题型专项训练卷(3)-【魔力一卷通】2024-2025学年新教材七年级数学下册（北师大版2024）

!" ! ! #$%& " "# ' # ! "# ! $! !" ! ! #$%& " "# ' # ! "# ! $" !" ! ! #$%& " "# ' # ! "# ! $# 书 数学! ! 年级下册" "# 版# ! $% 题型专项训练卷!三" ! !测试内容"概率的计算# !! 班级! !!!!!!!!!! 姓名! !!!!!!!!! !!!!! 等可能事件的概率 !! 有 ! 张大小!背面都相同的扑克牌"正面上的数字分别是 " " ! " # " $ " %! 若将这 ! 张牌背面朝上洗匀后" 从中任意抽取 & 张"则这张牌正面上的数字为偶数的概率是 # " $ '( & ! )( * ! +( , ! -( " ! #! 某校体育室里的球类数量如下表"如果随机拿出 & 个球#每个球被拿出来的可能性是一样的$"那么拿出的 球是足球的概率是 # $ $ 球类 篮球 排球 足球 数量!个 , ! " '( & * )( & , +( & " -( ! &* %! 笔筒中有 . 支相同的铅笔"将它们逐一标上数字 & ! .! 若从笔筒中任意抽出 & 支铅笔"则抽到标号是 , 的倍数的概率是 # " $ '( & . )( * . +( & , -( * , &! 一个不透明的袋子中装有 " 个白球" 个红球"这些球除颜色外都相同 ! 若从袋子中随机摸出 & 个 球"摸到红球的概率为* , "则 "/ !! ' !! ! (! 一个不透明的袋子中装有红!黄!白三种颜色的小球"它们除颜色外其余都相同"其中红球有 &0 个" 黄球有 # 个"白球有 " 个 ! # & $若随机地从袋中摸出 & 个球"求摸到白球的概率% # * $若先摸出 * 个红球和 * 个白球"将它们放在桌上"再随机地从袋中摸出 & 个球"求这时摸到白球 的概率 ! 解&# ! $因为袋中有 !) 个红球! * 个黄球和 & 个白球" 所以共有 !)+*+&,#) #个$球" 所以随机地从袋中摸出 ! 个球"摸到白球的概率为& #) , ! ( ! #$因为摸出 # 个红球和 # 个白球后不放回"所以袋中球的数量为 #)-#-#,!* #个$"其中有 # 个白球" 所以这时摸到白球的概率为# !* , ! ' ! 书 !! 有一个挖宝游戏!宝藏被随机藏在下面圆形区域内!如图 ! "圆形区域被分成八等份# ! " ! #若去寻找宝藏!应该选择哪个区域$ 为什么$ 在所选区域一定能够找到宝藏吗$ "#宝藏藏在哪两个区域的概率相同$ " # #如果藏宝藏的区域如图 " 所示!" ! #"#的结果又会怎样$ 图 ① 图 ② 区域 1 区域 3 区域 2 区域 1 区域 2 区域 3 区域 3 解3"#应该选择区域 #! 因为宝藏藏在区域 " 和区域 $ 的概率都是" % !藏在区域 # 的概率是" $ !藏在区域 # 的概率大 ! 在 区域 # 也不一定能够找到宝藏!因为区域 # 的概率是" $ !不是一定会藏宝藏的 ! " $ #宝藏藏在区域 " 和区域 $ 的概率相同!概率都是" % ! " # #如果藏宝藏的区域如图 ! 所示!"#" $ #的结果不变 ! !!!!! 与面积和转盘相关的概率问题 &! 以下转盘分别被分成 " 个& $ 个& % 个&个面积相等的扇形!任意转动这 $ 个转盘各 ! 次!转盘停止转 动时!指针落在阴影区域的可能性最大的转盘是 " ' # ' ( ) * (! 如图!在两个同心圆中!四条直径把大圆分成八等份 ! 若往圆面投掷飞镖!则飞镖落在黑色区域的概 率是 " ' # '+ ! " (+ ! # )+ ! $ *+ ! & 第 , 题图 !!!!!!!!!!!!! 第 - 题图 )! 如图!在 #.# 的方格中!已有两个小正方形被涂黑 ! 若在其余空白小正方形中任选一个涂黑!则所得 图案是一个轴对称图形的概率是 " * # '+ ! / (+ " / )+ # / *+ $ / "+! 在如图所示的正方形纸片上做随机扎针试验!则针头扎在阴影区域内的概率是 !! " % !! ! 第 !0 题图 !!!!!!!!!!!!! 