05 第18课时 等腰三角形(讲义)-【全效学习】2025年中考学练测数学课件PPT

第18课时 等腰三角形 中考学练测 · 数学 1 01 02 03 中考再现 考点管理 归类探究 2 01 中考再现 3 1.[2024湖南] 若等腰三角形的一个底角的度数为 ，则它的顶角的度数为 ______. 第2题图 2.[2022岳阳] 如图,在中,,于点 ,若 ,则 ___. 3 第3题图 3.[2022邵阳] 如图,在等腰中, ,顶点 在 的边上.已知 ,则 ______. 第18课时 等腰三角形 返回目录 4 4.[2023丽水] 如图,在中,线段的垂直平分线交于点,交 于点 ,.若,则 的长是___. 4 第18课时 等腰三角形 返回目录 5 02 考点管理 6 1 线段的垂直平分线 定义 经过线段①______并且②______于这条线段的直线叫做这条线段 的垂直平分线. 性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离③______. 判定 与线段两个端点距离④______的点在这条线段的垂直平分线上. 中点 垂直 相等 相等 第18课时 等腰三角形 返回目录 7 2 等腰三角形 定义 有⑤______相等的三角形叫做等腰三角形,其中相等的⑥______叫做 腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做⑦______,腰与底边的夹角叫做 底角. 两边 两边 顶角 第18课时 等腰三角形 返回目录 8 性质 ____________________ （1）两底角相等,即 ; （2）两腰相等,即 ; （3）是轴对称图形,有⑧____条对称轴; （4）等腰三角形的 ⑨______________、⑩____________、⑪ ____________重合（简称“三线合一”）. 一 顶角的平分线 底边上的高 底边的中线 续表 第18课时 等腰三角形 返回目录 9 判定 （1）有两边相等的三角形是等腰三角形; （2）有两角相等的三角形是等腰三角形. 面积 公式 ,其中是底边长, 是底边上的高. 注意 （1）对于等腰三角形的边、角、周长的计算、顶点位置的探索,往 往由于腰、底的不确定,需要分类讨论解决,防止漏解; （2）等腰三角形的“三线合一”是一条重要的性质,在计算和证明中, 往往作为辅助线,需灵活添加解决. 续表 第18课时 等腰三角形 返回目录 10 3 等边三角形 定义 ⑫______都相等的三角形叫做等边三角形. 性质 （1）三边相等,即 ; （2）三个角相等,且每一个角都等于⑬____; （3）是轴对称图形,有⑭___条对称轴. _________________________________ 三边 3 第18课时 等腰三角形 返回目录 11 判定 （1）三边都相等的三角形是等边三角形; （2）三个角都相等的三角形是等边三角形; （3）有一个角是⑮____的等腰三角形是等边三角形. 面积公 式 ,其中是等边三角形任意一边的长, 是任意边上 的高. 续表 第18课时 等腰三角形 返回目录 12 03 归类探究 13 1 线段的垂直平分线 例1 如图,在中,,,线段的垂直平分线交 于 点,交于点，连接 . （1） 的周长为____; （2）若 ,则 的度数为____. 27 第18课时 等腰三角形 返回目录 14 变式跟进 变式跟进1图 1.[2024长沙模拟] 如图，在中，线段 的 垂直平分线分别交，于点， ，连接 .若，的周长为 ，则 的周长为____ . 26 变式跟进2图 2.如图,在中,的垂直平分线分别交,于点, . 若是等边三角形,则 ____. 第18课时 等腰三角形 返回目录 15 2 等腰三角形的性质 例2 [2024内江] 如图，在中， ，， ， 则 的度数为______． 根据等腰三角形的性质进行角度计算,常与三角形的内角和结合,利用方 程求解. 第18课时 等腰三角形 返回目录 16 理的重要内容之一.如图,在矩形中,, ,对角线与 交 于点,为边上的一个动点,,,垂足分别为, ,则 _ __. 变式跟进 3.[2022云南] 已知是等腰三角形.若 ,则 的顶角度数是 ___________. 或 4.