清单03 整式的运算（6个考点清单+19种题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（北京版2024）

清单03 整式的运算（6个考点梳理+19种题型解读） 清单01 同底数幂的乘法 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 清单02 幂的乘方与积的乘方 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 积的乘方 （1）积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 清单03 同底数幂的除法 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 零指数 a0=1 (a≠0) 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 负整数幂 当n 是正整数时，（，n是正整数） 清单04 整式的乘法 单项式的乘法法则 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 特别说明： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 特别说明： （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 清单05 整式的除法 单项式的除法法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 多项式除以单项式的法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 清单06 乘法公式 平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 完全平方公式 完全平方公式： 两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 补充公式 ；； ；. 【考点题型一 多项式的升幂、降幂排列】（） 1．多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把一个多项式按照某一字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按照这个字母降幂排列．本题考查多项式的降幂排列，掌握方法并注意符号不变才能正确求解． 【详解】解：依题意，按字母的降幂排列为 故选：C 2．多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了将多项式按某个字母降幂排列，熟练掌握多项式的项与次数的定义“多项式中每一个单项式称为该多项式的项（带符号）；次数最高的项的次数即为该多项式的次数”是解题关键．求出多项式的每一项中字母的次数，由此即可得． 【详解】解：在多项式中，中字母的次数是2，中字母的次数是0，中字母的次数是1，中字母的次数是4， 则这个多项式按字母的降幂排列为， 故选：C． 3．把多项式按的升幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．根据x的次数从小到大排列即可． 【详解】解：多项式按的升幂排列为． 故选：C． 4．多项式按字母的降幂排列是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式，解题的关键是掌握降幂排列的定义：按字母的指数从大到小排列即可． 【详解】解：多项式按字母的降幂排列是． 故答案为：． 【考点题型二 整式的加减运算】（） 5．计算与化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的化简，熟练计算是解题的关键． （1）先算乘方，再算括号内的加减运算，再算乘法，最后计算加减即可； （2）先去括号，再加减即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ， ． 6．计算： 【答案】 【分析】先去括号，后合并同类项解答即可. 本题考查了整式的加减，去括号，合并同类项，熟练掌握去括号法则是解题的关键. 【详解】解：                                          7．某教辅书中一道整式运算的参考答案污损看不清了，形式如下： 解：原式 ． (1)求污损部分的整式； (2)当时，求污损部分整式的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出关系式，去括号合并即可确定出所求． （2）把与的值代入（1）的结果中计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题意可得，污损不清的部分为： ； （2）解：当时，原式． 8．已知． (1)计算； (2)若、满足，求的值． 【答案】(1) (2)99 【分析】本题主要考查整式的加减运算和非负数的性质以及代数式求值，正确运用去括号法则进行化简是解答本题的关键． （1）原式去括号，合并同类项即可得到答案； （2）根据非负数的性质求出的值，再代入（1）中结果进行计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ． （2）解：∵， ∴，． 解得：，． 将，代入， 原式． 【考点题型三 整式加减的应用】（） 9．如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆窗框构成，下面是由两个大小相等的长x，宽y的长方形窗框构成，窗户全部安装玻璃．（本题中取3，长度单位为米） (1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米？（用含的式子表示） (2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米？铝合金窗框宽度忽略不计（用含的式子表示） 【答案】(1)一扇这样窗户一共需要铝合金米 (2)一扇这样窗户一共需要玻璃平方米 【分析】本题考查列代数式的实际应用，整式加减运算的实际应用，解题的关键是掌握长方形及半圆的周长、面积公式． （1）先根据图形得出半圆的半径，再计算出窗框的周长即可； （2）将两个长方形的面积和半圆的面积求和即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 取3． 原式 各：一扇这样窗户一共需要铝合金米； （2）解：根居题意得： 取， ∴原式 答：一扇这样窗户一共需要玻璃平方米． 10．对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为，若左、右边的宽均位，求： (1)装裱后对联的天头长与地头长； (2)装裱后对联的长与宽的差． 【答案】(1)天头长为，地头长为； (2)装裱后对联长与宽的差为 【分析】本题考查的知识点是列代数式、整式加减的运用，解题关键是用代数式将天头长与地头长表示出来． （1）用代数式将天头长与地头长的和表示出来，再由天头长与地头长的比分别求出天头长和地头长即可； （2）先表示出装裱后对联的长和宽，再相减即可． 【详解】（1）解：左、右边的宽均为，且左、右边均为天头长与地头长的和的， 天头长与地头长的和是， 天头长与地头长的比是， 天头长为， 地头长为； （2）解：装裱后对联的长为， 装裱后对联的宽为， 装裱后对联长与宽的差为． 11．如图甲，小红制作靠垫面子，其四周是由图乙剪出的四块相同的长方形布料拼接而成，正中间是一块正方形布料． (1)求正中间这块正方形布料的面积． (2)小明发现，若知道图乙大长方形布料的周长为，就可以求出图甲靠垫面子的总面积．