清单02 二元一次方程组（4个考点清单+18种题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（北京版2024）

清单02 二元一次方程组（4个考点梳理+18种题型解读） 清单01 二元一次方程（组）的定义与解 二元一次方程（组）的概念 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 二元一次方程（组）的解 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 清单02 二元一次方程组的解法 二元一次方程组的解法 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 清单03 三元一次方程组的解 三元一次方程（组）的概念与解法 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 清单04 二元一次方程组的应用 列方程组解应用题的基本思路： 列方程组解应用题就是把实际问题抽象为方程组模型，关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。一般地，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： （1）方程两边表示的是同类量； （2）同类量的单位要统一； （3）方程两边的数值要相等。 列二元一次方程组解应用题必须找出两个等量关系，列出两个方程。 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）审题：分析题中已知什么、求什么、明确各数量之间的关系； （2）设未知数：一般求什么，就设什么为； （3）找等量关系； （4）列方程组：根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组； （5）解：解所列方程组，求出未知数的值； （6）检验：检验所求未知数的值是否符合方程组，是否符合实际； （7）答：写出答案。 列二元一次方程组解应用题的常见类型 （1）和差倍分问题：增长量=原有量×增长率；较大量=较小量+多余量；总量=倍数×倍量； （2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是加工总量成比例； （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总量； （4）利润问题：商品售价=标价×折扣率；商品利润=商品售价-商品进价；利润率=； （5）行程问题：速度×时间=路程；顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； （6）方案问题：在解决问题时，常常需合理安排，需要从几种方案中选择最佳方案，方案选择题的题干较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。 【考点题型一 二元一次方程的定义】（） 1．下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．已知方程是关于，的二元一次方程，则的值是（    ） A．1 B．0 C． D．1或 3．如果是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（ ） A．2 B．2或 C．1 D． 4．若是关于，的二元一次方程，则的值是 ． 【考点题型二 二元一次方程的解】（） 5．写出一个解为的二元一次方程 . 6．已知是方程的一个解，则的值是 ． 7．已知是方程的一个解，则的值是（   ） A．3 B． C．4 D． 8．已知是二元一次方程的解，则的值是（   ） A． B． C．9 D． 【考点题型三 二元一次方程组的定义和解】（） 9．小亮解方程组时，得到其正确的解为，但不小心滴上的两滴墨水刚好遮住了两个数和，则这两个数分别为（　　） A．8和 B．6和4 C．2和8 D．6和 10．下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 11．若关于、的二元一次方程有一个解是，则 ． 12．若是关于的二元一次方程组，则 ． 【考点题型四 代入消元法】（） 13．把方程改写成用表示的式子是 ． 14．方程组的解是 ． 15．解方程组 (1) (2) 16．解方程组：． 【考点题型五 加减消元法】（） 17．用加减消元法解方程组：． 18．解方程组： 19．解下列方程组： (1) (2) 20．解下列方程组： (1)； (2)． 【考点题型六 三元一次方程组的解】（） 21．解方程组： (1)； (2)． 22．解方程组： 23．解方程组： (1) (2) 24．在等式中，当时，；当时，；当与时，的值相等，求，，的值． 【考点题型七 三元一次方程组的应用】（） 25．有这样一个问题；甲、乙、丙三种商品：①购买甲3件、乙5件、丙7件共需要490元；②购买甲4件、乙7件、丙10件共需要690元；③购买甲2件、乙3件、丙1件共需要170元．求购买甲、乙、丙三种商品各一件需要多少元？ 欢欢认为：可以根据题意列出三元一次方程组，分别求出甲、乙、丙商品的单价，再相加即可求得答案． 乐乐认为：这道题目去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求得答案． (1)请你根据欢欢的思路解决问题． (2)你认为乐乐的说法正确吗？如果正确，请根据乐乐的思路完成解答过程；如果不正确，请说明理由． 26．阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．请根据上述思想解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，分别求和的值； (2)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，求的值． 27．小明从家到学校的路程是，其中有一段上坡路，一段平路和一段下坡路．如果保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用．小明从家到学校的上坡路，平路，下坡路分别是多少千米？ 28．【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 【考点题型八 构造二元一次方程组求解】（） 29．已知和是关于的二元一次方程的两组解． (1)求的值； (2)当时，求的值． 30．若方程组的解为，则方程组的解为 ． 31．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为 ． 0 1 2 1 4 32．对定义一种新运算“※”，规定：（其中均为非零实数），若，，则的值是（   ） A．13 B． C．11 D． 【考点题型九 已知二元一次方程组解的情况求参数】（） 33．若关于的方程组的解满足，则的最小整数解为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 34．已知方程组，与的值之和等于2，则的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 35．若方程组的解满足，则 ． 36．已知关于的方程组，若方程组的解互为相反数，求的值． 【考点题型十 二元一次方程组的应用之方案问题】（） 37．“亲子猫”研学公司组织某中学师生共人到佛顶山去参加研学活动，请阅读下列对话，解决实际问题： 老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用辆座客车和辆座客车到佛顶山研学，一天的租金共计元．” 小英说：“我们学校七年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到佛顶山研学活动，一天的租金共计元．” (1)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，若使用最省钱的租车方式，则租车费用应为多少元？ 38．得益于“互联网”和人工智能的发展，无人配送服务行业已经进入人们的生活．某大学校园内使用了无人配送车和无人机配送快递．已知一架无人机一次可运送3千克货物，一辆无人配送车一趟可运送120千克货物．快递公司提供了无人机和无人配送车共30台运送2430千克货物，求运送物资使用的无人机和无人配送车各有几台． 39．某中学组织师生共人去参观博物院．阅读下列对话： 李老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用辆座客车和辆座客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” 小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” (1)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（利用二元一次方程组求解） (2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，若使用最省钱的租车方式，则租车费用为 元． 40．某中学决定组织部分班级去三清山开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生，参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？ 【考点题型十一 二元一次方程组的应用之行程问题】（） 41．周末，小明和他爸爸来到环形场跑步锻炼，绕环形场跑一圈的路程为400米．若两人同时同地反向而跑，则经过36s后首次相遇，若两人同时同地同向而跑，则经过180s后，爸爸首次从后面追上小明，问：小明和爸爸的速度各为多少？ 42．小红和小丽在的环形跑道上跑步，他们于同一个起点同时出发．