第 !! 题图 书 !!! 一只小鸟自由自在地在空中飞翔!然后随意落在如图所示的空地"由 !" 个边长相同的小正方形组 成#上!则落在阴影部分的概率是 !! " !# !! ! !$! 如下图所示的是一个封闭的圆形装置!整个装置内部分为 " ! # ! $ 三个区域" " ! # 两区域为圆环! $ 区域为小圆#!具体数据如图所示 ! A B C 2 cm 2 cm 2 cm " ! #求出 " ! # ! $ 三个区域的面积m % " # !! $% ! &' $ !! ! % # # !! !$ ! &' $ !! ! % $ # !! ( ! &' $ !! % " $ #随机往装置内扔一粒豆子!豆子落在 # 区域的概率 & # 为多少& " % #随机往装置内扔 !&' 粒豆子!请问大约有多少粒豆子落在 " 区域& 解m" $ #豆子落在 ! 区域的概率 " ! ) !$ ! $% ! *!$ ! *( ! ) ! + # " + #根据题意!得 !,%- $% ! $% ! *!$ ! *( ! )!%% "粒# # 故大约有 !%% 粒豆子落在 $ 区域 # !+! " ! #如图 ! !在正方形 "#$' 内!有一个内切圆 ! 利用电脑设计程序m在正方形内随机产生一些点! 当点数很多时!电脑自动统计正方形内的点数为 ( !圆内的点数为 ) "在正方形边上和圆上的点不统 计# ! 根据用频率估计概率的思想!推得 " 的大小"用含 ( ! ) 的式子表示#% " $ #如图 # 所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘!任意转动转盘!当转盘停止时!计算指针 落在蓝色区域的概率% " % #有一个小球在如图 $ 所示的地板上自由滚动!地板上的每个小格子都是边长为 ! 的正方形 ! 求 小球最终停留在阴影区域的概率 ! 120° 红 蓝 图 ① 图 ② 图 ③ A D C B 解m" ! #设圆的半径为 % !则正方形 $!&' 的边长为 $%# 根据题意!得 !% $ $% ! $% " ( ) !所以 ! ) (( ) # " $ #如图 " !指针落在蓝色区域的概率为!$%. +#%. ) ! + # " + #如图 # !地板面积为 +-()!$ !阴影区域的面积为 $-+/ ! $ -!-$-$/ ! $ -!-+) " $ !则小球最终停留在阴影区 域的概率为 " $ !$ ) " $( # "# " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " !" ! ! #$%& " "# ' # ! "$ ! $! !" ! ! #$%& " "# ' # ! "$ ! $" !" ! ! #$%& " "# ' # ! "$ ! $# 书 !!!!! 用频率估计概率问题 !"! 一个不透明的袋子里装有黄!白!红三种颜色的球"摇匀后每次随机从袋中摸出一个球"记录颜色后 放回袋中 ! 通过多次试验"发现摸到红球的频率稳定在 !!"# "则摸到红球的概率约为 # # $ $% & ' (% & ) *% + ' ,%& !$! 某小组在%用频率估计概率&的试验中"统计了某种结果出现的频率"绘制成如图所示的折线统计图 ! 频率 次数 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0 100 200 300 400 500 !! 第 &# 题图 下列试验最有可能符合图中结果的是 # 0 $ $% 掷 & 枚质地均匀的硬币"落地时结果是%正面向上& (% 掷 & 个质地均匀的正六面体骰子"落地时朝上的面的点数是 - *% 在%石头!剪刀!布&的游戏中"小明随机出的是%剪刀& ,% 袋子中有 & 个红球和 ) 个黄球"球只有颜色上的区别"从中随机取出 & 个球是黄球 ! !&! 某批排球的质量检验结果如下表' 抽取的排球个数 ! #! )!! '!! -!! .!! &!!! &)!! 优等品的频数 " '- &.- +") #-& "'' /+& &&&- 优等品的频率" ! !#/)! !#/+! !#/+! !#/+# !