你同意他的说法吗？若同意，请求出靠垫面子的面积；若不同意，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，正确理清图形面积与边长的关系是解题的关键． （1）中间小正方形的边长等于图乙中小长方形的长减去宽，据此求出变成即可求出面积； （2）根据周长计算公式可求出a的值，进而可求出图甲靠垫面子的边长，进而可求出面积． 【详解】（1）解：由题意得，中间正方形的边长为， ∴正中间这块正方形布料的面积为； （2）解：同意，理由如下： ∵图乙大长方形布料的周长为 ∴， ∴， ∴靠垫面子的边长为， ∴靠垫面子的面积为． 12．某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价300元，领带每条定价40元，厂家在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：方案一：买一套西装送一条领带；方案二：西装和领带都按定价的九折付款，现有一客户在促销活动期间要到该服装厂购买西装20套，领带条． (1)用含x的代数式分别表示选择两种方案所需的总费用； (2)当时，该客户选择哪种方案购买较为合算？ 【答案】(1)方案一：元；方案二：元 (2)方案一较为合算 【分析】此题考查了列代数式以及求代数式的值，理解方案中买一套西装送一条领带是解题关键． （1）根据买一套西装送一条领带，以及西装和领带都按定价的付款，西装每套定价300元，领带每条定价40元，现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条即可得出需付款数； （2）根据（1）中付款方式，求出哪种方案购买较为合算即可． 【详解】（1）解：方案一需付款：元； 方案二需付款：元； （2）解：，方案一需付费为：（元）， 方案二需付费为：（元）， ∵， ∴方案一购买较为合算． 【考点题型四 同底数幂乘法】（） 13．计算： 【答案】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方运算，首先计算同底数幂的乘法，然后计算幂的乘方即可求解．解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则． 【详解】解： ． 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】题干主要考查幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算幂的乘方运算，然后计算同底数幂的乘法运算即可； （2）先计算幂的乘方运算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）． 15．已知，（m，n是正整数）．求： (1)； (2)． 【答案】(1)256 (2)68 【分析】本题考查了幂的运算的逆运算及同底数幂的乘法的逆运算，解题关键是熟练运用幂的运算的逆运算法则进行求解． （1）利用同底数幂相乘的逆运算，幂的乘方的逆运算计算即可； （2）利用幂乘方的逆运算计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）． 16．计算： (1)； (2)为整数）； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】题目主要考查幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算幂的乘方的运算，然后计算同底数幂的乘法运算即可； （2）先计算幂的乘方的运算，然后计算同底数幂的乘法运算即可； （3）先计算幂的乘方的运算，然后计算同底数幂的乘法运算，最后合并同类项即可； （4）先计算幂的乘方的运算，然后计算同底数幂的乘法运算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ； （4） 【考点题型五 科学记数法】（） 17．经过近60年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完 备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒），提高了7个数量级，处于世界领先水平．已知1秒毫秒，1毫秒皮秒，则10秒等于（    ） A．皮秒 B．皮秒 C．皮秒 D．皮秒 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此求解即可； 【详解】解：1秒毫秒，1毫秒皮秒， 秒皮秒， 秒皮秒， 故选：B． 18．月球到地球的平均距离约为千米，而地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的390倍，由此可知，地球到太阳的平均距离约是（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】C 【分析】直接利用有理数的乘法运算法则求出即可． 【详解】解：， 地球到太阳的平均距离约为千米． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘法，正确掌握运算法则是解题关键． 19．2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出路程，再用科学记数法表示为的形式． 【详解】解：路程=． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 20．光速约为米/秒，太阳光射到地球上的时间约为秒，求地球与太阳的距离，用科学记数法表示为 米． 【答案】 【分析】用速度乘以时间求出距离，用科学记数法进行表示即可． 【详解】解：米； 故答案为： 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【考点题型六 幂的乘方】（） 21．化简结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方运算，先根据同底数幂的乘法可得底数为，再利用幂的乘方计算即可． 【详解】解： ； 故答案为： 22．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，掌握（、都是正整数）是解题关键．根据幂的乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 23．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方计算，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方计算，同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 24．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】题目主要考查同底数幂的乘法的运算，熟练掌握运算法则是解题关键 （1）根据同底数幂的乘法的运算法则计算求解即可； （2）利用幂的逆运算化简，然后根据同底数幂的乘法的运算法则计算求解即可； （3）根据同底数幂的乘法的运算法则计算求解即可； （4）根据同底数幂的乘法、幂的乘方及整式的加减运算可进行求解． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【考点题型七 积的乘方】（） 25．