暑假作业06 分式及其混合运算（要点梳理+10大题型+巩固强化）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（苏科版）

限时练习：120min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 分式及其混合运算 要点一、分式的有关概念及性质 （1）分式：一般地，如果A、B表示两个整式，且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 【注意】分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义. （2）分式的基本性质：（M为不等于0的整式） （3）最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式，如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算 （1）约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. （2）通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘以适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. （3）基本运算法则：分式的运算法则与分数的运算法则类似，具体运算法则如下—— 加减运算 ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 乘法运算 ，其中是整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. 除法运算 ，其中是整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. 乘方运算 ，分式的乘方，把分子、分母分别乘方. （4）分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一、分式判断 1．在，π，，，，中，分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列各式中：，，，，分式的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．下列各式：，，，， 其中是分式的有 个． 4．下列各式、、、不是分式的是 题型二、分式有无意义的条件 5．若分式有意义，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．当时，下列分式无意义的是（    ） A． B． C． D． 7．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 8．x满足什么条件时下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三、分式求值 9．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．已知，，则 ． 11．已知，则代数式的值为 ． 12．若，则的值为多少？ 题型四、分式基本性质 13．将分式中的，同时扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的6倍 B．扩大为原来的9倍 C．扩大为原来的3倍 D．不变 14．下列式子从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 15．若分式的值为8，当，都扩大为原来2倍后，所得分式的值是 ． 16．不改变分式的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成整数，结果为 ． 题型五、约分、通分 17．下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 18．下列式子中，从左往右变形错误的是（　　） A． B． C． D． 19．计算： (1)（约分）： (2)（通分）：与 20．（1）约分： ①； ②． （2）通分：，． 题型六、分式加减运算 21．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 22．，则 ． 23．计算： (1)； (2)． 24．计算： (1)； (2)． 题型七、分式加减实际应用 25．一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为，像距为，凸透镜的焦距为，且满足，则用表示的结果为（　　） A． B． C． D． 26．甲乙两个码头相距s千米，某船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，则船一次往返两个码头所需的时间为（    ）小时 A． B． C． D． 27．甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果，两次水果的价格分别为a元/千克和b元/千克（a、b为正整数且），谁的购买方式更合算？请说明理由． 28．数学来源于生活，生活离不开数学，开水中加入适量的糖冲泡成甜糖水很受一些人的喜爱，人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． (1)若在a克糖水里面含糖b克，则该糖水的甜度为______； (2)现向（1）中的糖水中再加入适量的糖，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．请用所学的数学知识解释这一现象．（提示：我们在判断两个数的大小时，常常会用到作差法，如所以，同样如果，就说明） 题型八、分式乘除法 29．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 30．计算的结果为 ． 31．计算： (1)； (2)． 32．计算： (1) (2)． 题型九、分式加减乘除混合运算 33．计算 ． 34．分式化简： (1)； (2)． 35．读读做做： 教材中有这样的问题：观察下面的式子，探索它们的规律． ，，… (1)用正整数n表示这个规律，并加以证明； (2)问题解决 一容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升水的，第三次倒出的水量是升水的，第四次倒出的水量是升水的…，第n次倒出的水量是升水的，…，按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？请通过计算说明理由． 36．材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． ∴原式＝ ∴ ∴分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当，时，∵ ∴当，即时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当时，求代数式的最小值 ． 题型十、分式化简求值 37．先化简，再求值：，其中． 38．先化简，再求值：，其中． 39．阅读材料：整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过对整体的形式、结构和已知条件进行综合分析，从而简化问题并得出结论的一种思想方法．常用的途径有：整体代入，整体设元等． 例如：ab=1，求证： 证明：左边 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)若，求的值． 40．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式， 从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：， ，即， ． 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)解分式方程组； (3)已知、、为实数，，，，求分式的值． 1．