如果同向跑，那么经过200s两人第一次相遇；如果反向跑，那么经过40s两人第一次相遇．若小红比小丽跑得快，则小红、小丽跑步的平均速度分别是多少？ 43．小强家和小勇家相距，他们各自骑自行车到对方家去．若他们同时出发，则后在路上相遇；若小强出发后小勇才出发，则小勇出发后他们在路上相遇．小强和小勇骑自行车的速度分别是多少？ 44．李明家和王方家相距，他们各自骑自行车到对方家去．若他们同时出发，则后在路上相遇；若李明出发后王方才出发，则王方出发后他们在路上相遇．李明和王方骑自行车的平均速度分别是多少？ 【考点题型十二 二元一次方程组的应用之工程问题】（） 45．根据以下素材，探索完成任务 素材1 某乡政府为巩固脱贫攻坚与乡村振兴有效衔接赋能，营造营销便利环境，促进乡村特色产品的销售；准备在辖区内新建一条长600米的公路； 素材2 计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程； 素材3 若甲工程队每天的施工费用为0.6万元，甲、乙两个工程队同时共同施工10天后甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元； 任务1 设甲、乙两个工程队每天分别施工x和y米．则甲工程队单独施工10天完成的工程量是______米；乙工程队单独施工15天完成的工程量是______米；（用含有字母的代数式表示） 任务2 求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？ 任务3 求乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？ 46．现有大量的沙石需要运输．“益安”车队原来有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石．求“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？ 47．（应用意识）为了交通便捷，某省开始修建高铁，其中段将于2025年年底建成．开通后的段高铁将比现在运行的段城际铁路全长缩短，全程仅需．已知段城际列车全程需要，平均速度是开通后的高铁的． (1)段高铁与段城际铁路全长各为多少千米？ (2)甲、乙两个工程队同时对段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为，计划40天完成．施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？ 48．玲玲家准备装修一套新住房，若甲乙两个装修公司合作，需6周完成，若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成，如果从节约时间的角度考虑，应选哪家公司？ 【考点题型十三 二元一次方程组的应用之数字问题】（） 49．算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数，个位数字与十位数字之和是百位数字的2倍；个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 50．两个两位数的差是10，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，若这两个四位数的和是5050，求较大的两位数与较小的两位数分别是多少？ 51．有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． (1)原来的两位数为 ，新的两位数为 ．（用含有x、y的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 52．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9．求这个两位数？ 【考点题型十四 二元一次方程组的应用之年龄问题】（） 53．已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则甲、乙现在的年龄差为 ． 54．一名学生问老师：“你今年多大了？”老师风趣地说“我像你这样大的时候，你才2岁；你到我这么大时，我已经38岁了”，则今年老师的岁数是 ． 55．在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 56．某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【考点题型十五 二元一次方程组的应用之分配问题】（） 57．某工厂现有某种原料，可以用来生产两种产品，每生产种产品需这种原料，生产费用为900元；每生产种产品需这种原料，生产费用为1000元．可用来生产这两种产品的资金为53万元，两种产品各生产多少吨才能使库存原料和资金恰好用完？先列表分析数量关系再解答． 58．一套仪器由1个A部件和2个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应分别用多少立方米钢材做A部件和B部件？恰好配成这种仪器多少套？ 59．某酒店客房部有三人间和双人间两种普通客房，收费标准为三人间300元/间，双人间280元/间，为了吸引游客，酒店实行团体人住五折优惠措施，一个46人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去2620元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间? 60．某纸品加工厂制作甲（需要材料为1个正方形和4个长方形）、乙（需要材料为2个正方形和3个长方形）两种无盖的长方体小盒，利用边角料裁出正方形、长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形边长相等，现将160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两种无盖长方体小盒，分别可以做多少个？ 【考点题型十六 二元一次方程组的应用之销售、利润问题】（） 61．某校举行数学竞赛，需要购买钢笔与笔记本作奖品．已知购买60支钢笔和30本笔记本需要1080元，购买50支钢笔和10本笔记本需要840元． (1)购买1支钢笔和1本笔记本各需多少元？ (2)若需要购买100件奖品，且购买费用不超过1360元，则最多可以买多少支钢笔？ 62．小郑在某零食批发城分两次购进两款零食到夜市摆摊，每次进货的单价相同，已知这两次购买零食的数量和总费用如下表： A的数量／包 B的数量／包 购买总费用／元 第一次进货 第二次进货 (1)分别求两款零食每件的进货单价． (2)款零食按每包7元出售；款零食标价为元／包，为吸引客人，款零食按标价的七折出售．若小郑计划第三次再用不超过元的费用购进这两款零食共包进行销售（进价不变），怎样进货才能使第三次购进的零食销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 63．某网店销售A，B两种款式的商品，第一个月A，B两种款式的销售量为400件．第二个月卖出A款商品的数量比第一个月多15％，卖出B款商品的数量比第一个月少20％，这两种款式的商品的总销量增加了25件．问第一个月A，B两种款式的商品各卖了多少件？ 64．“冰雪同梦，亚洲同心”、2025年2月7日至2月14日第九届亚冬会在冰城哈尔滨隆重举行，中国队奖牌总数排名第一、黑龙江逊克北红玛瑙是独具龙江特色的纪念品，被镶嵌于本届亚冬会奖牌上．艳硕购物中心共购进A，B两种型号红玛瑙挂件100件，花费9200元、两种型号挂件进价和售价如下表． 价格 型号 进价（元/件） 售价（元/件） A型挂件 B型挂件 (1)求购进A，B两种型号挂件各多少件； (2)该购物中心在销售过程中，A型挂件以原售价销售一部分后，对剩余A型挂件按原售价打八折销售，B型挂件售价不变．若这100件两种型号挂件全部销售完共获利3600元，那么有多少件A型挂件打折销售？ 【考点题型十七 二元一次方程组的应用之和差倍分问题】（） 65．某生态柑橘园现有柑橘24t，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用3辆A型车和2辆B型车一次可运柑橘13t；用4辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘18t． (1)1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨？ (2)若计划租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租车方案（要求A、B型货车都要有）． 66．列方程（组）解实际问题 为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过，、两类物质排放量之和不超过． 已知该型号某汽车的、两类物质排放量之和原为．经过一次技术改进后，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了60%，、两类物质排放量之和为．判断这一次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由． 67．燃气费由基本月租费、保险费和超额费组成．当燃气使用量不超过时，当月需缴纳保险费3元和基本月租费b元；当燃气使用量超过时，超出的部分还要按3.2元计费．小红家3月、4月的燃气使用量与缴费情况如下表，其中3月的燃气使用量未超过． 月份 燃气使用量/ 燃气费/元 3月 4 10 4月 20 58 (1)求a，b的值； (2)已知小红家5月缴纳燃气费42元，那么她家这个月的燃气使用量为多少？ 68．2024年10月30日，搭载“神舟十九号”载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，将航天员蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利送入太空，“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功.