06 第13课时 二次函数的图象与性质(讲义)-【全效学习】2025年中考学练测数学课件PPT

第13课时 二次函数的图象与性质 中考学练测 · 数学 1 01 02 03 中考再现 考点管理 归类探究 2 01 中考再现 3 1.[岳阳中考] 抛物线 的顶点坐标是( ) C A. B. C. D. 2.[2024包头] 将抛物线 向下平移2个单位长度后，所得新抛物线 的顶点式为( ) A A. B. C. D. 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 4 3.[2022株洲] 已知二次函数,其中, ,则该 函数的图象可能为( ) C A. B. C. D. 4.[2023上海] 一个二次函数的顶点在 轴正半轴上，且其 对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ________________________________. （答案不唯一） 5.[2023郴州] 已知抛物线与轴有且只有一个交点,则 ___. 9 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 5 02 考点管理 6 1 二次函数的相关概念 解析式 ,,为常数, 图象 _________________________________ _________________________________ 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 7 顶点坐标 , 增减性 当时,随 的增大而 减小;当时,随 的增 大而增大. 当时,随 的增大而增 大;当时,随 的增大而 减小. 最值 当时, 有最小值 . 当时,有最大值 . 续表 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 8 2 二次函数解析式的三种形式 一般式 顶点式 两根式 ①_________________ 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 9 3 二次函数的系数,, 与图象的关系 决定抛物线的 开口方向 开口向②____ 开口向③____ , 决定抛物线 的对称轴位置 对称轴为④___轴 , 同号 对称轴在 轴⑤____侧 , 异号 对称轴在 轴⑥____侧 上 下 左 右 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 10 决定抛物线与 轴交点的位置 抛物线过原点 抛物线与 轴交于⑦____半轴 抛物线与 轴交于⑧____半轴 决定抛 物线与 轴交点 的个数 与 轴有唯一交点（顶点） 与 轴有⑨______交点 与 轴没有交点 正 负 两个 续表 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 11 4 二次函数图象的平移 平移前解析式 平移方式 平移后解析式 简记 向左平移 个单位长度 左加右 减 向右平移 个单位长度 向上平移 个单位长度 上加下 减 向下平移 个单位长度 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 12 5 二次函数与一元二次方程的关系 关系 二次函数的图象与 轴的交点的横坐标是相应一元二次方程的解. 抛物线与轴有两个交点 方程 有两个不相等的实数根; 抛物线与轴有一个交点 方程 有两个相等的实数根; 抛物线与轴没有交点 方程 无实数根. 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 13 03 归类探究 14 1 二次函数的图象与性质 例1 原创题 已知抛物线 . （1）抛物线的开口______,化为顶点式为_______________; （2）抛物线的对称轴为直线______; （3）抛物线的顶点坐标为________; （4）抛物线与轴的交点坐标是________,与 轴的交点坐标是___________, ___________; 向上 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 15 （5）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数图象; 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 16 解:列表: … 0 1 2 3 … … 2 2 … 描点，连接,画出函数图象如答图所示. 例1答图 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 17 （6）当_____时,随 的增大而增大; （7）抛物线有最____值（填“大”或“小”）,值为____; （8）若抛物线上有,两点,且,则和 的大小关系为 ________; （9）当 时,抛物线的最大值为____,最小值为____; （10）将该函数图象向下平移 个单位长度,使得平移后的函数图象经过点 ,则 的值为___. 小 14 4 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 18 （1）从函数的解析式可知二次函数图象的如下特征:①开口方向;②对 称轴;③顶点坐标;④与轴的交点坐标;⑤与 轴的交点坐标. （2）求二次函数图象的顶点坐标的两种常用方法:①配方法;②顶点公式法. 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 19 变式跟进 变式跟进1图 1.[2023株洲] 如图,直线 为二次函数 的图象的对称轴,则下列说法正确 的是( ) C A.恒大于0 B., 同号 C., 异号 D.以上说法都不对 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 20 变式跟进2图 2.[2024贵州] 如图，二次函数 的部分图 象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为 ， 则下列说法正确的是( ) D A.二次函数图象的对称轴是直线 B.二次函数图象与 轴的另一个交点的横坐标是2 C.当时，随 的增大而减小 D.二次函数图象与 轴的交点的纵坐标是3 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 21 2 二次函数图象的平移变换 例2 [2024滨州] 将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个 单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为______. （1）二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换,因此,先将二次 函数的解析式转化为顶点式,确定其顶点坐标,然后求出平移后的顶点坐标,从 而求出平移后二次函数的解析式. （2）图象的平移规律:上加下减,左加右减. 