清单01 一元一次不等式和一元一次不等式组（5个考点清单+16种题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（北京版2024）

清单01 一元一次不等式和一元一次不等式组 （5个考点梳理+16题型解读） 清单01 不等式 不等式的定义 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 不等式的解集 ①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。 ②用数轴表示不等式解集 解集x>−4在数轴上表示为 解集x≥−4在数轴上表示为 解集 x < 4 在数轴上表示为 解集 x ≤在数轴上表示为 清单02 不等式的性质 不等式的基本性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 清单03 一元一次不等式及其解法 一元一次不等式定义 只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式． 注：其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)． 解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。 （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 一元一次不等式的应用 解有关应用题步骤如下： （1）审题：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，抓住题设中的关键字眼，如“大于”、“不小于”等； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出不等关系； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列不等式的解集； （6）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。 清单04 一元一次不等式组及其解法 一元一次不等式组定义 由几个含有同一个 未知数的 一元一次不等式 组成的不等式组 一元一次不等式组的解集 几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集． 当任何未知数都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解． 一元一次不等式组的解法及解集表示 不等式组（a＞b) 解集 在数轴上表示 口诀 x＞a 同大取大 x＜b 同小取小 b＜x＜a 大小、小大中间找 无解 大大、小小取不小 一元一次不等式组的解法 （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。 一元一次不等式(组）之含参问题 清单05 一元一次不等式组的应用 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）。 【考点题型一 不等式的定义】（） 1．下列数学表达式中：①，②，③，④，⑤，⑥中，不等式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列不等式中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．不超过的最大整数是，试用不等式表示应满足的条件： ． 【考点题型二 不等式的基本性质】（） 5．若，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知，且，则的取值范围是 ． 7．用不等号填空，如果，那么 （填“＞”或“＜”） 8．写出下列不等式变形的依据： (1)由，得； (2)由，得； (3)由，得． 【考点题型三 不等式的解集】（） 9．下列不等式中，时，不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 10．在一场虚拟寻宝游戏中，玩家当前位置的横坐标满足．游戏设定有一个危险区域，若玩家横坐标进入特定范围就会触发警报．下列关于危险区域横坐标范围的设定中，会使玩家永远不会进入危险区域的是（   ） A． B． C． D． 11．某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 12．给出下列四个结论：①是不等式的解集；②是不等式的解集；③是不等式的解；④是不等式的解集．其中正确的是 ．（填序号） 【考点题型四 一元一次不等式的定义】（） 13．下列式子中是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 14．若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是 ． 15．已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 16．若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【考点题型五 求一元一次不等式的解集】（） 17．解不等式，并将解集表示在数轴上． 18．解下列不等式，并把解集表示到数轴上． (1)； (2)． 19．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 20．解不等式：． 【考点题型六 求一元一次不等式的整数解】（） 21．解不等式，把解集在数轴上表示出来，并求出它的正整数解． 22．解不等式，并求它的非负整数解． 23．解不等式，并写出此不等式的最小整数解． 24．如图所示的等式： (1)若，，求的值； (2)若，，求的最小整数值． 【考点题型七 用一元一次不等式解决问题】（） 25．实验中学举办春季篮球赛，比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场扣1分，七（2）班在12场比赛中总积分不低于23分，求该班至少胜多少场？ 26．小华跟爸爸妈妈被带去超市进行购物，小华看中了一件商品，甲乙两个超市都在出售，而且是以同样的价格在出售，为了吸引顾客，两家各自推出不同的优惠方案． 甲超市：累计购买200元商品后，再购买的商品按原价的收费； 乙超市：累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的收费． 设小华累计购物元 (1)请用含的代数式分别表示小华在两家超市购物所付的费用； (2)请问：什么情况下，小华在两家超市购物花费一样多？ 什么情况下，小华在甲超市花费少？ 什么情况下，小华在乙超市花费少？ 27．苹果的进价是1.5元／千克，香梨的进价是2元／千克；李老板购进苹果的重量比香梨重量的3倍多20千克，一共花费420元；为方便销售，定价均为7元／千克． (1)李老板购进苹果和香梨各多少千克？ (2)若平均每天卖出苹果和香梨共50千克，每天利润不少于268元，则每天卖出的苹果至少是多少千克？ 28．某学校组织学生春游活动，在同等项目下，甲旅游公司的收费为每位学生50元，外加导游管理费1500元；乙旅游公司的收费是每位学生55元，外加导游管理费300元，请问在同等条件下，学校应该做怎样的选择才能使费用较省？ 【考点题型八 求不等式组的解集】（） 29．解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解． 30．解不等式组，并求不等式组的所有整数解的和． 31．解不等式组： 32．解不等式组，并写出它的所有正整数解． 【考点题型九 求一元一次不等式组的整数解】（） 33．不等式组的所有整数解之和是（  ） A．60 B．12 C．13 D．15 34．关于的不等式组的整数解仅有4个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 35．若关于x的不等式组恰有3个整数解，则m的取值范围是 ． 36．解不等式组：，并写出不等式组的所有整数解． 【考点题型十 由一元一次不等式组的解集求参数】（） 37．若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 38．若关于的不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 39．若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40．已知关于x的不等式组的整数解共有3个，求a的取值范围 ． 【考点题型十一 不等式组和方程组结合的问题】（） 41．已知方程组中的x，y满足， 则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42．关于，的方程组的解，满足，则的取值范围是(   ) A． B． C． D． 43．