02 第29课时 相似的应用(讲义)-【全效学习】2025年中考学练测数学课件PPT

第29课时 相似的应用 中考学练测 · 数学 1 01 02 03 中考再现 考点管理 归类探究 2 01 中考再现 3 1.[邵阳中考] 如图,以点为位似中心,把 的各边放大为原图形的2倍得 到 ,下列说法错误的是( ) C A. B.点,, 在同一直线上 C. D. 第29课时 相似的应用 返回目录 4 2.[烟台中考] 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部 分深度的方法．如图所示，在井口 处立一根垂直于井口的木 杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线 与井口的直径 交于点.如果测得，， ， 那么为___ . 3 第29课时 相似的应用 返回目录 5 3.[岳阳中考] 《九章算术》是我国古代数学著作，书中有下列问题：“今有 勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为今有直角三角形，勾 （短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳 的正方形边长最大是多少步？则该问题的答案是___步． 第29课时 相似的应用 返回目录 6 02 考点管理 7 1 相似三角形的应用 应用 （1）几何图形的证明与计算,主要包括解决线段的数量关系、线 段的长度、图形的面积等问题,解决这类问题一般先根据题中条 件,找出相似的三角形,再利用相似三角形的性质来解答. （2）生活中与相似三角形有关的实际问题:①利用投影、平行 线、标杆等构造相似三角形求解;②测量底部可以到达的物体的高 度;③测量底部不可以到达的物体的高度;④测量不可以到达对岸 的河的宽度等. 第29课时 相似的应用 返回目录 8 2 图形的位似 概念 如果两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于同一点,则这 样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,新图形与原图形 的相似比叫做位似比. 性质 （1）位似图形是相似图形,具备相似图形的所有的性质; （2）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位 似比; （3）位似图形中的对应边互相平行（或在同一条直线上）; （4）位似图形中的对应顶点所在直线交于一点. 第29课时 相似的应用 返回目录 9 位似 作图 的步 骤 （1）确定位似中心; （2）找关键点; （3）确定位似比,即要将图形放大或缩小的倍数; （4）根据位似比作出变化后的边,即可得出关键点的对应点; （5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点. 续表 第29课时 相似的应用 返回目录 10 03 归类探究 11 1 利用相似解决实际问题 例1 一块材料的形状是锐角 ,边 ,高 ,把它加工成正 方形零件如图①,使正方形的一边在 上,其 余两个顶点分别在, 上. （1）求证: ; 证明： 四边形 为正方形， ， . 第29课时 相似的应用 返回目录 12 （2）求这个正方形零件的边长； 解：设正方形零件的边长为,则, , ， ， ， ， 解得 ． 答：正方形零件的边长为 . 第29课时 相似的应用 返回目录 13 （3）如果把它加工成矩形零件如图②，这个矩形的最大面积是多少？ 解：设, . 四边形为矩形， , . 又 , ， , , . 故当时，此时矩形的面积最大，最大面积为 ． 第29课时 相似的应用 返回目录 14 变式跟进 1.[2024扬州] 物理课上学过小孔成像的原理，它是 一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法.如 图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔 在屏幕 （竖直放置）上成像，设 ， ，小孔到的距离为 ，则小孔 到的距离为____ ． 20 第29课时 相似的应用 返回目录 15 2 坐标系中的位似变换 例2 [2024绥化] 如图，矩形 各顶点的坐标分别为 ，，，，以原点 为位似中心， 将这个矩形按相似比缩小，则顶点 在第一象限对应点 的坐标是( ) D A. B. C. D. 