计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，先根据同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方进行计算，再合并同类项即可．理清指数的变化是解题的关键． 【详解】解： ． 26．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了积的乘方和幂的乘方运算，解题的关键是掌握积的乘方和幂的乘方运算法则． （1）利用积的乘方和幂的乘方运算法则求解即可； （2）利用积的乘方运算法则求解即可； （3）利用积的乘方和幂的乘方运算法则求解即可； （4）利用积的乘方和幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 27．计算： (1)（m是正整数）； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方积的乘方，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘‌，据此即可求解； （1）根据积的乘方进行计算即可； （2）根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可； （3）根据积的乘方进行计算即可； （4）根据积的乘方进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 28．已知，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，根据积的乘方计算法则得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【考点题型八 同底数幂的除法】（） 29．下列计算结果等于是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的运算以及整式的加法运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、除法法则以及整式加法的计算方法． 分别对每个选项进行计算，判断其结果是否等于． 【详解】A、10个相加，即，不等于，A错误； B、10个相乘，根据同底数幂的乘法法则：（、为正整数），可得（10个1相加），该选项正确，B正确； C、根据同底数幂的除法法则：、为正整数，且，，不等于，C错误； D、5个相加，即，不等于，D错误． 故选：D． 30．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是同底数幂的除法和幂的乘方、积的乘方，掌握同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则把原式变形，根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 31．已知，则 ． 【答案】16 【分析】此题考查了同底数幂的除法运算，正确将原式变形是解题关键．直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案． 【详解】∵ ∴． 故答案为：16． 32．尝试解决下列有关幂的问题： (1)若，求的值； (2)若，求值； 【答案】(1)15 (2)11或 【分析】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘法以及积的乘方，掌握同底数幂的除法法则，幂的乘法以及积的乘方法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘、除法法则，幂的乘方进行计算即可； （2）根据幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴或． 【考点题型九 零指数幂与负整数指数幂】（） 33．若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘方、负整数指数幂、零指数幂的计算，熟练掌握运算法则是解题关键； 分别计算乘方、负整数指数幂、零指数幂，再进行有理数的大小比较即可． 【详解】解：∵， ， ， ∴， 故选：D． 34．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥其中计算结果正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】此题考查了幂的运算法则、乘法公式等知识．根据运算法则计算即可． 【详解】解：①，选项计算错误； ②，选项计算正确； ③，选项计算错误； ④，选项计算错误； ⑤，选项计算错误； ⑥，选项计算正确， 综上可知，计算结果正确的有2个， 故选：A 35．已知，，，则a，b，c从小到大的排序是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了乘方运算，负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂运算法则，准确计算．分别求出a、b、c的值，然后再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴， 故答案为：． 36．计算：． 【答案】15 【分析】本题考查了化简绝对值，零次幂、乘方、负整数指数幂，先化简绝对值，零次幂、乘方、负整数指数幂，再运算加减，即可作答． 【详解】解： 【考点题型十 幂的运算结果等于1】（） 37．若，则x的值为 ． 【答案】或4 【分析】本题主要考查了零指数次幂，乘方的性质， 根据或或（n为偶数），解答即可． 【详解】解：当，且时， 解得； 当时，； 当时，，不符合题意． 所以x的值是或4． 故答案为：或4． 38．已知，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查零指数幂的性质以及有理数的乘方运算等知识，运用了分类讨论的思想，利用零指数幂，负1的偶数次幂等于是解题的关键．零指数幂是指任何一个不等于零的数的零次幂都等于． 直接利用零指数幂的性质以及的偶数次幂等于分别化简求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴当且时，解得： 当时，解得：， 当且为偶数时，解得：， ∴的值为或或． 故答案为：或或． 39．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了零指数幂，根据任何非零底数的零次幂的结果为1，求解即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 40．如果等式，则x的值为 ． 【答案】1或或0 【分析】本题考查利用乘方运算解方程，涉及，及等知识．由题意，结合，及分类讨论求解即可得到答案． 【详解】解：∵及，，， ∴分两种情况：①指数为；②底数为；③底数为，且指数为偶数； 当指数为时，，且，解得，且，即； 当底数为时，，解得； 底数为时，，解得，且，即； 故答案为：1或或0． 【考点题型十一 整式的乘法】（） 41．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以单项式法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】（1）解∶原式， （2）解∶原式 ． 42．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查单项式乘多项式以及多项式乘多项式的运算法则，解题的关键是准确运用相应法则进行计算． （1）利用单项式乘多项式法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相减． （2）利用多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再合并同类项即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 43．