某电商平台经销商看准商机，迅速推出“天宫”和“神舟”两款模型玩具，已知销售店老板从玩具生产商购进1个“天官”模型的费用比购进1个“神舟”模型的费用多20元；购进3个“天宫”模型的费用与购进4个“神舟”模型的费用相等.分别求“天宫”模型和“神舟”模型的进货单价. 【考点题型十八 二元一次方程组的应用之几何问题】（） 69．如图，在长为，宽为的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，求其中一个小矩形花圃的长与宽． 70．七年级某数理兴趣小组在开展活动中，组长小明裁剪了16张一样大小的长方形硬纸片，组员小亮用其中的8张恰好拼成一个大的长方形，小聪用另外的8张拼成一个大的正方形，但中间留下一个边长为的正方形（见如图中间的阴影方格），请你算出小明裁剪的每张长方形硬纸片长与宽分别是多少？ 71．数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究． (1)小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为，周长为，请求出该长方形纸片的长和宽： (2)小葵在长方形内画出边长为的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，问：小葵的判断正确吗?请说明理由． 72．根据表中的素材，完成下面的任务： 制作无盖长方体纸盒 素材1 裁剪长方形纸板 将某种规格的长方形纸板按图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板． 素材2 制作无盖长方体纸盒 4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒；3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图4所示的无盖长方体纸盒． 问题解决 任务 制作图3、图4规格的纸盒若干个 若有21张长方形纸板，且恰好能够完成制作（纸板无剩余），则能做成图3、图4规格的纸盒各多少个？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 二元一次方程组（4个考点梳理+18种题型解读） 清单01 二元一次方程（组）的定义与解 二元一次方程（组）的概念 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 二元一次方程（组）的解 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 清单02 二元一次方程组的解法 二元一次方程组的解法 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 清单03 三元一次方程组的解 三元一次方程（组）的概念与解法 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 清单04 二元一次方程组的应用 列方程组解应用题的基本思路： 列方程组解应用题就是把实际问题抽象为方程组模型，关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。一般地，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： （1）方程两边表示的是同类量； （2）同类量的单位要统一； （3）方程两边的数值要相等。 列二元一次方程组解应用题必须找出两个等量关系，列出两个方程。 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）审题：分析题中已知什么、求什么、明确各数量之间的关系； （2）设未知数：一般求什么，就设什么为； （3）找等量关系； （4）列方程组：根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组； （5）解：解所列方程组，求出未知数的值； （6）检验：检验所求未知数的值是否符合方程组，是否符合实际； （7）答：写出答案。 列二元一次方程组解应用题的常见类型 （1）和差倍分问题：增长量=原有量×增长率；较大量=较小量+多余量；总量=倍数×倍量； （2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是加工总量成比例； （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总量； （4）利润问题：商品售价=标价×折扣率；商品利润=商品售价-商品进价；利润率=； （5）行程问题：速度×时间=路程；顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； （6）方案问题：在解决问题时，常常需合理安排，需要从几种方案中选择最佳方案，方案选择题的题干较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。 【考点题型一 二元一次方程的定义】（） 1．下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的识别，二元一 次方程必须符合三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．由此逐项判断即可． 【详解】解：A，中含未知数项的最高次数为2，不是二元一次方程，不合题意； B，是二元一次方程，符合题意； C，中含未知数项的最高次数为2，不是二元一次方程，不合题意； D，不是整式方程，不是二元一次方程，不合题意； 故选B． 2．已知方程是关于，的二元一次方程，则的值是（    ） A．1 B．0 C． D．1或 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此进行求解即可． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴且， ∴， 故选：A． 3．如果是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（ ） A．2 B．2或 C．1 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程定义，绝对值，关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 利用二元一次方程定义可得答案． 【详解】解：是关于x、y的二元一次方程， 且， 解得， 故选：D． 4．若是关于，的二元一次方程，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数都为1的整式方程叫做二元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：3． 【考点题型二 二元一次方程的解】（） 5．写出一个解为的二元一次方程 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．取方程，将x，y的值相加，即可得出结论． 【详解】解：， ， 是二元一次方程的一个解． 故答案为：（答案不唯一）． 6．已知是方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据是方程的一个解，得，即，进行作答即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， 即， ∴， 故答案为： 7．已知是方程的一个解，则的值是（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解本题的关键． 把代入方程，建立关于m的方程，求解即可． 【详解】解：把代入方程，得 ， 解得：， 故选：C． 8．已知是二元一次方程的解，则的值是（   ） A． B． C．9 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根据二元一次方程的解求参数，把的值代入方程，根据等式的性质变形即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， 故选：A． 【考点题型三 二元一次方程组的定义和解】（） 9．小亮解方程组时，得到其正确的解为，但不小心滴上的两滴墨水刚好遮住了两个数和，则这两个数分别为（　　） A．8和 B．6和4 C．2和8 D．6和 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解的定义，掌握二元一次方程组的解满足各个方程是解题的关键．直接根据方程组解的定义把代入方程求出y的值，进而求出的值，由此即可得到答案． 【详解】解：∵方程组 的解为， ∴， ∴， ∴， ∴和分别表示8和， 故选：A． 10．下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的判断，根据由两个一次方程，共含有2个未知数，组成的方程组叫做二元一次方程组，进行判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程组，符合题意； B、含有2次项，不是二元一次方程组，不符合题意； C、含有2次项，不是二元一次方程组，不符合题意； D、含有3个未知量，不是二元一次方程组，不符合题意； 故选A． 11．若关于、的二元一次方程有一个解是，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程的解以及解一元一次方程，将方程的解代入，再解关于的一元一次方程． 【详解】解：将代入得，， 解得：． 故答案为：． 12．