第29课时 相似的应用 返回目录 16 变式跟进 2.[2023嘉兴、舟山] 如图,在平面直角坐标系中, 的 三个顶点分别为,,,现以原点 为位似 中心,在第一象限内作与 的相似比为2的位似图形 ,则顶点 的坐标是( ) C A. B. C. D. 3.经典题 在平面直角坐标系中,和的相似比等于 ,并且是关 于原点的位似图形.若点的坐标为,则其对应点 的坐标为_________ _______. 或 第29课时 相似的应用 返回目录 17 3 项目式学习 例3 [2024自贡] 为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用 了多种测量方法． 第29课时 相似的应用 返回目录 18 （1）如图①，小张在测量时发现，自己在操场上的影长 恰好等于自己的身高.此时，小组同学测得旗杆 的影长 为，据此可得旗杆的高度为_____ ； 11.3 [解析] 影长恰好等于自己的身高 ， 是等腰直角三角形， 由平行投影性质可知， 是等腰直角三角形， ． 第29课时 相似的应用 返回目录 19 （2）如图②，小李站在操场上 点处，前面水平放置镜面 ，并通过镜面观测到旗杆顶部 .小组同学测得小李的眼 睛距地面高度，小李到镜面距离 ，镜 面到旗杆的距离 .求旗杆的高度； 解：由反射定律可知， ， 又 ， ， ，即，解得 ， 旗杆的高度为 ． 第29课时 相似的应用 返回目录 20 （3）小王所在小组采用图③的方法测量，结果误差较大.在更新测量工具， 优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具， 成功测量了江姐故里广场雕塑的高度.方法如下： 第29课时 相似的应用 返回目录 21 如图④，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持 管内水面， 两点始终处于同一水平线上． 第29课时 相似的应用 返回目录 22 如图⑤，在支架上端处，用细线系小重物，标高线 始终垂直于水 平地面． 第29课时 相似的应用 返回目录 23 如图⑥，在江姐故里广场上点处，同学们用注水管确定与雕塑底部 处于同一水平线的，两点，并标记观测视线与标高线交点 ，测得标 高，.将观测点后移到 处.采用同样方法，测 得，.求雕塑的高度（结果精确到 ）． 第29课时 相似的应用 返回目录 解：， ， ， . 设，，则 ， ， 第29课时 相似的应用 返回目录 25 同理可得 ， ， ， 解得 . 经检验， 是原方程的解，且符合题意. ， 雕塑的高度约为 ． 第29课时 相似的应用 返回目录 26 4 相似三角形的综合 例4 [2024长沙模拟] 综合与实践 某校数学兴趣小组利用课余时间开展平行四边形的折叠实验探究，已知 点为的边上一动点，将沿折叠，使点落在点 处． 第29课时 相似的应用 返回目录 27 【特例探究】 （1）如图①，若 ，此时点落在边 上.求证： ； 证明： ， 是矩形， ， 第29课时 相似的应用 返回目录 28 由折叠的性质，可得 ， . ， . 又 ， . 第29课时 相似的应用 返回目录 29 【类比探究】 （2）如图②，若 ，此时点落在边上.求证： ； 证明：如答图①，延长，交于点 ， 例4答图① 第29课时 相似的应用 返回目录 30 由折叠的性质,可知，， . 四边形 是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，即 ， . 例4答图① 第29课时 相似的应用 返回目录 31 ， ， , ， . 又 ， ， ，即 ， . 例4答图① 第29课时 相似的应用 返回目录 32 【拓展应用】 （3）如图③，若 ，此时点落在对角线上，且 于 点，.求 的值． 解：如答图②，延长，交于点，过点作于点 . 例4答图② 第29课时 相似的应用 返回目录 33 ， ， ，即 . 由折叠的性质可知， ， ， 是等腰直角三角形， ， 同理（2）可证， ， ， 例4答图② 第29课时 相似的应用 返回目录 34 即 ， . 设，则， ， ， ， ， ， 的值为 . 例4答图② 第29课时 相似的应用 返回目录 35 此类问题一般涉及相似三角形的判定与性质、特殊四边形的性质等,常 常用到数形结合思想、分类讨论思想等. 第29课时 相似的应用 返回目录 36 自主选练 见配套《自主选练本》 第29课时 相似的应用 返回目录 37 $$