多项式分解为两个一次因式的乘积．根据分解结果，生成该数字盒子的密码． (2)若某数字盒子的密码为1，2，3，5，且其对应的多项式为，请写出该多项式的一种可能的因式分解形式，并写出此时k的值． 【考点题型十二 分组分解法】（） 45．分解因式： ． 46．分解因式 ． 47．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角分别是和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 48．［阅读材料］ 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． ［应用知识］ (1)因式分解：． (2)因式分解：． 【考点题型十三 因式分解的应用】（） 49．阅读以下材料 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式， 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)试证明：无论为何值，式子的值一定是一个不小于2的数． 50．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成16块，其中有三块是边长都为的大正方形，三块是边长都为的小正方形，十块是长为，宽为的全等小矩形，且．（以上长度单位：） (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为___________； (2)若每块小矩形的面积为，六个正方形的面积和为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和． 51．某密码翻译爱好者的书记录着2，，，，分别对应：“2”“4”“6”“5”“3”的数字．则多项式因式分解后呈现的密码信息可以是 ． 52．已知为正整数，则四个连续正整数可表示为，，，，它们的乘积为，当时，的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点题型十四 因式分解中的配方法】（） 53．请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：． 任务： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)用配方法分解因式：； (3)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 54．阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式(两数和的平方公式或两数差的平方公式)，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问 题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解：先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； (2)用配方法因式分解：； (3)求 的最小值． (4)已知实数x，y 满 足，求的最小值，并指出此时y的值． 55．数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值 ．可知当时，有最小值． 根据阅读材料，利用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 56．我们把多项式 和 叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 例如：求多项式 的最小值，由 可知，当时，多项式 有最小值，最小值是-8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． (3)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． 【考点题型十五 因式分解的新定义问题】（） 57．数学兴趣小组在进行因式分解时发现，若多项式能分解成两个一次整式相乘的形式，则或时，原多项式的值为0，尝试定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为该多项式的“对称值”．例如：多项式，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和，“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题． (1)多项式的“零值”为__________，“对称值”为__________； (2)若多项式（实数m为常数）的两个“零值”相等，求m的值及多项式的“对称值”． 58．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第12个智慧优数是 ． 59．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 利用上面提到的数学思想方法解决下列问题： 【应用】（1）数61__________“完美数”（填“是”或“不是”）； 【探究】（2）已知，则__________； （3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值； 【拓展】（4）已知x、y满足，求代数式的最小值． 60．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（，为实数）的数叫做复数．其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减运算与整式的加、减运算类似，复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似，例如， ①； ② ③； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：___________，___________，___________； (2)化简：； (3)请你参照这一知识，将用公式法分解成两个复数的积． 1．已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 2．若，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知三个实数a，b，c满足，且，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 5．若x，y满足，，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．分解因式 ． 7．已知，则 ． 8．已知，则的值为 ． 9．如图，某市有一块面积为平方米的矩形空地，规划部门计划在这块矩形空地上修建一个长米、宽米的矩形花坛(其中，其余四周全部修建成健身休闲区，，分别表示矩形花坛的面积和健身休闲区的面积，则 (填“”“”或“”)． 10．当或时，代数式的值相等，则时，代数式的值为 ． 71．因式分解： (1)； (2)． 12．阅读下面材料，并解决问题： 巧设密码在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码．有一种利用因式分解产生的密码，它更加方便记忆，其方法如下：对于多项式，分解因式的结果是． 当，时，，，，将162，18，0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． 问题解决： (1)按照上述方法，小军将多项式“”分解因式后利用x的数值设置密码，当时，求所生成的密码； (2)根据上述方法，若将多项式分解因式，则当，时，生成的密码是多少？ 13．在北师大版七年级下册第一章中，我们知道形如的代数式叫做完全平方式，其实我们也可以将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最值，求的最小值． 