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 22 变式跟进 3.抛物线的函数解析式为,若将 轴向上平移2个单位长度, 将 轴向左平移3个单位长度,则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数解 析式为( ) C A. B. C. D. 4.原创题 将抛物线 先向右平移2个单位长度,再向下平移3个 单位长度,得到的抛物线的解析式为,则___, ___. 2 0 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 23 3 二次函数的解析式的求法 例3 经典题 求出符合条件的二次函数解析式: （1）二次函数的图象经过,, 三点; 解:设二次函数的解析式为 , 由题意,得解得 该二次函数的解析式为 . 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 24 （2）二次函数图象的顶点坐标为,且经过点 ; 解:设二次函数的解析式为 , 把点代入,得 , 解得 , 该二次函数的解析式为 . 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 25 （3）二次函数的图象与轴的交点坐标为,,与 轴交点的纵坐标为9. 解:设二次函数的解析式为 , 把点代入,得 , 解得 . 该二次函数的解析式为 . 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 26 （1）当已知抛物线上三点的坐标求二次函数的解析式时,一般采用一般 式 . （2）当已知抛物线的顶点坐标（或对称轴或最大、最小值）求二次函 数的解析式时,一般采用顶点式 . （3）当已知抛物线与 轴的两个交点坐标求二次函数的解析式时,一般 采用两根式,其中 . 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 27 变式跟进 5.[2024扬州] 如图，已知二次函数 的图 象与轴交于， 两点. （1）求， 的值； 解:把，代入 ， 得解得 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 28 （2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点 的坐标. 解:由（1）知，二次函数的解析式为 ， 设点的坐标为 ， 的面积为6， ， ， ， 或 ， 解得或 ， 或 . 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 29 4 二次函数与方程的关系 例4 经典题 已知二次函数 . （1）将二次函数的解析式化成顶点式为_________________; （2）当时,函数值 的取值范围是____________; （3）方程 的解为_____________. , 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 30 变式跟进 6.[2023岳阳] 若一个点的坐标满足 ，我们将这样的点定义为“倍值点”. 若关于的二次函数，为常数， 总有 两个不同的“倍值点”，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 31 7.[2023衡阳] 已知,若关于的方程的解为 , ,关于的方程的解为, ,则下列 结论正确的是( ) B A. B. C. D. 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 32 8.二次函数的图象与 轴的两个交点的横坐标 分别为和，且 ，则下列结论正确的是( ) C A. B. C. D. 9.[2024宁夏] 若二次函数的图象与轴有交点，则 的取值 范围是_______. 10.[2024济宁] 将抛物线向下平移 个单位长度.若平移后得 到的抛物线与轴有公共点，则 的取值范围是______. 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 33 5 自变量范围内二次函数的最值问题 例5 经典题 已知二次函数,关于该函数在 的取值 范围内,下列说法正确的是( ) D A.有最大值,有最小值 B.有最大值0,有最小值 C.有最大值7,有最小值 D.有最大值7,有最小值 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 34 变式跟进 11.经典题 已知二次函数（为常数）,当自变量 的值满足 时,与其对应的函数值的最大值为,则 的值为( ) B A.3或6 B.1或6 C.1或3 D.4或6 12.[2024乐山] 已知二次函数，当 时， 函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 35 6 二次函数的图象与系数,, 之间的关系 例6 [2023湘潭] （多选题）如图,抛物线 与 轴交于点 ,则下列结论正确的是( ) BD A. B. C. D. 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 36 变式跟进 13.[2024广安] 如图，二次函数 ，，为常数，的图象与轴交于点 ，对称轴是直线，有以下结论： ；②若 B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 点和点都在抛物线上，则； （为任意实数）； ，其中正确的有( ) 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 37 7 二次函数性质的综合题 例7 阅读下面材料: 设,函数图象与轴有两个不相同的交点,,若, 两点均在原点左 侧,探究系数,, 应满足的条件,根据函数图象,思考以下三个方面: ①因为函数的图象与轴有两个不相同的交点,所以 ; ① 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 38 ②因为,两点在原点左侧,所以对应图象上的点在轴上方,即 ; ② 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 39 ③ ③上述两个条件还不能确保, 两点均在原点左侧,我们 可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置, 即需 . 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 40 综上所述,系数,,应满足的条件可归纳为 请根据上面阅读材料,类比解决下面问题: 若函数的图象在直线的右侧与 轴有且只有一个 交点,求 的取值范围. 