#/+! !#/+& !#/+! 估计从这批排球中任意抽取 & 个排球是优等品的概率为 !! '#() !! #结果精确到 !!& $ ! !*! 对某篮球运动员进行 + 分球投篮测试"结果如下表' 投篮次数 ! &! #! &!! &#! )!! 命中次数 " ' )# -# /! &)! 命中率" ! !#' '#$ '#&$ '#& '#& # & $完成表格( # ) $这个运动员 + 分球投篮命中的概率约是多少) # + $这个运动员 + 分球投篮 &# 次大约能得多少分) 解'# + $这个运动员 ) 分球投篮命中的概率约是 '#&# # ) $ !$,'#&,)-+* #分$ # 故这个运动员 ) 分球投篮 !$ 次大约能得 +* 分 # 书 !"! 在一个不透明的袋中!装有若干个除了颜色外均相同的小球 ! 某数学学习小组做摸球试验!将球搅 匀后从中随机摸出 ! 个小球记下颜色!再把它放回袋中!不断重复 ! 下表是活动进行中的一组统计 数据" 摸球的次数 ! !"" !#" $"" #"" %"" !""" 摸到白球的次数 " #& &' " $&# (%" '"! 摸到白球的频率" ! # "!'( "!#% "!#& "!'" "!'"! # ! $上表中的 #) !! ##$% !! ! ") !! !!& !! % # $ $&摸到白球'的概率的估计值是 !! ##& !! #结果精确到 "! $% # * $如果袋中有 !$ 个白球!那么袋中除了白球外!还有大约多少个其他颜色的小球( 解"# ' $ !()##&*!(+" #个$ # 故袋中除了白球外!还有大约 " 个其他颜色的小球 # !!!!! 用概率解决游戏公平性问题 !%! 如下图!现有一个质地均匀的转盘被平均分成 % 份!分别标有 $ ! ( ! ' ! % ! " ! $ ! ( ! ' 这 % 个数 ! 转 动转盘!当转盘停止时!指针指向的数即为转出的数#当指针恰好指在分界线上时!重转$ ! # ! $转动转盘!转出的数是 ( 的倍数的概率是多少( # $ $小明和小红进行游戏"各自转相同的次数!指针指向 * 的倍数小明胜!指针指向 ( 的倍数小红 胜 ! 这个游戏公平吗( 为什么( 如果不公平!请你根据这个转盘设计一个公平的游戏 ! 8 6 4 2 16 14 12 10 解"# ! $转动转盘!转出的数是 , 的倍数的概率 + , " + ! ( # # ( $这个游戏不公平 # 理由如下" 转动一次转盘!指针指向 ' 的倍数的结果数为 ( !指针指向 , 的倍数的结果数为 , ! 所以小明胜的概率 + ( " + ! , !小红胜的概率 + , " + ! ( # 因为! ( " ! , ! 所以这个游戏不公平 # 设计一个公平的游戏可为各自转相同的次数!指针指向不是 , 的倍数小明胜!指针指向 , 的倍数小红胜 # #答案不唯一$ 书 !!!!! 与概率相关的方案设计问题 !"! 某游乐园门票价格如下表所示! 门票价格一览表 指定日普通票 !"" 元 平日优惠票 #"" 元 !! !! 某旅行社准备了 #$"" 元"全部用来购买指定日普通票和平日优惠票"且每种至少买 # 张 ! #$有多少种购票方案% 列举所有可能结果& # ! $如果从上述方案中任意选一种方案购票"求恰好选到 ## 张门票的概率 ! 解!#$有 $ 种购票方案"方案如下! 指定日普通票张数 平日优惠票张数 一 # ## 二 ! % 三 $ & 四 ' ( 五 ( $ 六 ) # # ! $由#$知"共有 $ 种购票方案"且选到每种方案的可能性相等"而恰好选到 ## 张门票的方案只有 # 种"因此恰好选到 ## 张门票的概率是# $ ! !#! 某校某次外出社会实践活动分为三类"因资源有限"七# ! $班分配到 !" 个名额"其中甲类 ! 个'乙类 * 个'丙类 #" 个 ! 已知该班有 (" 名学生"班主任准备了 (" 个签"其中甲类'乙类'丙类按名额设置"其余 为空签"采取抽签的方式来确定名额分配 ! 请解决下列问题! #$该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率是多少% # ! $该班小丽同学去参加这次实践活动的概率是多少% # $ $后来"该班同学强烈呼吁增加名额"要求抽到甲类的概率要达到 !"