在整式的乘法中，不少运算是有规律可循的，只要细心探究，总结出规律．阅读下面的计算过程，回答问题 计算下列各式： ①；②． 解：①原式 ； ②原式 ． (1)观察上式，比较它们的计算结果，并填空：________． (2)用你发现的规律直接写出下列各式运算结果． ①________；     ②________； ③________；  ④________． 【答案】(1) (2)①②③④ 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式． （1）观察阅读材料得到结果即可； （2）利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④． 故答案为：①；②；③；④． 44．小明在计算一个多项式乘以时，因看错运算符号，算成了加上，得到的结果为． (1)求这个多项式； (2)请你帮助小明计算正确的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是多项式乘多项式，整式的加减混合运算．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （1）根据整式的加减混合运算求出原多项式即可； （2）根据多项式乘多项式法则求出正确的结果即可． 【详解】（1）解：多项式 ； （2）解： ． ∴正确的计算结果是． 【考点题型十二 多项式乘法与图形面积】（） 45．如图，公园有一块长为米．宽为米的空地，图中空白处有一些樱花树，为了能使新栽中的花有充足的阳光，计划在阴影部分栽种牡丹． (1)请用表示牡丹栽种的面积，结果化为最简； (2)若种植牡丹费用为元/平方米．已知米，米．那么栽种牡丹需要的费用为多少元？ 【答案】(1)平方米 (2)元 【分析】本题主要考查整式运算与图形面积，理解图示面积的计算，掌握整式的混合运算法则是关键． （1）根据图示，阴影部分的宽为，阴影部分（包括两个空白处）的面积为（平方米），阴影部分两个空白部分的面积为：（平方米），由此即可求解； （2）把米，米代入计算即可． 【详解】（1）解：公园有一块长为米．宽为米的空地， 根据图示，阴影部分的宽为， ∴阴影部分（包括两个空白处）的面积为（平方米）， 阴影部分两个空白部分的面积为：（平方米）， ∵计划在阴影部分栽种牡丹， ∴牡丹栽种的面积为：（平方米）； （2）解：已知米，米， ∴牡丹栽种的面积为（平方米）， ∵种植牡丹费用为元/平方米， ∴（元）， ∴栽种牡丹需要的费用为元． 46．如图，某区有一块长为米，宽为米的长方形广场，规划部门计划在广场内部两个正方形区域修建凉亭，其余部分进行绿化，两个正方形区域的边长均为米． (1)用含有的式子表示绿化的总面积；（结果化成最简形式） (2)若，，绿化成本为100元/每平方米，则完成绿化工程共需要多少元？ 【答案】(1)平方米 (2)元 【分析】本题考查整式混合运算解应用题，涉及整式乘法运算、整式加减运算及代数式求值等知识，读懂题意，数形结合是解决问题的关键． （1）根据题意，列代数式表示出绿化的总面积，再由整式的乘法运算及整式加减运算法则求解即可得到答案； （2）由（1）知绿化的总面积为，将，代入求解，再乘以绿化成本即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，绿化的总面积为 （平方米）； （2）解：由（1）知绿化的总面积为平方米， 当，时，原式， 绿化成本为100元/每平方米， 完成绿化工程共需要（元）． 47．如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为150元，求修建文化广场所需要的费用． 【答案】(1) (2)5700元 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）用大长方形面积减去两个空白部分的面积即可得到阴影部分面积； （2）将，代入求出面积，然后乘以单价即可． 【详解】（1）由题意得，“T”型图形的面积为： ． （2）当，时，， 修建文化广场所需要的费用为：（元）． 48．某镇正在建造的文化广场工地上，有两种铺设广场地面的材料，一种是长为，宽为的矩形板材（如图），另一种是边长为的正方形地砖（如图）．    (1)用几块如图所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形？并写出新正方形的面积（写出一个符合条件的答案即可）； (2)用如图所示的四块矩形板材铺成如图的大正方形或如图的大长方形，中间分别空出一个小正方形和小长方形（即图中阴影部分）； 请用含、的代数式分别表示图和图中阴影部分的面积； 试比较图和图中阴影部分的面积哪个大？大多少？ 【答案】(1)能，（答案不唯一） (2)①图③中阴影部分面积为；图④中阴影部分面积为；②图中阴影部分的面积较大，大 【分析】本题主要考查列代数式，整式乘法的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握完全平方公式． （1）根据拼成的正方形的边长，求出正方形的面积即可； （2）①根据正方形的边长求出正方形的面积即可；根据长方形的边长求出其面积即可； ②根据求出的正方形面积和长方形面积比较大小即可． 【详解】（1）解：四块即可拼成一个边长的的正方形，则面积是 ； （2）解：图中阴影部分的面积是：； 图中阴影部分的面积是： 故图中阴影部分的面积较大，大． 【考点题型十三 多项式乘法的化简求值】（） 49．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，化简求值，先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 50．先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【分析】本题主要考查了整式化简求值，根据多项式乘多项式，单项式乘多项式进行运算，然后代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 51．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，整式的加减计算，正确运算法则，正确计算是解题的关键． 先运用多项式乘以多项式和单项式乘以多项式法则进行计算，再进行加减计算，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当， 原式 ． 52．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式的乘法混合运算，涉及单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）先利用单项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可； （2）先利用多项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可； 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 【考点题型十四 多项式乘法的规律性计算】（） 53．在综合实践课上，老师让同学们探究“多项式的乘法”的结果的一般性规律问题： 观察发现：（1）①； ②； ③； ④___________．（填最终化简结果） 规律总结：（2）___________．