07 第14课时 二次函数的应用(讲义)-【全效学习】2025年中考学练测数学课件PPT

第14课时 二次函数的应用 中考学练测 · 数学 1 01 02 03 中考再现 考点管理 归类探究 2 01 中考再现 3 第1题图 1.[长沙中考] “闻起来臭,吃起来香”的臭豆腐是长沙特色 小吃,臭豆腐虽小,但制作流程却比较复杂,其中在进行加工 煎炸臭豆腐时,我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称 为“可食用率”.在特定条件下,“可食用率” 与加工煎炸的时 间近似满足函数解析式: （,,, 为常数）.如图记录了三次实验数据,根据上 C A. B. C. D. 述函数关系和实验数据,可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( ) 第14课时 二次函数的应用 返回目录 4 2.[2024广西] 如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点处）的高度是 ， 出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 ，高度是 .若实心球落地点为，则___ ． 第2题图 第14课时 二次函数的应用 返回目录 5 02 考点管理 6 解题的步骤及关键点 步骤 关键点 分析问题 明确题中的常量与变量及它们之间的关系,确定自变量与 因变量. 建立模型 根据题意确定合适的解析式或建立恰当的坐标系. 求函数解析式 变量间的数量关系表示. 解决问题 熟练运用解析式的三种形式,注意 的正负及自变量的取值 范围. 第14课时 二次函数的应用 返回目录 7 03 归类探究 8 1 销售利润型问题 例1 [2024滨州] 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成 本为2 000元，该影院每天售出的电影票数量（张）与售价 （元/张）之 间满足一次函数关系（，且 是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价 （元/张） 40 50 售出电影票数量 （张） 164 124 （1）请求出与 之间的函数解析式. 解:设与之间的函数解析式是 ， 由表格可得，解得 与之间的函数解析式是（，且 是整数）. 第14课时 二次函数的应用 返回目录 9 （2）设该影院每天的利润（利润票房收入-运营成本）为（元），求 与 之间的函数解析式； 解:由题意可,得 ， 与之间的函数解析式是（，且 是整数）. 第14课时 二次函数的应用 返回目录 10 （3）该影院将电影票售价 定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 解:由（2）知， ， ，且 是整数， 当或时，取得最大值，此时 ， 答：该影院将电影票售价 定为每张40元或每张41元时，每天获利最大，最 大利润是4 560元. 第14课时 二次函数的应用 返回目录 11 此题是二次函数在销售问题方面的应用.利用二次函数解决销售问题是 我们生活中经常遇到的问题,解决这类问题一般是先求出两个变量的一次函 数关系,再求二次函数关系,然后转化为求二次函数的最值. 第14课时 二次函数的应用 返回目录 12 变式跟进 1.[2024烟台] 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助 残，共享美好生活”.康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售.根 据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元， 每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利 润不低于180元.设每辆轮椅降价元，每天的销售利润为 元. 第14课时 二次函数的应用 返回目录 13 （1）求与 的函数解析式；当每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最 大？最大利润为多少元？ 解: . ，且， . 第14课时 二次函数的应用 返回目录 14 , 当 时，每天的销售利润最大，最大利润为 （元）. 与的函数解析式为 ；当每辆轮椅降价20元 时，每天的销售利润最大，最大利润为12 240元. 第14课时 二次函数的应用 返回目录 15 （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了多 少辆轮椅？ 解:由题意，得 ， 解得（不合题意，舍去）， . 这天售出轮椅 （辆）. 答：这天售出64辆轮椅. 第14课时 二次函数的应用 返回目录 16 2.某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品,在市场试销中发现,此商品的 月销售量（万件）与销售单价 （元）之间有下表所示关系: 元 … 4.0 5.0 5.5 6.5 7.5 … 万件 … 8.0 6.0 5.0 3.0 1.0 … （1）根据表中的数据,在图中描出实数对所对应的点,并画出关于 的 函数图象. 第14课时 二次函数的应用 返回目录 17 解:如答图. 