已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为 ． 44．关于x，y的二元一次方程组的解x是非负数，y的值不大于，试求a的取值范围． 【考点题型十二 列一元一次不等式组】（） 45．已知某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高8cm，容器内有水，水的高度为2cm．现准备向容器里面继续注水，用V（单位：）表示新注入的水的体积．求V的取值范围（容器壁厚忽略不计）． 46．某班名学生上体育课，老师出了一道题：现在我拿出一些篮球，如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人．请写出篮球数x与人数的不等关系． 47．小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组 ． 48．小明一家驾驶一辆小轿车外出旅游，经过某段高速公路时看到该段路对行驶车辆的限速规定如图所示，设小明家车辆经过该路段的速度为v千米/小时，则符合限速规定的v应 满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十三 用不等式组解决实际问题】（） 49．现有、两种商品，种商品单价为16元，种商品单价为4元．如果小静准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过120元，且不低于100元，问有几种购买方案？哪种方案费用最低？ 50．某书店在读书日活动中准备了一批图书赠送给参与活动的读者．如果每人赠送5本，则还剩下10本；如果每人赠送8本，则最后一名读者得到的图书不足4本．请问该书店可能准备的图书数量和获赠读者人数． 51．把一些奖品分给若干名学生．如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个．问：学生最少有几名？奖品至少有多少个？ 52．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”，每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，每套乙型号“文房四宝”的价格是50元． (1)学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，共有哪几种购买方案？ (2)甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过3000元后，超出3000元的部分按收费；乙商场累计购物超过4420元后，超出4420元的部分按收费．若学校按（1）中的方案去购买，应该如何选择商场才合算？ 【考点题型十四 用不等式组解决方案问题】（） 53．某乡村合作社为了提升农业生产效率，现计划购置甲、乙两种农业设备共60台．已知购置一台甲种设备比购置一台乙种设备的进价少2万元，购置2台甲种设备和3台乙种设备需要11万元． (1)甲、乙两种农业设备每台进价分别是多少万元？ (2)若合作社预计投入资金不超过150万元，且购置乙种设备超过42台，那么有哪些可行的购置方案？哪种方案投入资金最少？ 54．某旅游团计划在某电商平台购买杭州亚运会立体吉祥物摆件和亚运会吉祥物徽章，若购买1套立体吉祥物摆件和2套吉祥物徽章共350元，且每套亚运会吉祥物徽章的单价是每套立体吉祥物摆件的单价的3倍． (1)求每套立体吉祥物摆件和每套亚运会吉祥物徽章单价各是多少元？ (2)若至少需要购买48套亚运会吉祥物徽章，如果购买立体吉祥物摆件和亚运会吉祥物徽章共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案． 55．某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． (1)若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？ (2)请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案． 56．根据以下素材，探索完成任务 如何设计采购方案？ 素材1 三坊七巷文创商店近期推出了许多新的文创产品，以更好地宣传三坊七巷的历史文化．其中，有景点书签、标志景观冰箱贴、“爱心树”钥匙扣、严复贺卡等，已知1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元． 素材2 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元． 素材3 临近期末考试，某老师打算提前给学生准备奖品，他准备用1000元在本店同时购买书签和冰箱贴两种商品若干件． 问题解决 任务1 求1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元． 任务2 该老师打算购买书签和冰箱贴共25件，最多能买几套书签？ 任务3 【拟定购买方案】 在任务2的条件下，该老师要求购买的书签比冰箱贴多，且书签不超过13套，求出购买费用． 【考点题型十五 一元一次不等式组的其他应用】（） 57．某学校的编程课上，一名同学设计了一个运算程序，如图所示． 按上述程序进行运算，程序运行到“判断x是否大于23”为1次运行．若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 58．（新考法）对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如：，，根据以上材料，解决下列问题： (1)__________， __________； (2)若，则的取值范围是__________； (3)求满足的所有非负数的值． 59．随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的主角．某电车生产车间现有、两个工种的工人，其中工种有300人，工种有200人，且同类工种工人月工资相同．已知6个种工人的月工资与5个种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额540万元． (1)、两个工种工人的月工资分别为多少万元； (2)由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘、两个工种工人共60人．其中，再招聘的工种工人不超过再招聘的工种工人的，且最终车间所有工种工人的数量与车间所有工种工人的数量之差不高于80人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使每月付给这60个工人工资总额最少，最少为多少？ 60．如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁段滑动．已知，，根据杠杆原理，平衡时：左盘物体质量右盘物体质量（托盘与横梁的质量不计）．小慧在存钱罐里存了若干个1元硬币（只有1元硬币），她想利用这个自制天平估计存钱罐里一元硬币的数量．进行了如下操作： (1)测量一个硬币的质量：如图1，在天平左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当时，天平平衡，则测得每个1元硬币的质量为 g； (2)估算硬币的数量：已知空的存钱罐的质量约为，将装了若干个1元硬币的存钱罐放在左侧托盘，右侧托盘放入砝码，调整点P的位置，发现当时，天平向左侧倾斜（如图2），当时，天平向右侧倾斜（如图3），请你帮小慧算一下存钱罐里大约有几个1元硬币？ 【考点题型十六 一元一次不等式的新定义问题】（） 61．给出如下定义：对于两个关于的不等式，同时满足这两个不等式的的值中，有且仅有个整数，则称这两个不等式为“包含”．例如：对于不等式和，同时满足这两个不等式的的值中，有且仅有3个整数，则称这两个不等式为“包含”． (1)判断不等式和是否是“包含”，并说明理由； (2)若不等式和是“包含”，求的取值范围； (3)若不等式和是“包含”，直接写出的值． 62．对于任意实数，定义一种关于的运算：．例如：． (1)若，求的取值范围； (2)若关于的不等式组的解集为满足，求的值； (3)若，求的取值范围． 63．阅读理解： 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为：，的解集为：，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”有：______；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围． 64．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)方程______（填“是”或“不是”）不等式组的“关联方程”． (2)已知关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． (3)已知关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，直接写出的取值范围为______． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 一元一次不等式和一元一次不等式组 （5个考点梳理+16题型解读） 清单01 不等式 不等式的定义 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 不等式的解集 ①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。 ②用数轴表示不等式解集 解集x>−4在数轴上表示为 解集x≥−4在数轴上表示为 解集 x < 4 在数轴上表示为 解集 x ≤在数轴上表示为 清单02 不等式的性质 不等式的基本性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 清单03 一元一次不等式及其解法 一元一次不等式定义 只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式． 注：其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)． 解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。 （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 一元一次不等式的应用 解有关应用题步骤如下： （1）审题：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，抓住题设中的关键字眼，如“大于”、“不小于”等； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出不等关系； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列不等式的解集； （6）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。 清单04 一元一次不等式组及其解法 一元一次不等式组定义 由几个含有同一个 未知数的 一元一次不等式 组成的不等式组 一元一次不等式组的解集 几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集． 当任何未知数都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解． 一元一次不等式组的解法及解集表示 不等式组（a＞b) 解集 在数轴上表示 口诀 x＞a 同大取大 x＜b 同小取小 b＜x＜a 大小、小大中间找 无解 大大、小小取不小 一元一次不等式组的解法 （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。 一元一次不等式(组）之含参问题 清单05 一元一次不等式组的应用 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）。 【考点题型一 不等式的定义】（） 1．下列数学表达式中：①，②，③，④，⑤，⑥中，不等式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查对不等式的意义的理解和掌握，能根据不等式的意义进行判断是解此题的关键．根据不等式的定义，不等号有，，，，，选出即可． 【详解】解：不等式是指不等号来连接不等关系的式子，如，，，，，  则不等式有：①②⑤⑥共4个．  故选：C． 2．下列不等式中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考了不等式的定义，熟知不等式成立的条件是解题的关键． 根据不等式的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、当时不成立，故本选项不符合题意； B、当时不成立，故本选项不符合题意； C、不论x为何值，不等式均不成立，故本选项不符合题意； D、不论x为何值，不等式均成立，故本选项符合题意． 故选：C． 3．式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫作不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：． 【详解】解：①；②；⑤；⑥是不等式， ∴共个不等式． 故选：A． 4．不超过的最大整数是，试用不等式表示应满足的条件： ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的定义，熟练根据题意转换为的范围是解题的关键．利用不超过的最大整数是，分别探索上限和下限即可得出结果． 【详解】解：由不超过的最大整数是， 当时，不超过的最大整数小于； 当时，不超过的最大整数大于等于； 当时，不超过的最大整数是， 故答案为：． 【考点题型二 不等式的基本性质】（） 5．若，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是注意不等号的方向是否变化． 根据不等式的基本性质逐项判断，即可解题． 【详解】解：， ， 故选项A不符合题意； ， ， 故选项B符合题意； ， 故选项C不符合题意； ， 故选项D不符合题意； 故选：B． 6．已知，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了不等式的性质，熟练掌握其性质及正确解不等式是解题的关键． 根据不等式的性质得到，然后求解即可． 【详解】解：∵，且 ∴ ∴． 故答案为：． 7．用不等号填空，如果，那么 （填“＞”或“＜”） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质解答即可得到结果．熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．不等式的基本性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．写出下列不等式变形的依据： (1)由，得； (2)由，得； (3)由，得． 【答案】(1)不等式的两边都加上1，不等号的方向不变 (2)不等式的两边都除以3，不等号的方向不变 (3)不等式的两边都乘，不等号的方向改变 【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等， （1）根据不等式的性质回答即可． （2）根据不等式的性质回答即可． （3）根据不等式的性质回答即可． 【详解】（1）解： 不等式变形的依据为：不等式的两边都加上1，不等号的方向不变 （2）解：， 不等式变形的依据为：不等式的两边都除以3，不等号的方向不变 （3）解：， 不等式变形的依据为：不等式的两边都乘，不等号的方向改变 【考点题型三 不等式的解集】（） 9．下列不等式中，时，不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解，把代入不等式，逐项判断即可求解，理解不等式解的定义是解题的关键． 【详解】解：、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项符合题意； 故选：． 10．在一场虚拟寻宝游戏中，玩家当前位置的横坐标满足．游戏设定有一个危险区域，若玩家横坐标进入特定范围就会触发警报．下列关于危险区域横坐标范围的设定中，会使玩家永远不会进入危险区域的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解集，掌握不等式的解集的运算方法是解题的关键． 根据玩家位置范围和危险区域范围，得出是否有共同的解集，判断即可． 【详解】解：A． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者没有共同区域，所以玩家永远不会进入危险区域； B． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者有共同区域，所以玩家可能会进入危险区域； C． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者有共同区域，所以玩家可能会进入危险区域； D． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者有共同区域，所以玩家可能会进入危险区域； 故选：A． 11．某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的解的定义，不等式的解集是满足不等式的所有解的集合，使原不等式成立的数就是不等式的一个解，据此逐项分析求解即可． 