专题04 概念、命题和证明+数据的收集与描述（考题猜想，易错压轴必刷69题23种题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（北京版2024）

专题04 概念、命题和证明+数据的收集与描述 （易错压轴必刷69题23种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 命题的相关概念 · 题型二 命题的真假 · 题型三 举反例 · 题型四 写出命题的逆命题 · 题型五 证明 · 题型六 余角、补角有关的计算 · 题型七 平行公理 · 题型八 同位角、内错角、同旁内角 · 题型九 平行线的判定定理 · 题型十 平行线的性质定理 · 题型十一 根据平行线的性质探究角的关系 · 题型十二 根据平行线的性质求角的度数 · 题型十三 平行线的性质在生活中的应用 · 题型十四 根据平行线的判定与性质证明 · 题型十五 全面调查与抽样调查 · 题型十六 总体、个体、样本、样本容量 · 题型十七 统计表 · 题型十八 频数分布表 · 题型十九 扇形统计图相关 · 题型二十 平均数 · 题型二十一 中位数和众数 · 题型二十二 平行线的判定与性质综合 · 题型二十三 数据收集与整理解答题 题型一 命题的相关概念 1．下列语句不是命题的是（    ）． A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段上取点，使得 【答案】D 【分析】本题考查了命题的定义，正确记忆判断事物的语句叫命题是解题关键． 根据命题的定义分别进行判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等是命题，故本选项不符合题意； B、同旁内角互补是命题，故本选项不符合题意； C、垂线段最短是命题，故本选项不符合题意； D、在线段上取点，使得，为描述性语言，不是命题，故本选项符合题意； 故选：D． 2．下列定义不合理的是 （填序号）． ①能被2整除的整数叫作“偶数”； ②能写成（n是整数）的数叫作“偶数”； ③1，3，5，7，……叫作“单数”； ④两个数的所有公约数中比较大的公约数叫作“大公约数”． 【答案】③④ 【分析】本题主要考查定义的相关知识，根据偶数、奇数、最大公约数的定义解答即可． 【详解】解：①能被2整除的整数叫作“偶数”，正确； ②能写成（n是整数）的数叫作“偶数”，正确； ③1，3，5，7，……叫作“奇数”，故原说法不合理； ④两个数的所有公约数中最大的公约数叫作“最大公约数”，故原说法不合理； 故答案为：③④． 3．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的条件和结论． (1)同位角相等，两直线平行； (2)同角的余角相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要查了把命题写成“如果……，那么……”的形式，熟练掌握一般的命题都可以改写成“如果…，那么…”的形式，即把命题的题设放在如果后面，把结论放在那么后面，再加以适当的调整即可． 命题是有题设和结论构成．命题都能写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论是解题的关键． （1）根据把命题写成“如果……，那么……”的形式的方法解答，即可； （2）根据把命题写成“如果……，那么……”的形式的方法解答，即可． 【详解】（1）解：同位角相等，两直线平行改写成“如果两条直线被第三条直线所截同位角相等，那么两直线平行”， 条件是两条直线被第三条直线所截同位角相等，结论是两直线平行； （2）解：同角的余角相等改写成如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等， 条件是两个角是同一个角的余角，结论是这两个角相等 题型二 命题的真假 4．说出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假： (1)如果，那么； (2)周长相等的三角形的面积相等； (3)如果两个数都是正数，那么这两个数的差是正数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了逆命题，命题真假的判断，熟练掌握命题是解题的关键． （1）先根据命题与逆命题的关系写出逆命题，再判断真假即可． （2）先根据命题与逆命题的关系写出逆命题，再判断真假即可． （3）先根据命题与逆命题的关系写出逆命题，再判断真假即可． 【详解】（1）解：“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”， 原命题是真命题，逆命题是假命题； （2）解：“周长相等的三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形的周长相等”， 原命题是假命题，逆命题是假命题； （3）解：“如果两个数都是正数，那么这两个数的差是正数”的逆命题是“如果两个数的差是正数，那么这两个数都是正数”， 原命题是假命题，逆命题也是假命题． 5．写出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假． (1)如果，那么； (2)如果，那么． 【答案】(1)如果，那么．原命题与逆命题都是假命题 (2)如果，那么，原命题是真命题，逆命题是假命题 【分析】本题考查了逆命题，命题的真假，解题关键是写出原命题的逆命题． （1）先判断原命题的真假，再写出逆命题，再判断命题的真假； （2）先判断原命题的真假，再写出逆命题，再判断命题的真假． 【详解】（1）解：如果，那么，这是假命题， 例如：，，满足，但不满足， 其逆命题为：如果，那么，这是假命题， 例如：，，满足，但不满足； （2）解：如果，那么，这是真命题， 其逆命题为：如果，那么，这是假命题， 例如：，，满足，但不满足． 6．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是正确的还是错误的．如果是错误的，举出一个反例． (1)两个负数之和仍为负数； (2)一个钝角与一个锐角的差是锐角． 【答案】(1)题设：两个数都是负数；结论：和为负数．正确 (2)题设：两个角是一个钝角和一个锐角；结论：这两个角的差是锐角．错误；反例：和（不唯一）． 【分析】本题考查命题的题设与结论， （1）把命题写成“如果…那么…”的形式，从而得到命题的题设与结论，然后根据有理数的加法运算法则可判断命题的真假； （2）把命题写成“如果…那么…”的形式，从而得到命题的题设与结论，然后利用反例可判断此命题为假命题； 解题的关键是能对命题作出准确的判断． 【详解】（1）解：题设：两个数都是负数；结论：和为负数．正确； （2）解：题设：两个角是一个钝角和一个锐角；结论：这两个角的差是锐角．错误； 反例：和（不唯一）． 题型三 举反例 7．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的可以为（    ） A．0 B．0.5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是命题与定理，根据实数的平方，实数的大小比较、假命题的概念解答即可． 【详解】解：A、当时，，不能判断命题“如果，那么”是假命题，不符合题意； B、当时，，不能判断命题“如果，那么”是假命题，不符合题意； C、当时，，不能判断命题“如果，那么”是假命题，不符合题意； D、当时，，而，能判断命题“如果，那么”是假命题，符合题意； 故选：D． 8．要证明命题“若则”是假命题，下列a，b的值能作为反例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理，解题的关键是通过反例的方法代入数据进行计算． 根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，分别代入数据算出即可． 【详解】解：A、，满足，但，选项不符合题意； B、，满足，但，所以选项能作为证明原命题是假命题的反例，选项正确，符合题意； C、，满足，但，选项不符合题意； D、，满足，但，选项不符合题意； 故选：B． 9．证明“如果，那么”是假命题，可以取 ．（填一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 举出反例说明它是假命题即可． 【详解】解：证明“如果，那么”是假命题，可以取， 故答案为：（答案不唯一）． 题型四 写出命题的逆命题 10．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】此题考查了真假命题和逆命题，不等式的性质等知识．写出逆命题，根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A. 原命题的逆命题是：若，则，是真命题； B. 原命题的逆命题是：若，则，是真命题； C. 原命题的逆命题是：若，则，是假命题； D. 原命题的逆命题是：若，则，是真命题； 故选：C 11．已知命题“若，则”，其逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，判断命题的真假，绝对值的意义，先写出命题的逆命题，再根据绝对值的意义判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：命题“若，则”的逆命题为若，则， 因为当时，或，故该逆命题为假命题， 故答案为：假． 12．命题：如果是不等于的数，那么一定大于． (1)判断这个命题的真假； (2)仿照题中命题，写一个关于与大小关系的真命题． 【答案】(1)这是一个假命题 (2)如果a小于，则． 【分析】本题考查了命题的真假，完全平方公式，整式的化简，关键是由完全平方公式计算出结果，才能说明问题． （1）由，知不一定大于0，即可得到答案； （2）利用与大小关系写出一个真命题. 