变式跟进2答图 第14课时 二次函数的应用 返回目录 18 （2）根据画出的函数图象,求出关于的函数解析式（要求写出 的取值范 围）. 解:根据图象,设,把和 代入, 得解得 . ,,解得 . 关于的函数解析式为 . 第14课时 二次函数的应用 返回目录 19 （3）设经营此商品的月销售利润为 （万元）. ①写出关于 的函数解析式; [答案] , 即关于的函数解析式为 . 第14课时 二次函数的应用 返回目录 20 ②该商店计划从这批商品中获得的月销售利润为10万元（不计其他成本）, 若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的 ,则此时的销售单价应定 为多少？ [答案] 由题意,得 , , 解得, . 第14课时 二次函数的应用 返回目录 21 物价局限定商品的销售单价不得超过进价的 , ,即 . 又 , . 此时的销售单价应定为3元. 第14课时 二次函数的应用 返回目录 22 2 抛物线型问题 例2 真实情境题 某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑,从点 处向四周 喷水,喷出的水柱为抛物线,且形状相同.如图,以水平方向为轴,点 为原点建 立平面直角坐标系,点在轴上,轴上的点, 为水柱的落水点,水柱所在抛 物线（第一象限部分）的函数解析式为 . 第14课时 二次函数的应用 返回目录 23 （1）求雕塑 的高. 解:当 时, , 点的坐标为 . 雕塑的高为 . 第14课时 二次函数的应用 返回目录 24 （2）求落水点, 之间的距离. 解:当时, , 解得（舍去）, , 点的坐标为 , . 从点 向四周喷水,喷出的水柱为抛物线,且形状相同, , . 第14课时 二次函数的应用 返回目录 25 （3）若需要在上的点处竖立雕塑,,, . 问:雕塑顶部 是否会碰到水柱？请通过计算说明. 解:不会.当 时, . , 雕塑顶部 不会碰到水柱. 第14课时 二次函数的应用 返回目录 26 利用二次函数解决抛物线形问题,一般是先根据实际问题的特点建立平 面直角坐标系,设出合适的二次函数的解析式,把实际问题中的已知条件转化 为点的坐标,代入解析式求解,最后要把求出的结果转化为实际问题的答案. 第14课时 二次函数的应用 返回目录 27 变式跟进 3.[2023兰州] 一名运动员在 高的跳台进行跳水,身体（看成一点）在空 中的运动轨迹是一条抛物线,运动员离水面的高度与离起跳点 的水 平距离之间的函数关系如图所示.当运动员离起跳点的水平距离为 时达到最高点;当运动员离起跳点的水平距离为时离水面的距离为 . 第14课时 二次函数的应用 返回目录 28 （1）求关于 的函数解析式; 解:由题意，得抛物线过和,对称轴为直线 , 设关于的函数解析式为 , 解得 关于的函数解析式为 . 第14课时 二次函数的应用 返回目录 29 （2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离 的长. 解:在 中, 令,得 , 解得或 （舍去）. 运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为 . 第14课时 二次函数的应用 返回目录 30 4.[2024陕西] 一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索 与缆索 均呈抛物线形，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以点 为原 点，以直线为轴，以桥塔所在直线为 轴，建立平面直角坐标系. 已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于轴对称，桥塔 与桥塔 之间的距离，，缆索的最低点到 的 距离 .（桥塔的粗细忽略不计） 第14课时 二次函数的应用 返回目录 31 （1）求缆索 所在抛物线的函数解析式； 解:由题意，得 ， . 又，缆索的最低点到的距离 ， 抛物线的顶点的坐标为 . 故可设抛物线的函数解析式为 . 将点代入，可得 . . 缆索所在抛物线的函数解析式为 . 第14课时 二次函数的应用 返回目录 32 （2）点在缆索上，，且，，求 的长. 解: 缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于 轴对称， 又缆索所在抛物线的函数解析式为 ， 缆索所在抛物线的函数解析式为 . 令，则 . 或 . 又， . 的长为 . 第14课时 二次函数的应用 返回目录 33 3 面积型问题 例3 [2024湖北] 学校要建一个矩形花圃，其中一边 靠墙，另外三边用篱笆围成.已知墙长 ，篱笆长 .设垂直于墙的边长为，平行于墙的边 为，围成的矩形花圃面积为 . （1）求与，与 的关系式. 解:由题意，得 ， . 由题意，得 ， . 第14课时 二次函数的应用 返回目录 34 （2）围成的矩形花圃的面积能否为？若能，求出 的值. 解:令 ， 解得或 . 由，且 ， . . 答：能，此时 的值为25. 第14课时 二次函数的应用 返回目录 35 （3）围成的矩形花圃的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值， 并求出此时 的值. 解: ， ，且 ， 当时， 取最大值为800. 答：围成的矩形花圃的面积存在最大值，最大值为，此时 的值为20. 第14课时 二次函数的应用 返回目录 36 二次函数在几何中的实际应用是数形结合思想的应用,融代数与几何为 一体,把代数问题与几何问题相互转化,充分运用几何知识求解析式是解题的 关键.二次函数与矩形、三角形、圆等几何图形结合时,往往涉及最大面积、 最小距离等问题,需要建立函数解析式及运用函数的性质解答. 第14课时 二次函数的应用 返回目录 37 变式跟进 5.[2022湘潭] 为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意 见》,某校准备在校园里利用围墙（墙长）和 长的篱笆墙,围成Ⅰ,Ⅱ 两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外,实线部 分为篱笆墙,且不浪费篱笆墙）,请根据设计方案解答下列问题. 第14课时 二次函数的应用 返回目录 38 ① （1）方案一:如图①,全部利用围墙的长度,但要在Ⅰ区中 留一个宽度 的水池,且需保证总种植面积为 ,试分别确定, 的长; 解: , Ⅰ,Ⅱ两块矩形的面积和为 . 第14课时 二次函数的应用 返回目录 39 设水池的长为 , 则水池的面积为 . ,解得 , . . 答:的长为,的长为 . 第14课时 二次函数的应用 返回目录 40 （2）方案二:如图②,使围成的两块矩形总种植面积最大,请问 应设计为多 长？此时最大面积为多少？ ② 第14课时 二次函数的应用 返回目录 41 解:设的长为 , 则的长为 . . 总种植面积为 . , , 当时,总种植面积有最大值为 . 应设计为,可使总种植面积最大,此时最大面积为 . 第14课时 二次函数的应用 返回目录 42 4 项目式学习 例4 [2024连云港模拟] 根据以下素材，探索完成任务. 设计拱桥灯笼的悬挂方案 素材1 图①中有一座拱桥，图②中的曲线 （虚线）为桥拱的示意图，现已知桥拱的 示意图是轴对称图形，桥拱与水面的交点 分别为， ． ___________________________ 第14课时 二次函数的应用 返回目录 43 素材2 春节前夕，拟在图①的桥拱上悬挂灯 笼．为了美观，相邻两盏灯笼悬挂点的水 平间距均为 ,要求在符合条件处都挂上灯 笼，灯笼挂满后须成轴对称分布．悬挂的 所有灯笼的最低点都在经过， 两点的抛 物线上（如图②虚线）． ___________________________ 续表 第14课时 二次函数的应用 返回目录 44 任务1 （1）课外实践小组的同学想通过测量的方式确定桥拱的形状，于是在桥面 上找到若干个位置进行测量，所得数据如表格所示，其中 是测量点到 铅垂线的水平距离， 是对应位置桥拱距水面的高度． 距的水平距离 2 4 12 14 16 18 20 22 24 26 距水面的 高度 1.9 3.6 8.4 9.1 9.6 9.9 10 9.9 9.6 9.1 根据表格中的数据，试确定桥拱的形状，并说明理由． 第14课时 二次函数的应用 返回目录 45 例4答图 解:桥拱的形状是抛物线，理由如下： 如答图，以点为原点，所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系. 桥拱是轴对称图形，假设桥拱为抛物线，根 据表格可知顶点为 . 第14课时 二次函数的应用 返回目录 46 设其解析式为 . 将点的坐标代入，得 . 解得 . 桥拱所在曲线的解析式为 . 将表格中其他数值代入解析式，均成立， 桥拱的形状是抛物线. 第14课时 二次函数的应用 返回目录 47 任务2 （2）如图③，若安装人员在与水平距离的点 悬挂第一盏灯笼，测 得最低点到水面的距离为 ，则最高一盏灯笼的最低点到水面的距离 为多少米？ 第14课时 二次函数的应用 返回目录 48 解: 灯笼最低点所在抛物线过点， ，依旧用答图中的坐标系， 抛物线对称轴为直线 . 设灯笼最低点所在抛物线的解析式为 . 将， 的坐标分别代入， 得 解得 第14课时 二次函数的应用 返回目录 49 灯笼最低点所在抛物线的解析式为 . 当时， . 最高一盏灯笼的最低点到水面的距离为 . 第14课时 二次函数的应用 返回目录 50 任务3 （3）若最高处灯笼的最低点距离水面不能小于 ，每盏灯笼的最低点与 悬挂点（桥拱边缘）的竖直距离（例如图③中的的长）不能小于 ， 请设计一种可使悬挂的灯笼数量尽可能多的方案，求出最左边一盏灯笼的 最低点到水面的最小距离． 第14课时 二次函数的应用 返回目录 51 解:根据题意可知，最左边灯笼的最低点与水面距离最小，则最高处灯笼的 最低点与水面的距离应最小，即 . 抛物线对称轴为直线 ， . 相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为 ， 有两种方案：①若从桥拱顶点处开始悬挂灯笼，可挂9盏灯笼；②若从桥 拱顶点两侧开始悬挂灯笼，可挂10盏灯笼. 要尽可能多的悬挂灯笼， 第14课时 二次函数的应用 返回目录 52 选择方案②. 其最高处灯笼最低点坐标为 ， 设此时灯笼最低点所在抛物线的解析式为 . 将点， 的坐标分别代入， 得 解得 第14课时 二次函数的应用 返回目录 53 . 最左边一盏灯笼在 处， . ， 符合条件. 最左边一盏灯笼的最低点到水面的最小距离为 . 第14课时 二次函数的应用 返回目录 54 自主选练 见配套《自主选练本》 第14课时 二次函数的应用 返回目录 55 $$