若是关于的二元一次方程组，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，，， ， ． 故答案为：． 【考点题型四 代入消元法】（） 13．把方程改写成用表示的式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，先把含x的项移动到方程的右边，再把y的系数化为1即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 14．方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 利用代入消元法解答即可． 【详解】解：， 将代入，得， 解得：， 将代入，得， 故答案为：． 15．解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，灵活选用解二元一次方程组的解法是解答本题的关键． （1）方程组运用代入法进行计算即可； （2）方程组整理后运用代入法求解即可． 【详解】（1）解：， 由①得，，③ 把代入②得，， 解得，， 把代入③得，， 所以，方程组的解为； （2）解：方程组整理为 把②代入①得，， 拟，方程组的解为． 16．解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得， ，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， 方程组的解集为． 【考点题型五 加减消元法】（） 17．用加减消元法解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，灵活运用加减消元法解二元一次方程组成为解题的关键． 运用加减消元法求解即可． 【详解】解： ①，得，③ ，得，解得：， 将代入①，得，解得：， 所以这个方程组的解是． 18．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握消元法解方程组，是解题的关键．利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解： ①②得：， 解得， 把代入①得， ∴方程组的解为． 19．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握消元法． （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 将得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为：； （2）解： 将得， 解得， 将代入得， 解得， ∴方程组的解为：． 20．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得：，解得， 把代入①得：， ∴原方程组的解为； （2）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 【考点题型六 三元一次方程组的解】（） 21．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）由①得，，然后将④代入②，③整理得到，然后利用加减消元法求出，，然后代入①求解即可． 【详解】（1）解： 得： 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （2）解： 由①得， 将④代入②，③得， 整理得， 得： 解得 将代入⑤得： 解得， 将，代入①得， 解得 ∴方程组的解为：． 22．解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了三元一次方程组的解法，解题的关键是掌握把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法，从而得出答案．由得，进而再利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， 得：， 整理得：④， 得：， 得：， 得：， ∴方程组的解为． 23．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了方程组的求解，解题的关键是运用合适的消元方法化简方程组。 （1）通过去分母等操作化简后消元求解； （2）三元一次方程组通过方程间的加减消元逐步化为二元一次方程组再求解。 【详解】（1）解：， ，得：， ③， ，得：， 将代入③，得：， 解得：， 故方程组的解为； （2）解： 得：， 得：， ， 得：， 解得：， 将代入④得：； 将代入③得：， 则方程组的解为． 24．在等式中，当时，；当时，；当与时，的值相等，求，，的值． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，理解消元的思想方法并类比应用是解决本题的关键．将x，y对应值代入等式可得三个三元一次方程构成的方程组，通过消元即可解得． 【详解】解：依题意，得． ①-②得： 解得： 把代入③得， 解得： 把，代入①得 解得： 解得：． 【考点题型七 三元一次方程组的应用】（） 25．有这样一个问题；甲、乙、丙三种商品：①购买甲3件、乙5件、丙7件共需要490元；②购买甲4件、乙7件、丙10件共需要690元；③购买甲2件、乙3件、丙1件共需要170元．求购买甲、乙、丙三种商品各一件需要多少元？ 欢欢认为：可以根据题意列出三元一次方程组，分别求出甲、乙、丙商品的单价，再相加即可求得答案． 乐乐认为：这道题目去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求得答案． (1)请你根据欢欢的思路解决问题． (2)你认为乐乐的说法正确吗？如果正确，请根据乐乐的思路完成解答过程；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用， 对于（1），先设甲，乙，丙商品的单价，再根据总价相等列出三元一次方程组，求出解即可； 对于（2），仿照（1）列出两个方程，再根据整体的思想求出答案即可． 【详解】（1）解：设甲，乙，丙商品的单价为x元，y元，z元，根据题意，得 ， 解得， ∴． 答：购买甲，乙，丙三种商品各一件共需90元； （2）解：乐乐的说法正确． 设购买甲，乙商品的单价为x元，y元，根据题意，得 ， 得． 答：购买甲，乙，丙三种商品各一件共需90元． 26．阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．请根据上述思想解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，分别求和的值； (2)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，求的值． 【答案】(1)11，5 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将两方程相加可求的值，将两方程相减可求的值； （2）由题意列出方程组，再计算出①②的结果，即可求解． 【详解】（1）解：， ①②可得：， ①②可得：； （2）解：∵， ∴， ①②可得：． 27．小明从家到学校的路程是，其中有一段上坡路，一段平路和一段下坡路．如果保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用．小明从家到学校的上坡路，平路，下坡路分别是多少千米？ 【答案】上坡路是，平路是，下坡路是 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，先设小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是．结合小明从家到学校的路程是，保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用，进行列式，再解出，即可作答． 【详解】解：设小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是． 由题意，得， 解得， 故小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是． 28．【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）6；（2）450元． 【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱． 【详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 【考点题型八 构造二元一次方程组求解】（） 29．已知和是关于的二元一次方程的两组解． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)的值为5，的值为 (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是关键． （1）把两组解代入得到二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据（1）得到二元一次方程为，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵和是关于x，y的二元一次方程的两组解， ∴ 解得 即的值为5，的值为． （2）由（1）得，该二元一次方程为． 当时，． 30．若方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组， 根据方程组的解是，可知的解是，解得出方程组的解． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴的解是， 即． 故答案为：． 31．