【详解】解：A、∵某不等式的解集是， ∴0是这个不等式的解，故A不符合题意； B、∵某不等式的解集是， ∴不是这个不等式的解，故B不符合题意； C、∵某不等式的解集是， ∴大于的数都是这个不等式的解，大于且小于等于的数不是这个不等式的解，故C符合题意； D、∵某不等式的解集是， ∴小于的数都不是这个不等式的解，故D不符合题意． 故选：C 12．给出下列四个结论：①是不等式的解集；②是不等式的解集；③是不等式的解；④是不等式的解集．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查了一元一次不等式的解和解集，熟练掌握定义是解题的关键； 根据解集和解的定义去判定即可． 【详解】①能使不等式成立，解集是一个范围，但只能说是不等式的一个解，不能说是不等式的解集，故说法错误； ②不等式的解集是，可以使不等式成立，但不是这个不等式的解的全体，所以不是不等式的解集，故说法错误； ③能使成立，所以是不等式的解，故说法正确； ④不等式的解集是，故说法正确． 综上所述：正确的有③④ 故答案为：③④． 【考点题型四 一元一次不等式的定义】（） 13．下列式子中是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键； 只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1，并且不等式的两边都是整式的不等式叫一元一次不等式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．，未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式，故该选项不符合题意； B．是等式，不是一元一次不等式，故该选项不符合题意； C．符合一元一次不等式的定义，故该选项符合题意； D．，未知数x在分母位置，不是一元一次不等式，故该选项不符合题意； 故选：C． 14．若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式的定义求参数的值，解一元一次不等式，先根据不等式的定义，得到，进而求出的值，在根据移项，合并，系数化1的步骤解不等式即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴不等式化为：， ∴， ∴； 故答案为：． 15．已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次的不等式叫一元一次不等式是解题的关键． 根据一元一次不等式的定义得且，求解即可． 【详解】解：由题意，得且， 解得：． 故答案为：． 16．若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，由题意得且，解之即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， 故答案为：． 【考点题型五 求一元一次不等式的解集】（） 17．解不等式，并将解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查不等式的求解，掌握求解的步骤是解题的关键．根据不等式的性质求解不等式：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1；最后用数轴表示即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 解集表示在数轴上如图所示： 18．解下列不等式，并把解集表示到数轴上． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练计算是解题的关键． （1）先去括号，再移项，即可解答，再把解集表示到数轴上； （2）先去分母，然后去括号，再移项，即可解答，再把解集表示到数轴上． 【详解】（1）解：去括号，得 ， 移项，得 合并，得 系数化为1，得 表示在数轴上为 （2）去分母，得 去括号，得 ， 移项，得 合并，得 系数化为1，得 表示在数轴上为 19．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1，可得解集为，解集在数轴上的表示见解析． 【详解】 解：， ， ， ， 则， 将解集表示在数轴上如下： 20．解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照去括号，移项，合并同类项的步骤解不等式即可得到答案． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 【考点题型六 求一元一次不等式的整数解】（） 21．解不等式，把解集在数轴上表示出来，并求出它的正整数解． 【答案】，见解析，正整数解为，2，3，4，5 【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式的正整数解，在数轴上表示不等式的解集的应用，解此题的关键是能够根据不等式的性质求出不等式的解集．首先解这个不等式，然后在数轴上表示出解集，最后找出正整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 将解集在数轴上表示如图： ∴原不等式的正整数解为，2，3，4，5 22．解不等式，并求它的非负整数解． 【答案】，它的非负整数解为0，1，2 【分析】本题考查了解一元一次不等式，求不等式的非负整数解，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 首先进行去括号，然后进行移项合并同类项，最后求出不等式的解集，从而得出非负整数． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 故它的非负整数解为． 23．解不等式，并写出此不等式的最小整数解． 【答案】，最小整数解为 【分析】此题考查解一元一次不等式，求不等式的整数解，正确解不等式是解题的关键． 按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最小整数解即可． 【详解】解： ， 解得：， ∴最小整数解为． 24．如图所示的等式： (1)若，，求的值； (2)若，，求的最小整数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式求值，解不等式，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）把，代入求值即可； （2）由题意得，所以，结合，求出，从而可得的最小整数值． 【详解】（1）解：若，， 则． （2）解：当时，， 即． ∵， ∴， 解得：， ∴的最小整数值为． 【考点题型七 用一元一次不等式解决问题】（） 25．实验中学举办春季篮球赛，比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场扣1分，七（2）班在12场比赛中总积分不低于23分，求该班至少胜多少场？ 【答案】该班至少胜9场 【分析】本题主要考查一元一次不等式解实际应用，熟练掌握题意是解题的关键．设七（2）班胜场，则负场，根据不等式列出不等式即可得到答案． 【详解】解：设七（2）班胜场，则负场， 根据题意，得， 解得． 是正整数， 的最小值为9， 故该班至少胜9场． 26．小华跟爸爸妈妈被带去超市进行购物，小华看中了一件商品，甲乙两个超市都在出售，而且是以同样的价格在出售，为了吸引顾客，两家各自推出不同的优惠方案． 甲超市：累计购买200元商品后，再购买的商品按原价的收费； 乙超市：累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的收费． 设小华累计购物元 (1)请用含的代数式分别表示小华在两家超市购物所付的费用； (2)请问：什么情况下，小华在两家超市购物花费一样多？ 什么情况下，小华在甲超市花费少？ 什么情况下，小华在乙超市花费少？ 【答案】(1)甲超市元，乙超市元， (2)购物300元时，小华在两家超市购物花费一样多；购物大于300元时，小华在甲超市花费少；购物小于300元时，小华在乙超市花费少 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程和一元一次不等式的应用． （1）根据原价超出部分的费用折扣可分别表示； （2）利用（1）中所列代数式，根据题意列出不等式或方程求解可得． 【详解】（1）解：由题意知，小华在甲超市购物所付的费用为：（元）， 小华在乙超市购物所付的费用为：（元）； （2）解：令， 解得， 即购物300元时，小华在两家超市购物花费一样多； 令， 解得， 即购物大于300元时，小华在甲超市花费少； 令， 解得， 即购物小于300元时，小华在乙超市花费少． 27．苹果的进价是1.5元／千克，香梨的进价是2元／千克；李老板购进苹果的重量比香梨重量的3倍多20千克，一共花费420元；为方便销售，定价均为7元／千克． (1)李老板购进苹果和香梨各多少千克？ (2)若平均每天卖出苹果和香梨共50千克，每天利润不少于268元，则每天卖出的苹果至少是多少千克？ 