（填最终化简结果） 应用规律：（3）①若，求的值； ②若的结果不含的项，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）①，② 【分析】本题考查了多项式的乘法运算，注意计算的准确性即可； （1）根据多项式的乘法运算法则即可求解； （2）根据多项式的乘法运算法则即可求解； （3）①计算即可求解；②计算即可求解； 【详解】解： （1） ． 故答案为： （2） ． 故答案为： （3）① ， ． ② 由 （2）的规律知： ， 的结果不含 的项， ， ． 54．【发现问题】 ， ， …… 小明在学习第十四章数学活动时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律． 【提出问题】 上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？ 如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10，上面的运算规律是否成立？ 【分析问题】 请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空： （1）①_____； ②_______________； （2）____________________； …… 【解决问题】 （3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为，个位上的数的和为，设其中一个数的个位上的数字为，请你用含有，的等式表示两数的积的规律，并证明． 【答案】①；②，，；（2），，，；（3），见解析 【分析】本题考查了数字的变化，根据数字的变化找出规律并计算求值，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键. （1）①直接计算即可； ②根据规律直接计算求值即可； （2）根据规律直接计算求值即可； （3）根据规律写出式子，证明即可. 【详解】解：（1）①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 证明如下： 左边， 右边， 左边右边， . 55．观察下列等式． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解答下列问题． (1)写出第5个等式： ． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字类规律探究，多项式乘以多项式，找到规律是解题的关键； （1）观察前几个式子得出第5个等式：； （2）猜想：第个等式为，根据多项式乘以多项式，进行计算证明，即可求解． 【详解】（1）解：第5个等式：． 故答案为：． （2）猜想：第个等式为 证明：左边 右边 左边右边 ∴ 56．先观察下列各式，再解答后面问题： ； ； ； ． (1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？ (2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来； (3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果． ①_____________； ②_____________． 【答案】(1)两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项 (2) (3)①；② 【分析】本题考查了多项式乘多项式． （1）根据乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项之间的规律作答； （2）根据（1）中呈现的规律，列出公式； （3）根据（2）中的公式代入计算． 【详解】（1）解：乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系为： 两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项； （2）解：公式为： （3）解：① ； ② ． 【考点题型十五 整式乘法混合运算】（） 57．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式乘除混合运算； （1）先进行乘方运算，再进行加减运算，即可求解； （2）先进行积的乘方与幂的乘方运算，再进行单项式的乘除运算，即可求解； 掌握运算法则及步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 58．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先计算单形式乘以多项式，再计算加法即可． （2）先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1） （2） 59．计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，积的乘方运算，单项式乘以单项式，熟记运算法则是解本题的关键． （1）先计算积的乘方运算，再计算单项式乘以单项式即可； （2）先计算零次幂，负整数指数幂，乘方运算，绝对值，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 60．先化简，再求值 (1)，其中． (2)，其中． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据整式混合运算法则进行计算，然后再代入数据进行计算即可； （2）先根据整式混合运算法则进行计算，然后再代入数据进行计算即可． 【详解】（1）解： ． 当时， 原式． （2）解： ， 当时， 原式． 【考点题型十六 乘法公式】（） 61．用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握乘法公式的结构特征是解题的关键； （1）利用平方差公式解答即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式解答即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： . 62．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法运算．根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】解： ． 63．已知，求代数式的值． 【答案】；6 【分析】本题考查了完全平方公式，单项式乘多项式及代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；先利用完全平方公式化简所求代数式，再根据化简结果将已知等式进行变形得出，然后作为整体代入求值即可得． 【详解】.解： ∵， ∴． ∴原式． 64．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题关键是熟悉完全平方公式与平方差公式． 先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式展开，再合并同类． 【详解】解：原式 ． 【考点题型十七 乘法公式与几何图形】（） 65．如图，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点B是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用.设，根据题意可得，，然后利用完全平方公式即可求出，进而可得答案． 