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为 ． 0 1 2 1 4 【答案】 【分析】本题考查解方程和方程组，根据表中和，得到关于和的二元一次方程并求解，将和的值代入解方程即可．熟练掌握二元一次方程组及一元一次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：由和， 得， 解得， 将代入， 得， 解得， 故答案为：． 32．对定义一种新运算“※”，规定：（其中均为非零实数），若，，则的值是（   ） A．13 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．根据题意联立二元一次方程组，解出的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 整理得， 得：， 把代入②得：， ∴， 则， 故选：B． 【考点题型九 已知二元一次方程组解的情况求参数】（） 33．若关于的方程组的解满足，则的最小整数解为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键．根据题意将方程组相减得，然后代入不等式求解即可即可得到m的最小整数解． 【详解】解：， 得：， ∵ ∴ 解得：， ∴m的最小整数解为2， 故选：C． 34．已知方程组，与的值之和等于2，则的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查学生灵活利用消元法解方程组的能力，把方程组中的看作常数，利用加减消元法，用含的式子分别表示出与，然后根据与的值之和为，列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：， 得：， 与的值之和等于， 解得： 故选：A． 35．若方程组的解满足，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，解二元一次方程组得，根据即可求出m的值． 【详解】， ①+②可得， ， ， ， 解得． 故答案为：． 36．已知关于的方程组，若方程组的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，相反数的应用，解答此题的关键是挖掘出内含在题干中的已知条件． 令，可得，，再根据方程组的解互为相反数，可得，求解即可． 【详解】解：， ，得， ，得， ∵方程组的解互为相反数， ∴， 即． 【考点题型十 二元一次方程组的应用之方案问题】（） 37．“亲子猫”研学公司组织某中学师生共人到佛顶山去参加研学活动，请阅读下列对话，解决实际问题： 老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用辆座客车和辆座客车到佛顶山研学，一天的租金共计元．” 小英说：“我们学校七年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到佛顶山研学活动，一天的租金共计元．” (1)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，若使用最省钱的租车方式，则租车费用应为多少元？ 【答案】(1)座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元 (2)租车费用为元 【分析】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是掌握二元一次方程组的应用，根据题意，列出方程组，进行解答，即可． （1）设座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元，根据题意，列出方程组，即可； （2）设租辆座客车，辆座客车，根据题意得：，分类讨论，，的值，根据租金为，求出最省钱的方案，即可． 【详解】（1）解：设座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元， ∴由题意得，， 解得：． 答：座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元． （2）解：设租辆座客车，辆座客车， ∴ ∴ ∵，都是非负整数， ∴或或或 ∵租金为， ∴当时，（元）； 当时，（元）； 当时，（元）； 当时，（元）； ∵， ∴使用最省钱的租车方式，费用为元． 38．得益于“互联网”和人工智能的发展，无人配送服务行业已经进入人们的生活．某大学校园内使用了无人配送车和无人机配送快递．已知一架无人机一次可运送3千克货物，一辆无人配送车一趟可运送120千克货物．快递公司提供了无人机和无人配送车共30台运送2430千克货物，求运送物资使用的无人机和无人配送车各有几台． 【答案】无人机10台，无人配送车20台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设运送物资使用的无人机有台，无人配送车有台，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解． 【详解】解：设运送物资使用的无人机有台，无人配送车有台， 根据题意，得， 解得， 答：运送物资使用的无人机10台，无人配送车20台． 39．某中学组织师生共人去参观博物院．阅读下列对话： 李老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用辆座客车和辆座客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” 小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” (1)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（利用二元一次方程组求解） (2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，若使用最省钱的租车方式，则租车费用为 元． 【答案】(1)座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元 (2) 【分析】此题主要考查了二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）设座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元，根据题意列出方程组即可求解； （2）设租辆座客车，辆座客车，则，根据，都是非负整数，即可得到租金的值，进相比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元， 根据题意得：， 解得：， 答：座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元； （2）解：设租辆座客车，辆座客车， 根据题意得：， ， ，都是非负整数， ，，， 租金为， 当时，（元； 当时，（元； 当时，（元； 有三种方案，其中座客车租8辆时最省钱，为元， 故答案为：． 40．某中学决定组织部分班级去三清山开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生，参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？ 【答案】参加此次研学旅行活动的老师有16人，学生有284人 【分析】此题考查二元一次方程组的应用．设参加此次研学旅行活动的老师有x人，学生有y人，再根据“每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生”列出方程组即可解答． 【详解】解：设参加此次研学旅行活动的老师有x人，学生有y人， 根据题意，得， 解得． 故参加此次研学旅行活动的老师有16人，学生有284人． 【考点题型十一 二元一次方程组的应用之行程问题】（） 41．周末，小明和他爸爸来到环形场跑步锻炼，绕环形场跑一圈的路程为400米．若两人同时同地反向而跑，则经过36s后首次相遇，若两人同时同地同向而跑，则经过180s后，爸爸首次从后面追上小明，问：小明和爸爸的速度各为多少？ 【答案】小明的速度为米/秒，爸爸的速度为米/秒 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设小明和爸爸的速度各为x米/秒，y米/秒，根据题意可得，再解方程组即可． 【详解】解：设小明和爸爸的速度各为x米/秒，y米/秒，则 ， 解得， 答：小明的速度为米/秒，爸爸的速度为米/秒． 42．小红和小丽在的环形跑道上跑步，他们于同一个起点同时出发．如果同向跑，那么经过200s两人第一次相遇；如果反向跑，那么经过40s两人第一次相遇．若小红比小丽跑得快，则小红、小丽跑步的平均速度分别是多少？ 【答案】小红的平均速度是，小丽的平均速度是 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设小红的平均速度是，小丽的平均速度是，根据同向跑，那么经过200s两人第一次相遇；反向跑，那么经过40s两人第一次相遇，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设小红的平均速度是，小丽的平均速度是； 根据题意，得， 解得； 答：小红的平均速度是，小丽的平均速度是． 43．小强家和小勇家相距，他们各自骑自行车到对方家去．若他们同时出发，则后在路上相遇；若小强出发后小勇才出发，则小勇出发后他们在路上相遇．小强和小勇骑自行车的速度分别是多少？ 【答案】小强和小勇骑自行车的速度分别是 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组求解是解题关键． 设小强和小勇骑自行车的速度分别是，根据题意，列出方程组求解即可． 【详解】解：设小强和小勇骑自行车的速度分别是． 根据题意，得 解得， ∴小强和小勇骑自行车的速度分别是． 