【答案】(1)购进香梨60千克，购进苹果千克； (2)每天卖出的苹果至少是36千克． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设李老板购进香梨千克，则李老板购进苹果为千克，根据“苹果的进价是1.5元/千克，香梨的进价是2元/千克，一共花费420元”，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设苹果的日销售量是千克，则香梨的日销售量是千克，根据“每天利润不少于268元”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案； 【详解】（1）解：设李老板购进香梨千克，则李老板购进苹果为千克， 根据题意得， 解方程得， 购进香梨60千克，购进苹果千克； （2）解：设苹果的日销售量是千克，则香梨的日销售量是千克， 根据题意，得 解不等式，得： 答：每天卖出的苹果至少是36千克． 28．某学校组织学生春游活动，在同等项目下，甲旅游公司的收费为每位学生50元，外加导游管理费1500元；乙旅游公司的收费是每位学生55元，外加导游管理费300元，请问在同等条件下，学校应该做怎样的选择才能使费用较省？ 【答案】当学生人数多于240人时选甲旅游公司，少于240人时选乙旅游公司，等于240人时选甲、乙两个旅游公司一样 【分析】本题考查了一元一次不等式程的应用，设学生人数为人，分别计算甲旅游公司和乙旅游公司的费用，列不等式即可解答，熟练利用表示甲旅游公司和乙旅游公司的费用是解题的关键 【详解】解：设学生人数为人， 根据题意，得甲旅游公司费用为元，乙旅游公司费用为元 当，即时，两家费用一样； 当，即时，选择甲旅游公司省钱； 当，即时，选择乙旅游公司省钱． 综上所述，当学生人数多于240人时选甲旅游公司，少于240人时选乙旅游公司，等于240人时选甲、乙两个旅游公司一样． 【考点题型八 求不等式组的解集】（） 29．解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解． 【答案】，非负整数解是0，1，2 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键； 先求出每个不等式的解集，再取其解集的公共部分即得不等式组的解集，进而可得非负整数解. 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组的非负整数解是0，1，2． 30．解不等式组，并求不等式组的所有整数解的和． 【答案】， 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从而可得出不等式组的整数解，求和即可． 【详解】解：解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为：，，，， ∴所有整数解之和为． 31．解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解，得． 解，得． ∴原不等式组的解集是． 32．解不等式组，并写出它的所有正整数解． 【答案】不等式组的解集是，不等式组的正整数解是1，2． 【分析】本题考查解不等式组与不等式组的正整数解，掌握解不等式组的一般步骤是解题的关键． 先解每个一元一次不等式，再取公共部分得不等式组的解集，最后根据不等式组的解集写出所有正整数解． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是， 则不等式组的正整数解是1，2． 【考点题型九 求一元一次不等式组的整数解】（） 33．不等式组的所有整数解之和是（  ） A．60 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【分析】本题考查求一元一次不等式组的整数解，先求出两个不等式的解集，再求出公共解集，进而求出整数解，求和即可． 【详解】解： 解不等式，得：， 解不等式，得：， 该不等式组的解集为， 所有整数解之和为：， 故选B． 34．关于的不等式组的整数解仅有4个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点．不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可． 【详解】解：， 由②得：， 解集为， 由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，， ∴， ∴； 故选：A． 35．若关于x的不等式组恰有3个整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组的应用，先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解进而求得m的取值范围． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 则不等式组的解集是：， 不等式组有3个整数解，则整数解是4，5，6， 则． 故答案为：． 36．解不等式组：，并写出不等式组的所有整数解． 【答案】， 【分析】本题考查求一元一次不等式组的整数解，涉及解一元一次不等式组，先分别解不等式组中各个不等式，再由不等式组解集求法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”得到不等式组解集，即可确定整数解．熟练掌握不等式组解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①得； 由②得； ，则不等式组的所有整数解为． 【考点题型十 由一元一次不等式组的解集求参数】（） 37．若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集的情况确定关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵关于的不等式组的所有整数解的和是， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：或， ∴或； 故选B． 38．若关于的不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是不等式组含参数问题．首先分别解两个不等式，然后根据不等式组无解得到，进而求解即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得，， 不等式组无解， ， 解得， 故选：C． 39．若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组的整数解．熟练掌握解一元一次不等式组，不等式组的整数解，是解题的关键． 先解出不等式组的解集，再由整数解确定m的取值范围． 【详解】解：， 解①，得， 解②，得， ∵x的不等式组的整数解共有4个， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解是3，4，5，6， ∴． 故选：B． 40．已知关于x的不等式组的整数解共有3个，求a的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查的是已知不等式组的整数解求参数的取值范围，由题意可得不等式组整数解有3个，为，，，从而可得答案． 【详解】解：， 不等式组整理得：，即， 由不等式组整数解有3个，为，，， 得到， 故答案为：． 【考点题型十一 不等式组和方程组结合的问题】（） 41．已知方程组中的x，y满足， 则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接用方程组中的减去得到，再结合，得到关于k的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得， ∵方程组的中x，y满足， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了方程组和不等式结合的问题，正确利用方程组得到是解题的关键． 42．关于，的方程组的解，满足，则的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将2个方程相加得出，根据不等式的解集的情况，得出，进而即可求解． 【详解】解： 由得： ∴， ∵， ∴ 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出的表达式是解答此题的关键． 43．已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为 ． 【答案】0， 【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解、解一元一次不等式组，先解方程组，用a表示方程组的解，根据方程组的解都为负数得到关于a的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：解关于x，y的方程组 ，得， ∵该方程组的解都为负数， ∴，即， ∴， ∴整数a的值为，， 故答案为：0，． 