【详解】设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴阴影部分的面积为； 故答案为：4． 66．现有如图所示的三种纸片若干张．淇淇要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，她选取纸片4张，再取纸片1张，还需要取纸片 张． 【答案】4 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用完全平方公式进行作答即可．熟练掌握完全平方公式的数形结合是解题的关键． 【详解】解：设取张纸片， 则可得大长方形的面积为， ， ，即需要取纸片张， 故答案为：． 67．如图，有两根同样长度的铁丝，一根折成长方形铁框，另一根折成正方形铁框．长方形的长为，宽为． (1)用a，b表示正方形的面积． (2)求正方形的面积与长方形的面积之差． (3)七年级上学期我们遇到过这样一个问题：“用同样长的栅栏围长方形，怎样围面积更大？”现在你能回答该问题吗？ 【答案】(1)； (2)； (3)能，所围成的正方形面积最大，理由见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）根据长方形的长和宽求出正方形的边长，再求出正方形的面积即可； （2）用正方形的面积减去长方形的面积，求出正方形的面积与长方形的面积之差即可； （3）根据正方形与长方形的面积差为，得出正方形的面积更大． 【详解】（1）解：∵长方形的长为，宽为， ∴正方形的面积为： ； （2）解：正方形的面积与长方形的面积之差为： ； （3）解：能；所围成的正方形面积最大； 因为正方形与长方形的面积差为： ， 所以正方形的面积更大． 68．如图所示，现有边长分别为、的正方形、邻边长为和的长方形硬纸板若干． (1)若要用这三类纸板拼成一个长为，宽为的长方形，则长方形面积可表示为______（结果需化简）．其中需要①类纸板________张，②类纸板________张，③类纸板______张； (2)现有①类纸板4张，②类纸板12张，则应至少取③类纸板_______张才能用它们拼成一个新的长方形； (3)已知长方形②的周长为30，面积为12，求小正方形①与大正方形③的面积之和． 【答案】(1)；；； (2)8 (3)376 【分析】本题主要考查了整式的运算以及完全平方式和几何关系以及应用，解题的关键是熟练掌握用整式的运算法则以及完全平方式的形式． （1）根据长方形的面积=长×宽，即可进行解答； （2）根据乘法公式，即可进行解答； （3）根据题意可得，，转化为完全平方式即可进行解答． 【详解】（1）解：长方形面积可表示为．其中需要①类纸板张，②类纸板张，③类纸板张； 故答案为：；；；； （2）解：∵或或或， ∴现有①类纸板4张，②类纸板12张，应至少取③类纸板8张才能用它们拼成一个新的长故答案为：8； （3）解：由已知得：，， ∴． 【考点题型十八 乘法公式的变形求值】（） 69．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，求解代数式的值.先利用平方差公式分解因式，再逐步代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴ ； 故答案为：. 70．如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，将所求式子先化简，然后将代入化简后的式子计算即可．熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：， ， 原式． 故答案为：． 71．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由平方差公式得，再把代入上式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 72．求下列代数式的值： (1)已知：．求：代数式的值． (2)已知，求的值． (3)若，，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，整式的化简和求值的应用，用了整体代入得思想，熟练掌握运算法则是关键． （1）先根据已知进行计算得出，再把所求的代数式化简得，最后代入求出即可； （2）运用两次完全平方公式进行计算即可求解． （3）根据题意得出，，根据，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ； （2）解：∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，则 ∴ 【考点题型十九 多项式除法】（） 73．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：． (1)求所捂的多项式； (2)若，，求所捂多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式除以单项式，代数式求值，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键． （1）根据乘除法互为逆运算，只需要计算出的结果即可得到答案； （2）把，，代入（1）所求结果中计算求解即可． 【详解】（1）解： 所捂的多项式为． （2）解：当，时，． 74．学习了多项式除以单项式以后，自然会想到如何进行多项式除以多项式的运算，类比两数相除用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算，其步骤是： ①把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； ②用竖式进行运算； ③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，计算：的运算步骤如下： 解： 所以，商式为，余式为． (1)计算：； (2)若的余式为零，求，的值． 【答案】(1)商式为，余式为 (2)， 【分析】本题考查了多项式除以多项式，掌握多项式的乘法是解题的关键． （1）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可； （2）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，最后结果余0，即可求得的值． 【详解】（1）解：， 所以，商式为，余式为； （2）解： ∵余式为零， ∴，， ∴，． 75．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和单项式除以多项式的计算法则去中括号内的小括号，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式化简并代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 76．读下面这位同学的计算过程，并完成任务： 先化简，再求值：其中 解：原式 第一步 ．第二步 ……第三步 当时， 原式……第四步 任务： (1)第一步运算用到了乘法公式___________（用字母a和b表示，写出 一种即可）； (2)以上步骤第______步开始出现了错误； (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1) (2)一 (3)见解析 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟知乘法公式是解题的关键． （1）第一步用了完全平方公式和平方差公式，据此可得答案； （2）第一步完全平方公式去括号时x的一次项和y的二次项去括号时变号错误，据此可得答案； （3）先根据乘法公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，第一步用到了完全平方公式和平方差公式，即； （2）解：观察可知以上步骤是第一步开始出现了错误，第一步完全平方公式计算的结果为，去括号后的结果为． （3）解： ， 当时，原式． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 整式的运算（6个考点梳理+19种题型解读） 清单01 同底数幂的乘法 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 清单02 幂的乘方与积的乘方 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 积的乘方 （1）积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 清单03 同底数幂的除法 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 零指数 a0=1 (a≠0) 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 负整数幂 当n 是正整数时，（，n是正整数） 清单04 整式的乘法 单项式的乘法法则 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 特别说明： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 特别说明： （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 清单05 整式的除法 单项式的除法法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 多项式除以单项式的法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．清单06 乘法公式 平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 完全平方公式 完全平方公式： 两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 补充公式 ；； ；. 【考点题型一 多项式的升幂、降幂排列】（） 1．多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 3．把多项式按的升幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．多项式按字母的降幂排列是 ． 【考点题型二 整式的加减运算】（） 5．计算与化简： (1) (2) 6．计算： 7．某教辅书中一道整式运算的参考答案污损看不清了，形式如下： 解：原式 ． (1)求污损部分的整式； (2)当时，求污损部分整式的值． 8．已知． (1)计算； (2)若、满足，求的值． 【考点题型三 整式加减的应用】（） 9．如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆窗框构成，下面是由两个大小相等的长x，宽y的长方形窗框构成，窗户全部安装玻璃．（本题中取3，长度单位为米） (1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米？（用含的式子表示） (2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米？铝合金窗框宽度忽略不计（用含的式子表示） 10．对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为，若左、右边的宽均位，求： (1)装裱后对联的天头长与地头长； (2)装裱后对联的长与宽的差． 11．如图甲，小红制作靠垫面子，其四周是由图乙剪出的四块相同的长方形布料拼接而成，正中间是一块正方形布料． (1)求正中间这块正方形布料的面积． (2)小明发现，若知道图乙大长方形布料的周长为，就可以求出图甲靠垫面子的总面积．你同意他的说法吗？若同意，请求出靠垫面子的面积；若不同意，请说明理由． 12．某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价300元，领带每条定价40元，厂家在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：方案一：买一套西装送一条领带；方案二：西装和领带都按定价的九折付款，现有一客户在促销活动期间要到该服装厂购买西装20套，领带条． (1)用含x的代数式分别表示选择两种方案所需的总费用； (2)当时，该客户选择哪种方案购买较为合算？ 【考点题型四 同底数幂乘法】（） 13．计算： 14．计算： (1)； (2)． 15．已知，（m，n是正整数）．求： (1)； (2)． 16．计算： (1)； (2)为整数）； (3)； (4)． 【考点题型五 科学记数法】（） 17．经过近60年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完 备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒），提高了7个数量级，处于世界领先水平．已知1秒毫秒，1毫秒皮秒，则10秒等于（    ） A．皮秒 B．皮秒 C．皮秒 D．皮秒 18．月球到地球的平均距离约为千米，而地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的390倍，由此可知，地球到太阳的平均距离约是（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 19．2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 20．光速约为米/秒，太阳光射到地球上的时间约为秒，求地球与太阳的距离，用科学记数法表示为 米． 【考点题型六 幂的乘方】（） 21．化简结果为 ． 22．计算的结果为 ． 23．计算： ． 24．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点题型七 积的乘方】（） 25．计算：． 26．计算： (1) (2) (3) (4) 27．计算： (1)（m是正整数）； (2)； (3)； (4)． 28．已知，求的值． 【考点题型八 同底数幂的除法】（） 29．下列计算结果等于是（   ） A． B． C． D． 30．若，则的值是 ． 31．已知，则 ． 32．尝试解决下列有关幂的问题： (1)若，求的值； (2)若，求值； 【考点题型九 零指数幂与负整数指数幂】（） 33．若，，，则（　　） A． B． C． D． 34．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥其中计算结果正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 35．已知，，，则a，b，c从小到大的排序是 ． 36．计算：． 【考点题型十 幂的运算结果等于1】（） 37．若，则x的值为 ． 38．已知，则 ． 39．若，则 ． 40．如果等式，则x的值为 ． 【考点题型十一 整式的乘法】（） 41．计算： (1)； (2)． 42．计算： (1)； (2)． 43．在整式的乘法中，不少运算是有规律可循的，只要细心探究，总结出规律．阅读下面的计算过程，回答问题 计算下列各式： ①；②． 