解：． ∵不论取何值，总是非负数，即， ∴，即当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)直接写出多项式的最小值为___________； (2)若，比较、的大小（写出比较过程）； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 14．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ， ，即的最小值为． 【应用】请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添一个常数项使之成为完全平方式：___________． （2）代数式的最小值为___________． 【拓展】（3）如图1，乐乐想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个长方形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设长方形的边，当取多少米时，羊圈的面积取得最大值？ 15．“换元法”是初中数学中经常用到的一个方法．在因式分解中，我们可以将多项式的某些项用字母替换，将一个复杂的多项式转换成较为简单熟悉的形式，达到“化繁为简”的目的．八（1）班的几名同学在对多项式进行因式分解，用“换元法”进行解题时发现了几种方法： 【解法一】小欣同学给出了一种换元的思路． 解：令，得：， 即原式 【解法二】小于同学给出了另一种换元的思路 解：令，得：， 即原式 【解法三】小明同学给出另一种较为简洁的换元法，称之为平均代换．相较于上一种换元方法，平均代换保留了相同的部分，取两个因式常数部分的平均值，构成新元． 解：，∴令， 得：，即原式 请你阅读以上材料，利用“换元法”的思想，解决以下问题： (1)从三种解法中任选一种进行因式分解： (2)小天同学发现多项式也可以用换元法的思想因式分解． 解：原式 请你根据小天同学的思路，把上述因式分解的过程补充完整． (3)请直接写出最终结果． ①因式分解：_______ ②因式分解：_______． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 因式分解（7个考点梳理+15个题型解读+提升训练） 清单01 因式分解的概念 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 清单02 公因式 像多项式 pa pb pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 清单03 平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 清单04 完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 清单05 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在，则 特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 清单06 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 清单07 因式分解的解题步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 特别说明：落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 【考点题型一 判断是否是因式分解】（） 1．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．据此逐项判断即可． 【详解】A．，是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．，符合因式分解的定义，属于因式分解，故本选项符合题意； C．，等式的右边不是几个整式的积，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．，选项等式不成立，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．下列等式，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，解题的关键是掌握把一个多项式化成几个最简整式的乘积的形式，这种多项式的变形叫做因式分解． 根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个最简整式的乘积的形式，这种多项式的变形叫做因式分解）逐项判断即可得． 【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B、是同底数幂乘法的逆运算，不是因式分解，不符合题意； C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意； D、不是整式，故不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 3．下列各式中，是整式乘法的是 ，是因式分解的是 ．（填序号） ①；②； ③；④． 【答案】 ①②/②① ③④/④③ 【分析】本题主要考查了整式乘法与因式分解，将多项式写成几个整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，整式的乘法是指单项式与单项式、单项式与多项式以及多项式与多项式相乘，根据各自的定义判断即可． 【详解】解：①是整式乘法， ②是整式乘法， ③是因式分解， ④是因式分解． 故答案为：①②；③④． 4．下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 【答案】③④⑥ 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解． 【详解】解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意； ②右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意； ③是因式分解，故符合题意； ④是因式分解，故符合题意； ⑤等号不成立，不是因式分解，故不符合题意； ⑥是因式分解，故符合题意； 故答案为：③④⑥． 【点睛】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 【考点题型二 已知因式分解的结果求参数】（） 5．若多项式因式分解的结果为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据因式分解的结果求参数，根据题意可得，根据多项式乘以多项式的计算法则把等式右边展开即可求出m、n的值，进而可求出答案． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．若，则常数 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解；根据因式分解的结果，用多项式乘法展开并比较对应项的系数即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 7．已知关于的多项式因式分解后有一个因式是，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解的意义，解决此题的关键是灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题． 设分解后的另一个因式为．根据题意得到，然后得出，，进而求解即可． 【详解】解：设分解后的另一个因式为． 由题意，得， ∴，， ∴， ∴． 8．两位同学将一个二次三项式：(其中，，为常数，且)分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式. 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握运算法则．由于含字母的二次三项式的一般形式为(其中、、均为常数，且)，所以可设原多项式为； 根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将运用多项式的乘法法则展开，进而求出与的值； 同理将运用多项式的乘法法则展开，还可求出的值，从而确定原多项式，再将原多项式分解因式即可． 