44．关于x，y的二元一次方程组的解x是非负数，y的值不大于，试求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解不等式组，先解二元一次方程组得，然后根据x是非负数，y的值不大于列出关于a的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：解二元一次方程组得， ∵x是非负数，y的值不大于， ∴， 解得：． 【考点题型十二 列一元一次不等式组】（） 45．已知某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高8cm，容器内有水，水的高度为2cm．现准备向容器里面继续注水，用V（单位：）表示新注入的水的体积．求V的取值范围（容器壁厚忽略不计）． 【答案】 【分析】根据题意可求出长方体容器的体积，根据水的高度可以求出容器里现有水的体积，再用总容积减去现有水的体积，即可求出还能注入水的体积． 【详解】解：由题意，得该长方体形状的容器的容积为． 又因为容器内原有的水的体积为， 所以容器内剩余未注水的体积为， 所以的取值范围为． 【点睛】本题主要主要考查了有理数乘法和有理数减法的计算，解决此题的关键是要读懂题意，列出式子． 46．某班名学生上体育课，老师出了一道题：现在我拿出一些篮球，如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人．请写出篮球数x与人数的不等关系． 【答案】 【分析】如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打，就有；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人，就有即可． 【详解】解：设篮球数为x，根据题意可得：， 解得： ， 【点睛】本题主要考查的是一元一次不等式的实际应用，正确列出满足题意的不等式是解题的关键． 47．小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式组．先求得调整后咖啡浓度为，再根据“调整后的咖啡浓度既不低于又不超过”列出不等式组即可． 【详解】解：由题意倒掉了x毫升咖啡液，此时剩余的咖啡质量为克， 调整后咖啡浓度为， 根据题意得， 故答案为：． 48．小明一家驾驶一辆小轿车外出旅游，经过某段高速公路时看到该段路对行驶车辆的限速规定如图所示，设小明家车辆经过该路段的速度为v千米/小时，则符合限速规定的v应 满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查看图列不等式，解题的关键是看懂图中最低和最高限速并作答．本题是看图列不等式，要不低于最低限速，自驾游的车属于小客车最高速不超过120，进而作答． 【详解】解：由图可知最低限速60， ∴， 又自驾游的车属于小轿车， 小轿车的最高速不超过120， 即， 综上， 故选：C． 【考点题型十三 用不等式组解决实际问题】（） 49．现有、两种商品，种商品单价为16元，种商品单价为4元．如果小静准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过120元，且不低于100元，问有几种购买方案？哪种方案费用最低？ 【答案】方案一∶购买商品5件， 商品5件；方案二∶购买商品6件， 商品4件， 方案一费用最低． 【分析】此题主要考查一元一次不等式组的应用，根据题意得出关系式是解题关键． 设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品件，根据关系式列出二元一次不等式组．求解再比较两种方案． 【详解】解∶设小静购买商品件，则购买商品件，由题意，得 解得 ∵取正整数， ∴或 ∴有两种购买方案∶ 方案一∶购买商品5件， 商品5件，购买费用为∶ (元)； 方案二∶购买商品6件， 商品4件，购买费用为∶ (元)． ，方案一费用低 答∶有两种购买方案，方案一费用最低． 50．某书店在读书日活动中准备了一批图书赠送给参与活动的读者．如果每人赠送5本，则还剩下10本；如果每人赠送8本，则最后一名读者得到的图书不足4本．请问该书店可能准备的图书数量和获赠读者人数． 【答案】获赠读者为5人，图书数量为35本． 【分析】本题考查了不等式组的应用．首先设获赠读者为人，则图书数量为本，根据“最后一名读者得到的图书不足4本”列出不等式求解即可． 【详解】解：设获赠读者为人，则图书数量为本，则有 解得 因为是整数，故， 所以（本）． 答：获赠读者为5人，图书数量为35本． 51．把一些奖品分给若干名学生．如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个．问：学生最少有几名？奖品至少有多少个？ 【答案】学生最少有5名，奖品至少有22个 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用，熟练掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键．设学生有x人，则有奖品本，再根据如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个列出不等式组求解即可． 【详解】解：设学生有名，根据题意得： ， 解得：， 因为为学生人数，只能为正整数， 所以或，则学生最少有5名， 当学生最少有5名时，将代入，可得奖品数量为：（个）， 答：学生最少有5名，奖品至少有22个． 52．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”，每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，每套乙型号“文房四宝”的价格是50元． (1)学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，共有哪几种购买方案？ (2)甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过3000元后，超出3000元的部分按收费；乙商场累计购物超过4420元后，超出4420元的部分按收费．若学校按（1）中的方案去购买，应该如何选择商场才合算？ 【答案】(1)共有4种购买方案，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，有理数四则混合运算应用，正确地列出一元一次不等式组是解题的关键． （1）设需购进甲型号“文房四宝”x套，则需购进乙型号“文房四宝”套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论； （2）根据两个商场推出的优惠方案，分别求得（1）中各方案的费用，进而比较可得结论； 【详解】（1）解：设需购进甲型号“文房四宝”x套，则需购进乙型号“文房四宝”套， 由题意可得：， 解得， 又∵x为正整数， ∴x可以取26，27，28，29； ∴共有4种购买方案， 方案1：购进26套甲型号“文房四宝”，74套乙型号“文房四宝”； 方案2：购进27套甲型号“文房四宝”，73套乙型号“文房四宝”； 方案3：购进28套甲型号“文房四宝”，72套乙型号“文房四宝”； 方案4：购进29套甲型号“文房四宝”，71套乙型号“文房四宝”； （2）解：方案1总费用：（元）， 甲商场：（元）， 乙商场：（元）， ∵ ， ∴选择甲商场才合算； 方案2总费用：（元）， 甲商场：（元）， 乙商场：（元）， ∵ ， ∴选择甲商场才合算； 方案3总费用：（元）， 甲商场：（元）， 乙商场：（元）， ∴选择甲、乙商场都合算； 方案4总费用：（元）， 甲商场：（元）， 乙商场：（元）， ∵ ， ∴选择乙商场才合算； 【考点题型十四 用不等式组解决方案问题】（） 53．某乡村合作社为了提升农业生产效率，现计划购置甲、乙两种农业设备共60台．已知购置一台甲种设备比购置一台乙种设备的进价少2万元，购置2台甲种设备和3台乙种设备需要11万元． (1)甲、乙两种农业设备每台进价分别是多少万元？ (2)若合作社预计投入资金不超过150万元，且购置乙种设备超过42台，那么有哪些可行的购置方案？哪种方案投入资金最少？ 