解：①原式 ； ②原式 ． (1)观察上式，比较它们的计算结果，并填空：________． (2)用你发现的规律直接写出下列各式运算结果． ①________；     ②________； ③________；  ④________． 44．小明在计算一个多项式乘以时，因看错运算符号，算成了加上，得到的结果为． (1)求这个多项式； (2)请你帮助小明计算正确的结果． 【考点题型十二 多项式乘法与图形面积】（） 45．如图，公园有一块长为米．宽为米的空地，图中空白处有一些樱花树，为了能使新栽中的花有充足的阳光，计划在阴影部分栽种牡丹． (1)请用表示牡丹栽种的面积，结果化为最简； (2)若种植牡丹费用为元/平方米．已知米，米．那么栽种牡丹需要的费用为多少元？ 46．如图，某区有一块长为米，宽为米的长方形广场，规划部门计划在广场内部两个正方形区域修建凉亭，其余部分进行绿化，两个正方形区域的边长均为米． (1)用含有的式子表示绿化的总面积；（结果化成最简形式） (2)若，，绿化成本为100元/每平方米，则完成绿化工程共需要多少元？ 47．如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为150元，求修建文化广场所需要的费用． 48．某镇正在建造的文化广场工地上，有两种铺设广场地面的材料，一种是长为，宽为的矩形板材（如图），另一种是边长为的正方形地砖（如图）．    (1)用几块如图所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形？并写出新正方形的面积（写出一个符合条件的答案即可）； (2)用如图所示的四块矩形板材铺成如图的大正方形或如图的大长方形，中间分别空出一个小正方形和小长方形（即图中阴影部分）； 请用含、的代数式分别表示图和图中阴影部分的面积； 试比较图和图中阴影部分的面积哪个大？大多少？ 【考点题型十三 多项式乘法的化简求值】（） 49．先化简，再求值：，其中． 50．先化简，再求值：，其中． 51．先化简，再求值：，其中． 52．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【考点题型十四 多项式乘法的规律性计算】（） 53．在综合实践课上，老师让同学们探究“多项式的乘法”的结果的一般性规律问题： 观察发现：（1）①； ②； ③； ④___________．（填最终化简结果） 规律总结：（2）___________．（填最终化简结果） 应用规律：（3）①若，求的值； ②若的结果不含的项，求的值． 54．【发现问题】 ， ， …… 小明在学习第十四章数学活动时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律． 【提出问题】 上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？ 如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10，上面的运算规律是否成立？ 【分析问题】 请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空： （1）①_____； ②_______________； （2）____________________； …… 【解决问题】 （3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为，个位上的数的和为，设其中一个数的个位上的数字为，请你用含有，的等式表示两数的积的规律，并证明． 55．观察下列等式． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解答下列问题． (1)写出第5个等式： ． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 56．先观察下列各式，再解答后面问题： ； ； ； ． (1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？ (2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来； (3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果． ①_____________； ②_____________． 【考点题型十五 整式乘法混合运算】（） 57．计算： (1)； (2)． 58．计算 (1) (2) 59．计算 (1)； (2) 60．先化简，再求值 (1)，其中． (2)，其中． 【考点题型十六 乘法公式】（） 61．用乘法公式计算： (1)； (2)． 62．化简：． 63．已知，求代数式的值． 64．化简：． 【考点题型十七 乘法公式与几何图形】（） 65．如图，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点B是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为 ． 66．现有如图所示的三种纸片若干张．淇淇要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，她选取纸片4张，再取纸片1张，还需要取纸片 张． 67．如图，有两根同样长度的铁丝，一根折成长方形铁框，另一根折成正方形铁框．长方形的长为，宽为． (1)用a，b表示正方形的面积． (2)求正方形的面积与长方形的面积之差． (3)七年级上学期我们遇到过这样一个问题：“用同样长的栅栏围长方形，怎样围面积更大？”现在你能回答该问题吗？ 68．如图所示，现有边长分别为、的正方形、邻边长为和的长方形硬纸板若干． (1)若要用这三类纸板拼成一个长为，宽为的长方形，则长方形面积可表示为______（结果需化简）．其中需要①类纸板________张，②类纸板________张，③类纸板______张； (2)现有①类纸板4张，②类纸板12张，则应至少取③类纸板_______张才能用它们拼成一个新的长方形； (3)已知长方形②的周长为30，面积为12，求小正方形①与大正方形③的面积之和． 【考点题型十八 乘法公式的变形求值】（） 69．已知，则的值为 ． 70．如果，那么的值为 ． 71．已知，则 ． 72．求下列代数式的值： (1)已知：．求：代数式的值． (2)已知，求的值． (3)若，，求的值 【考点题型十九 多项式除法】（） 73．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：． (1)求所捂的多项式； (2)若，，求所捂多项式的值． 74．学习了多项式除以单项式以后，自然会想到如何进行多项式除以多项式的运算，类比两数相除用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算，其步骤是： ①把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； ②用竖式进行运算； ③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，计算：的运算步骤如下： 解： 所以，商式为，余式为． (1)计算：； (2)若的余式为零，求，的值． 75．先化简，再求值：，其中． 76．读下面这位同学的计算过程，并完成任务： 先化简，再求值：其中 解：原式 第一步 ．第二步 ……第三步 当时， 原式……第四步 任务： (1)第一步运算用到了乘法公式___________（用字母a和b表示，写出 一种即可）； (2)以上步骤第______步开始出现了错误； (3)请写出正确的解答过程． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$