【详解】解：∵     ∴ ， ∵ ∴ ∴ ． 【考点题型三 公因式】（） 9．多项式中各项的公因式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解此题的关键．公因式是各项系数的最大公约数和字母因式的最低次幂的积． 根据公因式的定义解答即可． 【详解】解：多项式中各项的公因式是． 故选：B． 10．将多项式，因式分解时，应提取的公因式是（    ） A．a B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了公因式，根据公因式的定义进行解答即可． 【详解】解：将多项式，因式分解时，应提取的公因式是a． 故选：A． 11．多项式，，中，它们的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的确定，因式分解，熟练掌握公因式的定义及因式分解是解题的关键．先因式分解两个多项式，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式． 【详解】解： ； ； ∵各项都含有， ∴它们的公因式是． 故答案为：． 12．整式中各项的公因式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了寻找多项式中的各项的公因式.先找出公因式的系数，即各项系数的最大公约数，然后再提取出相同字母，最后找相同字母的最低次幂. 【详解】解：由题意可知：各项系数的最大公约数为2，相同的字母为和x，和x的最小指数都为1， ∴整式中各项的公因式是， 故答案为：. 【考点题型四 提公因式法分解因式】（） 13．把提公因式后一个因式是，则另一个因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，先提取公因式把原式分解因式，从而可以得到另一个因式，掌握“利用提公因式的方法分解因式”是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和十字相乘法分解因式是解题的关键．先提公因式，再利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 15．把多项式因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，先找出的公因式是，进行作答即可． 【详解】解：依题意，的公因式是， ∴把多项式因式分解，应提取的公因式是， 故选：C 16．已知，，则的值为（   ） A．5 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是正确进行因式分解并计算．先对进行提公因式，在代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：C． 【考点题型五 平方差公式分解因式】（） 17．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解-运用公式法，能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差，据此判断． 【详解】解：A、不能运用平方差公式进行因式分解，故本选项不符合题意； B、不能运用平方差公式进行因式分解，故本选项不符合题意； C、不能运用平方差公式进行因式分解，故本选项不符合题意； D、，即能用平方差公式分解因式，故本选项符合题意． 故选：D． 18．下列能用平方差公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平方差公式，关键是熟练掌握平方差公式分解因式的多项式的特点．根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行判断即可． 【详解】解：A、是与1的和，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； B、共有三项，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； C、两项的符号不相反，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； D、符合平方差公式特点，能用平方差公式进行分解，故此选项正确； 故选：D． 19．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 20．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握用平方差公式分解因式是解题的关键． 利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【考点题型六 完全平方公式分解因式】（） 21．若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式乘以多项式，利用完全平方公式因式分解以及代数求值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先将化简得到，然后将变形为，然后整体代入求解即可． 【详解】 ∴ ． 故答案为：． 22．因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟知完全平方公式是解题的关键； 利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：； 故答案为：． 23．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法与公式法分解因式，先提公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为： 24．把下列各式因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查因式分解，正确选用因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式直接提取公因式即可； （2）原式先运用平方差公式进行因式分解，再运用完全平方公式分解即可； （3）原式整理后．运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【考点题型七 综合运用公式法分解因式】（） 25．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解，做这样的题目首先要提公因式，提完公因式后再利用公式法进行因式分解，需要注意观察最后是否因式分解彻底，以及符号问题，不要写错了． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式； （2）利用平方差公式分解因式，注意分解彻底； （3）利用整体的思想，运用完全平方公式分解因式即可； （4）利用整体思想，运用平方差公式分解因式即可； 【详解】（1） （2） （3） （4） 26．分解因式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解； （2）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键． （1）用提出公因式分解因式即可； （2）用提出公因式分解因式即可； （3）先提公因式，再利用平方差公式进行分解，即可求解； （4）先根据平方差公式分解，再利用完全平方公式进行分解，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 28．因式分解 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）直接提取公因式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 【考点题型八 综合提公因式和公式法分解因式】（） 29．把下列式子分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 30．将下列各式因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法并灵活选择是关键． （1）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式即可； （2）变形后利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式＝． （2）原式＝． 31．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）提取公因式后用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）原式． 32．把下列各式因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）提取公因式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点题型九 实数范围内分解因式】（） 33．实数范围内分解因式 ； ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，对于第一空直接利用平方差公式分解因式，对于第二空先提取公因数2，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：； ； 故答案为：；． 34．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用提公因式及平方差公式进行分解因式是解题的关键；因此此题可根据提公因式及平方差公式进行分解因式即可． 【详解】解：原式； 故答案为． 35．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握掌握因式分解的常用方法是解题的关键． 先提取公因数2，再由平方差公式因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 36．分解因式： 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【考点题型十 因式分解在有理数简算中的应用】（） 37．因式分解： (1)； (2) (3)； (4) (5)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)25 【分析】本题主要考查了分解因式，根据分解因式的方法分解因式即可． （1）提公因式以及公式法分解因式即可． （2）提公因式以及公式法分解因式即可． （3）利用十字相乘分解因式即可． （4）利用公式法分解因式即可． （5）利用公式法分解并计算即可. 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解 （5）解： 38．利用分解因式计算：． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，平方差公式，将原式中24变形为，再利用平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： ． 39．若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（   ） A．100 B．50 C．17 D．3 【答案】D 【分析】将和各选项进行因式分解，依次判断，即可求解，本题考查了，因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解． 【详解】解：， A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意， 故选：D． 40．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解进行简便计算，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解； （2）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 【考点题型十一 十字相乘法】（） 41．若多项式可因式分解为，则b的值为（    ） A． B．3 C． D．54 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的恒等性质，熟练掌握性质是解题的关键，将展开，根据对应系数相等即可求出答案． 【详解】解：由题意可得： ∴， 故答案为：C． 42．【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；② 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键． （1）利用如图1、图2，仿图3的“十字”可以对进行因式分解； （2）①利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解；②利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （3）①利用题中的“十字”可以对多项式进行因式分解；②利用如图4所示的“十字”可以对多项式进行因式分解为，然后结合有理数的乘法运算分析求解即可． 【详解】 解：（1）， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①∵ ∴； ②∵ ∴， ∴， 故答案为：； （3）①根据题意得： ∴， 故答案为：； ②， ∴， ∴， ∵、均为整数， ∴为奇数，不能为3的倍数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴． 43．阅读材料，解答后面的问题． 分解因式： 观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体 设定新变量：设 进行换元：将代入原代数式，则原代数式变为，得到 因式分解简化后的代数式：对进行因式分解 ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式，得到 还原变量：将还原，得到 进一步分解，得到 上述这种因式分解的方法称为“换元法”． (1)分解因式时，设，则原代数式化为 ； (2)模仿上述方法分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，整体思想，换元思想，十字相乘法，掌握换元法和十字相乘法是解题的关键． （1）利用换元法即可得出结果； （2）模仿上述方法逐步进行因式分解即可． 【详解】（1）解：设，则原代数式化为， 故答案为：； （2）解：对进行因式分解 ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式，得到 还原变量：将还原，得到 进一步分解得到 所以，． 44．小明的老师设计了一个“神秘数字盒子”，盒子的密码由以下规则生成：将二次多项式因式分解为，其中 m，n，p，q均为整数．密码由分解后各因式的系数绝对值按从小到大的顺序排列组成（重复数字只保留一个）．例如：若分解结果为，则系数绝对值为1，2，3，密码为1，2，3．请解决以下问题： (1)将多项式分解为两个一次因式的乘积．根据分解结果，生成该数字盒子的密码． (2)若某数字盒子的密码为1，2，3，5，且其对应的多项式为，请写出该多项式的一种可能的因式分解形式，并写出此时k的值． 【答案】(1)；2，3，5 (2)当分解结果为时，；当分解结果为时，． 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法把分解因式即可得到答案； （2）根据，则可得因式分解的结果可以为或或或，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ∴分解后的系数为， ∵， ∴数字盒子的密码为2，3，5； （2）∵， ∴因式分解的结果可以为或或或， 当分解结果为时，则，则； 当分解结果为时，则，则； 当分解结果为时，则，则； 当分解结果为时，则，则； 综上所述，当分解结果为时，；当分解结果为时，． 【考点题型十二 分组分解法】（） 45．分解因式： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分组分解法因式分解，正确进行分组是解题关键． 