精品解析：福建省福州第三中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题

福州三中2024-2025学年第二学期期中考试 高二数学试卷 命题人：高二数学集备组 审卷人：高二数学集备组 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上. 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答．若在试题卷上作答，答案无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等比数列，，，则公比等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式计算可得. 【详解】因为，，所以，解得. 故选：C 2. 已知F为抛物线的焦点，A为C上的一点，中点的横坐标为2，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据中点的横坐标求出点横坐标，进而由焦半径公式求出答案. 【详解】由题意得：，准线方程为， 设，则中点的横坐标为， 故，解得：， 由抛物线的焦半径可知：. 故选：B 3. 在三棱柱中，设，，，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算法则即可求解． 【详解】连接，如图， 因为为的中点， 所以． 故选：C． 4. 已知是函数在上的导函数，函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根极值与导函数的关系确定在附近的正负，得的正负，从而确定正确选项． 【详解】由题意可得，而且在点的左侧附近，，此时，排除B、D； 在点的右侧附近，，此时，排除A， 所以函数的图象可能是C． 故选：C 5. 将6本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，则不同的分法种数为（ ） A. 1440种 B. 1560种 C. 3960种 D. 7200种 【答案】B 【解析】 【分析】先进行分组，有1，1，2，2和1，1，1，3两种情况，利用排列组合知识分别求出两种情况下的情况数，再相加求出答案． 【详解】先将6本书进行分为4组，每个学生至少一本，有1，1，2，2和1，1，1，3两种情况， 其中分为1，1，2，2的情况有种， 分为1，1，1，3的情况有种， 故不同的分法种数为， 故选：B． 6. 若函数在区间上单调递增，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调递减得出导函数恒非负，再分离参数结合三角函数值域计算求参. 【详解】由题意在上恒成立， 所以，又时，是减函数，（时取得）， 所以． 故选：C. 7. 在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于点，动点在圆上运动，若的面积的取值范围为，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点到直线和圆上的点到直线的距离公式求解即可. 【详解】圆的圆心到直线的距离为， 所以， 记点到直线的距离为，则的面积， 所以， 又圆心到直线的距离为，所以， 又，所以， 故选：B 8. 设F是双曲线（，）的右焦点，O为坐标原点，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的内切圆与x轴切于点B，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出，由，通过运算得到，再利用之间的关系得到关于的方程，解出即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为：，即， 到渐近线的距离为， ，则直角三角形的内切圆的半径， 如图，设三角形的内切圆与切于，则，， 可得，， 即，则， 所以， 由，，，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：直角三角形内切圆的半径. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（ ） A. B. 只有第4项的二项式系数最大 C. 各项系数之和为 D. 的系数为560 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式系数和计算求参判断A；由组合数性质判断B；赋值即可计算求解判断C；应用展开式计算判断D. 【详解】对于A：由题意可知，解得，故A正确； 对于B：， 因为，则第4项和第5项的二项式系数最大，故B错误； 对于C：令可得各项系数之和为，故C正确； 对于D：因为二项展开式的通项为，，1，2，…，7， 令，解得， 所以的系数为，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知为等差数列的前项和，公差为．若，，则（ ） A. 数列为递增数列 B. C. 当且仅当时，取到最大值 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式可得，选项A错误；利用等差数列下标和性质可得，选项B正确；分析数列中各项的正负可得选项C正确；利用可得选项D错误. 【详解】A.由题意得，， ∴，故等差数列为递减数列，A错误. B.由得，， ∴， ∴，故B正确. C.由B得，， ∵等差数列为递减数列，∴， ∴当时，，当时，， ∴当且仅当时，取到最大值，C正确. D.由题意得，，D错误. 故选：BC. 11. 很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 若是棱的中点，则与平面平行 C. 点到平面的距离为 D. 该半正多面体的体积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意作图，结合正方体的几何性质，可判断选项A、B的正误；建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式，可判断选项C的正误；.根据该半正多面体可看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，可计算体积，判断选项D的正误. 