若分式的值为0，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 2．若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 3．将分式 中的x、y都扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大6倍 D．扩大9倍 4．计算的结果是 ． 5．已知分式，若，则M的值为 ． 6．已知，则分式的值为 ． 7．若，则 ． 8．计算或化简： (1)； (2)． 9．先化简，再从2，，3中选择一个适当的数作为x的值代入求值． 10．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，求的值． 1．阅读理解题．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“和谐式”，这个常数称为A关于B的“和谐值”．例：分式，，，则A是B的“和谐式”，A关于B的“和谐值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“和谐式”．若不是，请说明理由：若是，请求出C关于D的“和谐值”． (2)已知分式，，M是N的“和谐式”，M关于N的“和谐值”是1，x为整数，且M的值也为整数， ①求E所表示的代数式． ②求所有符合条件的x的值． 2．阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 3．阅读下列材料 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，． (1)下列式子中，属于真分式的是 （填序号）； ；；； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数 ． 4．在数学课上，老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”，规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕． 请根据如表的“接力游戏”完成两个任务： 接力游戏 老师：化简： 甲同学：原式 乙同学： 丙同学： 丁同学：． (1)【任务一】 ①在“接力游戏”中，丁同学是依据______进行变形的． A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质 D．乘法分配律 ②在“接力游戏”中，从______同学开始出现错误． (2)【任务二】 ①该“接力游戏”正确的化简结果是______； ②从2，，1这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：120min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 分式及其混合运算 要点一、分式的有关概念及性质 （1）分式：一般地，如果A、B表示两个整式，且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 【注意】分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义. （2）分式的基本性质：（M为不等于0的整式） （3）最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式，如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算 （1）约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. （2）通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘以适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. （3）基本运算法则：分式的运算法则与分数的运算法则类似，具体运算法则如下—— 加减运算 ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 乘法运算 ，其中是整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. 除法运算 ，其中是整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. 乘方运算 ，分式的乘方，把分子、分母分别乘方. （4）分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一、分式判断 1．在，π，，，，中，分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有字母．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，找到分母中含有字母的式子的个数即可． 【详解】解：在，π，，，，中，式子，，中都含有字母是分式，共有3个分式． 故选：B． 2．下列各式中：，，，，分式的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了分式的定义，观察分母，看是否有字母，有字母则是分式，没有字母则不是分式，熟练掌握分式的定义是解此题的关键． 【详解】解：和是分式，共2个， 故选：D． 3．下列各式：，，，， 其中是分式的有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的定义，一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．根据分式的定义判断即可． 【详解】解：分式有：，，共2个， 故答案为：2． 4．下列各式、、、不是分式的是 【答案】 【分析】根据分式的定义：形如，B中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可． 【详解】解：、、、中：、、是分式，共3个， 分母不含字母，不是分式，是整式； 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 题型二、分式有无意义的条件 5．若分式有意义，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 6．当时，下列分式无意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，即分式的分母不能为0，牢记分式有意义的条件是解题的关键． 分式若有意义，则分式的分母不能为0，据此逐项判定可得到答案． 【详解】解： A、当时，分式的分母，分式有意义，故此选项不符合题意； B、当时，分式的分母，分式无意义，故此选项符合题意； C、当时，分式的分母，分式有意义，故此选项不符合题意； D、当时，分式的分母，分式有意义，故此选项不符合题意． 故选：B． 7．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义，分母不能为0，计算即可． 【详解】解：若代数式有意义，则，解得 故答案为：． 8．x满足什么条件时下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，逐题列不等式计算即可． 【详解】（1）解：∵有意义， ∴，即； （2）∵有意义， ∴，即； （3）∵有意义， ∴，即； （4）∵有意义， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于0成为解答本题的关键． 题型三、分式求值 9．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的求值．熟练掌握分式的求值是解题的关键． 根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：B． 10．已知，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式，分式的除法，平方根的计算，熟练掌握公式是解本题的关键． 