【详解】（1）解： ， ∵不一定大于0，即不一定大于． ∴这个命题是假命题， （2）解： ， 当，即时，， ∴如果a小于，那么一定大于． 题型五 证明 13．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】从题干中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 14．甲、乙两人需要把、、、四个零件进行加工，每个零件都需要先由甲进行粗加工，再由乙进行精加工，甲、乙两人在各自的工序中完成一个零件的加工后才能开始加工另一个零件．这四个零件两道工序所需的时间（单位：分钟）如下： 零件 A B C D 粗加工 11 5 16 11 精加工 8 2 11 12 在不考虑其他因素的前提下，若甲按“”的先后顺序加工零件，则四个零件全部完成粗加工和精加工至少需要 分钟；若使四个零件全部完成粗加工和精加工的时间最短，则甲按 的先后顺序加工零件． 【答案】 55 “” 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据表格中的数据计算出按“”的先后顺序加工零件，四个零件全部完成粗加工和精加工至少需要的时间；要使加工时间最短，应尽量缩短最后一个精加工的时间并使乙前期等待时间尽量少，故B零件应最后加工，D零件应最先加工，然后分类讨论计算出每一种情况下的加工时间，比较即可． 【详解】解：若甲按“”的先后顺序加工零件，则四个零件全部完成粗加工和精加工至少需要的时间为： （分钟）； 按照“”顺序，则加工时间为：（分钟）， 按照“”顺序，则加工时间为：（分钟）， ∴按照“”顺序加工，可使四个零件全部完成粗加工和精加工的时间最短． 故答案为：55；“”． 15．甲、乙、丙三人进行乒乓球球单打训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当5局裁判，乙、丙分别打了8局、13局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共打了 局． 【答案】16 【分析】本题考查推理与论证．先确定了乙与丙打了5局，甲与丙打了10局，进而确定三人一共打的局数和甲、乙、丙当裁判的局数，即可得到答案．解本题关键根据题目提供的特征和数据，分析其存在的规律和方法． 【详解】解：∵甲当了5局裁判， ∴乙、丙之间打了5局， 又∵乙、丙分别共打了8局、13局， ∴乙与甲打了局，丙与甲打了局， ∴甲、乙、丙三人共打了局， 故答案为：16． 题型六 余角、补角有关的计算 16．如图：已知和都是直角，若减小，则下列说法正确的是（   ） A．减小 B．减小 C．减小 D．与的和不变 【答案】D 【分析】根据和都是直角，得到，，解答即可． 本题考查了直角的意义，余角的性质，角的和差计算，熟练掌握计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得和都是直角， 故，，， 故减小， A. 增加，本选项错误，不符合题意； B. 增加，本选项错误，不符合题意； C. 增加，本选项错误，不符合题意； D. 与的和不变，本选项正确，符合题意； 故选：D． 17．已知一个角的余角是其补角的，则这个角的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了余角和补角的定义，设这个角的度数为x，则这个角的余角为，补角为，再根据题意列出方程，即可求出x的值． 【详解】解：设这个角的度数为x，则这个角的余角为，补角为， 由题意得：， 解得， 故答案为：． 18．如图，直线相交于点，，． (1)写出的所有余角及和它相等的角； (2)若，求的度数． 【答案】(1)、是的余角；； (2)． 【分析】本题主要考查了补角的定义和角度计算，熟练掌握相关知识是解题的关键． （），，推出，，再则对顶角相等，通过等角的余角相等，可求解； （）利用角度和差求解即可； 【详解】（1）解：、是的余角；，理由如下： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴、是的余角； （2）解：∵， ∴， 解得． 题型七 平行公理 19．下列命题①互为补角的两个角都是锐角；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．是真命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定，垂线的定义，对顶角和补角的定义，度数之和为180度的两个角互补，据此可判断①；有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此可判断②；根据平行线的性质可判断③；根据平行公理可判断④；根据垂线的定义可判断⑤． 【详解】解：①互为补角的两个角不可能都是锐角，原命题是假命题； ②相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； ③两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题； ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，原命题是真命题； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题． 故选：B． 20．如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是 . 【答案】过直线外点有且只有条直线与这条直线平行 【分析】本题考查的是平行公理．根据平行公理可得． 【详解】解：∵，，且、经过点C， ∴过外一点C的直线和都平行于直线， ∵经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行， ∴点M，C，N在一条直线上， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 21．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个判断：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中正确的是 ．（填写所有正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查两直线的位置关系，平行公理，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．根据两直线的位置关系一一判断即可． 【详解】①如果，，那么，正确； ②如果，，那么，正确； ③如果，，那么，错误，应该是； ④如果，，那么，正确． 故答案为：①②④． 题型八 同位角、内错角、同旁内角 22．如图，下列结论不正确的是（　　） A．与是内错角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】B 【分析】本题考查对顶角、同位角、内错角、同旁内角，解题的关键根据对顶角、同位角、内错角、同旁内角的定义依次对各选项逐一分析即可作出判断． 【详解】解：A. 与是内错角，故该选项正确，不符合题意； B. 与不是同位角，故该选项不正确，符合题意； C. 与是内错角，故该选项正确，不符合题意； D. 与是同旁内角，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 23．下列各图中，∠1和∠2是同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同旁内角的概念，解题的关键在于能够熟练掌握同旁内角的概念； 根据同旁内角的概念逐一判断可得． 【详解】A，∠1与∠2是内错角，此选项不符合题意； B、∠1与∠2是同旁内角，此选项符合题意； C、∠1与∠2是同位角，此选项不符合题意； D、此图形中∠1与∠2不构成直接关系，此选项不符合题意； 故选：B 24．如图，给出下列结论：①与是同旁内角；②与是同位角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是对顶角．其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了同旁内角，同位角，内错角，对顶角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：与是同旁内角，①说法正确； 与是同位角，②说法正确； 与不是内错角，③说法错误； 与不是同位角，④说法错误； 与是对顶角，⑤说法不正确； 故答案为：①②. 题型九 平行线的判定定理 25．装修工人需检查两面墙是否平行，他测量了墙角的角度，如图所示，点在的延长线上，则下列条件中不能判定墙面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，注意根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补可以得到两条被截线平行，这是解决问题的关键． 分别根据平行线的几个判定方法进行判断即可． 【详解】解：A、，则（同旁内角互补，两直线平行），故A能判定，不符合题意； B、，则（内错角相等，两直线平行），故B能判定，不符合题意； C、，则，（内错角相等，两直线平行），故C能判定，不符合题意； D、，则（内错角相等，两直线平行），故D不能判定，符合题意； 故选：D． 26．将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：①；②；③；④，其中能说明纸条上下两边平行的有 （填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟悉平行线的判定定理是解题的关键；根据平行线的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：（对顶角相等），不能判断纸条两边平行，故①错误； ∵， ∴纸条两边平行（内错角相等，两直线平行），故②正确； ∵，， ∴， ∴纸条两边平行（同位角相等，两直线平行），故③正确； ， ∴纸条两边平行（同旁内角互补，两直线平行），故④正确． 故答案为：②③④． 27．如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，解决本题的关键是利用角之间的关系证明平行，再利用平行线的性质找角之间的关系． （1）根据对顶角相等可知，又因为，等量代换可得，根据同旁内角互补两直线平行可证结论成立； （2）根据平行线的性质可得 ，又因为，等量代换可得，根据内错角相等两直线平行可证，根据两直线平行内错角相等可证结论成立． 【详解】（1）证明：，， ， ； （2）证明：由（1）知， ， ， ， ， ． 题型十 平行线的性质定理 28．如图，直线，直线、被直线所截，平分，平分， (1)若，求的度数； (2)判断的结果，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）由两直线平行，内错角相等，可得，再根据角平分线的定义即可求解； （2）由两直线平行，同旁内角互补，可得，再根据角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解： ，   理由：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴ ，， ∴． 29．如图所示，已知为的角平分线，，与相交于点E，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，先根据角平分线的定义得到，再由平行线的性质即可得到． 【详解】解：∵为的角平分线，， ∴， ∵， ∴． 30．如图，，直线分别交，于、两点，且平分，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等的性质是解题关键． （1）根据平行线的性质得出，代入即可得答案； （2）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质即可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）由（1）可知：， 解：∵平分， ∴， ∵， ∴． 题型十一 根据平行线的性质探究角的关系 31．如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 由得到，由得到，再根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 32．如图1，，过点F作． (1)可得：与，之间的数量关系是 ． (2) ． (3)利用上面的发现，解决下列问题： 如图2，，点M是和平分线的交点，，求的度数． 【答案】(1) (2)360 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，准确识图、灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）由已知得，根据平行线的性质得，再根据角的和差以及等量代换即可解答； （2）先由得，再根据角的和差即可解答； （3）设，则，由（1）的结论得，进而得，据此可得∠EMG的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即：． 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∴，即． 故答案为：360． （3）解：∵平分，平分， ∴， 设， ∴， 由（1）的结论得：， 又∵， ∴， ∴， ∴． 33．【课本再现】 （1）①如图1，已知，直接写出，和满足的等式关系； ②如图2，已知，写出，和满足的等式关系，并说明理由； 【知识应用】 （2）如图3是微信聊天对话框，图4是其示意图的一部分，已知，，写出，和满足的等式关系，并说明理由． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题考查平行线的判定与性质探究角度之间的关系，数形结合，准确记忆平行线的判定与性质是解决问题的关键． （1）①过点作，如图所示，由平行线的判定得到，结合平行线的性质，数形结合表示出即可得到答案；②过点作，如图所示，由平行线的判定得到，结合平行线的性质，数形结合表示出角度之间的关系即可得到答案； （2）过点作，如图所示，由平行线的判定得到，结合平行线的性质，数形结合表示出即可得到答案． 【详解】解：（1）①过点作，如图所示： ， ， ，， ，即， ， ； ②， 理由如下： 过点作，如图所示： ， ， ，， ， ； （2）， 理由如下： 过点作，如图所示： ， ， ，，，， ，，， ， ． 题型十二 根据平行线的性质求角的度数 34．已知，将含角的直角三角板如图放置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质，平角的定义解答即可． 本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 35．如图，将木条a，b与c钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条b旋转的度数是 ．（旋转度数在至之间） 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据平行线的判定可得时，木条与平行，然后进行计算即可解答． 【详解】解：当时，木条与平行， 要使木条与平行，木条b逆时针旋转的度数 或顺时针旋转的度数， 故答案为：或． 36．如图所示，四边形中，连接，E，F是直线上的点，G是射线上的点，若，． (1)求证：，； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，正确运用疏导他对于空间解答本题的关键． （1）先证明，得；再证明，可得； （2） 运用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴．     ∵， ∴． ∴ 题型十三 平行线的性质在生活中的应用 37．为响应国家新能源建设．我省某市公交站亭装上了太阳能电池板（图1）．如图2，电池板与水平线的夹角为，电池板与水平线的夹角为，要使，需将电池板逆时针旋转．则的度数为 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查平行线的知识．由平行线的性质，得，则，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 38．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】过点作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． ， ． ． ． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 39．某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为 ． 【答案】/49度 【分析】本题考查平行线性质的应用，根据某一时刻在阳光照射下的光线互相平行，可得，，再代入计算即可．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 【详解】解：∵某一时刻在阳光照射下，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴的大小为． 故答案为：． 题型十四 根据平行线的判定与性质证明 40．如图，直线，点E，点P在两条平行线之间，和的角平分线交于点H，，则的度数为 ． 【答案】/136度 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，解决问题的关键是作平行线构造内错角，利用两直线平行内错角相等得出结论． 过点作，过点作，根据平行线的性质得到，结合角平分线的定义得到，同理可得． 【详解】解：过点作，过点作， ， ， ， ， ， ， 平分平分， ， 同理可得，， 故答案为：． 41．如图，，CE平分，ED平分，，下列结论：①EC平分；②；③；④，其中正确结论是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义．根据平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，平分，故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∴，故④正确； 综上，①②③④都正确． 故答案为：①②③④． 42．如图，已知，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若平分，于点，，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题考查的知识点是平行线的判定与性质、角平分线的相关计算、垂线的定义，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质． （1）根据证明后，由两直线平行，内错角相等得，再结合并进行等量代换后即可根据同旁内角互补，两直线平行证； （2）结合（1）题得，再由平分得，再由可得． 【详解】（1）解：与平行，理由如下：            （已知）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）； （2）解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 题型十五 全面调查与抽样调查 43．下列调查中，最适合全面调查（普查）的是（    ） A．调查重庆市2025年空气质量情况 B．调查全国中学生对人工智能的了解 C．“神州二十号”载人飞船发射前，对其零部件质量情况的调查 D．对长江流域水质情况的调查 【答案】C 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查． 【详解】解：A．调查重庆市2025年空气质量情况，适合抽样调查，不合题意； B．调查全国中学生对人工智能的了解，适合抽样调查，不合题意； C．“神州二十号”载人飞船发射前，对其零部件质量情况的调查，适合全面调查，符合题意； D．对长江流域水质情况的调查，适合抽样调查，不合题意； 故选C． 44．以下问题：①调查某校六年级学生的视力情况，②调查某班学生的兴趣爱好，③调查全国私营企业的经营情况，④调查某校40岁以下青年教师的学历情况，⑤调查某车企生产的某批次新能源车的防撞安全性．其中适合采用抽查的是 （填写序号）． 【答案】③⑤/⑤③ 【分析】本题考查了普查与抽样调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据两种调查的特征进行判断即可． 【详解】解：根据两种调查的特征，适宜普查的有①②④，适宜抽样调查的有③⑤； 故答案为：③⑤． 45．下列调查分别采用了哪种调查方式？样本是否具有代表性？ (1)某县教育局为了了解八年级学生的学习掌握情况，对农村一所中学八年级的部分学生进行测试调查． (2)暑假前，某市对全市学生进行了防溺水安全教育，并要求所有学生和家长一起观看防溺水专题视频讲座，为了检查学生的观看效果，随机对全市各学校的部分学生进行了防溺水知识测试． 【答案】(1)采用了抽样调查的方式，选取的样本不具有代表性 (2)采用了抽样调查的方式，选取的样本具有代表性 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，抽样的基本原则． （1）根据抽样调查和全面调查的特点，以及选取样本的方式进行判断即可； （2）根据抽样调查和全面调查的特点，以及选取样本的方式进行判断即可． 【详解】（1）解：采用了抽样调查的方式，选取的样本不具有代表性． （2）解：采用了抽样调查的方式，选取的样本具有代表性． 题型十六 总体、个体、样本、样本容量 46．2024年盐城有近76000名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（   ） A．这1000名考生是总体的一个样本 B．近76000名考生是总体 C．每位考生的数学成绩是个体 D．1000名学生是样本容量 【答案】C 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目． 【详解】解：A、这1000名考生的数学成绩是总体的一个样本，故A选项不合题意； B、近76000名考生生的数学成绩是总体，故B选项不合题意； C、每位考生的数学成绩是个体，故C选项正确，符合题意； D、1000是样本容量，故D选项不合题意； 故选：C． 47．为了解某品牌10000个灯泡的使用寿命，从中抽取20个进行测试检验，在这项检验中，总体是 ，个体是 ，样本是 ． 【答案】 10000个灯泡的使用寿命的全体 每个灯泡的使用寿命 抽取的20个灯泡的使用寿命 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题的关键是要分清具体问题中的总体、个体与样本，明确考查的对象总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．根据总体、个体、样本的定义解答即可． 【详解】解：总体是10000个灯泡的使用寿命的全体，个体是每个灯泡的使用寿命，样本是抽取的20个灯泡的使用寿命． 故答案为：10000个灯泡的使用寿命的全体，每个灯泡的使用寿命，抽取的20个灯泡的使用寿命． 48．请指出下列抽样调查的总体、个体、样本分别是什么？ (1)为了了解某种家用空调工作1小时的用电量，调查10台该种空调每台工作1小时的用电量； (2)为了了解初二年级270名学生的视力情况，从中抽取50名学生进行视力检查． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了抽样调查的总体、个体、样本、样本容量，总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，掌握定义是解题的关键． 根据抽样调查的总体、个体、样本、样本容量的定义即可求解． 【详解】（1）解：总体：该种家用空调工作1小时的用电量； 个体：每一台该种家用空调工作1小时的用电量； 样本：10台该种家用空调每台工作1小时的用电量； （2）解：总体：初二年级270名学生的视力情况； 个体：每一名学生的视力情况； 样本：抽取的50名学生的视力情况． 题型十七 统计表 49．大勇作为一名外卖员，2025年4月送餐1200单的统计数据如下表： 送餐距离 小于等于3公里 大于3公里 占比 送餐费 2元/单 3元/单 则大勇2025年4月份总送餐费为 元． 【答案】3120 【分析】本题主要考查了统计表， 先求出两类各自的单数，再乘以每单费用可得答案. 【详解】解：根据统计表可知总餐费 （元）. 所以大勇2025年4月份总送餐费为3120元. 故答案为：3120. 50．下面是A，B两球从不同高度自由下落到地面后反弹高度的统计表．小明想要购买弹性较大的球，他应该选择 球． 起始高度 24 32 45 67 78 96 A球反弹高度 11 21 31 48 53 58 B球反弹高度 16 26 40 57 64 70 【答案】B 【分析】本题考查了统计表，正确阅读统计表信息是解答本题的关键．根据统计表数据判断即可． 【详解】解：由统计表可知，在起始高度相同的情况下，B球反弹高度比A球高， 所以小明想要购买弹性较大的球，他应该选择B球． 故答案为：B． 51．有一名同学调查了一个月内全校所有学生的借书情况，数据如表： 借书次数 0次 1次 2次 3次 不低于4次 学生人数 471 422 71 36 (1)这名同学采用的是什么调查方式？ (2)根据调查数据分析，学校的图书馆使用率高吗？ (3)根据以上信息，你能向学校提出什么好的建议吗？ 【答案】(1)全面调查方式 (2)学校的图书馆使用率不高 (3)见解析 【分析】本题考查统计表量，全面调查和抽样调查特点，掌握相关知识是解题关键． （1）根据全面调查和抽样调查的特点求解即可； （2）根据表格中借书次数的人数求解即可； （3）从提高学校的图书馆使用率方面提出建议即可． 【详解】（1）解：这名同学采用的是全面调查方式； （2）解：从表中数据可以看出，借书次数0次和1次的人数较多，借书次数2次和3次的人数较少， ∴学校的图书馆使用率不高； （3）解：建议学校举办读书节活动或学校多购买一些学生喜欢的图书． 题型十八 频数分布表 52．在对全校同学数学成绩情况进行数据分析，数学成绩最高的同学得100分，成绩最低的同学得78分，若取组距为3，则可以分为（   ）组. A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】此题主要考查了频数分布表，首先计算极差，即计算最大值与最小值的差．再决定组距与组数． 首先计算出最大值和最小值的差，再利用极差除以组距即可． 【详解】解：，， ∴可以分为8组， 故选：C． 53．在30个数据中，最小值是31，最大值为98，若取每组终点值与起点值的差为8，可将这些数据分成 组． 【答案】9 【分析】本题考查的是组数的计算，属于基础题，只要根据组数的定义“数据分成的组的个数称为组数”来解即可．根据组数（最大值最小值）组距计算，注意小数部分要进位． 【详解】解：在样本数据中最大值为98，最小值为31，它们的差是，已知每组终点值与起点值的差为8， 那么由于， 故可以分成9组． 故答案为：9． 54．“慈母手中线，游子身上衣”，为了了解某校1000名学生在5月“母亲节”期间对母亲表达感谢的方式，某班兴趣小组随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计表： 方式 频数 百分比 送母亲礼物 23 帮母亲做家务 给母亲一个爱的拥抱 其他 15 合计 (1)本次问卷调查抽取的学生共有_________人，其中通过给母亲一个爱的拥抱表达感谢的学生有_________人； (2)样本中该校学生帮母亲做家务表达感谢的占样本总数的多少？ 【答案】(1)50，4 (2) 【分析】本题考查了频数、频率及总数间的关系，统计图的选择和用样本估计总体． （1）由问卷调查的学生总人数送母亲礼物的人数该项人数所占的百分比；给母亲一个爱的拥抱的人数问卷调查的学生总人数该项人数所占的百分比； （2）先求出以帮母亲做家务的学生人数，根据样本中帮母亲做家务的学生人数除以总人数即可得到所占的百分比． 【详解】（1）解：∵送母亲礼物的频数为23，百分比为， ∴抽取的学生共有（人）， 其中通过给母亲一个爱的拥抱表达祝贺的学生有：（人）． （2）解：（人）， 答：通过帮母亲做家务表达表达感谢的占样本总数的． 题型十九 扇形统计图相关 55．2025年2月，河南省教育厅发布《关于全省义务教育阶段学校每天开展两小时综合体育活动的通知》，为丰富学生的课间体育活动，某中学开设了四个体育活动社团，分别是篮球社团、足球社团、乒乓球社团和羽毛球社团．学校为了解学生最喜欢的体育社团是哪一个，随机调查了部分学生（每人必选且只能选1个社团），并将调查结果绘制成如下的扇形统计图，已知最喜欢羽毛球社团的学生有20人，下列说法不正确的是（   ） A．最喜欢羽毛球社团的人数占被调查人数的 B．被调查的人数一共有200人 C．被调查的人中最喜欢足球社团的有30人 D．被调查的人中最喜欢篮球社团的人数最多 【答案】C 【分析】本题考查扇形统计图及其相关计算，根据扇形统计图的数据逐一判断即可． 【详解】解：A、最喜欢羽毛球社团的人数占被调查人数的，故A正确，不符合题意； B、被调查的人数一共有（人），故B正确，不符合题意； C、被调查的人中最喜欢足球社团的有（人），故C错误，符合题意； D、由统计图可知，最喜欢篮球社团的人数占被调查人数的，学生人数占比最多，故D正确，不符合题意； 故选：C． 56．如图是某小区业主关于垃圾分类知识的了解情况的扇形图，若一共调查了1800名居民，则“基本了解”比“不了解”的居民多 人． 【答案】675 【分析】本题考查扇形统计图的知识，根据图内信息得出“基本了解”居民占比为，“不了解”居民占比，总数1800名，分别求出“基本了解”和比“不了解”居民相减即可得解． 【详解】解：“基本了解”居民占比为，人数为人， “不了解”居民比为，人数为人， “基本了解”比“不了解”的居民多人， 故答案为：675． 57．某校九年级（5）班50名学生参加1分钟跳绳比赛．1分钟跳绳次数与频数经统计后绘制成下面的频数分布表（表示为大于等于60并且小于70）和扇形图． 等级 分数段 1分钟跳绳次数段 频数 A 120 254～300 0 110～120 224～254 3 B 100～110 194～224 9 90～100 164～194 m C 80～90 148～164 12 70～80 132～148 n D 60～70 116～132 2 0～60 0～116 0 (1)求m，n的值； (2)求该班1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数占全班人数的百分比． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题难度中等，考查统计图表的识别，以及扇形统计图，解本题要懂得频率分布表的意义，读图时要全面细致，同时解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题． （1）由扇形图可得B级人数，可求出m的值，再根据频数分布表可求出n的值，即可； （2）用80分以上（含80分）的人数除以全班人数，即可求解． 【详解】（1）解：由扇形图可得B级人数应是， ∴， ∴． 由频数分布表可知， ∴． （2）解：由表可得80分以上（含80分）的人数为， ∴该班1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数占全班人数的百分比为． 题型二十 平均数 58．某区通过考试招聘老师，考试分笔试和面试两种，其中笔试成绩按计算，面试成绩按计算，小珍的笔试成绩是80分，面试成绩是90分，则小珍的最终成绩是（   ） A．84分 B．85分 C．86分 D．87分 【答案】C 【分析】本题考查了加权平均数的计算，根据加权平均数的计算公式得，计算即可． 【详解】解：根据题意得，（分）， 故选：C． 59．有9个数排成一列，它们的平均数是12，已知前5个数的平均数是12.4，后5个数的平均数是12.8，第5个数是 ． 【答案】18 【分析】此题考查了平均数．根据题意用前5个数的总和加上后5个数的总和再减去所有数字的总和，即可得到第5个数． 【详解】解：． ∴第5个数是． 故答案为：18． 60．下列数据是10名学生数学考试成绩： 82，83，78，66，95，75，56，93，83，81 先估算他们的平均成绩，然后在此基础上计算平均成绩，由此检验你的估算能力． 【答案】见详解 【分析】观察这组数据，发现在80附近的居多，可估计平均成绩约为80；将成绩超过80的部分记作正数，不足的部分记作负数，可得到10个成绩对应的数，再求出10个成绩对应的数的和，可得到这10名学生的数学考试成绩的总和，即可求出平均数．本题主要考查了求平均数，熟练掌握一组数据的平均数等于这组数据的总和除以数据的个数是解题的关键． 【详解】解：观察这组数据，发现在80附近的居多， ∴估计平均成绩约为80； 依题意，将成绩超过80的部分记作正数，不足的部分记作负数，那么10个成绩对应的数分别是2，3，，，15，，，13，3，1． ∴它们的和是， ∴平均成绩是． 题型二十一 中位数和众数 61．在体育课上，老师对同学们分组进行一分钟跳绳测试，分别对各组成员一分钟跳绳个数的平均数及中位数排名进行综合评奖．其中某一组前3位同学完成测试后，跳绳的个数分别为120，115，95，计算出这三位同学的平均数和中位数，若加上后两位同学的跳绳个数后，保持平均数和中位数不变就可以得奖，要使该小组能得奖，则后两位同学跳绳的个数可能是（   ） A．100，120 B．100，110 C．110，110 D．90，120 【答案】A 【分析】根据平均数，中位数的定义解答即可． 本题考查了平均数，中位数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：前3位同学的跳绳个数分别为120，115，95， 平均数为，中位数为115，B，D选项均会使平均数变小， 选项B，D不符合题意； 在A选项中，将跳绳个数从大到小重新排序后为120，120，115，100，95， 中位数为115，平均数为110，即中位数和平均数都不变，符合题意； 在C选项中，将跳绳个数从大到小重新排序后为120，115，110，110，95， 中位数为110，平均数为110，中位数变小，不符合题意． 故选：A． 62．九年级二班进行了一次数学模拟测试，其中优等学生共有9人，成绩分别为：136，138，139，139，140，141，142，145，150，那么这9人成绩的众数是 . 【答案】139 【分析】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．根据众数的定义求解即可． 【详解】解：由题意知，这9人成绩出现最多的是139， 所以这9人成绩的众数为139， 故答案为：139． 63．某初级中学为了解学生平均每天完成课后作业用时情况，从本校学生中随机抽取300名学生进行问卷调查，并将调查结果进行了整理（最短时间为50分钟，最长时间为100分钟），结果如下表： 学生平均每天完成课后作业用时频数分布表 平均每天完成课后作业用时/分钟 人数 10 40 60 140 50 根据以上信息，解答下列问题． (1)在本次调查结果中，学生平均每天完成课后作业用时的中位数落在________这一组． (2)该校学生平均每天完成课后作业用时的平均数约是多少？（每组课后作业用时取其组中值，例如：，取55；，取65） (3)你认为该校学生完成课后作业用时偏长的原因可能有哪些（列举两条）？并给出一条建议． 【答案】(1) (2)该校学生平均每天完成课后作业用时的平均数约是81分钟 (3)见解析 【分析】本题考查了频数分布表、求中位数、求平均数，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据中位数的定义即可求解； （2）根据平均数的计算公式即可求解； （3）根据课后作业的题量、难度等方面分析原因，再给出对应的建议即可． 【详解】（1）解：将300名学生平均每天完成课后作业用时从小到大顺序排列，则中位数为第150位和151位的平均数， 学生平均每天完成课后作业用时的中位数落在这一组． 故答案为：． （2）解：（分钟）， 答：该校学生平均每天完成课后作业用时的平均数约是81分钟． （3）解：原因可能有：①课后作业的题量较多；②课后作业的难度较大； 建议：减少课后作业的题量，根据学生的能力分层布置作业等（答案不唯一）． 题型二十二 平行线的判定与性质综合 64．已知直线，点为平面内一点，，垂足为． (1)如图①，过点作的平行线，若，则的度数为________； (2)如图②，过点作交直线于点．求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，点，在线段上，连接，，，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【分析】本题考查平行线的性质与应用、角平分线的性质、方程思想等知识，学会添加辅助线，掌握相关知识是解题关键． （1）根据平行线的性质及直角三角形的性质证明即可； （2）过点B作，根据同角的余角相等得出，再根据平行线的性质得到，即可得到； （3）过点B作，根据角平分线的定义得出，设，，可得，再根据，得到，据此计算得出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图2，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，； （3）解：如图3，过点B作， ∵平分，平分， ∴，， 由（2）知， ∴，设，， 则，，， ， ∴， ∵，， ∴， 中，由得 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 65．已知直线，点分别为直线上的点，点F是与之间任意一点，连接．直线，直线l分别交于两点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，已知，求的度数； (3)如图3，平分平分，过点F作的垂线交于点H，连接，，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用平行线的性质，等量代换证明即可； （2）过F作，利用平行线的性质，等量代换证明即可； （3）设，过F作，过R作，利用平行线的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，过F作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴； （3）解：如图，∵平分，平分， ∴设， 过F作，过R作， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线，一元一次方程的应用，角的和差倍分计算，熟练掌握性质是解题的关键． 66．综合与探究 【问题情境】数学课上，李老师出示了这样一道题： 如图1，，点，分别在，上，点为直线上方一点，连接，，探究，与之间的数量关系． 经过思考后，勤奋小组交流了自己的想法： 勤奋小组：如图2，通过作，发现，，由此即可求出，与之间的数量关系． 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的思路，探究，与之间的数量关系． 【迁移探究】 （2）听完勤奋小组的想法，创新小组突发奇想：如图3，当点在直线的下方，且在点的右侧时，（1）中的结论是否仍然成立？