【详解】由题意，可作图如下： 对于A，根据正方体的几何性质，易知平面，故A正确； 对于B，根据正方体的几何性质，易知平面. 若与平面平行，则有，而是棱的中点，所以在正方形中这是不可能的，故B是错误的； 对于C，建立空间直角坐标系，如下图： 因为该半正多面体的棱长为，所以正方体的棱长为. 由图可知，，，， 在平面内取，， 设平面的法向量，由， 可得，化简可得，令，则，， 所以平面的一个法向量. 因为 设点到平面距离，故.C正确 对于D，该半正多面体可看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的， 所以该立体图形的体积，故D是错误的. 故选：AC. 【点睛】关键点睛：本题的关键是将该多面体放置于正方体当中分析，对于CD选项的判断建立合适的空间直角坐标系再去计算即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量X的方差，则__________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据方差的性质即可求解． 【详解】， 故答案为：12． 13. 已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线所过的定点并判断与圆的位置关系，再利用圆的性质求出范围. 【详解】由直线l：，得直线l恒过定点， 由圆C：，得，圆心，半径为， 又，即点在圆内， 当直线l经过圆心时，， 当直线时，，则， 所以的取值范围是. 故答案为：. 14. 设O为坐标原点，若曲线和曲线（）上分别存在A，B两点，使得，则a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设出两点坐标，结合斜率的计算由基本不等式和导数分别求出两直线斜率最值，然后再结合图形，利用两角差的正切公式计算即可. 【详解】设，当时，直线的倾斜角为， 当时，直线的斜率， 当时，当且仅当时取等号，此时直线的倾斜角大于， 当时，当且仅当时取等号，此时直线的倾斜角为钝角， 设，则直线的斜率， 记，求导得，当时，；时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 由函数图象知：要使得曲线和曲线上分别存在两点， 使得，则需要满足在第一象限，直线斜率最小，斜率最大时，的大小不超过， 此时，，，解得， 所以a的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中， （1）证明：数列是等比数列． （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设得，结合等比数列定义即可得证； （2）由（1）求出数列的通项公式，再由等差、等比数列前n项和公式即可计算得解. 【小问1详解】 由得，， 所以数列为首项为1，公比为3的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得，则， . 16. 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，，，，． （1）证明：平面平面ABCD. （2）求平面ADE与平面BCF所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）由勾股定理与矩形可得线线垂直，利用线面垂直的判定与面面垂直的判定，可得答案；（2）由题意建立坐标系，求得平面的法向量，根据面面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 证明：取棱CD的中点G，连接EG， 因为，故， 又，， 所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以，所以，故， 因为四边形ABCD是矩形，所以， 因为AD，平面ADE，且， 所以平面ADE， 因为平面ABCD， 所以平面平面ABCD. 【小问2详解】 取棱BC的中点M，AD的中点O，连接OM，则OA，OM，OE两两垂直， 以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 如图建立空间直角坐标系， 则，，， 则，， 设平面BCF的法向量为， 则，则， 令，可得， 所以为平面BCF的一个法向量， 平面ADE的一个法向量为． 设平面ADE与平面BCF所成的角为， 则． 即平面ADE与平面BCF所成角的余弦值是. 17. 已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球. （1）从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量为1号球的个数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是3号球的概率. 【答案】（1）分布列： 0 1 2 （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知随机变量的可能取值为0，1，2，结合超几何分布求分布列和期望； （2）设相应事件，根据题意可得相应概率，利用全概率公式圆求解. 【小问1详解】 由题意可知：随机变量的可能取值为0，1，2，则有： ， 可得随机变量的分布列为 0 1 2 所以随机变量的期望. 【小问2详解】 记第一次从甲袋中随机摸出1个球，摸出的是1、2、3号球分别为事件， 第二次摸到的是3号球为事件B， 则， 所以. 18. 已知函数． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调区间； （3）当时，关于x的不等式恒成立，求整数a的最大值． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）-2 【解析】 【分析】（1）求导确定切线斜率即可求解； （2）求导得到，对分类讨论，可得单调区间； （3）构造函数，，求导确定函数单调性，求得最值即可求解； 【小问1详解】 定义域为，， 当时，，， 则曲线在点处的切线为． 【小问2详解】 因为定义域为，， 当时，，所以在上单调递增； 当时， x 0 极大值 综上：当时的单调递增区间是，无单调递减区间； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问3详解】 依题知，恒成立，即恒成立， 设， 则， 当时，令，解得 x 0 极大值 则恒成立， 整理得． 