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 41 解:由题意,得 的图象如答图所示. 例7答图 抛物线经过点 , 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 42 如答图①, 即 的值不存在; 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 43 如答图②, 即 的取值范围是 ; 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 44 如答图③， 即 的值不存在； 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 45 如答图④, 即 的值为 ; 如答图⑤,当时,函数的解析式为,函数与 轴的交点为 , 成立. 综上所述,的取值范围为或 . 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 46 变式跟进 14.[2024浙江] 已知二次函数， 为常数）的图象经过点 ，对称轴为直线 . 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 47 （1）求二次函数的解析式； 解: 二次函数图象的对称轴为直线 . ， . 又 二次函数经过点 ， . . 二次函数的解析式为 . 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 48 （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移 个单位长度后， 恰好落在的图象上，求 的值； 解: 点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度 ， 平移后的点的坐标为 . 又 点在 的图象上， . 解得或 （舍去）. . 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 49 （3）当时，二次函数 的最大值与最小值的差为 ，求 的取值范围. 解:由题意，得当时， 的最大值与最小值的差为 ， 解得 ，不符合题意，舍去. 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 50 当时，的最大值与最小值的差为 ，符合 题意. 当时，的最大值与最小值的差为 ， 解得或 ，均不符合题意，舍去. 综上所述，的取值范围为 . 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 51 8 二次函数与几何图形的综合 例8 原创题 如图,已知抛物线经过,, 三 点,直线 是抛物线的对称轴. （1）一元二次方程 的解为_______________; , 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 52 （2）求抛物线的解析式. 解: 抛物线经过, 两点, 设抛物线的解析式为 , 又 抛物线过点 , ,解得 , 抛物线的解析式为,即 , （3）求抛物线的顶点 的坐标与对称轴. 解: , ,对称轴为直线 . 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 53 （4）设是直线上的一个动点,当点运动何处时， 的周长最小,求此 时点 的坐标. 例8答图 解:如答图,连接,交直线于点 , 点, 关于对称轴对称, ,此时,, 三点共线, 的值最小. 即此时点为使 的周长最小的点. 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 54 设直线的解析式为 , 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 55 将, 代入, 得 解得 直线的解析式为 . 点在直线 上, 当时, , 即点的坐标为 . 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 56 （5）在直线上是否存在点,使 为等腰三角形？若存在,求出所有符 合条件的点 的坐标；若不存在,请说明理由. 解: 点在直线 上, 设,且, , , , . 为等腰三角形, 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 57 分以下三种情况: ①若,则,即,解得 ,此时点 的坐标为 ; ②若,则,即,解得,此时点 的坐标 为或 ; ③若,则,即,解得或 ,当 时,,,三点共线,构不成三角形（舍去）,此时点的坐标为 . 综上所述,点的坐标为或或或 . 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 58 （1）二次函数的图象是抛物线,是轴对称图形,充分利用抛物线的轴对 称性,是利用二次函数的性质解决问题的关键. （2）已知二次函数图象上几个点的坐标,一般用待定系数法直接列方程 组求解. （3）已知二次函数图象上的点（除顶点外）和对称轴,便能确定与此点 关于对称轴对称的另一点的坐标. 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 59 变式跟进 15.[2024湖南] 已知二次函数 的图象经 过点，点， 是此二次函 数的图象上的两个动点. （1）求此二次函数的解析式； 解:将点 代入抛物线的解析式，得 ，解得 ， 抛物线的解析式为 . 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 60 （2）如图①，此二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点在直线 的 上方，过点作轴于点，交于点，连接，， .若 ，求证： 的值为定值； 证明：在中，令，则， 点 ， 由点，的坐标，得直线的解析式为 ， 点，，的坐标分别为、、 . 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 61 ， ， 同理可得 ， ，即 的值为定值. 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 62 （3）如图②，点在第二象限，，若点在直线 上，且横坐标 为，过点作轴于点，求线段 长度的最大值. 解：由题意，得点，的坐标分别为、 ， 由点，的坐标，得直线的解析式为 ， 点在直线上，且横坐标为 ， ， 时，线段长度有最大值，且最大值为 . 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 63 自主选练 见配套《自主选练本》 第13课时 二次函数的图象与性质 返回目录 64 $$