【答案】(1)甲种农业设备每台进价是1万元，则乙种农业设备每台进价是3万元 (2)有3种方案，具体如下：①购买甲种农业设备15台，购买乙种农业设备45台；②购买甲种农业设备16台，购买乙种农业设备44台；③购买甲种农业设备17台，购买乙种农业设备43台；方案③投入资金最少 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是： （1）甲种农业设备每台进价是x万元，根据“购置2台甲种设备和3台乙种设备需要11万元”列方程求解即可； （2）设购买甲种农业设备y台，根据“投入资金不超过150万元，且购置乙种设备超过42台”列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲种农业设备每台进价是x万元，则乙种农业设备每台进价是万元， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：甲种农业设备每台进价是1万元，则乙种农业设备每台进价是3万元； （2）解：设购买甲种农业设备y台，则购买乙种农业设备台， 根据题意，得， 解得， 所以整数y的值为15，16，17， ∴有3种方案，具体如下： ①购买甲种农业设备15台，购买乙种农业设备台； ②购买甲种农业设备16台，购买乙种农业设备台； ③购买甲种农业设备17台，购买乙种农业设备台； ①投入资金为万元； ②投入资金为万元； ③投入资金为万元； ∵， ∴方案③投入资金最少． 54．某旅游团计划在某电商平台购买杭州亚运会立体吉祥物摆件和亚运会吉祥物徽章，若购买1套立体吉祥物摆件和2套吉祥物徽章共350元，且每套亚运会吉祥物徽章的单价是每套立体吉祥物摆件的单价的3倍． (1)求每套立体吉祥物摆件和每套亚运会吉祥物徽章单价各是多少元？ (2)若至少需要购买48套亚运会吉祥物徽章，如果购买立体吉祥物摆件和亚运会吉祥物徽章共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案． 【答案】(1)每套立体吉祥物摆件的单价是50元，每套亚运会吉祥物徽章的单价是150元 (2)共有三种购买方案：方案一：购买亚运会吉祥物徽章48个、立体吉祥物摆件52个；方案二：购买亚运会吉祥物徽章49个、立体吉祥物摆件51个；方案三：购买亚运会吉祥物徽章50个、立体吉祥物摆件50个； 【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用． （1）设每套立体吉祥物摆件的单价是元，则每套亚运会吉祥物徽章的单价是元，根据“每套立体吉祥物摆件的单价购买立体吉祥物摆件的数量每套亚运会吉祥物徽章的单价购买亚运会吉祥物徽章的数量购买需要资金”列关于的一元一次方程并求解即可； （2）设购买亚运会吉祥物徽章个，则购买立体吉祥物摆件个，根据“购买亚运会吉祥物徽章的数量”和“每套立体吉祥物摆件的单价购买立体吉祥物摆件的数量每套亚运会吉祥物徽章的单价购买亚运会吉祥物徽章的数量”列关于的一元一次不等式组并求解，根据的取值范围写出所有购买方案． 【详解】（1）解：设每套立体吉祥物摆件的单价是元，则每套亚运会吉祥物徽章的单价是元． 根据题意，得， 解得， （元， 答：每套立体吉祥物摆件的单价是50元，每套亚运会吉祥物徽章的单价是150元． （2）解：设购买亚运会吉祥物徽章个，则购买立体吉祥物摆件个． 根据题意，得， 解得， 为正整数， ，49，50． 当时，（个； 当时，（个； 当时，（个； 共有三种购买方案： 方案一：购买亚运会吉祥物徽章48个、立体吉祥物摆件52个； 方案二：购买亚运会吉祥物徽章49个、立体吉祥物摆件51个； 方案三：购买亚运会吉祥物徽章50个、立体吉祥物摆件50个． 55．某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． (1)若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？ (2)请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案． 【答案】(1)只租用36座客车需8辆，该校七年级共有288人参加春游； (2)租42座车6辆和36座车1辆最省钱． 【分析】本题考查了不等式组的应用． （1）设租36座的车辆，则租42座的客车辆．不等关系：租42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人，据此求解即可； （2）根据（1）中求得的人数，进一步计算三种方案的费用：①只租36座客车；②只租42座客车；③合租两种车．再进一步比较得到结论即可． 【详解】（1）解：设租36座的车辆． 据题意得：， 解得：． ． 是整数， ． 则春游人数为：（人）． 答：只租用36座客车需8辆，该校七年级共有288人参加春游； （2）解：方案①：租36座车8辆的费用：元； 方案②：租42座车7辆的费用：元； 方案③：， 座车越多越省钱， 又，余下人数正好36座， 可以得出：租42座车6辆和36座车1辆的总费用：元． ， 租42座车6辆和36座车1辆最省钱． 56．根据以下素材，探索完成任务 如何设计采购方案？ 素材1 三坊七巷文创商店近期推出了许多新的文创产品，以更好地宣传三坊七巷的历史文化．其中，有景点书签、标志景观冰箱贴、“爱心树”钥匙扣、严复贺卡等，已知1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元． 素材2 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元． 素材3 临近期末考试，某老师打算提前给学生准备奖品，他准备用1000元在本店同时购买书签和冰箱贴两种商品若干件． 问题解决 任务1 求1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元． 任务2 该老师打算购买书签和冰箱贴共25件，最多能买几套书签？ 任务3 【拟定购买方案】 在任务2的条件下，该老师要求购买的书签比冰箱贴多，且书签不超过13套，求出购买费用． 【答案】任务1：1套书签的售价为46元，1个冰箱贴的售价为28元；任务2：最多能买16套书签；任务3：934元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一元一次不等式组的应用，解题关键是读懂题意，列出方程和不等式（组）； 任务1：设1套书签的售价为元，则1个冰箱贴的售价为元，根据等量关系列出方程组，求出解即可； 任务2：设该老师购买套书签，则购买个冰箱贴，，再根据总费用列出不等式，求出解集，可得答案； 任务3：先购买的书签比冰箱贴多，且书签不超过13套求出x的取值范围，得出购买13套书签，12个冰箱贴．在计算费用即可． 【详解】解：任务1：设1套书签的售价为元，则1个冰箱贴的售价为元， 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元， ， 解得， ， 套书签的售价为46元，1个冰箱贴的售价为28元； 任务2：设该老师购买套书签，则购买个冰箱贴， 根据题意得， 解得， 为整数， 最大值为16， 最多能买16套书签； 任务要求购买的书签比冰箱贴多，且书签不超过13套 ， 解得， 为整数， 的值为13， （元）， 要使所需费用最省，则购买13套书签，12个冰箱贴，所需费用为934元． 【考点题型十五 一元一次不等式组的其他应用】（） 57．某学校的编程课上，一名同学设计了一个运算程序，如图所示． 按上述程序进行运算，程序运行到“判断x是否大于23”为1次运行．若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据程序流程图列出不等式组，然后再解不等式组即可． 【详解】解：依题意，得， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为． 故x的取值范围为． 58．（新考法）对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如：，，根据以上材料，解决下列问题： (1)__________， __________； (2)若，则的取值范围是__________； (3)求满足的所有非负数的值． 【答案】(1)2；2 (2) (3)或2或 【分析】本题以新定义为背景，考查了一元一次不等式组的解法，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组，求出相应的数值． （1）根据题意和四舍五入法，可以写出题目中的数据的结果； （2）根据题意和，可以得到不等式组，然后求解即可； （3）根据题意和，可以设，然后可以得到，从而可得关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围，进而求得的值． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：2，2； （2）解：由题意可得：， 解得， 故答案为：； （3）解：设，为整数，则，， ，解得． 为整数， 或2或3， 时，，； 时，，； 时，，； 或2或． 59．随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的主角．某电车生产车间现有、两个工种的工人，其中工种有300人，工种有200人，且同类工种工人月工资相同．已知6个种工人的月工资与5个种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额540万元． (1)、两个工种工人的月工资分别为多少万元； (2)由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘、两个工种工人共60人．