将前两项分组后两项分组，进而提取公因式再利用平方差公式分解因式． 【详解】解： 故答案为：． 46．分解因式 ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，掌握分组分解法，提取公因式法因式分解是关键． 运用分组分解法，提取公因式法因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 47．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角分别是和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键． （1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可； （2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可； （3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，整体代入得出答案即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） 根据题意得：， ∴原式． 48．［阅读材料］ 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． ［应用知识］ (1)因式分解：． (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解以及因式分解的应用． （1）利用“”分组，再利用提公因式法分解即可； （2）利用“”分组，先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式分解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点题型十三 因式分解的应用】（） 49．阅读以下材料 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式， 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)试证明：无论为何值，式子的值一定是一个不小于2的数． 【答案】(1) (2) (3)详见解析 【分析】本题考查换元法因式分解和因式分解的应用，读懂题意，理清这个因式分解方法是解题的关键． （1）令，则原式可化为，运用完全平方公式因式分解，再将“”还原即可； （2）令，则原式可化为运用完全平方公式因式分解，再将“”还原，注意还原之后能继续因式分解要继续分解； （3）令，则原式可化为，配方法得到，将“”还原之后可化为，根据即可得解． 【详解】（1）解：令， 原式， 将“”还原，得原式； （2）解：令， 原式 ， 将“”还原，得： 原式 ； （3）证明：令， 原式 ， 将还原， 原式， 无论为何值， ， 即式子的值一定是一个不小于2的数． 50．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成16块，其中有三块是边长都为的大正方形，三块是边长都为的小正方形，十块是长为，宽为的全等小矩形，且．（以上长度单位：） (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为___________； (2)若每块小矩形的面积为，六个正方形的面积和为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，完全平方公式，理解题意，利用数形结合求解是解题的关键． （1）利用数形结合的思想，表示大长方形的面积，根据大长方形的面积等于长乘以宽，即可得出结论； （2）由题意，得到，利用完全平方公式求出，然后求出结果即可． 【详解】（1）解：由图可知：表示大长方形的面积， 大长方形的边长分别为：， ∴； 故答案为：； （2）解：依题意得，， ， ， ， ， ， 图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为： ． 51．某密码翻译爱好者的书记录着2，，，，分别对应：“2”“4”“6”“5”“3”的数字．则多项式因式分解后呈现的密码信息可以是 ． 【答案】2453（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解，其中灵活应用平方差公式是解题的关键．将进行因式分解即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 2，，，，分别对应：“2”“4”“6”“5”“3”的数字． 多项式因式分解后呈现的密码信息可以是：2453． 故答案为：2453（答案不唯一）． 52．已知为正整数，则四个连续正整数可表示为，，，，它们的乘积为，当时，的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的混合运算，分解因式（因数），熟练掌握是解本题的关键． 根据，，，得． 【详解】证明: ∵，， ∴． ∵，需要将其组合为四个连续正整数的乘积， ∴四个连续数中必有两个偶数，且其中一个是4的倍数，另一个是2的倍数；同时必有一个数是3的倍数，一个数是5的倍数（或含因数5）． ∴，恰好为四个连续正整数． ∴． 故选：A． 【考点题型十四 因式分解中的配方法】（） 53．请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：． 任务： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)用配方法分解因式：； (3)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】(1)64 (2) (3)当时，有最大值，最大值是7 【分析】本题考查完全平方公式的应用，配方法进行因式分解，非负数的性质等，将各小题中的多项式配方是求解本题的关键． （1）先将配方得，然后根据是一个完全平方式得，由此即可得出的值； （2）先配成完全平方，再用平方差公式分解； （3）先配方，再利用非负数的性质求最值即可． 【详解】（1）解： ， 是一个完全平方式， ， ； （2）解： ； （3）解： ． ． 当时，有最大值，最大值是7． 54．阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式(两数和的平方公式或两数差的平方公式)，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问 题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解：先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； (2)用配方法因式分解：； (3)求 的最小值． (4)已知实数x，y 满 足，求的最小值，并指出此时y的值． 【答案】(1)4 (2) (3)8 (4)， 【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是按照题中示例解决问题． （1）因为，可得答案为： 4 ； （2）按照示例（1）解答为； （3）按照示例（2）解答为，因为是非负数，所以 ，据此解答． （4）根据，得出，代入得：，因为是非负数，所以，据此解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：4； （2）解： ； （3）解： ， 因为是非负数， 所以， 所以的最小值是 8 ． （4）解：∵， ∴， 代入得： 因为是非负数， 所以， 所以当时，取得最小值，最小值是 ． 此时． 55．数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值 ．可知当时，有最小值． 根据阅读材料，利用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 【答案】(1) (2)当时，有最大值20 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握配方法和因式分解是解题的关键． （1）根据阅读材料，先将变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法将变形为，再利用完全平方式的性质即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， 当时，多项式有最大值20． 