+ "则还要争取甲类名额多 少个% 解!#$该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率是#" %" & # % ! # ! $该班小丽同学去参加这次实践活动的概率是!" %" & ! % ! # ' $设还要争取甲类名额 " 个 ! 根据题意"得"(! %" &!") "解得 "&*! 答!还要争取甲类名额 * 个 ! "$ " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 因为BH∥GE,所以∠HBE=∠BEG=A 所以∠FBH=∠EBF-∠HBE=a-R 12题型专项训练卷（三） 由(1)可知，∠ABE+∠ECD-∠BEC=180°，即2a+ 1.C2.B3.C4.8 ∠ECD-29=2(a-D+∠ECD=180°， 5.解：(1)因为袋中有10个红球，6个黄球和4个白球， 所以2∠FBH+∠ECD=180. 所以共有10十6+4=20（个）球， (3)因为BF,CN分别平分∠ABE.∠ECD, 所以∠ABF=∠EBF,∠ECN=∠DCN. 所以随机地从袋中换出1个球，模到白球的概率为号号 设∠ABF=∠EBF=x,∠ECN=∠DCN=X. (2)因为摸出2个红球和2个白球后不放回，所以袋中球的 由(1)可知，∠ABE十∠ECD-∠BEC=180, 数量为20-2-2=16（个），其中有2个白球， 所以∠BEC=2(x十y)一180 所以这时换到白球的概率为后-名 如图②，过点M作PQ∥AB. 6.解：(1)应该选择区域3.因为宝藏藏在区域1和区域2的概 因为AB∥CD,所以AB∥PQ∥CD 所以∠PMF=∠ABF=x,∠QMN=∠DCV=y, 率都是，藏在区域3的概率是号，藏在区域3的概率大。 所以∠FMN=180°-∠PMF-∠QMN=180°-(x+y). 因为∠BEC+∠FMN=2(x+y)-180°+180°-(x+y)= 在区城3也不一定能够找到宝藏，因为区城3的概率是子， x+y=130°， 不是一定会藏宝藏的 所以∠BEC=2(x+y)-180°=2×130°-180°=80° (2)宝藏藏在区城1和区城2的概率相同，概率都是 17.C18.C19.B 20.C【解析】如图，设三角板与平行线 (3)如果藏宝藏的区域如题图②所示，(1)(2)的结果不变。 AB,CD分别相交于点G,H,过顶点FF~0O 7.A8.A9.C10. 作EF∥AB. 所以∠EFG=∠1=12 1. 【解析】设每个小正方形的边长为1，由题图可知，阴影 因为∠EFG+∠EFH=30°， 所以∠EFH=30°-∠EFG=30°-12=18°. 部分面积是宁×1X1+3×4一令×3X3-名×3×2=5， 因为AB∥CD,所以EF∥CD, 所以∠2=∠EFH=18°. 所以阴影部分古5个小正方形，其面积占总面积的高，所 21.解：由题意可知.AB∥CD,∠FEG=90 以小鸟落在阴影福分的概率是亮 如图，过点E作EM∥AB,则EM∥CD, 12.解：(1)20xcm 12xcm24第cm 所以∠FEM=∠a,∠GEM=∠R (2)豆子落在B区城的概率P。一20x+12x十4x3 12x 1 因为∠FEM+∠GEM=∠FEG=90°， 所以∠a+∠9=90， 20元. 因为∠a=43°，所以∠3=90°-43°=47. (3)根据题意，得180X20x十12x+4云10（粒， 故大约有100粒豆子落在A区域. 13.解：(1)设圆的半径为r,则正方形ABCD的边长为2.根据 感意，得六台所以-兰 (②)如道圈@，指计落在燕色区城的版率为器-子 (3)如题图③，地板而积为3×4=12，阴影区域的面积为2 22.解：(1)30°60 ×3-×1×2×2-×1X8=号，则小球最终停留在阴 2 (2)∠CAF+∠EMC=90°.理由如下： 影区城的概率为位一 5 如图，过点C作CH∥GF,则∠CAF=∠ACH 因为DE∥GF. 14.C15.B16.0.93 所以CH∥DE. 17.