44．李明家和王方家相距，他们各自骑自行车到对方家去．若他们同时出发，则后在路上相遇；若李明出发后王方才出发，则王方出发后他们在路上相遇．李明和王方骑自行车的平均速度分别是多少？ 【答案】李明骑自行车的速度为，王方骑自行车的速度为 【分析】本题考查了二元一次 方程组的应用，解题的关键在于是否能准确地找到等量关系．设李明骑自行车的平均速度为，王方骑自行车的平均速度为，根据他们同时出发，则后在路上相遇；若李明出发后王方才出发，则王方出发后他们在路上相遇，列二元一次方程组，求出方程解即是求出答案． 【详解】解：设李明骑自行车的平均速度为，王方骑自行车的平均速度为， 根据题意：，即， 解得：， 答：李明骑自行车的速度为，王方骑自行车的速度为． 【考点题型十二 二元一次方程组的应用之工程问题】（） 45．根据以下素材，探索完成任务 素材1 某乡政府为巩固脱贫攻坚与乡村振兴有效衔接赋能，营造营销便利环境，促进乡村特色产品的销售；准备在辖区内新建一条长600米的公路； 素材2 计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程； 素材3 若甲工程队每天的施工费用为0.6万元，甲、乙两个工程队同时共同施工10天后甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元； 任务1 设甲、乙两个工程队每天分别施工x和y米．则甲工程队单独施工10天完成的工程量是______米；乙工程队单独施工15天完成的工程量是______米；（用含有字母的代数式表示） 任务2 求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？ 任务3 求乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？ 【答案】任务1：，；任务2：甲工程队每天施工30米，乙工程队每天施工20米；任务3：0.4万元 【分析】本题主要考查列代数式，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用． 任务一：根据题意可得答案； 任务二：根据若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程，列出方程组，解方程组求解即可； 任务三：设乙工程队每天的施工费用为a万元，根据甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元列不等式，解不等式可求解． 【详解】解：任务一：甲工程队单独施工10天完成的工程量是米；乙工程队单独施工15天完成的工程量是米； 任务二：由题意得：， 解得：， 答：甲工程队每天施工30米，乙工程队每天施工20米； 任务三：设乙工程队每天的施工费用为a万元， 由题意得：， 解得， 答：乙工程队每天的施工费用最多为0.4万元． 46．现有大量的沙石需要运输．“益安”车队原来有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石．求“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？ 【答案】“益安”车队有5辆载重量为8吨的卡车，7辆载重量为10吨的卡车． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．本题设“益安”车队有辆载重量为8吨的卡车，辆载重量为10吨的卡车，根据“益安”车队原来有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆且全部车辆运输一次能运输110吨沙石，可列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】解：设“益安”车队有辆载重量为8吨的卡车，辆载重量为10吨的卡车， 根据题意得：， 解得：． 答：“益安”车队有5辆载重量为8吨的卡车，7辆载重量为10吨的卡车． 47．（应用意识）为了交通便捷，某省开始修建高铁，其中段将于2025年年底建成．开通后的段高铁将比现在运行的段城际铁路全长缩短，全程仅需．已知段城际列车全程需要，平均速度是开通后的高铁的． (1)段高铁与段城际铁路全长各为多少千米？ (2)甲、乙两个工程队同时对段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为，计划40天完成．施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？ 【答案】(1)段高铁全长为段城际铁路全长为 (2)甲工程队后期每天至少施工 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程组，和不等式即可． （1）设段高铁全长为段城际铁路全长为，由题意得到二元一次方程组，求解即可； （2）设甲队后期每天施工，甲队原来每天的施工长度为（千米），乙每天的施工长度为（千米），根据题意列出一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：设段高铁全长为段城际铁路全长为． 根据题意，得 解得 故段高铁全长为段城际铁路全长为． （2）解：设甲工程队后期每天施工． 甲工程队原来每天的施工长度为， 乙工程队每天的施工长度为． 根据题意，得，解得． 故甲工程队后期每天至少施工． 48．玲玲家准备装修一套新住房，若甲乙两个装修公司合作，需6周完成，若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成，如果从节约时间的角度考虑，应选哪家公司？ 【答案】应选甲公司 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是通过设未知数，根据工作总量=工作时间工作效率的关系列出方程组，从而求出甲乙各自的工作效率，进而得出单独完成工作所需时间． 首先设甲每周完成的工作量为，乙每周完成的工作量为．根据甲乙合作 6 周完成工作，可列出一个方程；再依据甲单独做 4 周后乙做 9 周完成工作，列出另一个方程，联立方程组求解出和的值，即得到甲乙每周的工作效率．然后根据工作时间＝工作总量工作效率，计算出甲乙单独完成工作分别需要的时间，比较两者时间长短，时间短的公司更节约时间． 【详解】设甲每周完成的工作量为，乙每周完成的工作量为， 联立方程组：    ， 解得，， 即甲单独完成需要10周，乙单独完成需要15周 因此从节约时间的角度考虑应选甲公司 【考点题型十三 二元一次方程组的应用之数字问题】（） 49．算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数，个位数字与十位数字之和是百位数字的2倍；个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 【答案】这个三位数是648 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键； 由题意可知：这个三位数的百位数字是6，设这个三位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出关于x、y的方程组，解方程组即可． 【详解】解：由题意可知：这个三位数的百位数字是6， 设这个三位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意可得： ，即， 解得：， ∴这个三位数是648； 答：这个三位数是648． 50．两个两位数的差是10，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，若这两个四位数的和是5050，求较大的两位数与较小的两位数分别是多少？ 【答案】较大的两位数与较小的两位数分别30，20 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意可得等量关系：①两个两位数的差是10；②和的和是5050，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设较大的两位数为，较小的两位数为， 根据题意得：， 解得：， 答：较大的两位数与较小的两位数分别30，20． 51．有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． (1)原来的两位数为 ，新的两位数为 ．（用含有x、y的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【答案】(1)； (2)35 【分析】本题主要考查了列代数式，二元一次方程的应用： （1）一个两位数的值等于其十位数字乘以10再加上个位数字，据此求解即可； （2）根据原来两位数得到十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，原来的两位数为，新的两位数为， 故答案为：；； （2）由题意得，， 解得， ∴原来的两位数为35． 52．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9．求这个两位数？ 【答案】72 【分析】设原来的两位数个位上的数字为，十位上的数字为．则根据“得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9”列出方程组，通过解方程组来求原来的两位数．本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组． 【详解】解：设原来的两位数个位上的数字为，十位上的数字为．则 ， 解得，， ∴原来的两位数是72． 【考点题型十四 二元一次方程组的应用之年龄问题】（） 53．已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则甲、乙现在的年龄差为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组，是解题的关键．