08 微专题（四） 中点问题四大模型(讲义)-【全效学习】2025年中考学练测数学课件PPT

微专题（四） 中点问题四大模型 中考学练测 · 数学 1 1 中点 中位线 数学模型 如图,在三角形中,如果有中点,那么可构造三角形的中位线,利 用三角形中位线的性质定理:,且, 解决问题. 微专题（四） 中点问题四大模型 2 模型运用 1.如图,在中, ,,,,分别是, 的中点, 延长至点,使,连接,,则 的长为_____. 微专题（四） 中点问题四大模型 3 2.如图,是中边上的中线,为的中点,延长交于点 , ,求证: . 微专题（四） 中点问题四大模型 4 证明：如答图,过点作交于点 . 第2题答图 为的中点,为 的中点, 易得, , , , . 微专题（四） 中点问题四大模型 5 2 直角三角形斜边中点 斜边上的中线 数学模型 如图,在直角三角形中,当遇见斜边中点时,经常会作斜边上的 中线,利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,即 ,来证明 线段间的数量关系,而且可以得到两个等腰三角形:和 . 微专题（四） 中点问题四大模型 6 模型运用 第3题图 3.如图,在中, ,,分别是边, 的中 点,延长至点,使,连接.若,则 的长 是( ) A A.5 B.4 C.3 D.2 第4题图 4.如图,已知梯形,, , ,,分别是,的中点,则 _____. 微专题（四） 中点问题四大模型 7 5.如图,在中,是高,是中线,是的中点,, 为垂足.求证: . 微专题（四） 中点问题四大模型 8 证明：如答图,连接 . 第5题答图 , . 是 的中线, , . ,是 的中点, , . 微专题（四） 中点问题四大模型 9 3 等腰三角形底边中点 三线合一 数学模型 如图,等腰三角形中有底边上的中点时,常作底边的中线,利用 等腰三角形底边中线、底边高线、顶角平分线“三线合一”的性质得到: ,, . 微专题（四） 中点问题四大模型 10 模型运用 6.如图,在中,,,为的中点,于点 ,则 的长是___. 微专题（四） 中点问题四大模型 11 7.如图,在中,,是的中点,过点的直线 ,且 ,求证: . 微专题（四） 中点问题四大模型 12 证明：如答图,连接 . 第7题答图 在中,,是 的中点, . , . 又,垂直平分 , . 微专题（四） 中点问题四大模型 13 8.如图,在中,,,是内的两点,平分 , .若,,求 的长. 微专题（四） 中点问题四大模型 14 解：如答图,延长交于点,延长交于点 . 第8题答图 ,平分 , , . , 为等边三角形. 微专题（四） 中点问题四大模型 15 , , , . 为等边三角形, . , , 微专题（四） 中点问题四大模型 16 , , , . 微专题（四） 中点问题四大模型 17 4 三角形中点 全等三角形（倍长中线） 数学模型 如图,当遇见中线或者中点时,可以尝试用倍长中线法构造全 等三角形,证明线段间的数量关系. 微专题（四） 中点问题四大模型 18 模型运用 9.课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题: 如图①,在中,若,,求边上的中线 的取值范围. 小颖在组内经过合作交流,得到了如下的解决 方法:如图②,延长到点,使 ,连接 .请根据小颖的方法思考: （1）由已知和作图能得到 ,其依据是( ) B A. B. C. D. 微专题（四） 中点问题四大模型 19 （2）由“三角形的三边关系”可求得 的取值范围是_____________. 解后反思:题目中出现“中点”“中线”等条件,可考虑延长中线构造全等三角形, 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中. 完成上题之后,小颖善于探究,她又提出了如下的问题,请你解答. （3）在中,是上一点,连接,是上一点,连接 并延长交边 于点 . 微专题（四） 中点问题四大模型 20 ①如图③,若是的中线,且,求证: ; 证明：如答图①,延长到点,使，连接 . 第9题答图① ,, , 微专题（四） 中点问题四大模型 21 , , . , . , , , . 微专题（四） 中点问题四大模型 22 ②如图④,若是的中点,求证: . 微专题（四） 中点问题四大模型 23 第9题答图② [答案] 如答图②,延长到点,使得,连接 . ,, , , , , , , , , . 微专题（四） 中点问题四大模型 10.如图,已知,,垂足为,,垂足为, , ,是的中点,求 的长. 微专题（四） 中点问题四大模型 25 解：如答图,延长交于点 . 第10题答图 是 的中点, . , , , . 微专题（四） 中点问题四大模型 26 又 , , , , . 在 中, , . 微专题（四） 中点问题四大模型 27 $$