将等式化为，再两边同时平方，可化为，即可得解答． 【详解】解：由，得 ， ∴， ∴， ， ， 即， ∴ ∴． 故答案为：． 11．已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值．利用整体代入的思想是解题关键． 由已知可得出．再将代数式变形为，最后整体代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 12．若，则的值为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，先求出，再由进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 题型四、分式基本性质 13．将分式中的，同时扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的6倍 B．扩大为原来的9倍 C．扩大为原来的3倍 D．不变 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．先将，同时扩大为原来的3倍，得，再与进行相除，即可作答． 【详解】解：由题可知，当分式中的与分别扩大为原来的3倍后：， ． 则扩大为原来的3倍． 故选：C． 14．下列式子从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，平方差公式，分式乘方等知识，掌握运算法则和性质是解题的关键． 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于0的整式，分式值不变据此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，原变形错误，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项符合题意； C、，原变形错误，故此选项不符合题意； D、，与不一定相等，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 15．若分式的值为8，当，都扩大为原来2倍后，所得分式的值是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．由题意得，将分式中，用，代替，利用分式的基本性质化简，再结合原分式的值即可得出答案． 【详解】解：将分式中，都扩大为原来2倍后，所得式子为： ， 若分式的值为8，则所得分式的值是． 故答案为：16． 16．不改变分式的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成整数，结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 题型五、约分、通分 17．下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题关键． 直接利用分式的基本性质结合最简分式的定义，分式的分子与分母没有公因式，进而判断即可． 【详解】解：A．，是最简分式，符合题意； B． ，故原式不是最简分式，不合题意； C． ，故原式不是最简分式，不合题意； D．，故原式不是最简分式，不合题意； 故选：A． 18．下列式子中，从左往右变形错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握正负符号的改变和分式的分子分母同乘除一个不为的数或代数式，分式的值不变是解题关键． 根据分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，此选项正确，但不符合题意； B、，此选项错误，符合题意； C、，此选项正确，但不符合题意； D、，此选项正确，但不符合题意． 故选：B． 19．计算： (1)（约分）： (2)（通分）：与 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）分子为平方差公式，分母提取公因式后，可约去公因式即可解答． （2）分别分析分母的系数和字母部分，找到最小公倍数后合并分子． 本题考查了分式的基本性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2），． 20．（1）约分： ①； ②． （2）通分：，． 【答案】（1）①②（2）， 【分析】本题主要考查了分式的约分，通分，正确找到分子和分母的公因式是解题的关键． （1）分子分母同时约去公因式即可得到①的答案；分子和分母分别利用完全平方公式和平方差公式分解因式，然后约分即可得到②的答案； （2）将两分式的分母中的系数取各系数的最小公倍数，相同因式的次数取最高次幂，即可作答． 【详解】解：（1）①， ②； （2）依题意，，． 题型六、分式加减运算 21．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的加减运算，熟练掌握异分母分式的运算法则是解题的关键．根据法则直接计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 22．，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值，异分母分式的加减法，条件式变形得到，整体代入法，求值即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 23．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据同分母分式加法法则求解即可； （2）先通分，然后根据同分母分式加法法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 24．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的减法计算，熟知分式的减法计算法则是解题的关键． （1）直接根据同分母分式减法计算法则求解即可； （2）先把两个分式通分，再把分子相加后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型七、分式加减实际应用 25．一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为，像距为，凸透镜的焦距为，且满足，则用表示的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减法，首先移项，然后进行分式的减法运算，最后求倒数即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 26．甲乙两个码头相距s千米，某船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，则船一次往返两个码头所需的时间为（    ）小时 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的运用，列代数式，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．船只往返两个码头一次，会有一次顺流、一次逆流，顺流速度静水速度水流速度，逆流速度静水速度水流速度，据此可以列出关系式． 【详解】解：船一次往返两个码头所需的时间为小时， 故选：D． 27．甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果，两次水果的价格分别为a元/千克和b元/千克（a、b为正整数且），谁的购买方式更合算？请说明理由． 【答案】乙的购买方式更合算．理由见解析 【分析】本题主要考查分式的实际应用，熟练分式相关的知识是解题的关键；把甲乙平均价格用代数式表示，再作差既可判断． 【详解】解：乙的购买方式更合算．理由： 甲的平均价格为； 乙的平均价格为； ； ∵， ∴； ∴甲的平均价格乙的平均价格， ∴乙的购买方式更合算． 28．