56．我们把多项式 和 叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 例如：求多项式 的最小值，由 可知，当时，多项式 有最小值，最小值是-8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． (3)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)当，时，原式有最小值，最小值为5 (3)当时，原式有最小值，最小值为23． 【分析】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质．本题的解答关键在于熟练的掌握因式分解的方法． （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答； （3）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴当，时，有最小值，最小值为5． 即，时，原式有最小值，最小值为5． （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，即当时，原式有最小值，最小值为23． 【考点题型十五 因式分解的新定义问题】（） 57．数学兴趣小组在进行因式分解时发现，若多项式能分解成两个一次整式相乘的形式，则或时，原多项式的值为0，尝试定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为该多项式的“对称值”．例如：多项式，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和，“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题． (1)多项式的“零值”为__________，“对称值”为__________； (2)若多项式（实数m为常数）的两个“零值”相等，求m的值及多项式的“对称值”． 【答案】(1)和， (2)的值为6或，多项式的“对称值”为或 【分析】本题考查了新定义，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照示例，求出多项式的“零值”和“对称值”； （2）根据题意，求出值，再仿照示例，求出多项式的“零值”和“对称值”． 【详解】（1）解：， 当或时，， 多项式的“零值”为和， “对称值”为， 故答案为：和，； （2）解：多项式（实数为常数）的两个“零值”相等， 多项式是完全平方式， 即， 当时，多项式可化为， ，“零值”为和，“对称值”为； 当时，多项式可化为， ，“零值”为和，“对称值”为， 综上所述，的值为6或，多项式的“对称值”为或． 58．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第12个智慧优数是 ． 【答案】35 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据，均为正整数，得出，，，，…，从而得出，，，，…，把平方差公式中的换成和相关的式子，得到新的式子，然后将，，，…依次代入计算即可，理解题意，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：，均为正整数， ，，，，…， ，，，，…， ， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，…， 把这些“智慧优数”从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 第12个智慧优数是， 故答案为：． 59．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 利用上面提到的数学思想方法解决下列问题： 【应用】（1）数61__________“完美数”（填“是”或“不是”）； 【探究】（2）已知，则__________； （3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值； 【拓展】（4）已知x、y满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）是；（2）1；（3）9；（4） 【分析】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式的特点是解题的关键． （1）根据新定义求解； （2）先把等式的左边进行配方，再根据非负数的性质求出、的值，再求； （3）先根据的前四项进行配方，再根据相等的条件求解； （4）根据条件求出的值，再进行配方求解． 【详解】（1）解：， 是“完美数”， 故答案为：是； （2）解：， ，， ， 故答案为：1； （3）解： ， 为“完美数”， ， ； （4）解：， ， ， ， 当时，的最小值为． 60．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（，为实数）的数叫做复数．其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减运算与整式的加、减运算类似，复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似，例如， ①； ② ③； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：___________，___________，___________； (2)化简：； (3)请你参照这一知识，将用公式法分解成两个复数的积． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算，公式法因式分解，理解新定义的运算法则是关键． （1）利用复数的运算法则运算解题； （2）先根据复数的定义计算，再合并即可求解； （3）根据复数的定义将所求式子变为，再利用平方差公式因式分解即可； 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，，； （2）， ； （3）． 1．已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，把所求式子变形为含、、的形式是关键．由，，，得，，，将进行因式分解变形，即可得结论． 【详解】解：，，， ，，， ， 故选：C． 2．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式因式分解，由，则，所以，然后把代入求值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 3．已知三个实数a，b，c满足，且，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，因式分解，根据已知条件，结合各选项中的条件，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴；故选项A正确，不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理，得：， ∴；故选项B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故选项C正确，不符合题意； 若，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故选项D错误，符合题意； 故选D． 4．若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 【答案】D 【分析】本题考查了整式的混合运算，运用乘法公式展开，再根据整式的加减运算得到，结合k为任意整数，得到是整数，由此即可求解． 【详解】解： 由条件可知是整数， ∴的值总能被7整除， 故选：D． 5．