其中，再招聘的工种工人不超过再招聘的工种工人的，且最终车间所有工种工人的数量与车间所有工种工人的数量之差不高于80人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使每月付给这60个工人工资总额最少，最少为多少？ 【答案】(1)A工种工人的月工资为1万元，B工种工人的月工资为1.2万元 (2)三种招聘方案：①招聘工种工人人，工种工人人；②招聘工种工人人，工种工人人；③招聘工种工人人，工种工人人；方案③可使每月付给这60个工人的工资总额最少，最少为68万元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（其他问题），一元一次不等式组的其他应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程或不等式组是解题的关键． （1）设工种工人的月工资为万元，则工种工人的月工资为万元，根据题意列方程求解即可； （2）设再招聘工种工人人，则再招聘工种工人人，根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设工种工人的月工资为万元，则工种工人的月工资为万元， 根据题意可列方程：， 解得：， 则， 、两个工种工人的月工资分别为1万元、1.2万元； （2）解：设再招聘工种工人人，则再招聘工种工人人， 根据题意可列不等式组： ， 解得：， 为整数， 的值为、、， 该车间共有三种招聘方案： ①招聘工种工人人，工种工人人； ②招聘工种工人人，工种工人人； ③招聘工种工人人，工种工人人； 工种工人的月工资比工种工人的月工资低， 招聘工种工人越多，每月付给这个工人的工资总额越少， 招聘工种工人人，工种工人人时，每月付给这个工人的工资总额最少，最少为万元， 答：该车间共有三种招聘方案：①招聘工种工人人，工种工人人；②招聘工种工人人，工种工人人；③招聘工种工人人，工种工人人；方案③可使每月付给这个工人的工资总额最少，最少为68万元． 60．如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁段滑动．已知，，根据杠杆原理，平衡时：左盘物体质量右盘物体质量（托盘与横梁的质量不计）．小慧在存钱罐里存了若干个1元硬币（只有1元硬币），她想利用这个自制天平估计存钱罐里一元硬币的数量．进行了如下操作： (1)测量一个硬币的质量：如图1，在天平左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当时，天平平衡，则测得每个1元硬币的质量为 g； (2)估算硬币的数量：已知空的存钱罐的质量约为，将装了若干个1元硬币的存钱罐放在左侧托盘，右侧托盘放入砝码，调整点P的位置，发现当时，天平向左侧倾斜（如图2），当时，天平向右侧倾斜（如图3），请你帮小慧算一下存钱罐里大约有几个1元硬币？ 【答案】(1)6 (2)存钱罐里大约有个1元硬币． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用． （1）设每个1元硬币的质量为，根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设存钱罐里有个1元硬币，根据题意列出不等式组，，据此求解即可． 【详解】（1）解：设每个1元硬币的质量为，10个1元硬币的质量为， 由题意得， 解得， 答：每个1元硬币的质量为； 故答案为：6； （2）解：设存钱罐里有个1元硬币， 当时，由题意得， 解得， 当时，由题意得， 解得， ∴， ∵为正整数， ∴， 答：存钱罐里大约有个1元硬币． 【考点题型十六 一元一次不等式的新定义问题】（） 61．给出如下定义：对于两个关于的不等式，同时满足这两个不等式的的值中，有且仅有个整数，则称这两个不等式为“包含”．例如：对于不等式和，同时满足这两个不等式的的值中，有且仅有3个整数，则称这两个不等式为“包含”． (1)判断不等式和是否是“包含”，并说明理由； (2)若不等式和是“包含”，求的取值范围； (3)若不等式和是“包含”，直接写出的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2) (3)3 【分析】本题考查解一元一次不等式组、求一元一次不等式组的整数解，理解题中定义是解答的关键． （1）分别解出两个不等式，找出公共解，由新定义进行判断，即可求解； （2）分别解出两个不等式，找出公共解，由新定义进行判断出，即可求解； （3）分别解出两个不等式，由新定义进行判断出当时，，可判断，由新定义可得m为正整数，且，分类讨论①当时，②当时，③当时，即可求解． 【详解】（1）解：不是“包含”，理由为： 解不等式，得， 解不等式，得， ∴， ∴同时满足这两个不等式的的值中，有且仅有1个整数， ∴不等式和不是“包含”； （2）解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式和是“包含”， ∴， 解得； （3）解：解不等式，得， 解不等式，得， 当时，，此时是“包含”，不符合题意； ∵不等式和是“包含”， ∴m为正整数，且，即， 当时，，此时是“包含”，不符合题意； 当时，，此时是“包含”，不符合题意； 当时，，此时是“包含”，符合题意， 综上，的值为3． 62．对于任意实数，定义一种关于的运算：．例如：． (1)若，求的取值范围； (2)若关于的不等式组的解集为满足，求的值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义列出关于x的不等式，求解即可； （2）根据新定义得到，求出，然后根据题意得到，，求出，，然后代入求解即可； （3）根据新定义得到，然后得到求解即可． 【详解】（1）根据题意得， 解得； （2）根据题意得， 解得 ∵关于的不等式组的解集为满足 ∴， ∴， ∴； （3）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得． 【点睛】此题考查了新定义运算，解不等式组，根据不等式的解集求参数，解题的关键是掌握以上知识点． 63．阅读理解： 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为：，的解集为：，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”有：______；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围． 【答案】(1)①③ (2) 【分析】本题考查了不等式组的解集定义、解一元一次不等式组、解一元一次方程等知识，正确理解“子方程”概念并求出不等式组的解集是解题关键． （1）分别解出方程①②③和不等式组，判断方程的解是否在不等式组解集的范围内即可； （2）先解关于x的方程，再将求得的x值代入不等式组的解集得到关于k的不等式组，解出即可． 【详解】（1）解：解方程①得： ， 解方程②得： ， 解方程③得： ， 解不等式组得： ， 和都在范围内， 不等式组的“子方程”有①③． 故答案为：①③． （2）解： ，   ， ， 由①得： ， 解得：， 由②得：  ， 解得： ， ， 把代入得： ， 由③得：  ， 解得：， 由④得： ， 解得： ， 的取值范围． 64．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)方程______（填“是”或“不是”）不等式组的“关联方程”． (2)已知关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． (3)已知关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，直接写出的取值范围为______． 【答案】(1)是； (2)； (3)． 【分析】本题考查了解不等式组，一元一次方程，熟练掌握解法是解题的关键． （）根据题意分别解出和，再根据“关联方程”定义即可求解； （）根据题意分别解出和，再根据“关联方程”定义得出，然后求解集即可； （）由解不等式得，解不等式得，由得，根据“关联方程”定义得出，然后解不等式组即可． 【详解】（1）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 由， ， ∴在范围内， ∴方程是不等式组的“关联方程”， 故答案为：是； （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 由得， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴， 解得：； （3）解： 解不等式得：， 解不等式得：， 由得， ∵关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”， ∴， 解得：， 故答案为：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$