请帮助创新小组说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，点，分别在，上，点是直线，之间一点，，平分，平分，与交于点，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）不成立，见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用平行线的性质即可解答； （2）作，利用平行线的性质即可解答； （3）过点作，利用平行线的性质和角平分线的计算即可解答． 【详解】（1），， ， ，， ； （2）不成立，理由如下： 如图，作， ，， ， ，， ，即； （3）如图，过点作， ， ， ， ， ， 平分，平分， ， 在四边形中，． 题型二十三 数据收集与整理解答题 67．健康管理不仅是个人问题，更是关乎全民健康的国家战略．学校食堂积极响应健康饮食理念，推出，两种套餐．为了解学生对两种套餐的满意度情况，食堂管理员从两种套餐都吃过的学生中随机选择人，请他们分别从口味、营养、价格三方面对两种套餐进行满意度评分【非常满意：分；比较满意：分；基本满意：分；不太满意：分；不满意：分】．评分数据全部收回且有效，并整理得到如下统计图（不完整）和统计表： 两种套餐各项满意度得分平均数 种类 得分平均数 口味 营养 价格 套餐 8分 分 分 套餐 分 分 分 请根据上述信息，解决下列问题： (1)补全扇形统计图和条形统计图中空缺的部分； (2)小颖分析两种套餐价格满意度条形统计图时，发现给套餐打分的人数多于给套餐打分的人数，因此她判断套餐价格满意度更高．小明认为她的观点是片面的，请结合上述图表中的信息帮小明说明理由（写出一条即可）； (3)食堂管理员将两种套餐口味、营养、价格得分的平均数按的比例计算满意度综评得分，并求得套餐综评得分为分．请通过计算比较两种套餐的综评得分，并给综评得分较低的套餐提一条改进建议． 【答案】(1)，补图见解析 (2)见解析 (3)套餐综评得分较低，建议：套餐要更加关注营养搭配 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，加权平均数，中位数，众数，熟练掌握这些定义及其应用是解题的关键． （1）从两个统计图可知，求出套餐3分占比和4分人数再补全图形即可； （2）根据条形统计图的数据分析结论即可； （3）求出加权平均数后再给出建议即可． 【详解】（1）解：套餐3分占比， 套餐4分人数（人）， 补全扇形统计图和条形统计图中空缺的部分如下： （2）解：不唯一，如：①套餐价格满意度中位数为3分，小于套餐价格满意度中位数4分，所以从中位数角度看，套餐价格满意度更高，所以小颖的观点是片面的； ②套餐价格满意度众数为3分，小于套餐价格满意度众数4分，所以从众数角度看，套餐价格满意度更高，所以小颖的观点是片面的； ③套餐价格满意度平均数为分，等于套餐价格满意度平均数分，所以从平均数角度看，，套餐价格满意度一样，所以小颖的观点是片面的； ④给套餐打5分，4分，3分的人共有人，给套餐打5分，4分，3分的人共有人，，即套餐价格满意度达到“基本满意”及以上的人数多于套餐，所以套餐价格满意度更高，所以小颖的观点是片面的． （3）解：套餐得分分， 套餐得分（分）， 因为， 所以，套餐综评得分较低． 建议：答案不唯一，例如：套餐要更加关注营养搭配． 68．在第30个“世界读书日”来临之际，我校作为重庆市“书香校园”开展了“书香满校园，阅读伴成长”的阅读知识竞赛活动．赛后从甲、乙两个班中各随机抽取10名学生进行模拟测试，测试题满分100分．所有测试成绩均不低于60分，现将测试成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分为四组：，，，．），下面给出部分信息： 甲班10名学生的测试成绩在组的数据是：84，85，88． 乙班10名学生的测试成绩的数据是：65，70，75，82，84，85，86，99，99，100． 甲班抽取的学生测试成绩扇形统计图 甲、乙两班抽取的学生测试成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 甲 85 95 乙 85 85 根据以上信息，解答下面问题： (1)直接写出上述图表中的值； (2)根据以上数据，你认为甲、乙两班中哪个班级抽取的学生测试成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)甲班抽取的10名学生的测试成绩中，B组学生平均成绩为78分，D组学生平均成绩为98分，请你计算甲校两组学生的竞赛总成绩． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)548 【分析】此题考查了求平均数，中位数和众数，根据以上数据作决策，解题的关键是正确分析统计图中的数据． （1）首先求出甲班10名学生的测试成绩在C组的人数所占的百分比，然后用1减去其他组所占的百分比即可求出a的值；根据中位数和众数的概念即可求出b和c的值； （2）根据甲班和乙班的中位数和众数判断求解即可； （3）利用样本平均数求解即可． 【详解】（1）解：∵甲班10名学生的测试成绩在C组的数据是：84，85，88，共3人， 甲班10名学生的测试成绩在C组的人数所占的百分比为， ∴B组人数所占的百分比， ∴； ∵一共抽取10名学生进行模拟测试， ∴中位数为从小到大排列后第5名和第6名的平均数， ∴中位数； ∵乙班10名学生的测试成绩的数据中99分出现的次数最多， ∴众数； （2）解：甲班抽取的学生测试成绩较好．理由如下： 甲班抽取的学生测试成绩的中位数86.5大于乙班抽取的学生测试成绩的中位数85； 乙班抽取的学生测试成绩较好．理由如下： 乙班抽取的学生测试成绩的众数99大于甲班抽取的学生测试成绩的众数95． （结论，原因，作答其中一条即可） （3）解：（分）． 答：甲班抽取的10名学生的测试成绩在B、D组的总成绩为548． 69．近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（）逐渐走进人们的日常生活. 技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献.某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考. 【数据收集与整理】 研究小组对市面上不同的软件进行整理，请使用者进行评价打分.从使用较好甲、乙两款软件的评价得分中，分别随机抽取了20个使用者的打分（百分制）数据，进行整理.成绩均高于90分（成绩得分用x表示，共分为五组：A：；B：；C：；D：；E：） 下面给出了部分信息：甲款软件20名使用者打分为： 92，94，94，94，95，95，97，97，97，98，99，99，99，100，100，100，100，100，100，100. 乙款软件20名使用者打分在B等级的数据是：97，97，98，98，98，98. 甲、乙两款软件抽取的使用者打分统计表 类型 平均数 众数 中位数 甲款软件 a 乙款软件 99 b （1）上述表中_______；_______； 【数据分析与运用】 （2）下列结论一定正确的是_______. ①甲乙两款样本数据的中位数均在A组； ②得分96分以上的样本数据甲乙一样多； ③甲乙两款样本数据的满分一样多. （3）根据甲、乙两款软件样本的特征数，试估计哪款软件更优，并说明理由. 【答案】（1），；（2）②；（3）甲款软件更优，理由见解析 【分析】本题考查了扇形统计图，众数、中位数的计算，读懂统计图，熟练众数，中位数的计算是解题的关键． （1）根据众数和中位数的定义计算判断解答即可． （2）根据样本，计算各自的中位数，满分人数，96分以上人数，后比较判定解答即可． （3）根据中位数，众数决策即可． 【详解】解：（1）∵甲款打分中，100分出现了7次，次数最多， ∴甲款打分的众数为100分，即； 把乙款20个打分按照从高到低的顺序排列，中位数是第10名和第11名打分的平均数， ∵乙款打分中，A等级的人数为人， B等级从大到小排序为：98，98，98，98，97，97 第10名和第11名的打分为98分，98分， ∴乙款打分的中位数为分，即． （2）解：根据题意，得甲的中位数是，在A组；乙的中位数是，在B组；故①错误； 样本数据甲得分96分以上的人数为14人；样本数据乙得分96分以上的人数为人；故②正确； 样本数据甲得满分的人数为7人；而样本数据乙的众数为99分，故乙满分人数一定小于；故③错误． （3）甲款软件更优，理由如下： 因为甲、乙两款软件的平均数相同，而甲款软件的众数和中位数都大于乙款软件的众数和中位数 ∴甲款软件更优． $$ 专题04 概念、命题和证明+数据的收集与描述 （易错压轴必刷69题23种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 命题的相关概念 · 题型二 命题的真假 · 题型三 举反例 · 题型四 写出命题的逆命题 · 题型五 证明 · 题型六 余角、补角有关的计算 · 题型七 平行公理 · 题型八 同位角、内错角、同旁内角 · 题型九 平行线的判定定理 · 题型十 平行线的性质定理 · 题型十一 根据平行线的性质探究角的关系 · 题型十二 根据平行线的性质求角的度数 · 题型十三 平行线的性质在生活中的应用 · 题型十四 根据平行线的判定与性质证明 · 题型十五 全面调查与抽样调查 · 题型十六 总体、个体、样本、样本容量 · 题型十七 统计表 · 题型十八 频数分布表 · 题型十九 扇形统计图相关 · 题型二十 平均数 · 题型二十一 中位数和众数 · 题型二十二 平行线的判定与性质综合 · 题型二十三 数据收集与整理解答题 题型一 命题的相关概念 1．下列语句不是命题的是（    ）． A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段上取点，使得 2．下列定义不合理的是 （填序号）． ①能被2整除的整数叫作“偶数”； ②能写成（n是整数）的数叫作“偶数”； ③1，3，5，7，……叫作“单数”； ④两个数的所有公约数中比较大的公约数叫作“大公约数”． 