设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，根据甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，列出方程组，求出即可． 【详解】解：设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得： ， 即由此可得： ， ∴，即甲比乙大5岁． 故答案为：5． 54．一名学生问老师：“你今年多大了？”老师风趣地说“我像你这样大的时候，你才2岁；你到我这么大时，我已经38岁了”，则今年老师的岁数是 ． 【答案】26 【分析】设今年老师的岁数是x岁，学生的岁数是y岁，根据学生今年年龄减年龄差等于2，老师今年年龄加年龄差等于38，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设今年老师的岁数是x岁，学生的岁数是y岁， 依题意得：， 解得：． 故答案为：26． 【点睛】本题考查二元一次方程组，设出恰当的未知数，准确抓住数量关系列出方程组是解题的关键． 55．在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁， 根据题意得： 解得： ∴当奶奶岁时，小花的年龄为， ∴小花岁时将为奶奶贺白寿， 故答案为：． 56．某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 【考点题型十五 二元一次方程组的应用之分配问题】（） 57．某工厂现有某种原料，可以用来生产两种产品，每生产种产品需这种原料，生产费用为900元；每生产种产品需这种原料，生产费用为1000元．可用来生产这两种产品的资金为53万元，两种产品各生产多少吨才能使库存原料和资金恰好用完？先列表分析数量关系再解答． 【答案】生产种产品，生产种产品，才能使库存原料和资金恰好用完 【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，设产品生产，产品生产，根据生产两种产品需要的原料是和费用为53万元建立方程组求解即可得到答案，根据生产两种产品需要的原料是和费用为53万元建立方程组求解是解决问题的关键． 【详解】解：列表分析数量关系如下： 种产品 种产品 总量 产品原料 产品费用 900元 1000元 53万元 设产品生产，产品生产， 由题意得， 解得， 答：生产种产品，生产种产品，才能使库存原料和资金恰好用完． 58．一套仪器由1个A部件和2个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应分别用多少立方米钢材做A部件和B部件？恰好配成这种仪器多少套？ 【答案】用钢材做A部件，钢材做B部件，恰好配成这种仪器240套 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设用钢材做A部件，用钢材做B部件，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】设用钢材做A部件，用钢材做B部件， 根据题意，得 解得 所以． 答：用钢材做A部件，钢材做B部件，恰好配成这种仪器240套． 59．某酒店客房部有三人间和双人间两种普通客房，收费标准为三人间300元/间，双人间280元/间，为了吸引游客，酒店实行团体人住五折优惠措施，一个46人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去2620元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间? 【答案】该旅游团住了三人间普通客房10间，双人间普通客房8间 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；理解题意，设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，根据题意列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间， 依题意，得， 解这个方程组，得， 答：该旅游团住了三人间普通客房10间，双人间普通客房8间． 60．某纸品加工厂制作甲（需要材料为1个正方形和4个长方形）、乙（需要材料为2个正方形和3个长方形）两种无盖的长方体小盒，利用边角料裁出正方形、长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形边长相等，现将160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两种无盖长方体小盒，分别可以做多少个？ 【答案】甲种小盒40个，乙种小盒60个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设可以做成无盖长方体小盒各x个，y个，根据将160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两种无盖长方体小盒，列出方程组求解即可． 【详解】解：设可以做成无盖长方体小盒各x个，y个， 由题意得，， 解得， 答：可以做成甲种小盒40个，乙种小盒60个． 【考点题型十六 二元一次方程组的应用之销售、利润问题】（） 61．某校举行数学竞赛，需要购买钢笔与笔记本作奖品．已知购买60支钢笔和30本笔记本需要1080元，购买50支钢笔和10本笔记本需要840元． (1)购买1支钢笔和1本笔记本各需多少元？ (2)若需要购买100件奖品，且购买费用不超过1360元，则最多可以买多少支钢笔？ 【答案】(1)购买1支钢笔需要16元，购买1本笔记本需要4元 (2)最多可以买80支钢笔 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用； （1）设购买1支钢笔需要元，购买1本笔记本需要元，根据“购买60支钢笔和30本笔记本需要1080元，购买50支钢笔和10本笔记本需要840元”列方程组求解即可； （2）设购买钢笔支，则购买笔记本本，根据“购买费用不超过1360元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买1支钢笔需要元，购买1本笔记本需要元． 根据题意，得， 解得， 答：购买1支钢笔需要16元，购买1本笔记本需要4元． （2）设购买钢笔支，则购买笔记本本． 根据题意，得， 解得． 答：最多可以买80支钢笔． 62．小郑在某零食批发城分两次购进两款零食到夜市摆摊，每次进货的单价相同，已知这两次购买零食的数量和总费用如下表： A的数量／包 B的数量／包 购买总费用／元 第一次进货 第二次进货 (1)分别求两款零食每件的进货单价． (2)款零食按每包7元出售；款零食标价为元／包，为吸引客人，款零食按标价的七折出售．若小郑计划第三次再用不超过元的费用购进这两款零食共包进行销售（进价不变），怎样进货才能使第三次购进的零食销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)款零食进货单价为5元/包，款零食进货单价为6元/包 (2)购进款包，款包能使第三次购进的零食销售完后获得的利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查了二元一次方程组的其它应用，一元一次不等式的其他应用，解题关键是列出方程或不等式． （1）设款零食进货单价为元／包，款零食进货单价为元／包，根据表中数据列出方程组求解； （2）设购进款零食包，则购进款零食包，根据“小郑计划第三次再用不超过元的费用购进这两款零食共包进行销售（进价不变）”列出不等式求解． 【详解】（1）解：设款零食进货单价为元／包，款零食进货单价为元／包， ，解得． （2）设购进款零食包，则购进款零食包， ，解得． 利润， 因为，随增大而减小，所以时，最大， 元，此时购进款600包，款包． 63．某网店销售A，B两种款式的商品，第一个月A，B两种款式的销售量为400件．第二个月卖出A款商品的数量比第一个月多15％，卖出B款商品的数量比第一个月少20％，这两种款式的商品的总销量增加了25件．问第一个月A，B两种款式的商品各卖了多少件？ 【答案】第一个月款商品卖出件，款商品卖出件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．设第一个月款商品卖出件，款商品卖出件．根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设第一个月款商品卖出件，款商品卖出件． 得 解得 答：第一个月款商品卖出件，款商品卖出件． 64．“冰雪同梦，亚洲同心”、2025年2月7日至2月14日第九届亚冬会在冰城哈尔滨隆重举行，中国队奖牌总数排名第一、黑龙江逊克北红玛瑙是独具龙江特色的纪念品，被镶嵌于本届亚冬会奖牌上．艳硕购物中心共购进A，B两种型号红玛瑙挂件100件，花费9200元、两种型号挂件进价和售价如下表． 价格 型号 进价（元/件） 售价（元/件） A型挂件 B型挂件 (1)求购进A，B两种型号挂件各多少件； (2)该购物中心在销售过程中，A型挂件以原售价销售一部分后，对剩余A型挂件按原售价打八折销售，B型挂件售价不变．若这100件两种型号挂件全部销售完共获利3600元，那么有多少件A型挂件打折销售？ 【答案】(1)购进种挂件件，种挂件件 (2)打折销售的 型挂件为 件 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程组和代数式，是解题的关键． （1）设购进种挂件件，种挂件件，根据用元一次性购进了、两种挂件共件，列出方程组进行求解即可； （2）设有件A型挂件打折销售，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设购进种挂件件，种挂件件，根据题意，得： 解得， 答：购进种挂件件，种挂件件． （2）设有件A型挂件打折销售，根据题意得， 解得： 答：打折销售的 型挂件为 件． 