[2023内江] 出入相补原理是我国古代数学的重要 成就之一,最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一 个几何图形,任意切成多块小图形,几何图形的总面积 保持不变,等于所分割成的小图形的面积之和”是该原 第18课时 等腰三角形 返回目录 17 3 等腰三角形的判定 例3 [2024江西] 【追本溯源】 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题 （2）． 第18课时 等腰三角形 返回目录 18 （1）如图①，在中，平分，交于点，过点作 的平 行线，交于点，请判断 的形状，并说明理由． 解: 是等腰三角形，理由如下： 平分 ， ． ， ， ， ， 是等腰三角形． 第18课时 等腰三角形 返回目录 19 【方法应用】 （2）如图②，在中，平分，交边于点，过点 作 交的延长线于点，交于点 ． ①图②中一定是等腰三角形的有( ) B A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 第18课时 等腰三角形 返回目录 20 ②已知，，求 的长． [答案] 由（1）可知，， ， ， ． ， ． ， ． ， ． ， ， ． ， ． 第18课时 等腰三角形 返回目录 21 （1）见到角平分线,且有一边的垂线时,常过角平分线上这一点作另一 边的垂线; （2）角平分线平行 等腰三角形,如图,, 为等腰三角形. 第18课时 等腰三角形 返回目录 22 变式跟进 变式跟进5图 5.如图,在中, ,平分 , ,,,则 的长为( ) B A.9 B.8 C.6 D.7 变式跟进6图 6.如图,在中,与的平分线相交于点 ,过点 作,分别交,于点,.若, ,则 的周长是___. 9 第18课时 等腰三角形 返回目录 23 例4 经典题 如图,已知,,和相交于点 . （1）求证: ; 证明:在和 中, . 第18课时 等腰三角形 返回目录 24 （2）判断 的形状,并说明理由. 解: 是等腰三角形.理由如下: , . , , , , , 是等腰三角形. 第18课时 等腰三角形 返回目录 25 判定等腰三角形的一般方法是“两边相等”和“等角对等边”两种,这就涉 及了证明线段相等或角相等的问题,因此,结合三角形全等可以解决线段相等 或角相等的问题. 第18课时 等腰三角形 返回目录 26 4 等边三角形的性质与判定 例5 [2022怀化] 如图,在等边中,为边上任意一点,延长至点 , 使,连接交于点,于点 . （1）求证: ; 第18课时 等腰三角形 返回目录 27 例5答图 证明:如答图,过点作,交于点 . 在等边中, . , , ,. 是等边三角形, . , . 在和 中, . . 第18课时 等腰三角形 返回目录 28 （2）若,求线段的长（结果用含 的代数式表示）. 解:是等边三角形,且, . , . . ,, . 在几何问题的解答过程中,有一部分思路来源于灵感,这种灵感建立在对 一些几何图形的基本性质（如本题是等边三角形的基本性质）的掌握之上, 借助这些图形的特性,可以启发我们寻找解决问题的思路和方法,从而达到解 决问题的目的. 第18课时 等腰三角形 返回目录 29 变式跟进 7.[2024新疆] 【探究】 第18课时 等腰三角形 返回目录 30 （1）已知和 都是等边三角形． ①如图①，当点在上时，连接.请探究，和 之间的数量关系， 并说明理由； 解: .理由如下: 和 是等边三角形， ，， ， ， ， 第18课时 等腰三角形 返回目录 31 在和中， ， ． ， ． 第18课时 等腰三角形 返回目录 32 ②如图②，当点在线段的延长线上时，连接.请再次探究， 和 之间的数量关系，并说明理由. 解: .理由如下， 和 是等边三角形， ，， ， ， ， 第18课时 等腰三角形 返回目录 33 在和中， ， ， ， ． 第18课时 等腰三角形 返回目录 34 【运用】 （2）如图③，在等边中，，点在上，， 是直 线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边，连接 ， 当为直角三角形时，请直接写出 的长. [答案] 当为直角三角形时，的长为或 . 第18课时 等腰三角形 返回目录 35 自主选练 见配套《自主选练本》 第18课时 等腰三角形 返回目录 36 $$