数学来源于生活，生活离不开数学，开水中加入适量的糖冲泡成甜糖水很受一些人的喜爱，人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． (1)若在a克糖水里面含糖b克，则该糖水的甜度为______； (2)现向（1）中的糖水中再加入适量的糖，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．请用所学的数学知识解释这一现象．（提示：我们在判断两个数的大小时，常常会用到作差法，如所以，同样如果，就说明） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了列代数式，分式加减的实际应用． （1）用糖水中糖与糖水的比表示即可； （2）设往杯中加入克糖，则此时糖水的甜度为：，再利用作差法比较大小即可． 选择合适的方法比较分式的大小是解答本题的关键． 【详解】（1）解：糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度， 在a克糖水里面含糖b克，则该糖水的甜度为； （2）设往杯中加入克糖，则此时糖水的甜度为：， ， ，， ，，， ， ， 向（1）中的糖水中再加入适量的糖，充分搅匀后，糖水更甜． 题型八、分式乘除法 29．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘除法运算，熟记运算法则是解题关键．根据分式的乘除法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 30．计算的结果为 ． 【答案】a2-a-2 【分析】先将除法转化为乘法运算，再根据分式的性质化简即可 【详解】 =a2-a-2 故答案为：a2-a-2． 【点睛】本题考查了分式的化简，掌握分式的性质，因式分解是解题的关键． 31．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除，熟练掌握分式的乘除法运算法则是解答的关键． （1）先将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可； （2）先将除法转化为乘法，再根据分式的乘法和性质化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除法运算，解题的关键是掌握分式的乘除法法则． （1）根据分式的乘除法法则运算即可； （2）根据分式的除法法则运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 题型九、分式加减乘除混合运算 33．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，先计算括号内分式的加法运算，再把除法化为乘法运算，再约分即可． 【详解】解： ． 34．分式化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算． （1）先通分并利用同分母分式的减法法则计算，再因式分解，约分得到最简结果即可； （2）将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 35．读读做做： 教材中有这样的问题：观察下面的式子，探索它们的规律． ，，… (1)用正整数n表示这个规律，并加以证明； (2)问题解决 一容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升水的，第三次倒出的水量是升水的，第四次倒出的水量是升水的…，第n次倒出的水量是升水的，…，按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？请通过计算说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)不能倒完，理由见解析 【分析】本题考查了数字的变化规律、分式混合运算的应用，熟练掌握裂项相消是解答本题的关键． （1）根据发现的规律写出一般规律并验证即可； （2）根据题意，先求出倒出水总量的代数式，进行化简得到，说明不论倒水次数有多大，倒出的总水量总小于1． 【详解】（1）解：规律：， 证明：右侧左侧， ， 等式成立． （2）解：不能倒完，理由： 根据题意，得到次水倒出的总和为： 不论倒水次数有多大，倒出的总水量总小于1， 这1升水倒不完， 36．材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． ∴原式＝ ∴ ∴分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当，时，∵ ∴当，即时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当时，求代数式的最小值 ． 【答案】(1) (2)或0 (3)3 【分析】（1）设，则，将它代入，再化简，然后将代入后得出结果； （2）设，则，将它代入，再化简，然后将代入后，根据分式的值为整数和x是整数，得到关于x的方程求解； （3）设，则，将它代入，再化简，然后将，代回，配方后求出最小值． 【详解】（1）解：设，则， ∴原式， ∴； （2）解：设，则， ∴原式， ∴， ∵分式的值为整数， ∴或或， 又x是整数， ∴，解得：或0； （3）解：设，则， ∴原式， ∴， 当时，解得，满足，此时代数式有最小值3． 【点睛】本题考查了分式加减乘除混合运算，通过对完全平方公式变形求值，利用完全平方式来求解，分式最值等知识点，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 题型十、分式化简求值 37．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： 当时，原式． 38．先化简，再求值：，其中． 【答案】；2026 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则．先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据进行求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式=． 39．阅读材料：整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过对整体的形式、结构和已知条件进行综合分析，从而简化问题并得出结论的一种思想方法．常用的途径有：整体代入，整体设元等． 例如：ab=1，求证： 证明：左边 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）先根据分式的加法法则把原式进行化简，再把，代入进行计算即可； （2）把代入进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：， =1． 40．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式， 从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：， ，即， ． 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)解分式方程组； (3)已知、、为实数，，，，求分式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的求值，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意求出的值即可得到答案； （2）先把原方程组化为，令，则，解方程组即可得到答案； （3）先由得到，同理可得，据此可得，则可得到的值，进而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ； （2）解：∵， ∴， ∴， 令，则， 解得， ∴， 经检验，是原方程组的解； （3）解：∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．若分式的值为0，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件．掌握“分式的值为0的条件”是解本题的关键． 分式的值为0的条件：分子为0且分母不为0，根据原理列方程与不等式，从而可得答案． 