【考点题型十七 二元一次方程组的应用之和差倍分问题】（） 65．某生态柑橘园现有柑橘24t，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用3辆A型车和2辆B型车一次可运柑橘13t；用4辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘18t． (1)1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨？ (2)若计划租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租车方案（要求A、B型货车都要有）． 【答案】(1)1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨； (2)共有3种租车方案，方案1：租用2辆A型车，9辆B型车；方案2：租用4辆A型车，6辆B型车；方案3：租用6辆A型车，3辆B型车． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用， 对于（1），先设载时1辆A型车一次可运柑橘x吨，1辆B型车一次可运柑橘y吨，再根据重量相等列出方程组，求出解即可； 对于（2），根据题意得，再整理得，然后讨论取值即可得出答案． 【详解】（1）解：设载时1辆A型车一次可运柑橘x吨，1辆B型车一次可运柑橘y吨，依题意，得 ， 解得： 答：1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨； （2）解：依题意，得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或或． 答：共有3种租车方案，方案1：租用2辆A型车，9辆B型车；方案2：租用4辆A型车，6辆B型车；方案3：租用6辆A型车，3辆B型车． 66．列方程（组）解实际问题 为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过，、两类物质排放量之和不超过． 已知该型号某汽车的、两类物质排放量之和原为．经过一次技术改进后，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了60%，、两类物质排放量之和为．判断这一次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由． 【答案】不合标准，见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用， 根据等量关系列出二元一次方程组，求出解，再判断即可． 【详解】解：设A类物质排放量原为，B类物质排放量原为，根据题意，得， 解得， 这一次技术改进后，A类物质排放量为， 因为， 所以不符合“标准”． 67．燃气费由基本月租费、保险费和超额费组成．当燃气使用量不超过时，当月需缴纳保险费3元和基本月租费b元；当燃气使用量超过时，超出的部分还要按3.2元计费．小红家3月、4月的燃气使用量与缴费情况如下表，其中3月的燃气使用量未超过． 月份 燃气使用量/ 燃气费/元 3月 4 10 4月 20 58 (1)求a，b的值； (2)已知小红家5月缴纳燃气费42元，那么她家这个月的燃气使用量为多少？ 【答案】(1) (2)小红家5月的燃气使用量为 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用， 对于（1），根据3月燃气费等于基本月租加上保险费，4月燃气费等于月租加上超额费，再加上保险费，列出方程组，求出解； 对于（2），用月租加上超额费，再加上保险费等于42，列出方程求出解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：设小红家5月的燃气使用量为，根据题意，得 ， 解得． 答：小红家5月的燃气使用量为． 68．2024年10月30日，搭载“神舟十九号”载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，将航天员蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利送入太空，“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功.某电商平台经销商看准商机，迅速推出“天宫”和“神舟”两款模型玩具，已知销售店老板从玩具生产商购进1个“天官”模型的费用比购进1个“神舟”模型的费用多20元；购进3个“天宫”模型的费用与购进4个“神舟”模型的费用相等.分别求“天宫”模型和“神舟”模型的进货单价. 【答案】“天宫”模型的进货单价为80元，“神舟”模型的进货单价为60元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设“天宫”模型的进货单价为x元，“神舟”模型的进货单价为y元，根据销售店老板从玩具生产商购进1个“天官”模型的费用比购进1个“神舟”模型的费用多20元及购进3个“天宫”模型的费用与购进4个“神舟”模型的费用相等，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设“天宫”模型的进货单价为x元，“神舟”模型的进货单价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：“天宫”模型的进货单价为80元，“神舟”模型的进货单价为60元． 【考点题型十八 二元一次方程组的应用之几何问题】（） 69．如图，在长为，宽为的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，求其中一个小矩形花圃的长与宽． 【答案】一个小花圃的长为，宽为 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设小花圃的长为，宽为，根据大矩形的长和宽与小矩形的长和宽之间的关系，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：设小花圃的长为，宽为，由题意和图，可得： ， 解得， 答：一个小花圃的长为，宽为． 70．七年级某数理兴趣小组在开展活动中，组长小明裁剪了16张一样大小的长方形硬纸片，组员小亮用其中的8张恰好拼成一个大的长方形，小聪用另外的8张拼成一个大的正方形，但中间留下一个边长为的正方形（见如图中间的阴影方格），请你算出小明裁剪的每张长方形硬纸片长与宽分别是多少？ 【答案】小明裁剪的长方形硬纸片的长、宽分别为、． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设小长方形的长、宽分别为，，结合图形性质可得，再解方程即可. 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，， 由题意得， 解得：， 经检验， 符合题意． 答：小明裁剪的长方形硬纸片的长、宽分别为、． 71．数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究． (1)小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为，周长为，请求出该长方形纸片的长和宽： (2)小葵在长方形内画出边长为的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，问：小葵的判断正确吗?请说明理由． 【答案】(1)这个长方形纸片的长为，宽为 (2)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查一元一次方程，二元一次方程组的计算，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设该长方形纸片的长为，宽为，由周长的计算公式列式求解即可； （2）根据题意，列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：设该长方形纸片的长为，宽为， ∴， ∴， ∴， ∴这个长方形纸片的长为9，宽为6． （2）解：正确．理由如下： 根据题意，得，， 解得． ∴大正方形的面积为． 72．根据表中的素材，完成下面的任务： 制作无盖长方体纸盒 素材1 裁剪长方形纸板 将某种规格的长方形纸板按图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板． 素材2 制作无盖长方体纸盒 4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒；3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图4所示的无盖长方体纸盒． 问题解决 任务 制作图3、图4规格的纸盒若干个 若有21张长方形纸板，且恰好能够完成制作（纸板无剩余），则能做成图3、图4规格的纸盒各多少个？ 【答案】能做成图3规格的纸盒9个，图4规格的纸盒0个 【分析】设需要图1长方形纸板张，图2长方形纸板张，则有小长方形纸板张，小正方形纸板张；再设可制作图3规格的纸盒个，图4规格的纸盒个，则需小长方形纸板张，需小正方形纸板张，根据题意列式再分析代入数值即可得到本题答案． 本题考查二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 【详解】解：设需要图1长方形纸板张，图2长方形纸板张，则有小长方形纸板张，小正方形纸板张； 再设可制作图3规格的纸盒个，图4规格的纸盒个，则需小长方形纸板张，需小正方形纸板张， 由题意得， 解得， ， ， 为整数， ， 由，得， ， 、都是正整数， 能做成图3规格的纸盒9个，图4规格的纸盒0个． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$