解：(1)0.50.650.60.6 所以∠EMC=∠HCM. (2)这个运动员3分球投篮命中的概率约是0.6. 所以∠EMC+∠CAF=∠HM+∠ACH=∠ACB=90°： (3)15×0.6×3=27(分). 故这个运动员3分球投篮15次大约能得27分 18.解：(1)0.59116 (2)0.6 (3)12÷0.6-12=8(个). 故袋中除了白球外，还有大约8个其他颜色的小球。 下册·参考答案79人 19.解：1)转动转盘，转出的数是4的倍数的概率=名=司 Sm=ZBDAF, (2)这个游戏不公平.理由如下： S-CD.AF. 转动一次转盘，指针指向3的倍数的结果数为2，指针指向 4的倍数的结果数为4， 因为BD≠CD. 所以小明胜的概率一号 所以SaA≠San,故D选项说法错误，符合题意。 ,小红胜的概率= 4 6.解：因为MN∥PQ,所以∠ECN=∠EDQ=50°. 因为好> 因为CE平分∠ACN,所以∠ACN=2∠ECN=100° 因为∠ACB+∠ACN=180'.所以∠ACB=80°. 所以这个游戏不公平 所以∠ABC=180°-∠A-∠ACB=70 设计一个公平的游戏可为各自转相同的次数，指针指向不 7.解：(1)因为∠BED=45°，所以∠BEA=135 是4的倍数小明胜，指针指向4的倍数小红胜。（答案不 因为∠ABE=15°， 唯一) 所以∠BAD=180°-∠BEA-∠ABE-30 20.解：(1)有6种购票方案，方案如下： (2)因为AD为△ABC的中线， 指定日普通票张数 平日优惠票张数 所以Sm=Sam=之Sam 11 因为BE为△ABD的中线， 2 9 三 必 7 所以SE=Sm=号5a 四 4 5 所以Sam=子5e 五 六 6 1 因为5Se=20,所以Sm=专BD:EF=5. (2)由(1)知，共有6种购票方紫，且选到每种方案的可能性 因为BD=2.5.所以EF=4. 相等，而恰好选到11张门票的方案只有1种，因此恰好选 8.C9.B 到1张门翠的概率是行 10.>【解析】如图，在AB上截取AE,使 AE=AC,连接PE 21.解，（①该斑小明同学怡好销到丙类名额的概车是品-号 (AE-AC, (2)该班小服同学去参加这次实我活动的概米是器-号 在△AEP和△ACP中，〈∠1=∠2， AP-AP. (3)设还要争取甲类名额x个 所以△AEP≌△ACP(SAS), 根据题意，相2-20%，解得8 所以PE=PC 在△PEB中，BE>PB-PE,BE=AB一AE 答：还要争取甲类名额8个， 所以AB-AE>PB-PC,即AB-AC>PB-PC 13题型专项训练卷（四） 11.解：(1)因为CB为∠ACE的平分线， 所以∠ACB=∠FCE. 1.B2.D3.A4.C ∠B=∠E, 5.D【解析】因为AE是△ABC的中线， 在△ABC和△FEC中， ∠ACB=∠FCE, 所以BE=CE,故A选项说法正确，不符合题意： CA-CF. 因为AD是∠BAC的平分线， 所以△ABC≌△FEC(AAS),所以AB=FE 所以∠BAC=2∠BAD,故B选项说法正确，不符合题意： (2)因为AB∥CE,所以∠B=∠FCE 因为AF是△ABC的高， 因为∠B=∠E,所以∠E=∠B=∠FCE=∠ACB. 所以∠AFC=90",∠CAF=90°-∠C 因为ED⊥AC,即∠CDE=90°， 因为AD是∠BAC的平分线， 所以∠E+∠FCE+∠ACB=90°，即3∠ACB=90', 所以∠BAD=∠CAD=2(180'-∠B-∠O9· 所以∠ACB=30°，所以∠B=30°， 所以∠DAF=∠CAD-∠CAF 所以∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-30°-30°-120， 12.解：(1)因为∠BAE=∠DAC,所以∠BAE+∠CAE= =2180°-∠B-∠0-(90-∠0 ∠DAC+∠CAE, =90'-2∠B-2∠C-90+∠C 即∠CAB=∠EAD AB=AD. =∠C-∠B 在△ABC和△ADE中， ∠CAB=∠EAD, AC=AE. =(∠C-∠B),故C选项说法正确，不符合题意： 所以△ABC≌△ADE(SAS). A80数学·7年级(8S版