【详解】解：∵的值为0， ∴，且， ∴． A. ，不合题意； B. ，不合题意； C. ，不合题意； D. ，符合题意． 故选：D． 2．若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握性质的本质是解题的关键．根据分式的基本性质“分式的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分式的值不变”求解即可． 【详解】解：A. ，分子、分母同时加2，分式值不一定不变，本选项不符合题意； B. ，分子、分母同时加，分式值不一定不变，本选项不符合题意； C. ，分子、分母同时除以2，分式值不变，本选项符合题意； D. ，分子、分母同时开方，分式值不一定不变，本选项不符合题意． 故选：C． 3．将分式 中的x、y都扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大6倍 D．扩大9倍 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：． ∴分式的值扩大3倍； 故选：B． 4．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分． 先把两个分式通分，然后按照同分母分式相减进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 5．已知分式，若，则M的值为 ． 【答案】 【分析】根据，化简后代入计算即可． 本题考查了分式的通分，求分式的值，熟练掌握通分是解题的关键． 【详解】解：， 当时， ， 故答案为：． 6．已知，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握整体代入的思想是解题关键； 根据，可得，代入，即可求解； 【详解】解：根据， 可得： 则； 故答案为： 7．若，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式求值，由题意得出，把等式两边同时除以x即可得出答案． 【详解】解：， 当时，则，则， 则， ∴， 故答案为：1． 8．计算或化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．注意运算的结果要化成最简分式或整式． （1）先把分母化为同分母，再进行同分母的加法运算，然后把分式化简即可； （2）先把括号内的分母化为同分母，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：， ， ， ． 9．先化简，再从2，，3中选择一个适当的数作为x的值代入求值． 【答案】，2 【分析】本题主要考查了分式化简求值，分式有意义的条件，根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】解： • • ， ∵，，1 ∴当时，原式． 10．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题． （1）仿照例题先求倒数可得：，根据即可解答； （2）仿照例题先求倒数可得：，根据可求的值，可得； （3）仿照例题求倒数可得：，，，可得，所以可得，利用倒数法可得． 【详解】（1）解：∵，可知， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，可知， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，，可知， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 1．阅读理解题．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“和谐式”，这个常数称为A关于B的“和谐值”．例：分式，，，则A是B的“和谐式”，A关于B的“和谐值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“和谐式”．若不是，请说明理由：若是，请求出C关于D的“和谐值”． (2)已知分式，，M是N的“和谐式”，M关于N的“和谐值”是1，x为整数，且M的值也为整数， ①求E所表示的代数式． ②求所有符合条件的x的值． 【答案】(1)C不是D的“和谐式”，理由见解析 (2)①；②0，2，4，6 【分析】本题主要考查了分式的减法计算，正确理解“和谐式”的定义是解题的关键． （1）计算出的结果，再根据“和谐式”的定义求解即可； （2）①根据“和谐式”的定义得到，则，据此求解即可；②根据题意可得是整数，据此求解即可． 【详解】（1）解：C不是D的“和谐式”，理由如下： ， ∵不是正数， ∴C不是D的“和谐式”； （2）解：①∵M是N的“和谐式”，且M关于N的“和谐值”是1， ∴， ， ∴， ∴； ②由①知． ∵M的值也为整数，且分式有意义， ∴或， ∴x的值为：0，2，4，6． 2．阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 【答案】(1) (2)①；②，则；，则； (3) 【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用， （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； （3）根据“差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①， ∴， 解得，； ②，为正整数， ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴的值为或； （3）解：， ，且， ∴， ∵为正数， ∴， ∴的值为． 3．阅读下列材料 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，． (1)下列式子中，属于真分式的是 （填序号）； ；；； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数 ． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或． 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （）根据真分式的定义即可求解； （）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出的值． 【详解】（1）解：根据真分式的定义可知：是真分式；是整式；真分式；是假分式； 故选：； （2）解：； （3）解： ， ∵的值为整数，为整数， ∴或， 解得：或或或， 故答案为：或或或． 4．在数学课上，老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”，规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕． 请根据如表的“接力游戏”完成两个任务： 接力游戏 老师：化简： 甲同学：原式 乙同学： 丙同学： 丁同学：． (1)【任务一】 ①在“接力游戏”中，丁同学是依据______进行变形的． A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质 D．乘法分配律 ②在“接力游戏”中，从______同学开始出现错误． (2)【任务二】 ①该“接力游戏”正确的化简结果是______； ②从2，，1这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值． 【答案】(1)①C；②乙 (2)①；②4 【分析】本题主要考查分式的混合运算． （1）①利用分式的相应的运算法则进行分析即可； ②根据去括号的法则解答即可； （2）①利用分式的运算法则进行分析即可； ②取解答即可． 【详解】（1）解：①丁同学是依据是分式的基本性质进行变形的， 故选：C； ②从乙同学开始出现错误， 故答案为：乙； （2）解：任务二：原式 ， 故答案为：； ②不能取2和， 故取， 原式． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$