若x，y满足，，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的求值、因式分解，熟练掌握平方差公式和整体代入法是解题的关键．将两个等式相减，整理得到，结合，得到，再利用整体法代入求值即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 6．分解因式 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，先提取公因式再用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为： 7．已知，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 将原式提取公因式，再将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】∵，， 故答案为1． 8．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式得到，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 9．如图，某市有一块面积为平方米的矩形空地，规划部门计划在这块矩形空地上修建一个长米、宽米的矩形花坛(其中，其余四周全部修建成健身休闲区，，分别表示矩形花坛的面积和健身休闲区的面积，则 (填“”“”或“”)． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，因式分解的应用，根据题意分别求得，，进而用作差法比较大小，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 10．当或时，代数式的值相等，则时，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，由已知得，进而得，再代入代数式计算即可求解，熟练运用提公因式法因式分解和公式法因式分解是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 整理得， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， ， 故答案为：． 71．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式并灵活运用是解答的关键． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可求解； （2）先利用整体思想和平方差公式分解因式，再提公因式即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．阅读下面材料，并解决问题： 巧设密码在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码．有一种利用因式分解产生的密码，它更加方便记忆，其方法如下：对于多项式，分解因式的结果是． 当，时，，，，将162，18，0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． 问题解决： (1)按照上述方法，小军将多项式“”分解因式后利用x的数值设置密码，当时，求所生成的密码； (2)根据上述方法，若将多项式分解因式，则当，时，生成的密码是多少？ 【答案】(1)101119 (2)282114 【分析】（1）先将多项式“”分解因式后，计算时，各个因式的值，排序后即为所求生成的密码； （2）先把多项式分解因式，后求值，排序后确定密码． 本题考查了因式分解，求代数式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【详解】（1）解：， 当时，，，， 生成的密码是：101119． （2）解： ， 当，时，，， 生成的密码是282114． 13．在北师大版七年级下册第一章中，我们知道形如的代数式叫做完全平方式，其实我们也可以将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最值，求的最小值． 解：． ∵不论取何值，总是非负数，即， ∴，即当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)直接写出多项式的最小值为___________； (2)若，比较、的大小（写出比较过程）； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干已有的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （2）先化简，再结合完全平方式的非负性得出，即可求解； （3）先根据三角形的面积公式列式得四边形面积为，结合，可知当时，四边形面积的最大值为．即可作答． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴ ∴当时，，即有最小值； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 故． （3）解：∵在四边形中，．， ∴四边形面积为： ， ∵， ∴， 则当时，四边形面积的最大值为． 14．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ， ，即的最小值为． 【应用】请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添一个常数项使之成为完全平方式：___________． （2）代数式的最小值为___________． 【拓展】（3）如图1，乐乐想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个长方形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设长方形的边，当取多少米时，羊圈的面积取得最大值？ 【答案】（1）；（2）；（3）米 【分析】本题考查了完全平方公式、因式分解的应用； （1）根据完全平方公式，添加一次项系数一半的平方，即可求解； （2）仿照阅读材料用配方法因式分解即可； （3）设长方形的边，则，根据长方形的面积公得出羊圈的面积，根据配方法得出最值，即可求解； 【详解】（1）∵， 故答案为：． （2）解： ， ∵， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． （3）解：设长方形的边，则 ∴ ∵ ∴当时，羊圈的面积取得最大值， 15．“换元法”是初中数学中经常用到的一个方法．在因式分解中，我们可以将多项式的某些项用字母替换，将一个复杂的多项式转换成较为简单熟悉的形式，达到“化繁为简”的目的．八（1）班的几名同学在对多项式进行因式分解，用“换元法”进行解题时发现了几种方法： 【解法一】小欣同学给出了一种换元的思路． 解：令，得：， 即原式 【解法二】小于同学给出了另一种换元的思路 解：令，得：， 即原式 【解法三】小明同学给出另一种较为简洁的换元法，称之为平均代换．相较于上一种换元方法，平均代换保留了相同的部分，取两个因式常数部分的平均值，构成新元． 解：，∴令， 得：，即原式 请你阅读以上材料，利用“换元法”的思想，解决以下问题： (1)从三种解法中任选一种进行因式分解： (2)小天同学发现多项式也可以用换元法的思想因式分解． 解：原式 请你根据小天同学的思路，把上述因式分解的过程补充完整． (3)请直接写出最终结果． ①因式分解：_______ ②因式分解：_______． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查整式的乘法，因式分解的应用，解决本题的关键是根据示例的三种方法进行解答． （1）根据方法三，，令，得，将得代数式代入即可； （2）根据方法三，，令，得，将得代数式代入即可； （3）①根据方法二，，令，原式，将代入化简即可； ②根据方法一，，令，将代入，展开，发现式子是一个完全平方公式． 【详解】（1）解： ， ， 令，得， 即原式． （2）解： ， ， 令，得， 即原式． （3）解：① ， 令， 得 ． 故答案为：． ② ， 令， 得： ， 故答案为：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$