3．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的条件和结论． (1)同位角相等，两直线平行； (2)同角的余角相等． 题型二 命题的真假 4．说出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假： (1)如果，那么； (2)周长相等的三角形的面积相等； (3)如果两个数都是正数，那么这两个数的差是正数． 5．写出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假． (1)如果，那么； (2)如果，那么． 6．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是正确的还是错误的．如果是错误的，举出一个反例． (1)两个负数之和仍为负数； (2)一个钝角与一个锐角的差是锐角． 题型三 举反例 7．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的可以为（    ） A．0 B．0.5 C． D． 8．要证明命题“若则”是假命题，下列a，b的值能作为反例的是（    ） A． B． C． D． 9．证明“如果，那么”是假命题，可以取 ．（填一种即可） 题型四 写出命题的逆命题 10．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知命题“若，则”，其逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 12．命题：如果是不等于的数，那么一定大于． (1)判断这个命题的真假； (2)仿照题中命题，写一个关于与大小关系的真命题． 题型五 证明 13．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 14．甲、乙两人需要把、、、四个零件进行加工，每个零件都需要先由甲进行粗加工，再由乙进行精加工，甲、乙两人在各自的工序中完成一个零件的加工后才能开始加工另一个零件．这四个零件两道工序所需的时间（单位：分钟）如下： 零件 A B C D 粗加工 11 5 16 11 精加工 8 2 11 12 在不考虑其他因素的前提下，若甲按“”的先后顺序加工零件，则四个零件全部完成粗加工和精加工至少需要 分钟；若使四个零件全部完成粗加工和精加工的时间最短，则甲按 的先后顺序加工零件． 15．甲、乙、丙三人进行乒乓球球单打训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当5局裁判，乙、丙分别打了8局、13局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共打了 局． 题型六 余角、补角有关的计算 16．如图：已知和都是直角，若减小，则下列说法正确的是（   ） A．减小 B．减小 C．减小 D．与的和不变 17．已知一个角的余角是其补角的，则这个角的度数为 ． 18．如图，直线相交于点，，． (1)写出的所有余角及和它相等的角； (2)若，求的度数． 题型七 平行公理 19．下列命题①互为补角的两个角都是锐角；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．是真命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 20．如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是 . 21．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个判断：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中正确的是 ．（填写所有正确的序号） 题型八 同位角、内错角、同旁内角 22．如图，下列结论不正确的是（　　） A．与是内错角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 23．下列各图中，∠1和∠2是同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 24．如图，给出下列结论：①与是同旁内角；②与是同位角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是对顶角．其中说法正确的是 ．（填序号） 题型九 平行线的判定定理 25．装修工人需检查两面墙是否平行，他测量了墙角的角度，如图所示，点在的延长线上，则下列条件中不能判定墙面的是（   ） A． B． C． D． 26．将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：①；②；③；④，其中能说明纸条上下两边平行的有 （填序号） 27．如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 题型十 平行线的性质定理 28．如图，直线，直线、被直线所截，平分，平分， (1)若，求的度数； (2)判断的结果，并说明理由． 29．如图所示，已知为的角平分线，，与相交于点E，，求的度数． 30．如图，，直线分别交，于、两点，且平分，． (1)求的度数； (2)求的度数． 题型十一 根据平行线的性质探究角的关系 31．如图，，则（   ） A． B． C． D． 32．如图1，，过点F作． (1)可得：与，之间的数量关系是 ． (2) ． (3)利用上面的发现，解决下列问题： 如图2，，点M是和平分线的交点，，求的度数． 33．【课本再现】 （1）①如图1，已知，直接写出，和满足的等式关系； ②如图2，已知，写出，和满足的等式关系，并说明理由； 【知识应用】 （2）如图3是微信聊天对话框，图4是其示意图的一部分，已知，，写出，和满足的等式关系，并说明理由． 题型十二 根据平行线的性质求角的度数 34．已知，将含角的直角三角板如图放置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 35．如图，将木条a，b与c钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条b旋转的度数是 ．（旋转度数在至之间） 36．如图所示，四边形中，连接，E，F是直线上的点，G是射线上的点，若，． (1)求证：，； (2)若，求的度数． 题型十三 平行线的性质在生活中的应用 37．为响应国家新能源建设．我省某市公交站亭装上了太阳能电池板（图1）．如图2，电池板与水平线的夹角为，电池板与水平线的夹角为，要使，需将电池板逆时针旋转．则的度数为 ． 38．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数． 39．某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为 ． 题型十四 根据平行线的判定与性质证明 40．如图，直线，点E，点P在两条平行线之间，和的角平分线交于点H，，则的度数为 ． 41．如图，，CE平分，ED平分，，下列结论：①EC平分；②；③；④，其中正确结论是 ． 42．如图，已知，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若平分，于点，，求的度数． 题型十五 全面调查与抽样调查 43．下列调查中，最适合全面调查（普查）的是（    ） A．调查重庆市2025年空气质量情况 B．调查全国中学生对人工智能的了解 C．“神州二十号”载人飞船发射前，对其零部件质量情况的调查 D．对长江流域水质情况的调查 44．以下问题：①调查某校六年级学生的视力情况，②调查某班学生的兴趣爱好，③调查全国私营企业的经营情况，④调查某校40岁以下青年教师的学历情况，⑤调查某车企生产的某批次新能源车的防撞安全性．其中适合采用抽查的是 （填写序号）． 45．下列调查分别采用了哪种调查方式？样本是否具有代表性？ (1)某县教育局为了了解八年级学生的学习掌握情况，对农村一所中学八年级的部分学生进行测试调查． (2)暑假前，某市对全市学生进行了防溺水安全教育，并要求所有学生和家长一起观看防溺水专题视频讲座，为了检查学生的观看效果，随机对全市各学校的部分学生进行了防溺水知识测试． 题型十六 总体、个体、样本、样本容量 46．2024年盐城有近76000名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（   ） A．这1000名考生是总体的一个样本 B．近76000名考生是总体 C．每位考生的数学成绩是个体 D．1000名学生是样本容量 47．为了解某品牌10000个灯泡的使用寿命，从中抽取20个进行测试检验，在这项检验中，总体是 ，个体是 ，样本是 ． 48．请指出下列抽样调查的总体、个体、样本分别是什么？ (1)为了了解某种家用空调工作1小时的用电量，调查10台该种空调每台工作1小时的用电量； (2)为了了解初二年级270名学生的视力情况，从中抽取50名学生进行视力检查． 题型十七 统计表 49．大勇作为一名外卖员，2025年4月送餐1200单的统计数据如下表： 送餐距离 小于等于3公里 大于3公里 占比 送餐费 2元/单 3元/单 则大勇2025年4月份总送餐费为 元． 50．下面是A，B两球从不同高度自由下落到地面后反弹高度的统计表．小明想要购买弹性较大的球，他应该选择 球． 起始高度 24 32 45 67 78 96 A球反弹高度 11 21 31 48 53 58 B球反弹高度 16 26 40 57 64 70 51．有一名同学调查了一个月内全校所有学生的借书情况，数据如表： 借书次数 0次 1次 2次 3次 不低于4次 学生人数 471 422 71 36 (1)这名同学采用的是什么调查方式？ (2)根据调查数据分析，学校的图书馆使用率高吗？ (3)根据以上信息，你能向学校提出什么好的建议吗？ 题型十八 频数分布表 52．在对全校同学数学成绩情况进行数据分析，数学成绩最高的同学得100分，成绩最低的同学得78分，若取组距为3，则可以分为（   ）组. A．6 B．7 C．8 D．9 53．在30个数据中，最小值是31，最大值为98，若取每组终点值与起点值的差为8，可将这些数据分成 组． 54．“慈母手中线，游子身上衣”，为了了解某校1000名学生在5月“母亲节”期间对母亲表达感谢的方式，某班兴趣小组随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计表： 方式 频数 百分比 送母亲礼物 23 帮母亲做家务 给母亲一个爱的拥抱 其他 15 合计 (1)本次问卷调查抽取的学生共有_________人，其中通过给母亲一个爱的拥抱表达感谢的学生有_________人； (2)样本中该校学生帮母亲做家务表达感谢的占样本总数的多少？ 题型十九 扇形统计图相关 55．2025年2月，河南省教育厅发布《关于全省义务教育阶段学校每天开展两小时综合体育活动的通知》，为丰富学生的课间体育活动，某中学开设了四个体育活动社团，分别是篮球社团、足球社团、乒乓球社团和羽毛球社团．学校为了解学生最喜欢的体育社团是哪一个，随机调查了部分学生（每人必选且只能选1个社团），并将调查结果绘制成如下的扇形统计图，已知最喜欢羽毛球社团的学生有20人，下列说法不正确的是（   ） A．最喜欢羽毛球社团的人数占被调查人数的 B．被调查的人数一共有200人 C．被调查的人中最喜欢足球社团的有30人 D．被调查的人中最喜欢篮球社团的人数最多 56．如图是某小区业主关于垃圾分类知识的了解情况的扇形图，若一共调查了1800名居民，则“基本了解”比“不了解”的居民多 人． 57．某校九年级（5）班50名学生参加1分钟跳绳比赛．1分钟跳绳次数与频数经统计后绘制成下面的频数分布表（表示为大于等于60并且小于70）和扇形图． 等级 分数段 1分钟跳绳次数段 频数 A 120 254～300 0 110～120 224～254 3 B 100～110 194～224 9 90～100 164～194 m C 80～90 148～164 12 70～80 132～148 n D 60～70 116～132 2 0～60 0～116 0 (1)求m，n的值； (2)求该班1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数占全班人数的百分比． 题型二十 平均数 58．某区通过考试招聘老师，考试分笔试和面试两种，其中笔试成绩按计算，面试成绩按计算，小珍的笔试成绩是80分，面试成绩是90分，则小珍的最终成绩是（   ） A．84分 B．85分 C．86分 D．87分 59．有9个数排成一列，它们的平均数是12，已知前5个数的平均数是12.4，后5个数的平均数是12.8，第5个数是 ． 60．下列数据是10名学生数学考试成绩： 82，83，78，66，95，75，56，93，83，81 先估算他们的平均成绩，然后在此基础上计算平均成绩，由此检验你的估算能力． 题型二十一 中位数和众数 61．在体育课上，老师对同学们分组进行一分钟跳绳测试，分别对各组成员一分钟跳绳个数的平均数及中位数排名进行综合评奖．其中某一组前3位同学完成测试后，跳绳的个数分别为120，115，95，计算出这三位同学的平均数和中位数，若加上后两位同学的跳绳个数后，保持平均数和中位数不变就可以得奖，要使该小组能得奖，则后两位同学跳绳的个数可能是（   ） A．100，120 B．100，110 C．110，110 D．90，120 62．九年级二班进行了一次数学模拟测试，其中优等学生共有9人，成绩分别为：136，138，139，139，140，141，142，145，150，那么这9人成绩的众数是 . 63．某初级中学为了解学生平均每天完成课后作业用时情况，从本校学生中随机抽取300名学生进行问卷调查，并将调查结果进行了整理（最短时间为50分钟，最长时间为100分钟），结果如下表： 学生平均每天完成课后作业用时频数分布表 平均每天完成课后作业用时/分钟 人数 10 40 60 140 50 根据以上信息，解答下列问题． (1)在本次调查结果中，学生平均每天完成课后作业用时的中位数落在________这一组． (2)该校学生平均每天完成课后作业用时的平均数约是多少？（每组课后作业用时取其组中值，例如：，取55；，取65） (3)你认为该校学生完成课后作业用时偏长的原因可能有哪些（列举两条）？并给出一条建议． 题型二十二 平行线的判定与性质综合 64．已知直线，点为平面内一点，，垂足为． (1)如图①，过点作的平行线，若，则的度数为________； (2)如图②，过点作交直线于点．求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，点，在线段上，连接，，，平分，平分，若，，求的度数． 65．已知直线，点分别为直线上的点，点F是与之间任意一点，连接．直线，直线l分别交于两点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，已知，求的度数； (3)如图3，平分平分，过点F作的垂线交于点H，连接，，求的度数． 66．综合与探究 【问题情境】数学课上，李老师出示了这样一道题： 如图1，，点，分别在，上，点为直线上方一点，连接，，探究，与之间的数量关系． 经过思考后，勤奋小组交流了自己的想法： 勤奋小组：如图2，通过作，发现，，由此即可求出，与之间的数量关系． 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的思路，探究，与之间的数量关系． 【迁移探究】 （2）听完勤奋小组的想法，创新小组突发奇想：如图3，当点在直线的下方，且在点的右侧时，（1）中的结论是否仍然成立？请帮助创新小组说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，点，分别在，上，点是直线，之间一点，，平分，平分，与交于点，请直接写出的度数． 题型二十三 数据收集与整理解答题 67．健康管理不仅是个人问题，更是关乎全民健康的国家战略．学校食堂积极响应健康饮食理念，推出，两种套餐．为了解学生对两种套餐的满意度情况，食堂管理员从两种套餐都吃过的学生中随机选择人，请他们分别从口味、营养、价格三方面对两种套餐进行满意度评分【非常满意：分；比较满意：分；基本满意：分；不太满意：分；不满意：分】．评分数据全部收回且有效，并整理得到如下统计图（不完整）和统计表： 两种套餐各项满意度得分平均数 种类 得分平均数 口味 营养 价格 套餐 8分 分 分 套餐 分 分 分 请根据上述信息，解决下列问题： (1)补全扇形统计图和条形统计图中空缺的部分； (2)小颖分析两种套餐价格满意度条形统计图时，发现给套餐打分的人数多于给套餐打分的人数，因此她判断套餐价格满意度更高．小明认为她的观点是片面的，请结合上述图表中的信息帮小明说明理由（写出一条即可）； (3)食堂管理员将两种套餐口味、营养、价格得分的平均数按的比例计算满意度综评得分，并求得套餐综评得分为分．请通过计算比较两种套餐的综评得分，并给综评得分较低的套餐提一条改进建议． 68．在第30个“世界读书日”来临之际，我校作为重庆市“书香校园”开展了“书香满校园，阅读伴成长”的阅读知识竞赛活动．赛后从甲、乙两个班中各随机抽取10名学生进行模拟测试，测试题满分100分．所有测试成绩均不低于60分，现将测试成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分为四组：，，，．），下面给出部分信息： 甲班10名学生的测试成绩在组的数据是：84，85，88． 乙班10名学生的测试成绩的数据是：65，70，75，82，84，85，86，99，99，100． 甲班抽取的学生测试成绩扇形统计图 甲、乙两班抽取的学生测试成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 甲 85 95 乙 85 85 根据以上信息，解答下面问题： (1)直接写出上述图表中的值； (2)根据以上数据，你认为甲、乙两班中哪个班级抽取的学生测试成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)甲班抽取的10名学生的测试成绩中，B组学生平均成绩为78分，D组学生平均成绩为98分，请你计算甲校两组学生的竞赛总成绩． 69．近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（）逐渐走进人们的日常生活. 技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献.某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考. 【数据收集与整理】 研究小组对市面上不同的软件进行整理，请使用者进行评价打分.从使用较好甲、乙两款软件的评价得分中，分别随机抽取了20个使用者的打分（百分制）数据，进行整理.成绩均高于90分（成绩得分用x表示，共分为五组：A：；B：；C：；D：；E：） 下面给出了部分信息：甲款软件20名使用者打分为： 92，94，94，94，95，95，97，97，97，98，99，99，99，100，100，100，100，100，100，100. 乙款软件20名使用者打分在B等级的数据是：97，97，98，98，98，98. 甲、乙两款软件抽取的使用者打分统计表 类型 平均数 众数 中位数 甲款软件 a 乙款软件 99 b （1）上述表中_______；_______； 【数据分析与运用】 （2）下列结论一定正确的是_______. ①甲乙两款样本数据的中位数均在A组； ②得分96分以上的样本数据甲乙一样多； ③甲乙两款样本数据的满分一样多. （3）根据甲、乙两款软件样本的特征数，试估计哪款软件更优，并说明理由. 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$