设，，则恒成立， 所以在上单调递增，又且， 且，， 故整数a的最大值为． 19. 已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为，点在上. （1）求的方程； （2）过点的直线与C相交于F，G两点，点E与点F关于轴对称，问直线EG是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； （3）将圆心在轴上，且与C的两支各恰有一个公共点的圆称为“子圆”，若两个“子圆”外切于点，圆心距为，求. 【答案】（1） （2）直线EG过定点. （3）. 【解析】 【分析】（1）设出方程带入点，得到方程. （2）当直线DG的斜率不为零时，设直线DG的方程再进行联立，再易知，直线EG的斜率存在，设直线EG的方程为，最后得到过定点. （3）考虑子圆，两圆的圆心之间的距离，最后得到答案. 【小问1详解】 设双曲线的方程为， 将点代入得，即，双曲线的方程为 【小问2详解】 当直线DG的斜率不为零时，设直线DG的方程为，，，. 由消去整理得， 依题意得：，且，即且， ，. 易知，直线EG的斜率存在，设直线EG的方程为. 令，得 . 直线EG过定点. 当直线DG的斜率为0时，直线EG的方程为，过点， 综上，直线EG过定点. 【小问3详解】 考虑以为圆心的“子圆”， 由的方程与的方程消去，得关于的二次方程. 依题意，该方程的判别式，. 对于外切于点的两个“子圆”，，显然点在轴上， 设，，的半径分别为，， 不妨设，的圆心分别为，. 则，. 两式相减得：，而，. ，整理得：. ，点. ，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州三中2024-2025学年第二学期期中考试 高二数学试卷 命题人：高二数学集备组 审卷人：高二数学集备组 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上. 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答．若在试题卷上作答，答案无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等比数列，，，则公比等于（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知F为抛物线的焦点，A为C上的一点，中点的横坐标为2，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 在三棱柱中，设，，，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是函数在上的导函数，函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 将6本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，则不同的分法种数为（ ） A. 1440种 B. 1560种 C. 3960种 D. 7200种 6. 若函数在区间上单调递增，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于点，动点在圆上运动，若的面积的取值范围为，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 设F是双曲线（，）的右焦点，O为坐标原点，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的内切圆与x轴切于点B，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（ ） A. B. 只有第4项的二项式系数最大 C. 各项系数之和为 D. 的系数为560 10. 已知为等差数列的前项和，公差为．若，，则（ ） A. 数列为递增数列 B. C. 当且仅当时，取到最大值 D. 11. 很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 若是棱的中点，则与平面平行 C. 点到平面的距离为 D. 该半正多面体的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量X的方差，则__________． 13. 已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是__________. 14. 设O为坐标原点，若曲线和曲线（）上分别存在A，B两点，使得，则a的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中， （1）证明：数列是等比数列． （2）求数列的前n项和． 16. 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，，，，． （1）证明：平面平面ABCD. （2）求平面ADE与平面BCF所成角的余弦值． 17. 已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球. （1）从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量为1号球的个数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是3号球的概率. 18. 已知函数． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调区间； （3）当时，关于x的不等式恒成立，求整数a的最大值． 19. 已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为，点在上. （1）求的方程； （2）过点的直线与C相交于F，G两点，点E与点F关于轴对称，问直线EG是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； （3）将圆心在轴上，且与C的两支各恰有一个公共点的圆称为“子圆”，若两个“子圆”外切于点，圆心距为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $